19.1.1 变量与函数(第1课时)
学习目标
1.认识变量、常量;了解常量与变量的关系.(重点)
2.学会用含一个变量的代数式表示另一个变量.(难点)
学习过程
一、合作探究
问题:一架雪橇沿一斜坡滑下,它在时间t(秒)滑下的距离s(米)由下面式子表示:s=10t+2t2,假如滑到坡底的时间为8秒,试问坡长为多少米?其中式子中的变量、常量各是什么?
二、跟踪练习
写出下列各问题中的关系式,并指出其中的常量与变量.
1.甲乙两地相距1 000千米,一人骑自行车以15千米/时的速度从甲地前往乙地,用行驶时间t(小时)表示自行车离乙地的距离s(千米)
2.用20 cm的铁丝围成长方形,用长方形的长x(cm)表示面积S(cm2).
三、变式演练
1.在匀速运动中,若用s表示路程,v表示速度,t表示时间,那么对于S=vt,下列说法正确的是( )
A.s,v,t三个都是变量、
B.s与v是变量,t是常量,
C.v、t是变量,s是常量,
D.s与t是变量,v是常量.
2.小华在400米一圈的跑道上训练,他跑一圈所用的时间t(秒)与他跑步的速度v(米/秒)关系式为 ,其中 是常量, 是变量.?
四、达标检测
1.在圆的周长公式C=2πr中,常量是 ,变量是 .?
2.如图,△ABC的边长不变,BC边上的高AH的长为x在变化,若BC的长为8,则△ABC的面积y与x之间的关系式为 ,其中常量是 ,变量是 .?
3.小明用40元钱购买5元/件的某种商品,则他剩余的钱y(元)与购买这些商品的件数x(件)之间的解析式为 ,其中常量是 ,变量是 .?
4.某种饮水机盛满20升水,打开阀门每分钟可流出0.2升水,饮水机中剩余水量y(升)与放水时间x(分)之间的解析式.
5.拖拉机开始工作时,油箱中有油40升,如果每小时用油4升,求油箱中剩余油量y(升)与工作时间x(时)之间的函数关系;
参考答案
一、合作探究
问题:坡长为208米,变量:s,t,常量是:10,2.
二、跟踪练习
1.s=1 000-15t;常量:1 000,-15;变量:s,t.
2.s=10x-x2;常量:10,-1;变量:s,x.
三、变式演练
1.D
2.t=,常量:400,变量:v,t.
四、达标检测
1.常量是:2π,变量是C,r.
2.y=4x;常量是4,变量是x,y.
3.关系式为y=40-5x,其中常量是40,-5,变量是x,y.
4.y=20-0.2x
5.y=40-4x
19.1.1 变量与函数(第2课时)
学习目标
1.数学抽象目标:经过回顾思考认识变量中的自变量与函数.
2.逻辑推理目标:进一步理解掌握确定函数关系式.(重点)
3.数学运算目标:会确定自变量取值范围.(难点)
学习过程
一、合作探究
下列式子中的y是x的函数吗?如果是,请讨论自变量x的取值范围.并求出当x=4时的函数值.
(1)y=2x+5 (2)y=1+ (3)y=
二、变式演练
已知水池中有800立方米的水,每小时抽50立方米.
(1)写出剩余水的体积Q立方米与时间t(时)之间的函数解析式.
(2)写出自变量t的取值范围.
(3)10小时后,池中还有多少水?
(4)几小时后,池中还有100立方米的水?
三、达标检测
1.校园里栽下一棵小树高1.8米,以后每年长0.3米,则n年后的树高L与年数n之间的函数解析式为 .?
2.已知2x-3y=1,若把y看成x的函数,则可以表示为 .?
3.△ABC中,AB=AC,设∠B=x°,∠A=y°,试写出y与x的函数解析式 ,自变量x的取值范围是 .?
4.求下列函数中自变量x的取值范围.
(1)y=3x-1 (2)y=|5-x| (3)y= (4)y=
5.一辆汽车油箱现有汽油60 L,如果不再加油,那么油箱中的油量y(L)随行驶里程x(km)的增加而减少,平均耗油量为0.2 L/km.
(1)写出表示y与x的函数解析式.
(2)指出自变量x的取值范围.
(3)汽车行驶100 km时,油箱中还有多少汽油?
参考答案
一、合作探究
(1)(2)(3)式y都是x的函数;(1)x取任意实数,(2)x≤8,③x≠-1;当x=4时的函数值(1)y=13,(2)y=3,(3)y=.
二、变式演练
(1)Q=800-50t (2)t≤16 (3)300 (4)14
三、达标检测
1.L=0.3n+1.8
2.y=x-
3.y=180-2x,04.(1)x取任意实数,(2)x取任意实数,(3)x≠-3,
(4)x≥3
5.(1)y=-0.2x+60
(2)x≤300
(3)40 L
2
19.1.2 函数的图象(第1课时)
学习目标
1.掌握函数图象的概念.(重点)
2.学会观察,分析函数图象信息,提高识图能力.(难点)
学习过程
一、合作探究
1.正方形的边长x与面积S的函数解析式为 ;在这个函数中,自变量是 ,它的取值范围是 , 是 的函数,请根据这个函数解析式完成下表:?
x 0 0.5 1 2 3 ……
S ……
思考与探究:如果把自变量x的值当作横坐标,函数S的值作为纵坐标,组成一对有序实数对(x,S),这样的实数对有多少对?请在直角坐标系中描出这些点,你有什么发现?
2.一般地,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的 ,那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的 .?
3.画函数图象的一般步骤是: 、 、 .?
4.在坐标平面内,若点P(x,y)向右上方移动,则y随x的增大而 ;若点P(x,y)向右下方移动,则y随x的增大而 .?
二、跟踪练习
1.打开某洗衣机开关(洗衣机内无水),在洗衣时,洗衣机经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程,其中进水、清洗、排水时洗衣机内的水量y升与时间x分钟之间满足某种函数关系,其函数图象大致为( )
2.当a= 时,点(a,1)在函数y=-3x-5的图象上.?
三、变式演练
1.如图,在长方形ABCD中,AB=2,BC=1,动点P从点B出发,沿路线B→C→D做匀速运动,那么△ABP的面积S与点P运动的路程x之间的函数图象大致是( ).
2.为参加赣州市撤地设市十周年庆祝大会文艺汇演,上犹合唱队分两组从同一条路前往赣州.甲组乘坐大客车,乙组乘坐小轿车.已知甲组比乙组先出发,汽车行驶的路程s(千米)和行驶时间t(分)之间的函数关系如图所示,
给出下列说法:①上犹到赣州的路程为55千米;②甲组在途中停留了5分钟;③甲、乙两组同时到达赣州;④相遇后,乙组的速度小于甲组的速度.根据图象信息,以上说法正确的有 .?
四、达标检测
(一)选择题
1.函数y=3x+1的图象一定经过( )
A.(2,7) B.(4,10) C.(3,5) D.(-2,3)
2.一支蜡烛长20 cm,若点燃后每小时燃烧5 cm,则燃烧剩余的长度h(cm)与燃烧时间t(时)之间的函数关系的图象大致为(如图所示)( )
3.一辆客车从甲站出发去乙站,中途曾停车休息了一段时间,如果用横轴表示时间t,纵轴表示客车行驶的路程s,如图所示,下列四个图象能较好地反映s与t之间的函数关系的是( )
(二)填空题
4.函数y=中,自变量x的取值范围是 .?
5.若点P(a,-)在函数y=-x的图象上,则a= .?
6.如图所示的是某地区某一天的气温随时间变化的图象,请根据图象填空: 时,气温最低,最低气温为 ℃,当天最高气温为 ℃,这一天的温差为 ℃,从 时至 时,气温低于0℃,从 时至 时,气温随时间的推移而上升.?
7.如图所示的是某图书出租店图书的租金y(元)与出租的天数x(天)之间的函数图象,两天后,每过一天租金增加 元.?
(三)解答题
8.如图所示的是某水库的水位高度随月份变化的图象,请根据图象回答下列问题:
(1)5月份、10月份的水位各是多少米?
(2)最高水位和最低水位各是多少米?在几月份?
(3)水位是100米时,是几月份?
9.如图所示的是亮亮今天体温的变化情况的图象,你能想象出亮亮这一天的身体状况吗?
参考答案
一、合作探究
1.S=x2,x,x≥0,y,x
x 0 0.5 1 2 3 …
S 0 0.25 1 4 9 …
2.横坐标、纵坐标、图象
3.列表、描点、连线
4.增大、减小
二、跟踪练习
1.D 2.-2
三、变式演练
1.B 2.①②
四、达标检测
1.A 2.C 3.D
4.x≠1 5.7
6.4,-2,10,12,2,6,4,14 7.0.5
8.(1)120米 140米.
(2)8月份水位最高,最高水位是160米;1月份水为最低,最低水位是80米.
(3)3月份和12月份
9.0时至12时亮亮体温上升,12时体温最高达到38 ℃,24时体温下降为正常体温(答案不唯一)
19.1.2 函数的图象(第2课时)
学习目标
1.知道函数的三种表示方法;(重点)
2.能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系;(难点)
3.结合对函数关系的分析,尝试对变量的变化规律进行总结归纳.
学习过程
一、合作探究
1.通过前面的学习,我们已经知道写出函数的解析式,或者列表格,或者画函数图象,都可以表示具体的函数关系,这三种表示函数的方法分别称为 法、 法和 法.你认为三种表示函数的方法各有什么优点??
2.用列表法与解析式法表示n边形的内角和m(单位:度)关于边数n的函数.
3.用解析式法与图象法表示等边三角形的周长l关于边长a的函数.
二、跟踪练习
声音在空气中传播的速度和气温间有如下关系:
气温(℃) 0 5 10 15 20
声速(m/s) 331 334 337 340 343
(1)上表反映了 与 之间的关系,其中 是自变量, 是气温的函数;?
(2)若用T(℃)表示气温,v(m/s)表示声速,则随着T的增大,v将发生怎样的变化?
(3)从表中数据的变化,你发现了什么规律?写出v与T之间的函数解析式;
(4)根据你发现的规律,回答问题.
在30 ℃发生闪电的夏夜,小明在看到闪电6 s后听到雷声,那么发生打雷的地方距小明大约有多远?
三、变式演练
某礼堂共有25排座位,第一排有20个座位,后面每一排都比前一排多1个座位,写出每排的座位数m与这排的排数n的函数解析式并写出自变量n的取值范围.
在上题中,在其他条件不变的情况下,请探究下列问题:
(1)当后面每一排都比前一排多2个座位时,则每排的座位数m与这排的排数n的函数解析式是 (1≤n≤25且n是整数);?
(2)当后面每一排都比前一排多3个座位、4个座位时,则每排的座位数m与这排的排数n的函数解析式分别是 , (1≤n≤25且n是整数);?
(3)某礼堂共有p排座位,第一排有a个座位,后面每一排都比前一排多b个座位,试写出每排的座位数m与这排的排数n的函数解析式,并指出自变量n的取值范围.
四、达标检测
1.由于干旱,某水库的蓄水量随时间的增加而直线下降.若该水库的蓄水量V(万立方米)与干旱的时间t(天)的关系如图,则下列说法正确的是 ( )
A.干旱开始后,蓄水量每天减少20万立方米
B.干旱开始后,蓄水量每天增加20万立方米
C.干旱开始时,蓄水量为200万立方米
D.干旱第50天时,蓄水量为1 200万立方米
2.在某次实验中,测得两个变量m与v之间的4组对应数据如下表,则m与v之间的关系最接近于下列各解析式中的( )
m 1 2 3 4
v 0.01 2.9 8.03 15.1
A.v=2m-2 B.v=m2-1
C.v=3m-3 D.v=m+1
3.校园里栽下一棵1.8米高的小树,以后每年生长0.3米,则n年后的树高L与年数n之间的函数解析式是 .?
4.某型号汽油的数量与相应金额的关系如图,那么这种汽油的单价是每升 元.?
5.下表是丽丽往姥姥家打长途电话的几次收费记录:
时间(分) 1 2 3 4 5 6 7
电话费(元) 0.6 1.2 1.8 2.4 3.0 3.6 4.2
(1)如果用x表示时间,y表示电话费,上表反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是函数,请用式子表示它们的关系;
(2)随x的变化,y的变化趋势是什么?
(3)丽丽打了5分钟电话,那么电话费需付多少元?
(4)你能帮丽丽预测一下,如果打10分钟的电话,需付多少元话费?
6.小李师傅驾车到某地办事,汽车出发前油箱中有油50升,行驶若干小时后,途中在加油站加油若干升,油箱中剩余油量y(升)与行驶时间t(小时)之间的关系如图.
(1)请问汽车行驶多少小时后加油,中途加油多少升?
(2)求加油前油箱剩余油量y与行驶时间t的函数解析式;
(3)已知加油前后汽车都以70千米/时的速度匀速行驶,如果加油站距目的地210千米,要到达目的地,问油箱中的油是否够用?请说明理由.
参考答案
一、合作探究
1.列表法、解析式法、图象法
2.列表法:
n 3 4 5 6 7 8 ……
m 180 360 540 720 900 1 080 ……
解析式法:m=180(n-2)
3.解析式法:l=3a;图象法:略
二、跟踪练习
(1)声速;气温;气温;声速.
(2)v也增大
(3)气温每升高5 ℃,声速增加3 m/s,即气温每升高1 ℃,声速增加 m/s.
∴v=331+T.
(4)当T=30 ℃时,v=331+×30=331+18=349(m/s).349×6=2 094(m).
答:发生打雷的地方距小明大约有2 094 m.
三、变式演练
m=n+19,(1≤n≤20且n是整数)
(1)m=2n+18;(2)m=3n+17,m=4n+16;(3)m=bn+a-b(1≤n≤p且n是整数)
四、达标检测
1.A
2.B
3.L=1.8+0.3n
4.5.09
5.解:(1)电话费与时间之间的关系,时间x是自变量,y是x的函数,y=0.6x
(2)y随x的变大而变大,y随x的变小而变小.
(3)3.0元 (4)6.0元
6.解:(1)3小时,31升 (2)因为汽车出发前油箱有油50升,汽车每小时用油12升,所以y=-12t+50(0≤t≤3) (3)汽车要准备油210÷70×12=36(升),因为45升>36升,所以油箱中的油够用
5
19.2.1 正比例函数
学习目标
1.理解正比例函数的概念.
2.会利用概念解决问题.
学习过程
一、合作探究
1.一列火车以110 km/h的速度匀速前进,那么它行驶的路程s(km)随行驶时间t(h)变化的函数解析式为 ;此函数是 函数.?
2.下列说法正确的打“√”,错误的打“×”
(1)若y=kx,则y是x的正比例函数( )
(2)若y=2x2,则y是x的正比例函数( )
(3)若y=2(x-1)+2,则y是x的正比例函数( )
二、跟踪练习
1.下列函数关系中y是x正比例函数的是 .?
①xy=3 ②y= ③y=kx ④y=-5x ⑤y=x2 ⑥=1
2.分别指出上题中正比例函数的k值.
三、变式演练
1.如果y=(k-2)x-3,是y关于x的正比例函数,则k= .?
2.已知y与x成正比例,当x=-3时,y=6,则k= .?
四、达标检测
1.下列函数表达式中,y是x的正比例函数的是( )
A.y=-2x2 B.y=
C.y= D.y=x-2
2.若y=x+2-b是正比例函数,则b的值是( )
A.0 B.-2
C.2 D.-0.5
3.若函数y=(m-3)x|m|-2是正比例函数,则m值为 ( )
A.3 B.-3
C.±3 D.不能确定
4.若函数y=(m+1)x+m2-1是正比例函数,则m的值为 .?
5.已知y=(k-1)x+k2-1是正比例函数,则k= .?
6.如果y=(a-1)x,是y关于x的正比例函数,则a满足 .?
7.如果y=bxb-1,是y关于x的正比例函数,则b= .?
8.如果y=3x+m-4,是y关于x的正比例函数,则m= .?
9.若y关于x成正比例函数,当x=2时,y=-6.
(1)求出y与x的关系式;
(2)当x=9时,求出对应的函数值y.
参考答案
一、合作探究
1.s=110 t 正比例
2.(1)× (2)× (3)√
二、跟踪练习
1.②④⑥
2.k值分别是:,-5,1.
三、变式演练
1.-2 2.-2
四、达标检测
1.B 2.C 3.B 4.1
5.-1 6.a≠1 7.b=2 8.m=4
9.解:(1)y=-3x; (2)y=-27.
19.2.1 正比例函数(第2课时)
学习目标
1.理解正比例函数的概念、正比例函数的性质.
2.并根据正比例函数的性质解决实际问题.
学习过程
一、跟踪练习
1.对于函数y=-x,下列说法,不正确的是( )
A.经过点(0,0)
B.过点(1,-0.5)
C.因为k=-,所以y随x的增大而增大
D.经过二、四象限
2.已知正比例函数y=(1-2m)x的图象经过第二,四象限,则m的取值范围为( )
A.m> B.m< C.m<0 D.m>0
3.已知直线y=(2-3m)x经过点A(x1,y1),B(x2,y2),当x1y2,则m的取值范围为 .?
二、变式演练
1.已知正比例函数y=(m-1)的图象在第二、第四象限,则m的值为 .?
2.正比例函数y=(m-2)xm的图象的经过第 象限,y随着x的增大而 .?
3.如图所示,在同一直角坐标系中,一次函数y=k1x,y=k2x,y=k3x,y=k4x的图象分别为l1,l2,l3,l4,则下列关系中正确的是( )
A.k1B.k2C.k1D.k2三、达标检测
1.已知正比例函数y=kx(k≠0)的图象如图所示,则在下列选项中k值可能是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.在直角坐标系中,既是正比例函数y=kx,又是y的值随x的增大而减小的图象是( )
3.若p1(x1,y1),p2(x2,y2)是正比例函数y=-6x的图象上的两点,且x14.函数y=-7x的图象在第 象限内,经过点(1, ),y随x的增大而 .?
5.已知:如图,正比例函数的图象经过点P和点Q(-m,m+3),求m的值.
参考答案
【参考答案】
一、跟踪练习
1.C 2.A 3.m>
二、变式演练
1.-2 2.二、四 减小
3.B
三、达标检测
1.B 2.C 3.>
4.二、四 -7 减小
5.解:设正比例函数的解析式为y=kx(k≠0).
∵它图象经过点P(-1,2),
∴2=-k,即k=-2.∴正比例函数的解析式为y=-2x.
又∵它图象经过点Q(-m,m+3),∴m+3=2m.
∴m=3.
2
19.2.2 一次函数(第1课时)
学习目标
1.了解一次函数解析式的特点及意义;
2.知道一次函数与正比例函数关系;
3.根据实际问题列出简单的一次函数的解析式.
学习过程
一、合作探究
如图梯形的上底长x,下底长15,高是8
(1)写出梯形的面积y与上底x的关系式,y是x的一次函数吗?
(2)当x每增加1时,y是如何变化的?
(3)当x=0时,y等于多少?
二、跟踪练习
1.下列函数中(1)y=-3x-4;(2)y=;(3)y=9x;(4)y=4x2+1;(5)y=-x;一次函数的有 ;正比例函数 .?
2.下列函数关系式中,哪些属于一次函数,其中哪些又属于正比例函数?
(1)面积为10 cm2的三角形的底a cm与这边上的高h cm;
(2)长为8 cm的长方形的周长L cm与宽b cm;
(3)食堂原有煤120吨,每天要用去5吨,x天后还剩下煤y吨;
(4)汽车每小时行40千米,行驶的路程s千米和时间t小时.
三、变式演练
某电信公司的一种通话收费标准是:不管通话时间多长,每部手机每月必须缴月租费10元,另外,每通话1分缴费0.10元.
(1)写出每月应缴费用y(元)与通话时间x(分)之间的关系是 ;?
(2)算出某用户本月通话120分钟的费用,即当x= 时,y= ;?
(3)算出某用户本月预交200元话费的通话时间,即当y= 时,x= .?
四、达标检测
1.下列函数中哪些是一次函数,哪些又是正比例函数?
(1)y=-8x
(2)y=
(3)y=5x2+6
(4)y=-0.5x-1
(5)y=3x2
(6)y=
(7)y=8x2+x(1-8x).
一次函数是 ;正比例函数是 .(填序号)?
2.当m= 时,函数y=(m-3)+1是一次函数.?
3.已知一次函数y=(k-2)x+2k+1,当k= 时,它是正比例函数;当k 时它是一次函数.?
4.一个小球由静止开始在一个斜坡向下滚动,其速度每秒增加2米/秒.
(1)求小球速度v随时间t变化的函数解析式,它是一次函数吗?
(2)求第2.5秒时小球的速度.
5.汽车油箱中原有油50升,如果行驶中每小时用油5升,(1)求油箱中的油量y(单位:升)随行驶时间x(单位:时)变化的函数解析式 ;?
(2)写出自变量x的取值范围 ;?
(3)判断y是x的一次函数吗?
参考答案
一、合作探究
(1)y=或y=4x+60,y是x的一次函数.
(2)当x每增加1时,y增加4.
(3)当x=0时,y等于60?
二、跟踪练习
1.(1)(3)(5);(3)(5).
2.(1)a=,(2)L=2b+16,(3)y=-5x+120,
(4)s=40t.
所以一次函数有:(2)L=2b+16,(3)y=-5x+120,(4)s=40t
正比例函数有:(4)s=40t.
三、变式演练
(1)y=0.1x+10;(2)120,22;
(3)200,1 900.
四、达标检测
1.(1)(4)(6)(7);(1)(7).
2.-3
3.-,k≠2
4.(1)v=2t,是一次函数.(2)v=5
5.(1)y=-5x+50;(2)0≤x≤10;(3)y是x的一次函数.
3
19.2.2 一次函数(第2课时)
学习目标
1.了解一次函数的图象及画法;
2.理解一次函数与正比例函数以及它们图象之间的关系;
3.理解一次函数的性质.
学习过程
一、合作探究
1.函数y=5x-4的图象可由函数y=5x的图象沿y轴 ( )
A.向上平移4个单位得到
B.向下平移4个单位得到
C.向左平移4个单位得到
D.向右平移4个单位得到
2.关于直线l:y=kx+k(k≠0),下列说法不正确的是( )
A.点(0,k)在l上
B.l经过定点(-1,0)
C.当k>0时,y随x的增大而增大
D.l经过第一、二、三象限
二、跟踪练习
1.与直线y=-2x平行的直线可以是 (写出一个即可)?
2.将函数y=3x+1的图象沿y轴向上平移2个单位长度,所得直线的函数解析式为 .?
三、变式演练
若k≠0,b<0,则y=kx+b的图象可能是( )
四、达标检测
1.一次函数y=-5x+b的图象一定经过的象限是( )
A.第一、三象限 B.第二、三象限
C.第二、四象限 D.第一、四象限
2.在一次函数y=2x+3中,y随x的增大而 (填“增大”或“减小”);当0≤x≤5时,y的最小值为 .?
3.在同一坐标系中作出下列直线:(1)y=x-1;
(2)y=-2x-1;(3)y=-x+1;(4)y=-2x+1,则互相平行的直线是 .?
4.把直线y=3x向上平移6个单位长度得到的函数解析式为 .?
5.已知直线y=2x-3,(1)求直线与y轴交点到x轴的距离,(2)在直线上是否存在点A,使点A到x轴的距离是2?若存在,求出点A的坐标,若不存在,请说明理由.
参考答案
一、合作探究
1.B
2.D
二、跟踪练习
1.y=-2x+1(答案不唯一)
2.y=3x+3.
三、变式演练
B
四、达标检测
1.C
2.增大 3
3.(2)和(4)
4.y=3x+6
5.(1)因y=2x-3与y轴的交点是(0,-3),所以它到x轴的距离是3;(2)存在,此点的坐标是.
2
19.2.2 一次函数(第3课时)
学习目标
1.理解并掌握用待定系数法求一次函数解析式;
2.了解用两个条件来确定一次函数解析式,一个条件来确定正比例函数解析式.
学习过程
一、合作探究
1.画出函数y=x和y=3x-1的图象.
2.反思:在作这两个函数图象时,分别描了几点?是哪几点?
二、跟踪练习
已知一个正比例函数和一个一次函数,它们的图象都经过点P(-2,1),且一次函数图象与y轴交于点Q(0,3).
(1)求出这两个函数的解析式;
(2)在同一个坐标系内,分别画出这两个函数的图象.
三、变式演练
1.在平面直角坐标系中,把直线y=2x向左平移1个单位长度,平移后的直线解析式是( )
A.y=2x+1 B.y=2x-1
C.y=2x+2 D.y=2x-2
2.已知点P(-2,-4)在函数y=x+b的图象上,则b的值为 .?
3.小红驾车从甲地到乙地.设她出发第x h时距离乙地y km,图中的折线表示她在整个驾车过程中y与x之间的函数关系.
(1)已知小丽驾车中途休息了1小时,则B点的坐标为( , );?
(2)求线段AB所表示的y与x之间的函数关系式.
四、达标检测
1.已知初一(6)班的班费总共为200元,现在要为全班x个同学每人购买一个笔袋,笔袋单价为2元,则购买后剩余班费y元与班级人数x之间的函数解析式为 ( )
A.y=2x B.y=200-2x
C.y=2x-200 D.y=200+2x
2.已知直线y=kx+b(k≠0)与直线y=-x平行,且截距为5,那么这条直线的解析式为 .?
3.过点(0,-2)的直线l1:y1=kx+b(k≠0)与直线l2:y2=x+1交于点P(2,m).求点P的坐标和直线l1的解析式.
4.甲、乙两人走同一路线都从A地匀速驶向B地,如图是两人行驶路程随时间变化的图象.
(1)此变化过程中, 是自变量, 是因变量;?
(2)乙行驶了 小时刚好追上甲;?
(3)分别求出甲、乙两人s与t的解析式.
5.阅读材料:
通过一次函数的学习,小明知道:当已知直线上两个点的坐标时,可以用待定系数法,求出这个一次函数的解析式.
有这样一个问题:直线l1的表达式为y=-2x+4,若直线l2与直线l1关于y轴对称,求直线l2的解析式.
下面是小明的解题思路,请补充完整.
第一步:求出直线l1与x轴的交点A的坐标,与y轴的交点B的坐标;
第二步:在平面直角坐标系中,作出直线l1;
第三步:求点A关于y轴的对称点C的坐标;
第四步:由点B,点C的坐标,利用待定系数法,即可求出直线l2的解析式.
小明求出的直线l2的解析式是 .?
请你参考小明的解题思路,继续解决下面的问题:
(1)若直线l3与直线l1关于直线y=x对称,则直线l3的解析式是 ;?
(2)若点M(m,3)在直线l1上,将直线l1绕点M顺时针旋转90°.得到直线l4,求直线l4的解析式.
参考答案
一、合作探究
1.图略
2.描两个点,分别是(0,0),(2,1);;(0,-1)
二、跟踪练习
(1)正比例函数的解析式:y=-x;一次函数解析式:y=x+3.
(2)图略。
三、变化演练
1.C
2.-2
3.(1)(3,100)
(2)设y与x之间的函数解析式为y=kx+b.
根据题意,当x=0时,y=400;当x=3时,y=100.
所以
解得
所以,y与x之间的函数解析式为y=-100x+400.
四、达标检测
1.B
2.y=-x+5或y=-x-5
3.P(2,3),直线l1的解析式:y=x-2.
4.甲、乙两人走同一路线都从A地匀速驶向B地,如图是两人行驶路程随时间变化的图象.
(1)t,s;
(2)2;
(3)甲:s=t;乙:s=50t-200.
5.l2:y=2x+4;
(1)l3:y=-x+2.
(2)解:过M点作直线l4⊥l1,l4交y轴于点D.作MN⊥y轴于点N.
因为点M(m,3)在直线l1上,
所以-2m+4=3.
所以m=.
所以MN=,BN=1.
所以BM=.
设ND=a,则MN=,BN=1,BD=a+1,
由勾股定理得(a+1)2=a2+.
解得a=.
所以D.
设直线l4的解析式y=kx+,
把M代入得k=.
所以直线l4的解析式y=x+.
3
19.2.3 一次函数与方程、不等式(第1课时)
学习目标
1.理解一次函数与二元一次方程的关系,会用一次函数图象解二元一次方程组.(重点)
2.理解一次函数与一元一次不等式的关系,会根据一次函数的图象解决一元一次不等式的求解问题.
学习过程
一、合作探究
如图,一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点坐标为(2,0),则下列说法:
①y随x的增大而减小;②b>0;③关于x的方程kx+b=0的解为x=2.
其中说法正确的有 (把你认为说法正确的序号都填上).?
二、跟踪练习
已知函数y1=kx-2和y2=-3x+b相交于点A(2,-1).
(1)求k,b的值,在同一坐标系中画出两个函数的图象;
(2)利用图象求出:当x取何值时有:①y1(3)利用图象求出:当x取何值时有:①y1<0且y2<0;②y1>0且y2<0.
三、变化演练
1.如图,函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A(m,3),则不等式2x≥ax+4的解集为( )
A.x≥ B.x≤3 C.x≤ D.x≥3
第1题图
第2题图
2.如图为函数y=3x-b的图象,则方程3x-b=0的解与b的值分别为( )
A.x=-1,b=3 B.x=-1,b=-3
C.x=1,b=3 D.x=1,b=-3
四、达标检测
1.已知关于x的方程ax-5=7的解为x=1,则一次函数y=ax-12的图象与x轴交点的坐标为 .?
2.如图,已知直线y=ax-b,则关于x的方程ax-1=b的解x= .?
第2题图
第3题图
3.一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图,则方程kx+b=x+a的解是 .?
4.函数y1=x+1与y2=ax+b的图象如图所示,这两个函数的交点在y轴上,那么y1,y2的值都大于零时x的取值范围是 .?
5.如图,已知直线y=kx+b经过A(1,3),B(-1,-1)两点,求不等式kx+b>0的解集.
6.某市出租车计费方法如图所示,x(km)表示行驶里程,y(元)表示车费,请根据图象回答下面的问题:
(1)出租车的起步价是多少元?当x>3时,求y关于x的函数解析式.
(2)若某乘客有一次乘出租车的车费为32元,求这位乘客乘车的里程.
参考答案
一、合作探究
①②③
二、跟踪练习
(1)k=,b=5.图象略;
(2)①当x<2时,y1(3)①当4时,y1>0且y2<0.
三、变化演练
1.A 2.C
四、达标检测
1.(1,0) 2.4 3.x=3 4.-15.将点A,B的坐标代入y=kx+b,得:解得:所以函数解析式为y=2x+1,与x轴的交点为.观察图象可知不等式kx+b>0的解集是x>-.
6.(1)由图象得:出租车的起步价是8元;设当x>3时,y与x的函数解析式为y=kx+b,由函数图象,得解得:故y与x的函数解析式为y=2x+2.
(2)当y=32时,32=2x+2,x=15.
3
19.2.3 一次函数与方程、不等式(第2课时)
学习目标
1.理解一次函数与二元一次方程组的关系,会用图象法解二元一次方程组.(重点)
2.能综合应用一次函数及二元一次方程组知识解决相关实际问题.(难点)
学习过程
一、合作探究
问题1 在同一直角坐标系中作出一次函数y=x+2,y=x-3的图象.
问题2 两者的图象有何关系?
问题3 你能找出一组数适合方程x-y=2,x-y=3吗? ,这说明方程组 .?
二、跟踪练习
1.在y=kx+b中,当x=1时y=2;当x=2时y=4,则k,b的值是( )
A. B.
C. D.
2.已知方程组的解为则一次函数y=3x-3与y=-x+3的交点P的坐标是 .?
三、变化演练
1.已知一次函数y=-x+m和y=x+n的图象都经过A(-2,0),则A点可看成方程组 的解.?
2.一次函数y=3x+7的图象与y轴的交点在二元一次方程-2x+by=18上,则b= .?
四、达标检测
1.把方程x+1=4y+化为y=kx+b的形式,正确的是( )
A.y=x+1 B.y=x+
C.y=x+1 D.y=x+
2.若直线y=+n与y=mx-1相交于点(1,-2),则 ( )
A.m=,n=- B.m=,n=-1
C.m=-1,n=- D.m=-3,n=-
3.直线y=x-6与直线y=-x-的交点坐标是 ( )
A.(-8,-10) B.(0,-6)
C.(10,-1) D.以上答案均不对
4.点(2,3)在一次函数y=2x-1的 ;x=2,y=3是方程2x-y=1的 .?
5.已知是方程组的解,那么一次函数y=3-x和y=+1的交点是 .?
6.(福州中考)如图,l1,l2分别表示一种白炽灯和一种节能灯的费用y(费用=灯的售价+电费,单位:元)与照明时间x(h)的函数图象,假设两种灯的使用寿命都是2 000 h,照明效果一样.
(1)根据图象分别求出l1,l2的函数解析式.
(2)当照明时间为多少时,两种灯的费用相等?
参考答案
一、合作探究
解:问题1 图象如图所示.
问题2 y=x+2与y=x-3的图象平行.
问题3 不能.y=x+2即x-y=-2,y=x-3即x-y=3.
∵直线y=x+2与y=x-3无交点,
∴方程组无解.
提示:当两直线平行时无交点,即由两个函数解析式组成的二元一次方程组无解.
二、跟踪练习
1.B 解析:把分别代入y=kx+b,得解得
2. 解析:方程组中的两个方程分别变形即为y=3x-3与y=-x+3,故两函数的交点坐标为方程组的解,即.
三、变化演练
1.
解析:把代入y=-x+m,得0=3+m,
∴m=-3,
∴y=-x-3,即x+y=-3.
把代入y=x+n,得0=-1+n,
∴n=1,∴y=x+1,即x-y=-1.
∴A(-2,0)可看作方程组的解.
2. 解析:y=3x+7与y轴的交点的坐标为(0,7).
把x=0,y=7代入-2x+by=18,得7b=18,b=.
四、达标检测
1.B 解析:∵x+1=4y+,∴4y=x+1-,4y=x+1,y=x+.
2.C 解析:把x=1,y=-2代入y=+n得-2=+n,n=-2-,n=-.
把x=1,y=-2代入y=mx-1得-2=m-1,m=-2+1,m=-1.
3.C 解析:解方程组
∴直线y=x-6与直线y=-x-的交点为(10,-1).
4.图象上 解:当x=2时,y=2x-1=2×2-1=3,∴(2,3)在一次函数y=2x-1的图象上.
即x=2,y=3是方程2x-y=1的解.
5. 解析:因为方程组中的两个方程变形后为
所以函数y=3-x与y=+1的交点坐标就是二元一次方程组的解,即为.
6.解:(1)设l1的解析式为y1=k1x+2,由图象得17=500k1+2,解得k=0.03,
∴y1=0.03x+2(0≤x≤2 000).
设l2的解析式为y2=k2x+20,
由图象得26=500k2+20,解得k2=0.012.
∴y2=0.012x+20(0≤x≤2 000).
(2)当y1=y2时,两种灯的费用相等,
∴0.03x+2=0.012x+20,解得x=1 000.
∴当照明时间为1 000 h时,两种灯的费用相等.
2
19.3 课题学习 选择方案
学习目标
1.会用一次函数知识解决方案选择问题,能进行解决问题过程的反思,总结解决问题的方法.(重点)
2.能从不同角度思考问题,优化解决问题的方法.(难点)
学习过程
一、合作探究
某商店试销一种成本为10元的文具.经试销发现,每天销售件数y(件)是每件销售价格x(元)的一次函数,且当每件按15元的价格销售时,每天能卖出50件;当每件按20元的价格销售时,每天能卖出40件.
(1)试求y关于x的函数解析式(不用写出定义域);
(2)如果每天要通过销售该种文具获得450元的利润,那么该种文具每件的销售价格应该定为多少元?(不考虑其他因素)
二、跟踪练习
某校运动会需购买A,B两种奖品.若购买A种奖品3件和B种奖品2件,共需60元;若购买A种奖品5件和B种奖品3件,共需95元.
(1)求A,B两种奖品单价各是多少元?
(2)学校计划购买A,B两种奖品共100件,购买费用不超过1 150元,且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍.设购买A种奖品m件,购买费用为W元,写出W(元)与m(件)之间的函数解析式,求出自变量m的取值范围,并确定最少费用W的值.
三、变化演练
某公司市场营销部的某营销员的个人月收入与该营销员每月的销售量成一次函数关系,其图象如图所示.根据图象提供的信息,解答下列问题:
(1)求营销员的个人月收入y元与该营销员每月的销售量x万件(x≥0)之间的函数解析式;
(2)若两个月内该营销员的销售量从2万件猛增到5万件,月收入两个月大幅度增长,且连续两个月的月收入的增长率是相同的,试求这个增长率(≈1.414,保留到百分位);
四、达标检测
1.小敏从A地出发向B地行走,同时小聪从B地出发向A地行走,如图所示,相交于点P的两条线段l1,l2分别表示小敏、小聪离B地距离y km与已用时间x h之间的关系,则小敏、小聪行走速度分别是( )
A.3 km/h和4 km/h B.3 km/h和3 km/h
C.4 km/h和4 km/h D.4 km/h和3 km/h
2.直线y=k1x+b1(k1>0)与y=k2x+b2(k2<0)相交于点(-2,0),且两直线与y轴围城的三角形面积为4,那么b1-b2等于 .?
第1题图
第2题图
3.如图1所示,在A,B两地之间有汽车站C站,客车由A地驶往C站,货车由B地驶往A地.两车同时出发,匀速行驶.图2是客车、货车离C站的路程y1,y2(千米)与行驶时间x(小时)之间的函数关系图象.
(1)填空:A,B两地相距 千米;?
(2)求两小时后,货车离C站的路程y2与行驶时间x之间的函数解析式;
(3)客、货两车何时相遇?
图1
图2
4.已知某服装厂现有A种布料70米,B种布料52米,现计划用这两种布料生产M,N两种型号的时装共80套.已知做一套M型号的时装需用A种布料1.1米,B种布料0.4米,可获利50元;做一套N型号的时装需用A种布料0.6米,B种布料0.9米,可获利45元.设生产M型号的时装套数为x,用这批布料生产两种型号的时装所获得的总利润为y元.
(1)求y(元)与x(套)之间的函数解析式,并求出自变量的取值范围.
(2)当生产M型号的时装多少套时,能使该厂所获利润最大?最大利润是多少?
参考答案
一、合作探究
解:(1)由题意,知:当x=15时,y=50;当x=20时,y=40
设所求一次函数解析式为y=kx+b.
由题意得解得
∴所求的y关于x的函数解析式为y=-2x+80.
(2)由题意,可得:(x-10)(-2x+80)=450,
解得:x1=x2=25.
答:该种文具每件的销售价格应该定为25元.
二、跟踪练习
解:(1)设A,B两种奖品单价分别为x元、y元,由题意,得
解得:答:A,B两种奖品单价分别为10元、15元.
(2)由题意,得W=10m+15(100-m)=10m+1 500-15m=1 500-5m,
由解得:70≤m≤75.由一次函数W=1 500-5m可知,W随m增大而减小,
∴当m=75时,W最小,最小为W=1 500-5×75=1 125.
答:当购买A种奖品75件,B种奖品25件时,费用W最小,最小为1 125元.
三、变化演练
解:(1)设函数解析式为y=kx+b,
将(0,800)、(2,2 400)代入得到:
解得
∴函数解析式为y=800x+800.
(2)当x=5时,y=800×5+800=4 800,
设这个增长率为a,由题意有2 400(1+a)2=4 800,
解得a1=-1+,a2=-1-(舍),
a=-1+≈0.414≈0.41=41%,
∴这个增长率为41%.
四、达标检测
1.D 解析:小敏行走的速度为4.8÷(2.8-1.6)=4(km/h),小聪行走的速度为4.8÷1.6=3(km/h).故选D.
2.4 解析:如图,直线y=k1x+b1(k1>0)与y轴交于B点,则OB=b1,直线y=k2x+b2(k2<0)与y轴交于C,则OC=-b2,∵△ABC的面积为4,∴OA·OB+OA·OC=4,∴×2b1+×2(-b2)=4,解得:b1-b2=4.故答案为4.
3.解:(1)填空:A,B两地相距420千米;
(2)由图可知货车的速度为60÷2=30千米/小时,货车到达A地一共需要2+360÷30=14小时,
设y2=kx+b,代入点(2,0),(14,360)得解得所以y2=30x-60;
(3)设y1=mx+n,代入点(6,0),(0,360)得解得所以y1=-60x+360.
由y1=y2得30x-60=-60x+360解得x=.
答:客、货两车经过小时相遇.
4.解:(1)y=50x+45(80-x)=5x+3 600.
∵两种型号的时装共用A种布料1.1x+0.6(80-x)≤70,
共用B种布料0.4x+0.9(80-x)≤52,解得40≤x≤44.
而x为整数,∴x=40,41,42,43,44,∴y与x的函数解析式是y=5x+3 600(x=40,41,42,43,44).
(2)∵y随x的增大而增大,∴当x=44时,y最大=3 820,
即生产M型号的时装44套时,该厂所获利润最大,最大利润是3 820元.
3
本章小结
学习目标
1.能根据具体问题中的数量关系和变化规律体会一次函数的意义,并根据已知条件确定一次函数的解析式.(难点)
2.会画一次函数图象,根据一次函数图象和解析式理解其性质.(重点)
学习过程
一、合作探究
1.下列各曲线中不能表示y是x的函数是( )
2.下列函数中,是一次函数的有( )个.
①y=x;②y=;③y=+6;④y=;⑤y=3x2.
A.1 B.2 C.3 D.4
二、跟踪练习
1.已知正比例函数y=kx的图象经过第一、三象限,则一次函数y=kx-k的图象可能是图中的( )
2.根据如图的程序,计算当输入x=3时,输出的结果y= .?
三、变化演练
为了加强公民的节水意识,合理利用水资源,各地采用价格调控手段达到节约用水的目的,某市规定如下用水收费标准:每户每月的用水量不超过6立方米时,水费按每立方米a元收费,超过6立方米时,不超过的部分每立方米仍按a元收费,超过的部分每立方米按c元收费,该市某户今年9、10月份的用水量和所交水费如下表所示:
月份 用水量(m3) 收费(元)
9 5 7.5
10 9 27
设某户每月用水量x(立方米),应交水费y(元).
(1)求a,c的值;
(2)写出y与x的函数解析式;
(3)若该户11月份用水量为8立方米,求该户11月份水费是多少元?
四、达标检测
1.点P1(x1,y1),点P2(x2,y2)是一次函数y=-6x+3图象上的两个点,且x1A.y1>y2 B.y1>y2>0
C.y12.如果通过平移直线y=得到y=的图象,那么直线y=必须( )
A.向上平移5个单位 B.向下平移5个单位
C.向上平移个单位 D.向下平移个单位
3.一次函数y=-4x+12的图象与x轴交点坐标是 ,与y轴交点坐标是 ,图象与坐标轴所围成的三角形面积是 .?
4.从地面到高空11千米之间,气温随高度的升高而下降,每升高1千米,气温下降6 ℃.已知某处地面气温为23 ℃,设该处离地面x千米(05.画出函数y=2x+6的图象,利用图象:
(1)求方程2x+6=0的解;
(2)求不等式2x+6>0的解;
(3)若-1≤y≤3,求x的取值范围.
6.
某市推出了电脑上网包月制,每月收取费用y(元)与上网时间x(小时)之间的函数解析式如图所示,其中OA是线段,AC是射线.
(1)当x≥30时,求y与x之间的函数解析式;
(2)若小李4月份上网时间为20小时,他应付多少元上网费用;
(3)若小李5月份上网费用为75元,则他在5月份的上网时间是多少?
7.某公司到果园基地购买某种优质水果,慰问医务工作者,果园基地对购买量在3 000千克以上(含3 000千克)的有两种销售方案,甲方案:每千克9元,由基地送货上门.乙方案:每千克8元,由顾客自己租车运回,已知该公司租车从基地到公司的运输费为5 000元.
(1)分别写出该公司两种购买方案的付款y(元)与所购买的水果质量x(千克)之间的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;
(2)依据购买量判断,选择哪种购买方案付款最少?并说明理由.
参考答案
一、合作探究
1.B 2.B
二、跟踪练习
1.D 2.2
三、变化演练
(1)由题意5a=7.5,解得a=1.5;
6a+(9-6)c=27,解得c=6.
(2)依照题意,
当x≤6时,y=1.5x;
当x>6时,y=6×1.5+6×(x-6)=9+6x-36=6x-27(x>6),
(3)将x=8代入y=6x-27(x>6)得y=6×8-27=21.
四、达标检测
1.A 2.C
3.(3,0) (0,12) 18
4.y=-6x+23
5.图略(1)x=-3;(2)x>-3;(3)-≤x≤-.
6.(1)设yAC=kx+b,
解得:
∴y=3x-30.
(2)费用为20×(60÷30)=40元.
答:他应付40元上网费用.
(3)由题意得:3x-30=75,
解得x=35.
答:他在5月份的上网时间是35小时.
7.解:(1)y甲=9x(x≥3 000),y乙=8x+5 000(x≥3 000).
(2)当y甲=y乙时,即9x=8x+5 000,解得x=5 000,
∴当x=5 000千克时,两种付款一样.
当y甲∴当3 000≤x<5 000时,选择甲种方案付款少.
当y甲>y乙时,有x>5 000,∴当x>5 000千克时,选择乙种方案付款少.
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