18.1.1 平行四边形的性质（第一课时）
学习目标
(1)理解并掌握平行四边形的定义;(重点)
(2)掌握平行四边形的性质定理1及性质定理2;(难点)
(3)理解两条平行线的距离的概念.
学习过程
一、合作探究
(阅读教材P41~P43,了解平行四边形的有关概念)
1.平行四边形的定义:
(1)平行四边形的概念: .?
(2)几何语言:如图,∵ ∥ , ∥ . ?
∴ ?
(3)平行四边形ABCD可以记作: .?
2.平行四边形的性质
(1)请你归纳总结平行四边形性质:
① .?
② .?
(2)几何语言:如图,∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB= ,AD= ( )?
∠A= ,∠B= ( )?
3.两条平行线之间的距离
(1)距离是几何中的重要度量之一,请你分别画出以下的距离:
点与点之 间的距离 点到直线 的距离 两条平行线 之间的距离
(2)什么叫做“两条平行线间的距离”?两条平行线之间的距离和点与点之间的距离、点到直线的距离有何联系与区别?
二、自主学习
【例1】已知:如图,在?ABCD中,DE⊥AB于E,BF⊥DC于F;
求证:DE=BF.
2.变式:已知:如图,在?ABCD中,E,F分别是AB,CD上的点且DE∥BF;
求证:DE=BF.
三、跟踪练习
1.在?ABCD中,AB=4 cm,BC=7 cm,则它的周长为 cm.?
2.在?ABCD中,∠A=50°,则∠B= ,∠C= ,∠D= .?
3.已知?ABCD中,∠A+∠C=200°,则∠B的度数是 .?
4.已知:如图,?ABCD中,DE⊥AC于E,BF⊥AC于F.求证:DE=BF.
四、变式演练
1.如图,在平行四边形ABCD中,DE⊥AB,FB⊥AB,垂足分别为E,F,已知AD=4,∠A=30°,那么,DE= ,FB= .?
第1题图
第2题图
2.如图所示,点E,F是平行四边形ABCD对角线BD上的点,BF=DE,求证:AE=CF.
3.如图,在平行四边形ABCD中,AE=CF,求证:AF=CE.
五、达标检测
1.如图,下列推理不正确的是( )
A.∵AB∥CD,∴∠ABC+∠C=180°
B.∵∠1=∠2,∴AD∥BC
C.∵AD∥BC,∴∠3=∠4
D.∵∠A+∠ADC=180°,∴AB∥CD
2.若平行四边形的两个内角之比为1∶2,则其中较小的内角是( )度.
A.90 B.60 C.120 D.45
3.在下列图形的性质中,平行四边形不一定具有的是 ( )
A.对角相等 B.对角互补
C.邻角互补 D.内角和是360°
4.如图:在平行四边形ABCD中,如果EF∥AD,GH∥CD,EF与GH相交于点O,那么图中的平行四边形一共有 ( )
A.4个 B.5个 C.8个 D.9个
5.如图,?ABCD中,CE⊥AB,垂足为E,如果∠A=115°,则∠BCE= .?
6.若在?ABCD中,∠A=30°,AB=7 cm,AD=6 cm,则S?ABCD= .?
7.如图,在?ABCD中,∠ABC的平分线交CD于点E,∠ADE的平分线交AB于点F,试判断AF CE.?
第7题图
第8题图
8.如图,在?ABCD中,DB=DC,∠A=65°,CE⊥BD于E,则∠BCE= .?
9.如图AD∥BC,AE∥CD,BD平分∠ABC,求证:AB=CE.
10.已知:?ABCD中,AB=5,AD=2,∠DAB=120°,若以点A为原点,直线AB为x轴,如图所示建立直角坐标系,试分别求出B,C,D三点的坐标.
参考答案
一、合作探究
1.(1)略
(2)∵AB∥CD,AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
(3)?ABCD.
2.(1)①平行四边形的对边相等;②平行四边形的对角相等.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD,AD=BC(平行四边形的对边相等)
∠A=∠C,∠B=∠D(平行四边形的对角相等)
3.(1)图略
(2)两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线之间的距离.点与点之间的距离是定义点到直线的距离、两条平行线之间距离的基础,它们本质上都是点与点之间的距离.任何两条平行线之间的距离都是存在的、唯一的,都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度.
二、自主学习
1.略
2.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴CD∥AB.
∵DE∥BF;
∴四边形DEBF是平行四边形,
∴DE=BF.
三、跟踪练习
1.22 2.130°,50°,130° 3.80°
4.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,
∴∠DAE=∠BCF,
∵DE⊥AC,BF⊥AC,
∴∠DEA=∠BFC,
在△AED和△CFB中,
∠DAE=∠BCF,∠DEA=∠BFC,AD=BC,
∴△ADE≌△CBF(AAS).
∴DE=BF.
四、变式演练
1.2,2
2.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,
∴∠EDA=∠FBC,
在△AED和△CFB中,
AD=BC,∠ADE=∠CBF,BF=DE,
∴△AED≌△CFB(SAS),
∴AE=CF.
3.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,∠B=∠D,BC=AD.
∵AE=CF,
∴AB-AE=CD-CF.
∴BE=DF.
在△BCE与△DAF中,
BC=AD,∠B=∠D,BE=DF.
∴△BCE≌△DAF(SAS).
∴AF=CE.
五、达标检测
1.C 2.B 3.B 4.D
5.25° 6.21 cm2 7.=
8.25° 9.证明:∵AD∥BC,AE∥CD,
∴四边形AECD是平行四边形,
∴AD=CE.
∵AD∥BC,
∴∠ADB=∠DBC.
∴BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠DBC.
∴∠ABD=∠ADB.
∴AB=AD且AD=CE.
∴AB=CE.
10.B(5,0),C(4,),D(-1,)
5
18.1.1 平行四边形的性质(第2课时)
学习目标
1、理解并会证明平行四边形对角线互相平分的性质.(重点)
2、运用平行四边形对角线性质进行有关论证和计算.(难点)
学习过程
一、知识回顾
平行四边形的性质:1.角: .?
2.边: .?
二、合作探究
1.测量猜想:如图四边形ABCD是平行四边形,请用刻度尺量一量OA,OC,OB,OD的长度,有OA= ,OC= ,OB= ,OD= ,其中相等的线段有:OA与 ,OD与 .?
AC与BD相等吗? .?
AD BC,AB CD?
2.验证猜想:你能说明为什么OA=OC,OB=OD?
如图,在ABCD中,对角线AC,BD相交于点O.
求证:OA=OC,OB=OD.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD= ,且AD∥ ,?
∴∠1=∠2,∠3=∠4.( )
∴△OAD≌ ( )?
∴OA= ,OB= ( )?
也就是说:平行四边形的 .?
三、自主练习
【例题】如图,在?ABCD中,AB=10,AD=8,AC⊥BC.求BC,CD,AC,OA的长,以及?ABCD的面积.
变式.?ABCD的对角线AC,BD相交于点O,EF过点O且与AD,BC分别相交于点E,F.求证:OE=OF.
四、跟踪练习
1.平行四边形具有而一般四边形不具有的特征是 ( )
A.不稳定性 B.对角线互相平分
C.内角和为360度 D.外角和为360度
2.如图,在平面直角坐标系中,平行四边形OBCD顶点O(0,0),B(5,0),D(2,3),则顶点C的坐标为 .?
3.如图,在ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且AC+BD=20,△AOB的周长等于15,则CD= .?
4.在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AC=10,BD=8,则AD的取值范围是 .?
五、达标检测
1.如图,?ABCD中,EF过对角线的交点O,AB=4,AD=3,OF=1,则四边形BCEF的周长为( )
A.8 B.9 C.12 D.13
2.在平行四边形ABCD中,∠A∶∠B∶∠C∶∠D的可能情况是( )
A.2∶7∶2∶7 B.2∶2∶7∶7
C.2∶7∶7∶2 D.2∶3∶4∶5
3.如图,在平行四边形ABCD中,E在AC上,AE=2EC,F在AD上,DF=2AF,如果△DEF的面积为2,则平行四边形ABCD的面积为( )
A.4 B.8 C.9 D.10
4.如图,?ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且AC+BD=16,CD=6,则△ABO的周长是( )
A.10 B.14 C.20 D.22
5.已知?ABCD,AB=3,BC=5,∠B=80°,则DC= ,AD= ,∠C= ,∠D= ,周长是 .?
6.已知?ABCD,对角线AC=6,BD=10,则OA= ,BO= .?
7.已知?ABCD中,E,F是AD上任意两点,连接EB,EG,FB,FC,得到△EBC和△FBC,若BC=10,高EG=6,则S△EBC= ,S△FBC= .?
8.如图在?ABCD中,点O是对角线AC,BD的交点,过点O任做一直线交AB,CD分别于E、F两点.则有
(1)OE OF;?
(2)△OBE △ODF,△OAE △OCF.?
9.如图过?ABCD的顶点D,C分别作边AB的垂线,垂足是点M,N,则有:
DM CN(比较大小)?
(1)△ADM≌ ;?
(2)四边形CDMN是 ,所以我可以推导出平行四边形的面积计算方法 .?
10.已知:如图,平行四边形ABCD的周长为36 cm,过D作AB,BC边上的高DE,DF,且DE=4 cm,DF=5 cm,求平行四边形ABCD的面积.
参考答案
一、知识回顾:略
二、合作探究:略
三、自主练习:
例题.解:∵AC⊥BC,
∴∠ACB=90°,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC=8,AB=CD=10,OA=OC=AC.
∵AB=10,BC=8,由勾股定理得:
AC==6,
∴OA=3;
S?ABCD=BC·AC=8×6=48.
答:OA的长是3,?ABCD的面积是48.
变式:证明:∵点O为平行四边形ABCD对角线AC,BD的交点,
∴OA=OC,AD∥BC.
∴∠CAD=∠ACB,∠AEF=∠EFC.
在△OEA和△OFC中,
∠CAD=∠ACB,∠AEF=∠EFC,OA=OC,
∴△OEA≌△OFC(AAS).
∴OE=OF.
四、跟踪练习
1.B 2.(7,3) 3.5 4.1
五、达标测试
1.B 2.A 3.C 4.B 5.3;5;100°;80°;16 6.3;5 7.30;30 8.(1)=;(2)≌;≌ 9.(1)=;(2)△BCN;长方形;底×高
10.解:设AB的长为x cm,则BC为(18-x) cm,
4x=5(18-x),
4x=90-5,
x=10,
S?ABCD=4×10=40(cm2),
答:平行四边形的面积为40 cm2.
1
18.1.2 平行四边形的判定(第1课时)
学习目标
1.经历平行四边形判定定理的猜想与证明过程,体会类比思想及探究图形判定的一般思路.(难点)
2.掌握平行四边形的四个判定定理,能根据不同条件灵活选取适当的判定定理进行推理.(重点)
3.从具体情境出发,寻找识别平行四边形的方法,能用语言表达自己发现的结果.(难点)
学习过程
一、合作探究
(一)预习指导
活动:1.探究平行四边形的判定方法(阅读教材P45思考)
2.根据定义,可以判定一个四边形是不是平行四边形.除了平行四边形的定义,我们如何寻找其他的判定方法呢?能否通过研究性质定理的逆命题获得判定平行四边形的方法呢?
填表:
平行四边形的性质 平行四边形的判定
平行四边形的对边相等 猜想1:
平行四边形的对角相等 猜想2:
平行四边形的对角线互相平分 猜想3:
猜想4:一组对边 的四边形是平行四边形?
3.原命题正确,逆命题一定正确吗?
4.你能证明上述猜想吗?下面以猜想1为例,请你画出图形,写出已知、求证,并进行证明.
已知:四边形ABCD,AB=CD,AD=BC,
求证:四边形ABCD是平行四边形.
证明:连接AC,
∵AB=CD,AD=BC(已知),
AC=AC(公共边),
∴△ABC≌△CDA( )
∴∠1= ,∠3= ,?
∴AB∥ ,AD∥ ,?
∴四边形ABCD是平行四边形.
归纳总结:
两组对边分别 的四边形是平行四边形.?
几何语言表述:∵ ?
∴四边形ABCD是平行四边形.
5.你会证明猜想2~猜想4吗?请写出已知、求证、证明过程;并且用几何语言表述.同学们可以分组讨论,每组研究一个猜想,然后小组间公布研究结果.
归纳总结:
平行四边形的判定方法:
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形
2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
3.两组对角分别相等的四边形是平行四边形
4.对角线互相平分的四边形是平行四边形
5.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
几何语言
1.∵ ?
∴四边形ABCD是平行四边形
2.∵ ?
∴四边形ABCD是平行四边形
3.∵ ?
∴四边形ABCD是平行四边形
4.∵ ?
∴四边形ABCD是平行四边形
5.∵ ?
∴四边形ABCD是平行四边形
二、自主学习
活动:平行四边形的判定的应用(阅读教材第46页例3、例4)
【例1】如图,?ABCD的对角线AC,BD交于点O,E,F,G,H分别是线段AO,BO,CO,DO上的点,且AE=CG,BF=DH.求证:四边形EFGH是平行四边形.
【例2】已知:如图,?ABCD中,E,F分别是AD,BC的中点,求证:BE=DF.
三、跟踪练习
1.如图,在?ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F是对角线AC上的两点.请补充一个关于点E,F的条件,使四边形DEBF是平行四边形.你补充的条件是 .?
2.如图,O是?ABCD的对角线AC的中点,过点O的直线分别与AB,CD交于点E,F.
求证:四边形AECF是平行四边形.
四、达标检测
1.已知四边形ABCD,有以下四个条件:(1)AB=AD,AB=BC;(2)∠A=∠B,∠C=∠D;(3)AB∥CD,AB=CD;(4)AB∥CD,AD∥BC.其中能判定四边形ABCD是平行四边形的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.已知四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,给出下列5个条件:①AB∥CD;②OA=OC;③AB=CD;④∠BAD=∠DCB;⑤AD∥BC,从以上5个条件中任选2个条件为一组,能判定四边形ABCD是平行四边形的有( )组.
A.4 B.5 C.6 D.7
3.如图,平行四边形ABCD中,AB=8 cm,AD=12 cm,点P在AD边上以每秒1 cm的速度从点A向点D运动,点Q在BC边上,以每秒4 cm的速度从点C出发,在CB间往返运动,两个点同时出发,当点P到达点D时停止(同时点Q也停止),在运动以后,以P,D,Q,B四点组成平行四边形的次数有( )
A.4次 B.3次 C.2次 D.1次
4.如图,平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F是AC上的两点,当E,F满足下列哪个条件时,四边形DEBF不一定是平行四边形( )
A.∠ADE=∠CBF B.∠ABE=∠CDF
C.DE=BF D.OE=OF
5.以长分别为4 cm,5 cm,7 cm的三条线段中的两条为边,另一条为对角线画平行四边形,可以画( )个形状不同的平行四边形.
A.1 B.2 C.3 D.4
6.如图,四边形ABCD中,AB∥BC,作AE∥DC交BC于E,△ABE的周长是25 cm,四边形ABCD的周长是37 cm,那么AD= cm.?
7.在四边形ABCD中,AB=CD,要使四边形ABCD为平行四边形,则应添加的条件是(添加一个条件即可) .?
8.如图,在四边形ABCD中,DB平分∠ADC,∠ABC=120°,∠C=60°,∠BDC=30°;延长CD到点E,连接AE,使得∠E=∠C.
(1)求证:四边形ABDE是平行四边形;
(2)若DC=12,求AD的长.
9.已知:如图,△ABC中,∠ACB=90°,点D,E分别是AC,AB的中点,点F在BC的延长线上,且∠CDF=∠A.
求证:四边形DECF是平行四边形.
参考答案
一、合作探究
略
二、自主学习
略
三、跟踪练习
1.OE=OF(答案不唯一,合理即可)
2.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,OA=OC.∴∠EAO=∠FCO.
在△AOE与△COF中,
∵∠EAO=∠FCO,OA=OC,∠EOA=∠FOC(对顶角相等),
∴△AOE≌△COF(ASA),
∴OE=OF,
又∵OA=OC,
∴四边形AECF为平行四边形.
四、达标检测
1.B 2.C 3.B 4.C 5.C
6.6 7.AB∥CD(答案不唯一).
8.(1)证明:∵∠ABC=120°,∠C=60°,
∴∠ABC+∠BCD=180°,
∴AB∥DC,即AB∥ED;
又∠C=60°,∠E=∠C,∠BDC=30°,
∴∠E=∠BDC=30°,
∴AE∥BD,
∴四边形ABDE是平行四边形.
(2)解:∵AB∥DC,
∴四边形ABCD是梯形,
∵DB平分∠ADC,∠BDC=30°,
∴∠ADC=∠BCD=60°,
∴四边形ABCD是等腰梯形;
∴BC=AD,
∵在△BCD中,∠C=60°,∠BDC=30°,
∴∠DBC=90°,又DC=12,∴AD=BC=DC=6.
9.证明:∵点D,E分别是AC和AB的中点,
∴DE为△ABC的中位线,AD=CD,
∴DE∥BC且DE=BC,
∴∠ADE=∠ACB=∠DCF=90°,
在△ADE和△DCF中,
∵∴△ADE≌△DCF(ASA),
∴DE=CF,又DE∥CF,
∴四边形DECF是平行四边形.
4
18.1.2 平行四边形的判定(第2课时)
学习目标
1.知道三角形中位线的概念,能说出三角形中位线定理,并能应用定理解决问题.(重点)
2.经历探索三角形中位线定理的过程,知道它与平行四边形的内在联系.(难点)
3.在学习中养成合情推理意识,体会在日常生活中的应用价值.
学习过程
一、合作探究
【问题探究一】三角形中位线
阅读教材47页的第一个“练习”后到教材49页“练习”之前的内容,解决下列问题:
1.连接三角形 的线段叫三角形中位线.?
2.一个三角形有 条中位线.?
3.三角形的中位线与中线有什么区别?
【问题探究二】三角形中位线的定理
阅读教材本节中的“探究”至“练习”,思考、讨论、合作交流后解决下列问题:
1.度量∠ADE与∠B和DE与BC的大小,你发现DE与BC有怎样的位置和数量关系?
2.把△ABC沿中位线DE剪开,得到△ADE和四边形BCED,将ΔADE绕点E旋转,使点D与F重合,你能拼出了一个什么图形?对于三角形其他的中位线,重复上述实验,你得出了什么结论,用语言描述出来.
3.你能证明上述发现吗?写出证明过程:
如图,D,E分别是△ABC的边AB,AC的中点.
求证:DE∥BC,DE=BC.
分析:本题既要证明两条线段所在的直线平行,又要证明其中一条线段的长等于另一条线段长的一半.将DE延长一倍后,可以将证明DE=BC转化为证明延长后的线段与BC相等.此时,能否通过构造平行四边形,利用平行四边形的性质进行证明?
证明:
归纳总结:
三角形中位线的定理 .?
几何语言表述∵ .?
∴ .?
【讨论】三角形三边的中点连接后形成一个新的三角形,这个新三角形的周长和面积与原三角形的周长和面积有什么关系?
二、跟踪练习
1.已知△ABC周长为16,D,E分别是AB,AC的中点,则△ADE的周长等于( )
A.1 B.2 C.4 D.8
2.连接三角形两边 的 ,叫做三角形的中位线.?
3.三角形的中位线 第三边,且等于第三边的 .?
4.如图,A,B两点被池塘隔开,在AB外选一点C,连接AC和BC,并分别找出AC和BC的中点M,N,如果测得MN=20 m,那么A,B两点的距离是 m,理由是 .?
5.如图,在Rt△ABC中,直角边AC等于6 cm,BC等于8 cm,D,E分别是AC,BC的中点,则DE= cm.?
6.如图,D,E,F分别是△ABC各边的中点.
(1)若DF=5 cm,则AB= cm.?
(2)AD与EF的关系为 .?
三、达标测试
1.如图所示,A,B两点分别位于一个池塘的两端,小聪想用绳子测量A,B间的距离,但绳子不够长,一位同学帮他想了一个主意:先在地上取一个可以直接到达A,B的点C,找到AC,BC的中点D,E,并且测出DE的长为10 m,则A,B间的距离为( )
A.15 m B.25 m C.30 m D.20 m
2.如图,在△ABC中,E,D,F分别是AB,BC,CA的中点,AB=6,AC=4,则四边形AEDF的周长是( )
A.10 B.20 C.30 D.40
3.如图所示,已知四边形ABCD,R,P分别是DC,BC上的点,E,F分别是AP,RP的中点,当点P在BC上从点B向点C移动而点R不动时,那么下列结论成立的是( )
A.线段EF的长逐渐增大 B.线段EF的长逐渐减少
C.线段EF的长不变 D.线段EF的长不能确定
4.已知三角形的各边分别为8 cm,10 cm和12 cm,求连接各边中点所成三角形的周长 .?
5.如图,△ABC中,D,E,F分别是AB,AC,BC的中点,
(1)若EF=5 cm,则AB= cm;若BC=9 cm,则DE= cm;?
(2)中线AF与DE中位线有什么特殊的关系?证明你的猜想.
6.如图所示,?ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AE=EB,求证:OE∥BC.
7.已知:△ABC的中线BD,CE交于点O,F,G分别是OB,OC的中点.
求证:四边形DEFG是平行四边形.
8.已知:如图,E为?ABCD中DC边的延长线上的一点,且CE=DC,连接AE分别交BC,BD于点F,G,连接AC交BD于O,连接OF.求证:AB=2OF.
参考答案
一、合作探究
探究一、1.各边中点 2.三 3.中位线是中点与中点的连线;中线是顶点与对边中点的连线.
探究二、1.DE=BC;DE∥BC
2.得到平行四边形
3.证明:如图,
延长DE到F,使EF=DE,连接FC,DC,AF.
∵AE=EC,DE=EF,
∴四边形ADCF是平行四边形,
∴CF∥AD,CF=AD.∵AD=BD,
∴CF∥BD,CF=BD,
∴四边形BDFC为平行四边形,
∴DF∥BC,DF=BC.∴DE=BC,DE∥BC.
归纳总结:
三角形中位线定理:三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半.
几何语言表述:∵DE是三角形中位线,
∴DE∥BC,DE=BC.
【讨论】△DEF周长=△ABC周长;△DEF面积=△ABC面积.
二、跟踪练习
1.D 2.中点;线段 3.平行于;一半 4.40;三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半. 5.5 6.10;互相平分.
三、达标测试
1.D 2.A 3.C 4.15 cm 5.(1)10;4.5 (2)互相平分;略
6.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,
又∵AE=EB,
∴OE∥BC.
7.证明:∵E,D是AB,AC中点,
∴ED∥BC,ED=BC.
∵F,G是OB,OC中点,∴FG∥BC,FG=BC.
∴ED∥FG,ED=FG.
∴四边形DEFG是平行四边形.
8.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AB∥CD,OA=OC,∴∠BAF=∠CEF,∠ABF=∠ECF.∵CE=DC,∴AB=CE.在△ABF和△ECF中,∴△ABF≌△ECF(ASA),∴BF=CF,∵OA=OC,∴OF是△ABC的中位线,∴AB∥OF,AB=2 OF.
4
18.2.1 矩形(第1课时)
学习目标
1.理解矩形的概念,明确矩形与平行四边形的区别与联系.
2.探索并证明矩形的性质,会用矩形的性质解决简单的问题.
3.探索并掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个定理.
学习过程
一、合作探究
【问题探究一】矩形的定义
阅读教材本节中的第一个“思考”前面内容,解决下列问题:
1.有一个角是 的 叫矩形.?
2.你能举出一些生活中矩形的实例吗?
【问题探究二】矩形的性质
区别阅读教材本节中的第1个“思考”,思考、讨论、合作交流后解决下列问题:
1.结合平行四边形的性质的探求过程,你认为应该从哪几个方面探求矩形的性质?
2.画一个矩形,连接对角线,度量它的四个角和对角线,你有什么发现?
3.你能证明你的猜想吗?
归纳总结:
矩形的四个角都是 ,矩形的对交线 且 .?
几何语言表述∵ ∴ ?
【问题探究三】直角三角形斜边上中线的特性.
阅读教材本节中的第2个“思考”,思考、讨论、合作交流后解决下列问题:
1.观察图所示的矩形,寻找图形中的相等线段,在Rt△ABC中,有哪些相等线段,你能得到什么结果?
2.你能证明上述猜想吗?写出证明过程:
归纳总结:
直角三角形斜边上中线等于 .?
二、自主练习
【例1】已知:如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,∠AOB=60°,AB=4,求矩形对角线的长.
【例2】(补充)已知:如图,矩形ABCD,AB长8 cm,对角线比AD边长4 cm.求AD的长及点A到BD的距离AE的长.
三、跟踪练习
1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )
A.对角线相等 B.对边相等
C.对角相等 D.对角线互相平分
2.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AC=10,BO是斜边上的中线,则BO的长为 .?
3.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且AB=5,BC=12,则△ABO的周长为 .?
4.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=60°,AB=4.求矩形对角线的长.
5.如图,在矩形ABCD中,AE平分∠BAD,交BC于点E,ED=5,EC=3,求矩形的周长及对角线的长.
四、变式演练
1.如图,在长方形ABCD中,AB=6,BC=8,将长方形ABCD沿CE折叠后,使点D恰好落在对角线AC上的点F处.
(1)求EF的长.
(2)求四边形ABCE的面积.
2.如图所示,在矩形ABCD中,E为AD上一点,EF⊥CE交AB于点F,若DE=2,矩形的周长为16,且CE=EF,则AE的长为多少?
五、达标检测
1.如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=4,将矩形沿AC折叠,点D落在点E处,且CE与AB交于F,那么S△ACF为 ( )
A.12 B.15 C.6 D.10
2.如图,在矩形ABCD中,AC,BD相交于点O,AE平分∠BAD交BC于E.若∠EAO=15°,则∠BOE的度数为 ( )
A.85° B.80° C.75° D.70°
3.如图,矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O.若∠AOB=60°,BD=8,则AB的长为( )
A.4 B.4 C.3 D.5
4.根据图中数据可求阴影部分的面积和为( )
A.12 B.10 C.8 D.7
5.如图,延长矩形ABCD的边BC至点E,使CE=BD,连接AE,如果∠ADB=30°,则∠E= 度.?
6.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是AO,AD的中点,若AB=6 cm,BC=8 cm,则△AEF的周长 cm.?
7.Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,P为边BC上一动点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,M为EF中点,则AM的最小值为 .?
8.如图,将?ABCD的边DC延长到点E,使CE=DC,连接AE,交BC于点F.
(1)求证:四边形ABEC是平行四边形;
(2)连接AC,BE,若四边形ABEC是矩形,则∠AFC与∠D应满足什么数量关系?并说明理由.
9.如图,长方形OABC中,O为原点,A(4,0),C(0,6),点B在第一象限点P从原点出发,以每秒2个单位长度的速度沿O-A-B-C-O的路线移动.
(1)直接写出点B的坐标 ;?
(2)当点P移动了4秒时,点P的坐标是 ;?
(3)移动过程中,当点P到x轴距离为5个单位长度时,求点P移动的时间及此时点P到O点的距离.
参考答案
一、合作探究
【问题探究一】1.直角;平行四边形 2.略
【问题探究二】1.内角、对角线.
2.(1)矩形的四个角都是直角. (2)矩形的对角线相等.
3.猜想1:矩形的四个角都是直角.
求证:矩形的四个角都是直角.
已知:如图,四边形ABCD是矩形,
求证:∠A=∠B=∠C=∠D=90°,
证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=90°,
又矩形ABCD是平行四边形,
∴∠A=∠C,∠B=∠D,
∠A+∠B=180°.
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
即矩形的四个角都是直角.
猜想2:矩形的对角线相等.
已知:如图,四边形ABCD是矩形
求证:AC=BD,
证明:在矩形ABCD中,
∵∠ABC=∠DCB=90°,
AB=DC,BC=CB,
∴△ABC≌△DCB,
∴AC=BD,即矩形的对角线相等.
结论:矩形的对角线相等.
数学语言:∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=BD.
归纳总结:
矩形的四个角都是直角,矩形的对交线相等且互相平分.
几何语言表述:∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°.AC=BD.
【问题探究三】
1.OA=OB=OC
2.如图,在矩形ABCD中,AC,BD相交于点O,由性质2有AO=BO=CO=DO=AC=BD.因此可以得到直角三角形的一个性质:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
归纳总结:
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
二、自主学习
1.解:∵四边形ABCD是矩形,
∴AC与BD相等且互相平分.
∴OA=OB.
又∠AOB=60°,
∴△OAB是等边三角形.
∴矩形的对角线长AC=BD=2OA=2×4=8.
2.解:设AD=x cm,则对角线长(x+4) cm,在Rt△ABD中,由勾股定理:x2+82=(x+4)2,解得x=6.则AD=6 cm,AB=10 cm.
(2)S△ABD=AE·DB=AD·AB,解得AE=4.8 cm.
三、跟踪练习
1.A 2.5 3.18
4.解:∵四边形ABCD是矩形,
∴OA=AC,OB=BD,AC=BD,
∴OA=OB,
∵∠AOB=60°,
∴△AOB是等边三角形,
∴OA=AB=4,
∴AC=2OA=8.即矩形的对角线长为8.
5.解:如图,连接BD.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠C=90°,AB=CD,AD∥BC.
∵ED=5,EC=3,
∴DC2=DE2-CE2=25-9=16,
∴DC=4,AB=4.
∵AD∥BC,
∴∠AEB=∠DAE.
∵AE平分∠BAD,
∴∠BAE=∠DAE,
∴∠BAE=∠AEB,
∴BE=AB=4,
矩形的周长=2×(4+3+4)=22.
由勾股定理得:BD2=42+72,
∴BD=.
答:矩形的周长为22,对角线的长为.
四、变式演练
1.解:(1)∵四边形ABCD为矩形,
∴CD=AB=6,AD=BC=8,∠BAD=∠D=90°,
在Rt△ABC中,AC==10,
∵长方形ABCD沿CE折叠后,使点D恰好落在对角线AC上的点F处,
∴CF=CD=6,ED=EF,∠EFC=∠D=90°,
∴AF=10-6=4,
设EF=x,则ED=x,AE=8-x,
在Rt△AEF中,x2+42=(8-x)2,解得x=3,
即EF的长为3.
(2)四边形ABCE的面积=S△ABC+S△EAC=×6×8+×3×10=39.
2.解:在矩形ABCD中,
∠A=∠D=90°.
∵CE⊥EF,
∴∠AEF+∠DEC=90°.
又∵∠AFE+∠AEF=90°,
∴∠AFE=∠DEC
∴EF=CE,
∴△AEF≌△DCE(AAS).
∴AE=DC.
又∵矩形的周长为16,
∴2(AE+DE+DC)=16,
即2AE+2=8.
∴AE=3.
五、达标检测
1.D 2.C 3.A 4.C 5.15 6.9 7.
8.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,
∵CE=DC,
∴AB=EC,AB∥EC,
∴四边形ABEC是平行四边形;
(2)解:∠AFC=2∠D.理由如下:
∵四边形ABEC是矩形,
∴AE=BC,FC=FE,
∵AD=BC.
∴AD=AE,
∴∠AED=∠D,
∵FC=FE.
∴∠AED=∠FCE=∠D,
∵∠AFC=∠AED+∠FCE.
∴∠AFC=2∠D.
9.解:(1)根据长方形的性质,可得AB与y轴平行,BC与x轴平行;且A(4,0),C(0,6),即AB=OC=6,BC=OA=4,故B的坐标为(4,6);
(2)根据题意,P的运动速度为每秒2个单位长度,当点P移动了4秒时,则其运动了2×4=8个长度单位,此时点P在AB上,且PA=4,故P的坐标为(4,4);
(3)根据题意,点P到x轴距离为5个单位长度时,有两种情况:
P在AB上时,P运动了4+5=9个长度单位,此时P运动了9÷2=4.5(秒);
此时点P到O的距离为个单位长度;
P在OC上时,P运动了4+6+4+1=15个长度单位,此时P运动了15÷2=7.5(秒);
此时点P到O的距离为5个单位长度.
8
18.2.1 矩形(第2课时)
学习目标
1.经历探索矩形判定定理的过程,掌握矩形的判定定理.(重点)
2.使学生能应用矩形定义、判定等知识,解决简单的证明题,发展学生的演绎推理能力.(重点、难点)
一、合作探究
1.什么叫做平行四边形?什么叫做矩形?
2.矩形有哪些性质?
3.矩形与平行四边形有什么共同之处?有什么不同之处?
4.归纳矩形的判定方法(学生进行)
(1)定义:是平行四边形,并且有一个角是 .?
(2)对角线的关系:是平行四边形,并且 .?
(3)角的关系:是四边形,并且有 个角是直角.?
二、自主学习
【例1】下列各句判定矩形的说法是否正确?
(1)有一个角是直角的四边形是矩形; ( )
(2)四个角都相等的四边形是矩形; ( )
(3)对角线相等的四边形是矩形; ( )
(4)两组对边分别平行,且对角线相等的四边形是矩形. ( )
【例2】已知?ABCD的对角线AC,BD相交于点O,△AOB是等边三角形,AB=4 cm,求这个平行四边形的面积.
分析:首先根据△AOB是等边三角形及平行四边形对角线互相平分的性质判定出ABCD是矩形,再利用勾股定理计算边长,从而得到面积值.
解:∵四边形ABCD是 ?
∴AO= ,BO= .?
∵AO=BO,
∴AC=BD.
∴?ABCD是 ( 的平行四边形是矩形).?
在Rt△ABC中,
∵AB=4 cm,AC= ,?
∴BC= (cm).?
∴S=8.
三、跟踪练习
1.判断题:
(1)有四个角是直角的四边形是矩形; ( )
(2)对角线相等且互相垂直的四边形是矩形; ( )
(3)对角线相等,且有一个角是直角的四边形是矩形; ( )
(4)对角线互相平分且相等的四边形是矩形; ( )
(5)一组邻边垂直,一组对边平行且相等的四边形是矩形. ( )
2.已知:如图ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且∠OAD=∠ODA.
求证:四边形ABCD是矩形.
3、已知:如图,?ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E,F,G,H.求证:四边形EFGH是矩形.
四、变式演练
1.如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=24 cm,BC=26 cm,动点P从点A出发沿AD方向向点D以1 cm/s的速度运动,动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3 cm/s的速度运动.点P,Q分别从点A和点C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点随之停止运动.
(1)经过多长时间,四边形PQCD是平行四边形?
(2)经过多长时间,四边形PQBA是矩形?
2.如图,O是矩形ABCD的对角线的交点,E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD上的点,且AE=BF=CG=DH.
(1)求证:四边形EFGH是矩形;
(2)若E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点,且DG⊥AC,OF=2 cm,求矩形ABCD的面积.
五、达标检测
1.已知下列命题中:(1)矩形是轴对称图形,且有两条对称轴;(2)两条对角线相等的四边形是矩形;(3)有两个角相等的平行四边形是矩形;(4)两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形,其中正确的有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
2.如图,在四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是AD,BD,BC,CA的中点,若四边形EFGH是矩形,则四边形ABCD需满足的条件是( )
A.AB⊥DC B.AC=BD
C.AC⊥BD D.AB=DC
3.如图,四边形ABCD中,AC=8,BD=6,且AC⊥BD,连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH,下列说法不正确的是( )
A.四边形EFGH是矩形
B.四边形EFGH的周长是7
C.四边形EFGH的面积是12
D.四边形ABCD的面积是48
4.如图所示,△ABC绕AC的中点O顺时针旋转180°得△CDA,添加一个条件 ,使四边形ABCD为矩形.?
5.若顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是矩形,则原四边形必须满足的条件是 .?
6.用两张对边平行的纸条交叉重叠放在一起,则四边形ABCD为 ;两张纸条互相垂直时,四边形ABCD为 .?
7.如图,在矩形OABC中,AO=10,AB=8,沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC,使点B落在OA边上的点E处分别以OC,OA所在的直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系.
(1)求点D,E的坐标;
(2)F为坐标系内一点,且以C,D,E,F为顶点的四边形是平行四边形,则点F的坐标为 (直接写出所有的结果);?
(3)点P是y轴上一动点,且以1个单位/秒的速度从点A向下运动.设点P运动的时间为t秒.求当t为多少时,△PCD是以CD为腰的等腰三角形?
8.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,点E,F在边BC上,DE∥AB,AF∥DC,且AE∥DF.
(1)AD与BC有何数量关系?请说明理由.
(2)当四边形ABCD满足条件 时,四边形AEFD是矩形(说明理由).?
9.如图,四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AO=CO,BO=DO,且∠ABC+∠ADC=180°.
(1)求证:四边形ABCD是矩形.
(2)若DF⊥AC,∠ADF∶∠FDC=3∶2,则∠BDF的度数是多少?
参考答案
一、合作探究
1.由两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形;有一个角是直角的平行四边形叫矩形,
2.矩形四个角都是直角;矩形的对角线相等;并且具有平行四边形的所有性质.
3.矩形是特殊的平行四边形,一般的平行四边形不具有矩形的性质.
4.(1)直角 (2)对角线相等 (3)三个
二、自主学习
略
三、跟踪练习
略
四、变式演练
1.解:(1)设经过t s,四边形PQCD为平行四边形,即PD=CQ,所以24-t=3t,
解得t=6;
(2)设经过t's,四边形PQBA为矩形,即AP=BQ,所以t'=26-3t',解得t'=.
2.分析:(1)证明四边形EFGH对角线相等且互相平分;(2)根据题设求出矩形的边长CD和BC,然后根据矩形面积公式求得.
(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OB=OC=OD.∵AE=BF=CG=DH,∴AO-AE=OB-BF=CO-CG=DO-DH,即OE=OF=OG=OH,∴四边形EFGH是矩形;
(2)解:∵G是OC的中点,OG⊥AC,∴CD=OD.∵F是BO中点,OF=2 cm,∴BO=4 cm.∵四边形ABCD是矩形,∴DO=BO=4 cm,∴DC=4 cm,DB=8 cm,∴CB==4 cm,∴S矩形ABCD=4×4=16(cm2).
五、达标检测
1.C 2.A 3.B 4.∠B=90° 5.对角线互相垂直
6.平行四边形;矩形
7.解:(1)依题意可知,折痕CD是四边形BCED的对称轴,
∴在Rt△COE中,CE=BC=AO=10,OC=AB=8,
∴OE=6,∴E(0,6).
∴AE=10-6=4.
在Rt△DAE中,AE2+AD2=DE2,
又∵DE=BD,
∴AD2+42=(8-AD)2,
∴AD=3.
∴D(3,10).
(2)(11,4),(-5,16),(5,-10);
(3)由(1)可知BD=5,所以CD==5,
①当PD=CD=5时,AP==2,
∴t=2,
②当PC=CD=5时,OP=.
∴AP=AO-AP=10-或AP=AO+OP=10+,
∴t=10-或10+.
8.(1)AD=BC.
理由如下:
∵AD∥BC,AB∥DE,AF∥DC,AE∥DF,
∴四边形ABED、四边形AEFD和四边形AFCD都是平行四边形.
∴AD=BE=EF=FC,
∴AD=BC.
(2)AB=CD.
理由如下:
∵四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形,
∴DE=AB,AF=DC.
∵AB=DC,∴DE=AF,
又∵四边形AEFD是平行四边形,
∴四边形AEFD是矩形.
9.(1)证明:∵AO=CO,BO=DO,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∴∠ABC=∠ADC,
∵∠ABC+∠ADC=180°,
∴∠ABC=∠ADC=90°,
∴四边形ABCD是矩形;
(2)解:∵∠ADC=90°,∠ADF∶∠FDC=3∶2,
∴∠FDC=36°,
∵DF⊥AC,
∴∠DCO=90°-36°=54°,
∵四边形ABCD是矩形,
∴CO=OD,
∴∠ODC=∠DCO=54°,
∴∠BDF=∠ODC-∠FDC=18°.7
18.2.2 菱形(第1课时)
学习目标
1.知道菱形的定义和它与平行四边形的特殊联系.
2.通过操作,能概括菱形的特殊性质,会用菱形的性质进行相关的证明、计算.(重点)
3.通过对菱形性质的探究和反思,获得解决问题的经验和方法,养成科学的思维习惯.(难点)
学习过程
一、合作探究
探究一:定义
菱形: ?
几何语言:
∵四边形ABCD是平行四边形,
且AB=BC,
∴四边形ABCD是菱形.
探究二:菱形性质
1.找出图中菱形边、角、对角线的关系:
边 .?
角 .?
对角线 .?
猜想1(边)
验证:已知:四边形ABCD是菱形,
求证:AB=BC=CD=AD.
证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD(菱形定义),
AB=CD,AD=BC(平行四边形的性质),
∴AB=BC=CD=DA.
总结:
1.菱形的四条边 .?
2.几何语言:
∵四边形是菱形,
∴ = = = .?
猜想2(对角线)
验证:已知:菱形ABCD的对角线相交于点O,
求证:(1)AC⊥BD.
(2)AC平分∠DAB和∠DCB,
BD平分∠ADC和∠ABC.
证明:(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD,OB=OD,
∴AC⊥BD.
(2)∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD,OB=OD,
∴AC⊥BD,AC平分∠BAD.
(等腰三角形三线合一)
同理可证,AC平分∠BCD,BD平分∠ABC和∠ADC.
总结:
1.菱形的对角线互相 且 每一组对角.?
2.几何语言
∵四边形是菱形,
∴AC BD,AC ∠BAD,?
AC ∠BCD,BD ∠ABC和∠ADC.?
探究三:(菱形面积)
已知菱形ABCD,
求证:S菱形ABCD=AC·BD
证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,OA=OC,OB=OD.
S菱形ABCE=4S△ABO=4×AO·BO
=×2AO·2BO
=AC·BD.
二、自主练习
【例题】(课本):如图,菱形花坛ABCD的边长为20 m,∠ABC=60°,沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD.求两条小路的长(结果保留小数点后两位)和花坛的面积(结果保留小数点后一位).
三、跟踪练习
1.若菱形ABCD,AC=6 cm,BD=8 cm,则菱形的周长= .?
2.若菱形ABCD,∠ABC=60°,AB=4 cm,对角线AC与BD相交于点O,则BC= ,AC= ,AO= ,BO= ,BD= .?
3.(1)若菱形的边长等于一条对角线的长,则它的一组邻角的度数分别为 .?
(2)已知菱形ABCD的周长为20 cm,且相邻两内角之比是1∶2,则菱形的两条对角线的长为 ,面积是 .?
4.在菱形ABCD中,∠D∶∠A=3∶1,菱形的周长为8 cm,则菱形的高 ?
5.已知:如图,菱形ABCD中,E,F分别是CB,CD上的点,且BE=DF.求证:∠AEF=∠AFE.
四、变式演练
1.如图,四边形ABCD是边长为13 cm的菱形,其中对角线AC长10 cm.求(1)对角线BD的长度;(2)菱形ABCD的面积.
2.(2016·吉林中考)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且DE∥AC,AE∥BD.求证:四边形AODE是矩形.
五、达标检测
1.下列性质中,菱形对角线不具有的是( )
A.对角线互相垂直
B.对角线所在直线是对称轴
C.对角线相等
D.对角线互相平分
2.如图,菱形ABCD的两条对角线相交于O,若AC=16,BD=12,则菱形ABCD的周长是( )
A.32 B.24 C.40 D.20
3.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且AC=2,若AB=2,则BD的长为( )
A. B.
C.2 D.4
4.如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC=8,DB=6,DH⊥AB于点H,则DH的长为( )
A.4.8 cm B.5 cm
C.9.6 cm D.10 cm
5.如图,将边长为4的菱形ABCD纸片折叠,使点A恰好落在对角线的交点O处,若折痕EF=2,则∠A=( )
A.120° B.100° C.60° D.30°
6.如图,菱形ABCD中对角线相交于点O,且OE⊥AB,若AC=8,BD=6,则OE的长是( )
A.2.5 B.5 C.2.4 D.不确定
7.菱形的周长是20 cm,那么一边上的中点到两条对角线交点的距离为 cm.?
8.如图,四边形ABCD是菱形,AC=16,DB=12,DH⊥AB于H,则DH等于 .?
9.如图,菱形ABCD的两条对角线分别长4和6,点P是对角线AC上的一个动点,点M,N分别是边AB,BC的中点,则PM+PN的最小值是 .?
10.如图,在?ABCD中,BC=2AB=4,点E,F分别是BC,AD的中点.
(1)求证:△ABE≌△CDF;
(2)当四边形AECF为菱形时,求出该菱形的面积.
11.如图,在菱形ABCD中,∠B=60°,AB=1,延长AD到点E,使DE=AD,延长CD到点F,使DF=CD,连接AC,CE,EF,AF.
(1)求证:四边形ACEF是矩形;
(2)求四边形ACEF的周长.
参考答案
一、合作探究
略
二、自主学习
1.解:∵花坛ABCD的形状是菱形,
∴AC⊥BD,∠ABO=∠ABC=×60°=30°,
在Rt△OAB中,
AO=AB=×20=10 m,
BO==10 m,
∴花坛的两条小路长AC=2AO=20(m),
BD=2BO=20≈34.64(m).
花坛的面积
S菱形ABCD=4×S△OAB=AC·BD=200≈346.4(m2)
三、跟踪练习
1.20 cm 2.4cm;4cm;2cm;2cm;4cm
3.(1)60°,120°(2)5,5
4.
5.证明:∵ABCD是菱形,
∴AB=AD,∠B=∠D.
又∵EB=DF,
∴△ABE≌△ADF,
∴AE=AF,
∴∠AEF=∠AFE.
四、变式演练
1.解:(1)∵四边形ABCD为菱形,
∴∠AED=90°,
∵AE=AC=×10=5 (cm),
∴AE==12 (cm),
∴BD=2DE=2×12=24 (cm);
(2)S菱形ABCD=AC·BD
=×10×24
=120(cm2).
2.证明:∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,
∴∠AOD=90°.
∵DE∥AC,AE∥BD,∴四边形AODE是平行四边形,
∴?AODE是矩形.
五、达标检测
1.C 2.D 3.C 4.A 5.A 6.C
7.2.5
8.
9.
10.(1)证明:在?ABCD中,AB=CD,
BC=AD,∠ABC=∠CDA.
E,F为中点,
∴BE=EC=BC,AF=DF=AD,
∴BE=DF.
∴△ABE≌△CDF.
(2)解:∵四边形AECF为菱形,
∴AE=EC.
又∵点E是边BC的中点,
∴BE=EC,即BE=AE.
又BC=2AB=4,
∴AB=BC=BE,
∴AB=BE=AE,即△ABE为等边三角形,如图,
过点A作AH⊥BC于H,
∴BH=BE=1,
根据勾股定理得,AH=
∴菱形AECF的面积为2.
11.(1)证明∵DE=AD,DF=CD,
∴四边形ACEF是平行四边形,
∵四边形ABCD为菱形,
∴AD=CD,
∴AE=CF,
∴四边形ACEF是矩形;
(2)解:∵∠B=60°,∴△ABC,△ACD是等边三角形,
∴AC=AD=CD=AB=1,
∵四边形ACEF为矩形,
∴EF=AC=1,AE=CF=2,
∴AF=CE=,
∴四边形ACEF的周长为AC+CE+EF+AF=1++1+=2+2.
8
18.2.2 菱形(第2课时)
学习目标
1.通过动手操作,归纳菱形的判定方法,并加以证明.(重点)
2.会用菱形的判定方法进行有关的计算和论证.(难点)
3.经历探索菱形的判定方法的过程,发展主动探究的能力和说理的能力.
学习过程
一、知识回顾
1.菱形的定义是什么?
2.平行四边形、矩形、菱形各有什么性质?列表进行比较.
边 角 对角线
平行 四边形
矩 形
菱 形
3.菱形和平行四边形的关系是什么?
二、合作探究
【问题探究一】用定义判定四边形是菱形
阅读教材本节中的第一个“思考”前内容,思考、讨论、合作交流后解决下列问题:
平行四边形的定义可以作为性质,也可以作为判定,那么菱形的定义可以作为菱形的判定方法吗?如果可以,怎么判定?
归纳总结:
有一组邻边 的 是菱形.?
几何语言:∵
∴
【问题探究二】菱形的判定
阅读教材本节中的第二个“思考”内容,思考、讨论、合作交流后解决下列问题:
1.你能否通过研究菱形性质定理的逆命题获得判定四边形是菱形?并完成表格
菱形性质 菱形判定
菱形的对交线互相垂直 猜想1:
菱形的四条边都相等 猜想2:
2.证明猜想1与猜想2的正确性
(1)已知:平行四边形ABCD中,对角线AC,BD互相垂直.
求证:四边形ABCD是菱形.
归纳总结:
判定定理1对角线 的平行四边形是菱形.?
几何语言:∵四边形ABCD是 ,?
且 ,?
∴ 是菱形.?
探究二、四边相等的四边形是菱形.
猜想2:如果一个四边形的四条边相等,那么这个平行四边形是菱形,已知:四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD,
求证:四边形ABCD是菱形.
归纳总结:
1. 的四边形是菱形.?
2.几何语言:∵
∴
三、自主练习
【例1】如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AB=5,AO=4,BO=3.求证:平行四边形ABCD是菱形.
【例2】已知:如图,?ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD,BC分别交于E,F.求证:四边形AFCE是菱形.
四、跟踪练习
1.下列图形中,不一定是菱形的是 ( )
A.两条对角线互相垂直平分的四边形
B.四条边都相等的四边形
C.对角线互相垂直的四边形
D.用两个能完全重合的等边三角形拼成的四边形
2.?ABCD的对角线相交于点O,分别添加下列条件:①AC⊥BD;②AB=BC;③AC平分∠BAD;④AO=DO.其中使得?ABCD是菱形的条件有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.已知:如图,在四边形ABCD中,AC=BD,E,F,G,H分别为四边中点.
求证:四边形EFGH为菱形.
五、变式演练
1.(2016·沈阳中考)如图,△ABC≌△ABD,点E在边AB上,CE∥BD,连接DE.求证:
(1)∠CEB=∠CBE;
(2)四边形BCED是菱形.
2.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,M,N,P,Q分别是AD,BC,BD,AC的中点.
求证:MN与PQ互相垂直平分.
六、达标检测
1.如图,在?ABCD中,对角线AC⊥AB,O为AC的中点,经过点O的直线交AD于E,交BC于F,连接AF,CE,现在添加一个适当的条件,使四边形AFCE是菱形,下列条件:①OE=OA;②EF⊥AC;③AF平分∠BAC;④E为AD中点,正确的有( )个.
A.1 B.2 C.3 D.4
2.下列说法:
①四边相等的四边形一定是菱形;
②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是菱形;
③对角线相等的四边形一定是矩形;
④经过平行四边形对角线交点的直线,一定能把平行四边形分成面积相等的两部分.其中正确的有( )个.
A.4 B.3 C.2 D.1
3.如图,在?ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,添加下列条件不能判定?ABCD是菱形的只有( )
A.AC⊥BD
B.AB=BC
C.AC=BD
D.∠1=∠2
4.在△ABC中,点D是边BC上的点(与B,C两点不重合),过点D作DE∥AC,DF∥AB,分别交AB,AC于E,F两点,下列说法正确的是( )
A.若AD⊥BC,则四边形AEDF是矩形
B.若AD垂直平分BC,则四边形AEDF是矩形
C.若BD=CD,则四边形AEDF是菱形
D.若AD平分∠BAC,则四边形AEDF是菱形
5.四边形ABCD的四边相等,且面积为120 cm2,对角线AC=24 cm,则四边形ABCD的周长为( )
A.52 cm B.40 cm C.39 cm D.26 cm
6.如图,四边形ABCD是轴对称图形,且直线AC是对称轴,AB∥CD,则下列结论:①AC⊥BD;②AD∥BC;③四边形ABCD是菱形;④△ABD≌△CDB其中正确的是 (只填写序号).?
7.如图,已知正方形ABCD的对角线交于O点,点E,F分别是AO,CO的中点,连接BE,BF,DE,DF,则下列结论中一定成立的是 (把所有正确结论的序号都填在横线上)?
①BF=DE;②∠ABO=2∠ABE;③S△AED=S△ACD;④四边形BFDE是菱形.
8.如图,在矩形ABCD中,AD=5,AB=3,在BC边上取一点E,使BE=4,连接AE,沿AE剪下△ABE,将它平移至△DCF的位置,拼成四边形AEFD.
(1)CF= ;?
(2)四边形AEFD是什么特殊四边形,你认为最准确的是: .?
9.如图,在△ABC中,AB=BC,D,E,F分别是BC,AC,AB边上的中点.
(1)求证:四边形BDEF是菱形.
(2)若AB=12 cm,求菱形BDEF的周长.
10.如图△ABC与△CDE都是等边三角形,点E,F分别在AC,BC上,且EF∥AB.
(1)求证:四边形EFCD是菱形.
(2)设CD=4,求D,F两点间的距离.
参考答案
一、知识回顾
1.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2.平行四边形、矩形、菱形各有什么性质?列表进行比较.
边 角 对角线
平行四 边形 对边平行且相等 对角相等,邻角互补 对角线互相平分
矩 形 对边平行且相等 4个角都相等,且等于90° 对角线互相平分且相等
菱 形 四条边都相等 对角相等,邻角互补 对角线互相平分且垂直
3.菱形是特殊的平行四边形.
二、合作探究
【问题探究一】略
【问题探究二】菱形的判定
菱形性质 菱形判定
菱形的对角线互相垂直 猜想1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形
续 表
菱形性质 菱形判定
菱形的四条边都相等 猜想2:四条边相等的四边形是菱形
2.证明猜想1与猜想2的正确性
(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC(平行四边形对角线相互平分).
又∵AC⊥BD,
∴BD所在直线是线段AC的垂直平分线,
∴AB=BC,
∴四边形ABCD是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形).
归纳总结:
判定定理1 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
几何语言:∵四边形ABCD是平行四边形,
AC⊥BD,
∴平行四边形ABCD是菱形.
探究二 四边相等的四边形是菱形.
证明:∵AB=BC=CD=AD,
∴AB=CD,BC=AD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵AB=BC,
∴四边形ABCD是菱形.
归纳总结:
1.四条边相等的四边形是菱形.
2.几何语言:∵四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD,
∴四边形ABCD是菱形.
三、自主练习
【例1】证明:∵AB=5,AO=4,BO=3,
∴AB2=AO2+BO2.
∴△OAB是直角三角形,AC⊥BD.
∴?ABCD是菱形.
【例2】证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AE∥BC,∴∠1=∠2.
又∵∠AOE=∠COF,AO=CO,
∴△AOE≌△COF,∴EO=FO.
∴四边形AFCE是平行四边形.
又∵EF⊥AC,∴?AFCE是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).
四、跟踪练习
1.C
2.C
3.解:如图,∵E,F,G,H分别是线段AB,BC,CD,AD的中点,
∴EH,FG分别是△ABD,△BCD的中位线,
EF,HG分别是△ABC,△ACD的中位线,
根据三角形的中位线的性质知,EH=FG=BD,EF=HG=AC,
又∵AC=BD,
∴EH=FG=EF=HG,
∴四边形EFGH是菱形.
五、变式演练
1.证明:(1)∵△ABC≌△ABD,∴∠ABC=∠ABD.
∵CE∥BD,∴∠CEB=∠DBE,
∴∠CEB=∠CBE;
(2)∵△ABC≌△ABD,∴BC=BD.
∵∠CEB=∠CBE,∴CE=CB,∴CE=BD.
∵CE∥BD,∴四边形CEDB是平行四边形.
∵BC=BD,∴四边形BCED是菱形.
2.证明:连接MP,PN,NQ,QM,
∵AM=MD,BP=PD,
∴PM是△ABD的中位线,
∴PM=AB,
PM∥AB;
同理NQ=AB,NQ∥AB,MQ=DC,
∴PM=NQ,且PM∥NQ.
∴四边形MPNQ是平行四边形.
又∵AB=DC,∴PM=MQ,
∴平行四边形MPNQ是菱形.
∴MN与PQ互相垂直平分.
六、达标检测
1.B 2.B 3.C 4.D 5.A 6.①②③④
7.①③④ 8.4;菱形
9.(1)证明:∵D,E,F分别是BC,AC,AB的中点,
∴DE∥AB,EF∥BC,
DE=AB,EF=BC,
∴四边形BDEF是平行四边形,
又∵AB=BC,
∴DE=EF,
∴四边形BDEF是菱形.
(2)解:∵AB=12 cm,F为AB中点,
∴BF=6 cm,
∴菱形BDEF的周长为6×4=24 cm.
10.(1)证明:∵△ABC与△CDE都是等边三角形,
∴ED=CD,
∠A=∠DCE=∠BCA=∠DEC=60°.
∴AB∥CD,DE∥CF.
又∵EF∥AB,
∴EF∥CD,
∴四边形EFCD是菱形.
(2)解:连接DF,与CE相交于点G,
由CD=4,可知CG=2,
∴DG==2,
∴DF=4.
9
18.2.3 正方形
学习目标
1.掌握正方形的概念、性质和判定方法,并会运用它们进行有关的论证和计算.(难点)
2.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别.(重点)
学习过程
一、合作探究
阅读教材P58~59内容,完成下面问题:
1.小学已学过正方形四条边都 ;正方形四个角都是 .?
正方形定义:有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形.
从正方形的定义中看出,有三层意义: ; ; .?
2.正方形是矩形吗?是菱形吗?为什么?正方形具有哪些性质呢?
只要矩形再有一组邻边相等,这样的特殊矩形是正方形;
只要菱形再有一个内角为90°,这样的特殊矩形是正方形.
3.因此我们说正方形是特殊的矩形,所以具有矩形的所有性质;
它又是菱形,所以它又具有菱形的一切性质,归纳如下:
正方形性质:
(1)边的性质:对边 ,四条边都 .?
(2)角的性质:四个角都是 角.即∠A=∠B=∠ =∠ = °,?
∠ABD= = = =45°.?
(3)对角线的性质:两条对角线互相 且 ,每条对角线 分一组对角.由ABCD是正方形,可得OA= = =OD,AC⊥ .?
(4)对称性:是轴对称图形,有( )条对称轴.而矩形、菱形都只有( )条对称轴.
(5)边长与对角线长的关系: ?
(6)正方形的面积:①边长的 ②两条对角线 .?
4.平行四边形、菱形、矩形、正方形四者之间的关系:
5.怎样判定一个四边形是正方形呢?把你所想的判定方法写出来并和同学们交流、证明.
归纳总结出判定正方形的方法如下:
判定方法:(1)从四边形到正方形:
(2)从平行四边形到正方形:
(3)从矩形到正方形:
(4)从菱形到正方形:
提示判定正方形的一般顺序:先证它是平行四边形,再证有一组邻边相等(或一个角是直角),最后证它有一个角是直角(或有一组邻边相等).理解成:先证它是矩形,再证有一组邻边相等;或先证它是菱形,再证有一个角是直角.
二、自主学习
【例题】已知,如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC,BD相交于点O.
求证:△ABO,△BCO,△CDO,△DAO是全等的等腰直角三角形.
证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.
∴△ABO,△BCO,△CDO,△DAO都是等腰直角三角形,并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
变式 已知:如图,正方形ABCD,对角线AC,BD交于点O,AC=4.
则(1)∠BAC= ,∠AOB= .?
(2)与OA相等的线段有 ,AB= .?
(3)正方形的周长是 ,面积是 .?
三、跟踪练习
1.下列四边形中,对角线相等且互相垂直平分的是( )
A.平行四边形 B.正方形
C.菱形 D.矩形
2.在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°,如果再添加一个条件,即可推出该四边形是正方形,那么这个条件可以是( )
A.∠D=90° B.AB=CD
C.AD=BC D.BC=CD
3.(长春中考)如图,点E在正方形ABCD的边CD上,若△ABE的面积为8,CE=3,则线段BE的长为 .?
4.如图所示,已知?ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E是BD延长线上的点,且△ACE是等边三角形.
(1)求证:四边形ABCD是菱形;
(2)若∠AED=2∠EAD,求证:四边形ABCD是正方形.
四、达标检测
1.下列命题,正确的有( )
①对角线相等的菱形是正方形 ②四条边都相等的四边形是正方形 ③四个角相等的四边形是正方形 ④对角线互相垂直的矩形是正方形 ⑤对角线垂直且相等的四边形是正方形
A.①② B.②③ C.①④ D.③⑤
2.正方形具有而菱形不一定具有的性质是( )
A.四条边相等
B.对角线互相垂直且平分
C.对角线平分一组对角
D.对角线相等
3.正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )
A.四个角相等
B.对角线互相垂直且平分
C.对角线相等
D.对角互补
4.正方形的四条边都 ,四个角都是 ,对角线 .?
5.如果一个四边形既是菱形,又是矩形,那么这个四边形一定是 .?
6.P为正方形ABCD内部一点,且PA=PD=AD,则△PBC为 .?
7.如图,在正方形ABCD中,F在CD的延长线上,CE⊥AF交AD于M,则∠MFD= .?
8.已知正方形的一边长为1 cm,则它的周长为 ,面积为 ,对角线长为 .?
9.已知正方形的对角线长为2 cm,则它的边长为 .?
10.如图,四边形ABCD是正方形,点G是BC上的任意一点,DE⊥AG于点E,BF∥DE,交AG于点F,求证:AF-BF=EF.
11.如图,正方形ABCD中,AC与BD交于点O,点M,N分别在AC,BD上,且OM=ON,求证:BM=CN.
参考答案
一、合作探究
答案略
二、自主学习
例题 证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.
∴△ABO,△BCO,△CDO,△DAO都是等腰直角三角形,并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
变式
(1)45° 90°
(2)OB,OD,OC 2
(3)8 8
三、跟踪练习
1.B 2.D 3.5
4.证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=CO.又∵△ACE是等边三角形,
∴EO⊥AC,即DB⊥AC,
∴?ABCD是菱形.
(2)∵△ACE是等边三角形,∴∠AEC=60°.
∵EO⊥AC,∴∠AEO=∠AEC=30°.
∵∠AED=2∠EAD,∴∠EAD=15°,
∴∠ADO=∠EAD+∠AED=45°,
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠ADC=2∠ADO=90°,
∴菱形ABCD是正方形.
四、达标检测
1.C
2.D
3.B
4.相等;直角;相等且互相垂直平分
5.正方形
6.等腰三角形
7.45°
8.4 cm;1 cm2 cm
9. cm
10.证明:∵∠BAF+∠DAE=90°,
DE⊥AG,BF∥DE,∴BF⊥AG,∴∠BAF+∠ABF=90°,
∴∠ABF=∠DAE.
又∵AB=DA,∠AFB=∠DEA=90°,
∴△ABF≌△DAE,
∴BF=AE,∴AF-BF=AF-AE=EF.
11.证明:由正方形的性质可得:
OB=OC,∠BOM=∠CON=90°,
又∵OM=ON,
∴△BOM≌△CON,
∴BM=CN.
5
本章小结
学习目标
1.回顾平行四边形及各种特殊平行四边形的性质与判定,三角形的中位线及其性质,直角三角形斜边上的中线的性质.(重点)
2.正确理解平行四边形与各种特殊平行四边形的联系与区别,在反思和交流过程中,逐渐建立知识体系.(难点)
3.总结本章的重要思想方法.
学习过程
一、合作探究
阅读第十八章全章内容,回答下列问题:
1.填写下表:总结
平行四边形 矩形 菱形 正方形
边 平行且相等? 平行且相等? 平行, 相等? 平行, 相等?
角 相等? 都是直角? 相等? 都是直角?
互相 ? 互相 ? 互相 ,且每条对角线平分一组 ? 互相 且 ,每条对角线平分一组 ?
判定 1.两组对边分别 ;? 2.两组对边分别 ;? 3.一组对边 且 ;? 4.两组对角分别 ;? 5.两条对角线互相 .? 1.有 角是直角的四边形;? 2.有 角是直角的 ;? 3. 相等的 .? 1.四边 的四边形;? 2.对角线互相 的平行四边形;? 3.有一组邻边 的平行四边形.? 4.每条对角线 一组对角的四边形.? 1.有一个角是 的菱形;? 2.对角线 的菱形;? 3.有一组邻边 的矩形;? 4.对角线互相 的矩形;?
对称性 只是 图形? 既是 图形,又是 图形?
面积 S= ? S= ? S= ? S= ?
2.我们学习了一般的平行四边形和一些特殊的平行四边形,下图表示了在某种条件下它们之间的相互转化.请你对下图标上的5个数字序号写出相对应的条件.
3.三角形的中位线及其性质是什么?
4.直角三角形斜边上的中线有何性质?
5.矩形被其一条对角线分成两个 三角形,被其两条对角线分成四个 三角形;菱形被其一条对角线分成两个 三角形,被其两条对角线分成四 三角形;正方形被其一条对角线分成两个 三角形,被其两条对角线分成四个全等三角形.?
6.矩形有 条对称轴,菱形有 条对称轴,正方形有 条对称轴.?
二、自主练习
【例1】如图,E,F是平行四边形ABCD对角线BD上的两点,给出下列三个条件:①BE=DF;②∠AEB=∠DFC;③AF∥EC.请你从中选择一个适当的条件 ,使四边形AECF是平行四边形,并证明你的结论.?
【例2】如图,点E,F,G,H分别为四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,试判断四边形EFGH的形状,并证明你的结论.
【例3】如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC=8 cm,BD=6 cm,DH⊥AB于H,求高DH的长.
【例4】如图,正方形ABCD的对角线相交于点O,点O是正方形A'B'C'O的一个顶点,如果两个正方形的边长相等,那么正方形A'B'C'O绕点O无论怎样转动,两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的四分之一,你能说明理由吗?(提示:寻找全等三角形)
【例5】如图,△ABC中,BD,CE为高,F是边BC的中点,判断△DEF的形状,并说明理由.
三、跟踪练习
1.已知?ABCD的周长为36 cm,AB=15 cm,则AD= ( )
A.21 cm B.6 cm
C.10.5 cm D.3 cm
2.菱形的周长为40 cm,一条对角线长为16 cm,则其另一条对角线长( )
A.12 cm B.6 cm
C.16 cm D.8 cm
3.在△ABC中,D,E分别是BC,AC边的中点,若AB=4 cm,BC=5 cm,AC=6 cm,则DE= cm.?
4.矩形ABCD的边AB长5 cm,对角线AC长13 cm,则矩形的周长是 cm.?
5.如图,直线AE∥BD,点C在BD上,若AE=5,BD=8,△ABD的面积为16,则△ACE的面积是 .?
6.已知:如图,菱形ABCD中,∠B=60°,AB=4,求以AC为边长的正方形ACEF的周长.
四、变式演练
1.如图,在四边形ABCD中,点H是边BC的中点,作射线AH,在线段AH及其延长线上分别取点E,F,连接BE,CF.
(1)请你添加一个条件,使得△BEH≌△CFH,你添加的条件是 ,并证明;?
(2)在问题(1)中,当BH与EH满足什么关系时,四边形BFCE是矩形?请说明理由.
2.现有一张矩形纸片ABCD,如图所示,其中AB=4 cm,BC=6 cm,E是BC的中点.实际操作:将纸片沿直线AE折叠,使点B落在四边形AECD内,记为点B'.
(1)请用尺规在图中作出△AEB'(保留作图痕迹);
(2)试求B',C两点之间的距离.
五、达标检测
(一)选择题
1.在四边形ABCD中,O是对角线的交点,能判定这个四边形是正方形的条件是( )
A.AC=BD,AB=CD,AB∥CD
B.AD∥BC,∠A=∠C
C.AO=BO=CO=DO,AC⊥BD
D.AO=CO,BO=DO,AB=BC
2.如图,将一个边长分别为4,8的长方形纸片ABCD折叠,使C点与A点重合,则折痕EF的长是( )
A. B.2
C. D.2
3.两个全等的三角形(不等边)可拼成不同的平行四边形的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.已知点A(2,0),B,C(0,1),以A,B,C三点为顶点画平行四边形,则第四个顶点不可能在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
5.如图,是由两个正方形组成的长方形花坛ABCD,小明从顶点A沿着花坛间小路直到走到长边中点O,再从中点O走到正方形OCDF的中心O1,再从中心O1走到正方形O1GFH的中心O2,又从中心O2走到正方形O2IHJ的中心O3,再从中心O3走到正方形O3KJP的中心O4,一共走了31m,则长方形花坛ABCD的周长是( )
A.36 m B.48 m
C.96 m D.60 m
(二)填空题
6.如图,若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD的形状,并使其面积为矩形面积的一半,则这个平行四边形的一个最小内角的值等于 .?
7.平行四边形两邻边长分别为20和16,若两较长边之间的距离为4,则两较短边之间的距离为 .?
8.如图,四边形ABCD的两条对角线AC,BD互相垂直,四边形A1B1C1D1是四边形ABCD的中点四边形.如果AC=8,BD=10,那么四边形A1B1C1D1的面积为 .?
9.如图,?ABCD中,点E在边AD上,以BE为折痕,将△ABE向上翻折,点A正好落在CD上的点F,若△FDE的周长为10,△FCB的周长为22,则FC的长为 .?
10.将一张长方形的纸对折,如图所示,可得到一条折痕(图中虚线),继续对折,对折时每次折痕与上次的折痕保持平行,连续对折三次后,可以得到7条折痕,那么对折四次可以得到 条折痕,如果对折n次,可以得到 条折痕.?
(三)解答题
11.如图,直线a,b相交于点A,C,E分别是直线b,a上两点且BC⊥a,DE⊥b,点M,N分别是EC,DB的中点.求证:(1)DM=BM;(2)MN⊥BD.
12.已知:在平行四边形ABCD中,AE⊥BC,垂足为E,CE=CD,点F为CE的中点,点G为CD上的一点,连接DF,EG,AG,∠1=∠2.
(1)若CF=2,AE=3,求BE的长;
(2)求证:∠CEG=∠AGE.
参考答案
一、合作探究
1.
平行四边形 矩形 菱形 正方形
边 对边平行且相等 对边平行且相等 对边平行,四边相等 对边平行,四边相等
角 对角相等 四个角都是直角 对角相等 四个角都是直角
互相平分 互相平分且相等 互相垂直平分,且每条对角线平分一组对角 互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角
续 表
平行四边形 矩形 菱形 正方形
判定 1.两组对边分别平行; 2.两组对边分别相等; 3.一组对边平行且相等; 4.两组对角分别相等; 5.两条对角线互相平分. 1.有三个角是直角的四边形; 2.有一个角是直角的平行四边形; 3.对角线相等的平行四边形. 1.四边相等的四边形; 2.对角线互相垂直的平行四边形; 3.有一组邻边相等的平行四边形; 4.每条对角线互相垂直且平分一组对角的四边形. 1.有一个角是直角的菱形; 2.对角线相等的菱形; 3.有一组邻边相等的矩形; 4.对角线互相垂直的矩形.
对称性 只是中心对称图形 既是轴对称图形,又是中心对称图形
面积 S=ah S=ab S=d1d2 S=a2
2.(1)两组对边分别平行;(2)有一个角是直角;(3)有一组邻边相等;(4)有一组邻边相等;(5)有一个角是直角.
3.略
4.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
5.略
6.2 2 4.
二、自主练习
【例1】选①(答案不唯一)
证明:如图,连接AC交BD于O.
∴AO=CO,OB=OD.
又∵BE=DF,∴OB-BE=OD-DF,∴OE=OF.
又∵AO=CO,
∴四边形AECF为平行四边形.
【例2】解:四边形EFGH为平行四边形.
如图,连接AC,在△ACD中,H,G分别为AD,CD的中点,
∴HG∥AC,HG=AC.
同理:EF∥AC,EF=AC.
∴HG∥EF,HG=EF.
∴四边形EFGH为平行四边形.
【例3】解:∵四边形ABCD为菱形,
∴AO=AC=4 cm,OB=BD=3 cm.
AC⊥BD,
∴在Rt△AOB中,AB==5(cm).
又∵S△ABD=DH·AB=AO·BD.
∴DH=(cm).
【例4】解:∵∠BOF+∠A'OB=90°,∠A'OB+∠AOE=90°.∴∠BOF=∠AOE.
又∵OA=OB,∠OAE=∠OBF.∴△AOE≌△BOF.
∴S△AOE=S△BOF.
∴S四边形EBFO=S△BOF+S△OEB=S△AOE+S△OEB=S△ABO=S正方形ABCD.
【例5】解:△DEF为等腰三角形.
在Rt△BEC中,∵F为BC的中点,∴EF=BC,
同理:FD=BC,∴FD=EF.
∴△DEF为等腰三角形.
三、跟踪练习
1.D 2.A 3.2 4.34 5.10
6.解:由菱形的性质得:AB=BC,
又∵∠B=60°,
∴△ABC为等边三角形.∴AC=AB=4.
∴C正方形ACEF=4AC=4×4=16.
四、变式演练
1.解:(1)添加条件:BE∥CF(答案不唯一).
证明:如题图,∵BE∥CF,∴∠1=∠2.
∵点H是边BC的中点,∴BH=CH.
又∵∠3=∠4,
∴△BEH≌△CFH.
(2)当BH=EH时,四边形BFCE是矩形,理由如下:
如图,连接BF,CE,∵△BEH≌△CFH,
∴BH=CH,EH=FH.
∴四边形BFCE是平行四边形.
又∵BH=EH,∴BC=EF,
∴四边形BFCE是矩形.
2.解:(1)如图所示.
(2)如图,连接BB',B'C,设BB'与AE交于点F.
因为点B,B'关于直线AE对称,
所以BE=B'E,
所以∠EBB'=∠EB'B.
因为BE=EC,所以B'E=EC,
所以∠ECB'=∠EB'C.
因为∠EBB'+∠EB'B+∠EB'C+∠ECB'=180°,
所以∠BB'C=90°.
因为BC=6 cm,E是BC的中点,
所以BE=3 cm.
在Rt△ABE中,AB=4 cm,BE=3,根据勾股定理,得AE=5 cm,所以BF= cm,所以BB'= cm.
在Rt△BB'C中,根据勾股定理,得
B'C=.
故B',C'两点之间的距离为cm.
五、达标检测
1.C 2.D 3.C 4.C 5.C
6.30° 7.5 8.20 9.6 10.15 2n-1
11.证明:(1)∵BC⊥a,DE⊥b,
∴∠CDE=∠CBE=90°,
∴△CBE,△CDE为直角三角形,
∵点M是EC的中点,
∴DM=BM=EC,
∴DM=BM;
(2)∵DM=BM,
∴△MDB为等腰三角形,
又∵N为BD的中点,
∴MN为BD边上的中线,
∴MN⊥BD(三线合一).
12.解:(1)∵点F为CE的中点,
∴CE=CD=2CF=4.
又∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB=CD=4.
在Rt△ABE中,由勾股定理,得:BE=.
(2)证明:如图,延长AG,BC交于点H.
∵CE=CD,∠1=∠2,∠C=∠C,
∴△CEG≌△CDF.∴CG=CF.
∵点F为CE的中点,即CF=EF=CE,
又CE=CD,∴CG=GD=CD.
∵AD∥BC,
∴∠GAD=∠H,∠ADG=∠GCH.
∴△ADG≌△HCG.
∴AG=HG.
∵∠AEH=90°,
∴EG=AH=GH.
∴∠GEH=∠H=∠AGE.
6
