【鲁教版八下精美学案】9.8 相似三角形的性质（知识构建+考点归纳+真题训练）
文档属性
| 名称 | 【鲁教版八下精美学案】9.8 相似三角形的性质（知识构建+考点归纳+真题训练） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-05-16 14:48:58 | ||
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文档简介
第九章 图形的相似
第8节 相似三角形的性质
知识梳理
知识点1 相似三角形的性质 一
相似三角形的对应角相等，相似三角形的对应边成比例。
相似三角形的对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比。
如图所示，若△ABC∽△A'B'C'，且，AD，AE，AF分别是△ABC的高、角平分线、中线A'D'，A'E'，A'F'分别是△A'B'C'的高、角平分线、中线，则。
知识点2 相似三角形的性质 二
相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
如图所示，若△ABC∽△A'B'C'，，那么，。
注意 要防止出现“面积比等于相似比”的错误，在由相似比求面积比时，面积比＝相似比的平方；反之，在由面积比求相似比时，相似比＝。
知识点3 相似多边形的性质
相似多边形除了具有对应角相等、对应边成比例的性质外，还有如下性质:
（1）相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
（2）相似多边形中，对应线段的比等于相似比。
（3）相似多边形中，连接对角线所得的对应的三角形相似，其相似比等于原相似多边形的相似比。
考点突破
考点1: 利用相似三角形的性质求线段
典例1 有一块三角形的余料ABC，要把它加工成矩形的零件，已知，BC＝12cm，高AD＝8cm，矩形EFGH的边EF在BC边上，G，H分别在AC，AB上。
（1）若EF＝HE，求EF的长；
（2）问EF长为多少时，矩形EFGH的面积是三角形ABC的面积的。
思路导析:（1）先由BC＝12cm，高AD＝8cm，HE＝y cm、EF＝x cm可知，AK＝AD－y＝8－y，HG＝EF＝x，再根据HG∥BC可知，△AHG∽△ABC，由相似三角形的对应边成比例即可得出y与x的函数关系式，根据x＝y即可得出结论；（2）根据（1）中的关系式用x表示出y，利用矩形及三角形的面积公式即可得出结论。
解:（1）∵BC＝10 cm，高AD＝8 cm，HE的长为y cm，EF的长为x cm，四边形EFGH是矩形，
∴AK＝AD－y＝8－y，HG＝EF＝x，HG∥BC。∴△AHG∽△ABC。
∴，即。∵x＝y，∴8x＝96－12x。∴20x＝96.∴x＝4.8，即EF＝4.8cm；
（2）∵由（1）可知，，∴y＝8－2x。∵矩形EFGH的面积是三角形ABC的面积的，∴.xy＝××12×8＝12.即（8－x）x＝12，解得x1＝6＋3，x2＝6－3，
∴当EF长为6＋3或6－3时，矩形EFGH的面积是三角形ABC的面积的。
友情提示 （1）与相似比相等的有:，在做题时，注意根据题目灵活运用。
（2）解决有关三角形的内接矩形、内接正方形的计算问题，经常利用相似三角形“对应高的比等于相似比”和“面积比等于相似比的平方”的性质，若图中没有高可以先作出高。
变式1 如图所示，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上若BC＝3，AD＝2，EF＝EH，
那么EH的长为____________。
变式2 如图所示，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC＝40cm，AD＝30cm。从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G，H分别在AC，AB上。AD与HG的交点为M。
（1）求证:；
（2）求这个矩形EFGH的周长。
考点2: 利用相似三角形的性质求周长、面积
典例2 已知两相似三角形对应角平分线的比为3:10，且大三角形的面积为400cm2。
（1）求小三角形的面积；
（2）若这两个三角形的周长差为560 cm，分别求它们的周长。
思路导析: （1）根据相似三角形的对应角平分线的比等于相似比求得相似比，再根据面积比等于相似比的平方可求得小三角形的面积；（2）根据周长比等于相似比和已知条件可求得周长。
解:（1）设小三角形的面积为S。
∵两相似三角形对应角平分线的比为3:10，∴两相似三角形的相似比为3:10，
∴。∴S = 36 。即小三角形的面积为36 cm2。
（2）由（1）可知两三角形的相似比为3:10，
设两三角形的周长分别为C小三角形和C大三角形，则C小三角形：C大三角形＝3:10，
且C大三角形一C小三角形＝560，解得C小三角形＝240cm，C大三角形＝800cm，
即小三角形的周长为240cm，大三角形的周长为800cm。
友情提示 本题主要考查相似三角形的性质，掌握对应角平分线的比等于相似比是解题的关键。
变式3 △ABC的三边长分别为5，12，13，与它相似的△DEF的最小边长为15，则△DEF的周长为_________，面积为__________。
变式4 如图所示，已知AC∥BD，AB和CD相交于点E，AC＝6，BD＝4，F是BC上一点，S△BEF：S△EFC＝2:3.
（1）求EF的长；
（2）如果△BEF的面积为4，求△ABC的面积。
考点3: 相似三角形性质和判定的综合应用
典例3 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/秒，点Q的速度是2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动。设运动时间为t秒。求:
（1）当t＝3秒时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？
（2）若△CPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式。
（3）当t为多少秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？
思路导析: （1）在Rt△CPQ中，当t＝3秒，可知CP，CQ的长，运用勾股定理可将PQ的长求出；（2）由点P，点Q的运动速度和运动时间，又知AC，BC的长，可将CP，CQ用含t的表达式求出，代入直角三角形面积公式S△CPQ＝CP×CQ求解；（3）应分两种情况:当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，根据，可将时间t求出；当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，根据，可求出时间t。
解:由题意得AP＝4t，CQ＝2t，则CP＝20－4t，
（1）当t＝3秒时，CP＝20－4t＝8cm，CQ＝2t＝ 6 cm，
由勾股定理得PQ＝＝＝10（cm）；
（2）由题意得AP＝4t，CQ＝2t，则CP＝20－4t，
因此S关于t的函数关系式是S＝×（20－4t）×2t＝20t－4t2；
（3）分两种情况:
①当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，，即，解得t＝3秒；
②当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，，即，解得t＝秒。
因此t＝3秒或t＝秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似。
友情提示 本题主要考查相似三角形性质的运用，在解第三问时应分两种情况进行求解，在解题过程应防止漏解或错解。
变式5 如图所示，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止。点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒，如果两点同时运动，那么当以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是___________。
变式6 将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B'，折痕为EF。已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B＇，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，求BF的长度。
考点4: 相似三角形在生活中的实际应用
典例4 如图所示是一个照相机成像的示意图。
（1）如果像高MN是35mm，焦距是50mm，拍摄的景物高度AB是4.9m，拍摄点离景物有多远？
（2）如果要完整的拍摄高度是2m的景物，拍摄点离景物有4m，像高不变，则相机的焦距应调整为多少？
思路导析:（1）利用相似三角形对应边上的高等于相似比即可列出比例式求解；（2）和上题一样，利用物体的高和拍摄点距离物体的距离及像高表示相机的焦距即可。
解:根据物体成像原理知:△LMN∽△LBA，∴。
（1）∵像高MN是35mm，焦距是50mm，拍摄的景物高度AB是4.9m，
∴，解得:LD＝7。∴拍摄点距离景物7米；
（2）拍摄高度是2m的景物，拍摄点离景物有4m，像高不变，
∴，解得:LC＝70，∴相机的焦距应调整为70mm。
注意 本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是根据题意得到相似三角形，并熟知相似三角形对应边上的高的比等于相似比。
变式7 相邻两根电杆都用钢索在地面上固定，如图所示，一根电杆钢索系在离地面4米处，另一根电杆钢索系在离地面6米处，则中间两根钢索相交处点P离地面（ ）
A.2.4米 B.2.8米 C.3米 D.高度不能确定
变式8 如图所示，一条河的两岸有一段是平行的，河宽36米，在河的南岸边每隔几米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆，小丽站在离南岸边24米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则每两棵树间的间隔为______米。
巩固提高
1.若△ABC∽△DEF，对应中线的比为3:2，则对应高的比为（ ）
A.3:2 B.3:5 C.9:4 D.4:9
2.已知两个相似三角形的周长为2:3，它们的面积之差为30cm2，那么它们的面积之和是（ ）
A.74 cm2 B.76 cm2 C. 78 cm2 D. 80 cm2
3.如图所示， ABCD的对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交AB于点E，∠BCD＝60°，AD＝AB，连接OE下列结论:① S ABCD＝AD·BD；②DB平分∠CDE；③AO＝DE；④S△ADE＝5S△OFE，其中正确的个数有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.如果两个相似三角形的面积的比是4:9，那么它们对应的角平分线的比是__________。
5.已知:如图所示，△ABC的面积为12，点D，E分别是边AB，AC的中点，则四边形BCED的面积为____________。
6.如图所示，一张等腰三角形纸片，底边长为18 cm，底边上的高为18 cm，现沿底边依次由下往上裁剪宽度均为3 cm的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是第____张。
7.如图所示，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1:3，则S△BDE：S四边形DECA的值为____________。
8.已知两个相似三角形的一对对应角平分线的长分别是35 cm和14 cm。
（1）已知它们的周长相差60 cm，求这两个三角形的周长；
（2）已知它们的面积相差588 cm2，求这两个三角形的面积。
9.如图所示，△ABC的边长BC＝24，高AD＝8，矩形EFGH的边FG在BC上，顶点E，H分别在AB，AC上，相邻两边EF，FG的比为1:3。
（1）求证:△AEH∽△ABC；
（2）求这个矩形EFGH的面积。
10.如图所示，已知G，H分别是 ABCD对边AD，BC上的点，直线GH分别交BA和DC的延长线于点E，F。
（1）当时，求的值；
（2）连接BD交EF于点M，求证:MG·ME＝MF·MH。
11.如图所示，D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与BA相交于点E，BC与AD相交于点F。
（1）试说明:△ABC∽△FCD；
（2）若S△ECD＝5，BC＝10，求DE的长。
12.某生活小区的居民筹集资金1600元，计划在一块上、下两底分别为10 m，20 m的梯形空地上种植花木，如图所示，AD∥BC，AC与BD相交于点M。
（1）他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花，单价为8 元/m2，当△AMD地带种满花后，共花了160元，请计算种满△BMC地带所需的费用；
（2）在（1）的条件下，若其余地带可选择种玫瑰或茉莉花，单价分别为12元/m2和10元/m2，则应选择种哪种花可以刚好用完所筹集的资金？
真题训练
1.（2018·玉林）两三角形的相似比是2:3，则其面积之比是（ ）
A.2:3 B.2:3 C.4:9 D.8:27
2.（2018·铜仁）已知△ABC∽△DEF，相似比为2:1，且△ABC的面积为16，则△DEF的面积为（ ）
A.32 B.8 C.4 D.16
3.（2018·包头）如图所示，在 ABCD中，AC是一条对角线，EF∥BC，且EF与AB相交于点E，与AC相交于点F，3AE＝2EB，连接DF。若S△AEF＝1，则S△ADF的值为____________。
4.（2018·安徽）矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8.点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为____________。
5.（2016·怀化）如图所示，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E，H分别在AB，AC上，已知BC＝40 cm， AD＝30 cm。
（1）求证:△AEH∽△ABC；
（2）求这个正方形的边长与面积。
参考答案及解析
考点突破
1.
2.解:（1）证明:∵四边形EFGH为矩形，∴EF∥GH。∴∠AHG＝∠ABC。
又∵∠HAG＝∠BAC，∴△AHG∽△ABC。∴。
（2）设HE＝x cm， MD＝HE＝x cm.
∵AD＝30 cm，∴AM＝（30－x）cm。∵HG＝2HE，∴HG＝2x cm。
由（1）知，代入得，解得x＝12，2x＝24。
∴矩形EFGH的周长为2×（12＋24）＝72cm。
90 270
4.解:（1）∵AC∥BD，∴。∵AC＝6，BD＝4，
∴。∵△BEF和△CEF同高，且S△BEF:S△CEF＝2:3，
∴，∴。∴EF∥BD。∴。∴，∴EF＝。
（2）∵AC∥BD，EF∥BD，∴EF∥AC。∴△BEF∽△ABC。
∴。∵，∴。
∵S△BEF＝4，∴。∴S△ABC＝25。
5. 3秒或4.8秒
6.解：设BF = x，则CF = 4－x，由翻折的性质得B'F = BF = x，
当△B'FC∽△ABC ，∴，即。解得。即。
当△FB'C∽△ABC，∴，即，解得x = 2。
∴BF的长度为2或。
7.A 8.5
巩固提高
1.A 2.C 3.B 4.2:3 5. 9 6. 5 7. 1:15
8.解：（1）∵这两个相似三角形的对应角平分线分别是35 cm和14 cm，
∴这两个三角形的相似比为5：2。∴这两个三角形的周长比为5：2。
∵它们的周长差60 cm，设较大的三角形的周长为5x cm，较小的三角形的周长为2x cm，
∴3x = 60，x = 20。∴5x = 5×20 = 100，2x = 2×20 = 40。
∴较大的三角形的周长为100 cm，较小的三角形的周长为40 cm。
（2）∵这两个三角形相似比为5：2，∴这两个三角形的面积比为25：4。
∵它们面积差为588 cm2，∴设较大三角形面积为25y cm2，较小三角形的面积为4y cm2。
∴（25一4）y＝588。∴y＝28。∴25y＝25×28＝700（cm2）。4y＝4×28＝112（cm2）。
∴较大三角形面积为700cm2，较小三角形面积为112cm2。
9.解:（1）证明:∵四边形EFGH是矩形，∴EH∥BC，∴∠AEH＝∠B，∠AHE＝∠C。
∴△AEH∽△ABC。
（2）设EF＝k，EH＝FG＝3k，则AK＝8－k，∵△AEH∽△ABC，
∴，即。解得k＝4。∴EF＝4，EH＝12。
∴四边形EFGH的面积＝EF?EH＝4×12＝48.
10.解:（1）∵，∴。∵ ABCD中，AD∥BC，
∴△CFH∽△DFG。∴。∴。
（2）∵ ABCD中，AD∥BC，∴，
∵ ABCD中，AB∥CD，∴，∴。
∴MG·ME＝MF·MH。
11.解:（1）∵D是BC边上的中点，DE⊥BC，∴EB＝EC，∴∠B＝∠ECB。
又∵AD＝AC，∴∠ACD＝∠ADC。∴△ABC∽△FCD。
（2）过A点作AM⊥CB，交BC于M，
由（1）知，△ABC∽△FCD，且BC＝2CD ，AD＝AC。
∴＝4，DM＝CD＝BC＝。
又∵S△FCD＝5，∴S△ABC＝20。∵S△ABC＝BC·AM，
∴AM＝。
∵DE⊥BC，AM⊥BC，且∠B＝∠B，∴△BDE∽△BMA。
∴，即。∴DE＝。
12.解:（1）四边形ABCD是梯形，AD∥BC，∴△AMD∽△CMB。∴。
∵种满△AMD地带花费160元，S△AMD = ＝20（m2），∴S△CMB＝80m2。
∴种满△BMC地带的花费为80×8＝640（元）。
（2）设△AMD，△BMC的高分别为h1，h2，梯形ABCD的高为h。
∵S△AMD＝×10h1＝20，∴h1＝4（m）。又∵，∴h2＝8（m），h＝h1＋h2＝12（m）。
∴S梯形ABCD＝（AD＋BC）?h＝×30×12＝180（m2）。
∴S△AMB＋S△DMC＝180－20－80＝80（m2）。又∵160＋640＋80×10＝1600（元），
∴应选择种植苿莉花可刚好用完所筹集的资金。
真题训练
1.C 2.C 3. 4.或3
5.解:（1）证明:四边形EFGH是正方形，∴EH∥BC。
∴∠AEH＝∠B，∠AHE＝∠C。∴△AEH∽△ABC。
（2）如图所示，设AD与EH交于点M。
∵∠EFD＝∠FEM＝∠FDM＝90o，∴四边形EFDM是矩形。
∴EF＝DM，设正方形EFGH的边长为x。
∵△AEH∽△ABC，∴，∴。∴。
∴正方形EFGH的边长为cm，面积为cm2。
第8节 相似三角形的性质
知识梳理
知识点1 相似三角形的性质 一
相似三角形的对应角相等，相似三角形的对应边成比例。
相似三角形的对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比。
如图所示，若△ABC∽△A'B'C'，且，AD，AE，AF分别是△ABC的高、角平分线、中线A'D'，A'E'，A'F'分别是△A'B'C'的高、角平分线、中线，则。
知识点2 相似三角形的性质 二
相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
如图所示，若△ABC∽△A'B'C'，，那么，。
注意 要防止出现“面积比等于相似比”的错误，在由相似比求面积比时，面积比＝相似比的平方；反之，在由面积比求相似比时，相似比＝。
知识点3 相似多边形的性质
相似多边形除了具有对应角相等、对应边成比例的性质外，还有如下性质:
（1）相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
（2）相似多边形中，对应线段的比等于相似比。
（3）相似多边形中，连接对角线所得的对应的三角形相似，其相似比等于原相似多边形的相似比。
考点突破
考点1: 利用相似三角形的性质求线段
典例1 有一块三角形的余料ABC，要把它加工成矩形的零件，已知，BC＝12cm，高AD＝8cm，矩形EFGH的边EF在BC边上，G，H分别在AC，AB上。
（1）若EF＝HE，求EF的长；
（2）问EF长为多少时，矩形EFGH的面积是三角形ABC的面积的。
思路导析:（1）先由BC＝12cm，高AD＝8cm，HE＝y cm、EF＝x cm可知，AK＝AD－y＝8－y，HG＝EF＝x，再根据HG∥BC可知，△AHG∽△ABC，由相似三角形的对应边成比例即可得出y与x的函数关系式，根据x＝y即可得出结论；（2）根据（1）中的关系式用x表示出y，利用矩形及三角形的面积公式即可得出结论。
解:（1）∵BC＝10 cm，高AD＝8 cm，HE的长为y cm，EF的长为x cm，四边形EFGH是矩形，
∴AK＝AD－y＝8－y，HG＝EF＝x，HG∥BC。∴△AHG∽△ABC。
∴，即。∵x＝y，∴8x＝96－12x。∴20x＝96.∴x＝4.8，即EF＝4.8cm；
（2）∵由（1）可知，，∴y＝8－2x。∵矩形EFGH的面积是三角形ABC的面积的，∴.xy＝××12×8＝12.即（8－x）x＝12，解得x1＝6＋3，x2＝6－3，
∴当EF长为6＋3或6－3时，矩形EFGH的面积是三角形ABC的面积的。
友情提示 （1）与相似比相等的有:，在做题时，注意根据题目灵活运用。
（2）解决有关三角形的内接矩形、内接正方形的计算问题，经常利用相似三角形“对应高的比等于相似比”和“面积比等于相似比的平方”的性质，若图中没有高可以先作出高。
变式1 如图所示，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上若BC＝3，AD＝2，EF＝EH，
那么EH的长为____________。
变式2 如图所示，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC＝40cm，AD＝30cm。从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G，H分别在AC，AB上。AD与HG的交点为M。
（1）求证:；
（2）求这个矩形EFGH的周长。
考点2: 利用相似三角形的性质求周长、面积
典例2 已知两相似三角形对应角平分线的比为3:10，且大三角形的面积为400cm2。
（1）求小三角形的面积；
（2）若这两个三角形的周长差为560 cm，分别求它们的周长。
思路导析: （1）根据相似三角形的对应角平分线的比等于相似比求得相似比，再根据面积比等于相似比的平方可求得小三角形的面积；（2）根据周长比等于相似比和已知条件可求得周长。
解:（1）设小三角形的面积为S。
∵两相似三角形对应角平分线的比为3:10，∴两相似三角形的相似比为3:10，
∴。∴S = 36 。即小三角形的面积为36 cm2。
（2）由（1）可知两三角形的相似比为3:10，
设两三角形的周长分别为C小三角形和C大三角形，则C小三角形：C大三角形＝3:10，
且C大三角形一C小三角形＝560，解得C小三角形＝240cm，C大三角形＝800cm，
即小三角形的周长为240cm，大三角形的周长为800cm。
友情提示 本题主要考查相似三角形的性质，掌握对应角平分线的比等于相似比是解题的关键。
变式3 △ABC的三边长分别为5，12，13，与它相似的△DEF的最小边长为15，则△DEF的周长为_________，面积为__________。
变式4 如图所示，已知AC∥BD，AB和CD相交于点E，AC＝6，BD＝4，F是BC上一点，S△BEF：S△EFC＝2:3.
（1）求EF的长；
（2）如果△BEF的面积为4，求△ABC的面积。
考点3: 相似三角形性质和判定的综合应用
典例3 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/秒，点Q的速度是2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动。设运动时间为t秒。求:
（1）当t＝3秒时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？
（2）若△CPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式。
（3）当t为多少秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？
思路导析: （1）在Rt△CPQ中，当t＝3秒，可知CP，CQ的长，运用勾股定理可将PQ的长求出；（2）由点P，点Q的运动速度和运动时间，又知AC，BC的长，可将CP，CQ用含t的表达式求出，代入直角三角形面积公式S△CPQ＝CP×CQ求解；（3）应分两种情况:当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，根据，可将时间t求出；当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，根据，可求出时间t。
解:由题意得AP＝4t，CQ＝2t，则CP＝20－4t，
（1）当t＝3秒时，CP＝20－4t＝8cm，CQ＝2t＝ 6 cm，
由勾股定理得PQ＝＝＝10（cm）；
（2）由题意得AP＝4t，CQ＝2t，则CP＝20－4t，
因此S关于t的函数关系式是S＝×（20－4t）×2t＝20t－4t2；
（3）分两种情况:
①当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，，即，解得t＝3秒；
②当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，，即，解得t＝秒。
因此t＝3秒或t＝秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似。
友情提示 本题主要考查相似三角形性质的运用，在解第三问时应分两种情况进行求解，在解题过程应防止漏解或错解。
变式5 如图所示，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止。点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒，如果两点同时运动，那么当以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是___________。
变式6 将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B'，折痕为EF。已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B＇，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，求BF的长度。
考点4: 相似三角形在生活中的实际应用
典例4 如图所示是一个照相机成像的示意图。
（1）如果像高MN是35mm，焦距是50mm，拍摄的景物高度AB是4.9m，拍摄点离景物有多远？
（2）如果要完整的拍摄高度是2m的景物，拍摄点离景物有4m，像高不变，则相机的焦距应调整为多少？
思路导析:（1）利用相似三角形对应边上的高等于相似比即可列出比例式求解；（2）和上题一样，利用物体的高和拍摄点距离物体的距离及像高表示相机的焦距即可。
解:根据物体成像原理知:△LMN∽△LBA，∴。
（1）∵像高MN是35mm，焦距是50mm，拍摄的景物高度AB是4.9m，
∴，解得:LD＝7。∴拍摄点距离景物7米；
（2）拍摄高度是2m的景物，拍摄点离景物有4m，像高不变，
∴，解得:LC＝70，∴相机的焦距应调整为70mm。
注意 本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是根据题意得到相似三角形，并熟知相似三角形对应边上的高的比等于相似比。
变式7 相邻两根电杆都用钢索在地面上固定，如图所示，一根电杆钢索系在离地面4米处，另一根电杆钢索系在离地面6米处，则中间两根钢索相交处点P离地面（ ）
A.2.4米 B.2.8米 C.3米 D.高度不能确定
变式8 如图所示，一条河的两岸有一段是平行的，河宽36米，在河的南岸边每隔几米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆，小丽站在离南岸边24米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则每两棵树间的间隔为______米。
巩固提高
1.若△ABC∽△DEF，对应中线的比为3:2，则对应高的比为（ ）
A.3:2 B.3:5 C.9:4 D.4:9
2.已知两个相似三角形的周长为2:3，它们的面积之差为30cm2，那么它们的面积之和是（ ）
A.74 cm2 B.76 cm2 C. 78 cm2 D. 80 cm2
3.如图所示， ABCD的对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交AB于点E，∠BCD＝60°，AD＝AB，连接OE下列结论:① S ABCD＝AD·BD；②DB平分∠CDE；③AO＝DE；④S△ADE＝5S△OFE，其中正确的个数有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.如果两个相似三角形的面积的比是4:9，那么它们对应的角平分线的比是__________。
5.已知:如图所示，△ABC的面积为12，点D，E分别是边AB，AC的中点，则四边形BCED的面积为____________。
6.如图所示，一张等腰三角形纸片，底边长为18 cm，底边上的高为18 cm，现沿底边依次由下往上裁剪宽度均为3 cm的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是第____张。
7.如图所示，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1:3，则S△BDE：S四边形DECA的值为____________。
8.已知两个相似三角形的一对对应角平分线的长分别是35 cm和14 cm。
（1）已知它们的周长相差60 cm，求这两个三角形的周长；
（2）已知它们的面积相差588 cm2，求这两个三角形的面积。
9.如图所示，△ABC的边长BC＝24，高AD＝8，矩形EFGH的边FG在BC上，顶点E，H分别在AB，AC上，相邻两边EF，FG的比为1:3。
（1）求证:△AEH∽△ABC；
（2）求这个矩形EFGH的面积。
10.如图所示，已知G，H分别是 ABCD对边AD，BC上的点，直线GH分别交BA和DC的延长线于点E，F。
（1）当时，求的值；
（2）连接BD交EF于点M，求证:MG·ME＝MF·MH。
11.如图所示，D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与BA相交于点E，BC与AD相交于点F。
（1）试说明:△ABC∽△FCD；
（2）若S△ECD＝5，BC＝10，求DE的长。
12.某生活小区的居民筹集资金1600元，计划在一块上、下两底分别为10 m，20 m的梯形空地上种植花木，如图所示，AD∥BC，AC与BD相交于点M。
（1）他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花，单价为8 元/m2，当△AMD地带种满花后，共花了160元，请计算种满△BMC地带所需的费用；
（2）在（1）的条件下，若其余地带可选择种玫瑰或茉莉花，单价分别为12元/m2和10元/m2，则应选择种哪种花可以刚好用完所筹集的资金？
真题训练
1.（2018·玉林）两三角形的相似比是2:3，则其面积之比是（ ）
A.2:3 B.2:3 C.4:9 D.8:27
2.（2018·铜仁）已知△ABC∽△DEF，相似比为2:1，且△ABC的面积为16，则△DEF的面积为（ ）
A.32 B.8 C.4 D.16
3.（2018·包头）如图所示，在 ABCD中，AC是一条对角线，EF∥BC，且EF与AB相交于点E，与AC相交于点F，3AE＝2EB，连接DF。若S△AEF＝1，则S△ADF的值为____________。
4.（2018·安徽）矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8.点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为____________。
5.（2016·怀化）如图所示，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E，H分别在AB，AC上，已知BC＝40 cm， AD＝30 cm。
（1）求证:△AEH∽△ABC；
（2）求这个正方形的边长与面积。
参考答案及解析
考点突破
1.
2.解:（1）证明:∵四边形EFGH为矩形，∴EF∥GH。∴∠AHG＝∠ABC。
又∵∠HAG＝∠BAC，∴△AHG∽△ABC。∴。
（2）设HE＝x cm， MD＝HE＝x cm.
∵AD＝30 cm，∴AM＝（30－x）cm。∵HG＝2HE，∴HG＝2x cm。
由（1）知，代入得，解得x＝12，2x＝24。
∴矩形EFGH的周长为2×（12＋24）＝72cm。
90 270
4.解:（1）∵AC∥BD，∴。∵AC＝6，BD＝4，
∴。∵△BEF和△CEF同高，且S△BEF:S△CEF＝2:3，
∴，∴。∴EF∥BD。∴。∴，∴EF＝。
（2）∵AC∥BD，EF∥BD，∴EF∥AC。∴△BEF∽△ABC。
∴。∵，∴。
∵S△BEF＝4，∴。∴S△ABC＝25。
5. 3秒或4.8秒
6.解：设BF = x，则CF = 4－x，由翻折的性质得B'F = BF = x，
当△B'FC∽△ABC ，∴，即。解得。即。
当△FB'C∽△ABC，∴，即，解得x = 2。
∴BF的长度为2或。
7.A 8.5
巩固提高
1.A 2.C 3.B 4.2:3 5. 9 6. 5 7. 1:15
8.解：（1）∵这两个相似三角形的对应角平分线分别是35 cm和14 cm，
∴这两个三角形的相似比为5：2。∴这两个三角形的周长比为5：2。
∵它们的周长差60 cm，设较大的三角形的周长为5x cm，较小的三角形的周长为2x cm，
∴3x = 60，x = 20。∴5x = 5×20 = 100，2x = 2×20 = 40。
∴较大的三角形的周长为100 cm，较小的三角形的周长为40 cm。
（2）∵这两个三角形相似比为5：2，∴这两个三角形的面积比为25：4。
∵它们面积差为588 cm2，∴设较大三角形面积为25y cm2，较小三角形的面积为4y cm2。
∴（25一4）y＝588。∴y＝28。∴25y＝25×28＝700（cm2）。4y＝4×28＝112（cm2）。
∴较大三角形面积为700cm2，较小三角形面积为112cm2。
9.解:（1）证明:∵四边形EFGH是矩形，∴EH∥BC，∴∠AEH＝∠B，∠AHE＝∠C。
∴△AEH∽△ABC。
（2）设EF＝k，EH＝FG＝3k，则AK＝8－k，∵△AEH∽△ABC，
∴，即。解得k＝4。∴EF＝4，EH＝12。
∴四边形EFGH的面积＝EF?EH＝4×12＝48.
10.解:（1）∵，∴。∵ ABCD中，AD∥BC，
∴△CFH∽△DFG。∴。∴。
（2）∵ ABCD中，AD∥BC，∴，
∵ ABCD中，AB∥CD，∴，∴。
∴MG·ME＝MF·MH。
11.解:（1）∵D是BC边上的中点，DE⊥BC，∴EB＝EC，∴∠B＝∠ECB。
又∵AD＝AC，∴∠ACD＝∠ADC。∴△ABC∽△FCD。
（2）过A点作AM⊥CB，交BC于M，
由（1）知，△ABC∽△FCD，且BC＝2CD ，AD＝AC。
∴＝4，DM＝CD＝BC＝。
又∵S△FCD＝5，∴S△ABC＝20。∵S△ABC＝BC·AM，
∴AM＝。
∵DE⊥BC，AM⊥BC，且∠B＝∠B，∴△BDE∽△BMA。
∴，即。∴DE＝。
12.解:（1）四边形ABCD是梯形，AD∥BC，∴△AMD∽△CMB。∴。
∵种满△AMD地带花费160元，S△AMD = ＝20（m2），∴S△CMB＝80m2。
∴种满△BMC地带的花费为80×8＝640（元）。
（2）设△AMD，△BMC的高分别为h1，h2，梯形ABCD的高为h。
∵S△AMD＝×10h1＝20，∴h1＝4（m）。又∵，∴h2＝8（m），h＝h1＋h2＝12（m）。
∴S梯形ABCD＝（AD＋BC）?h＝×30×12＝180（m2）。
∴S△AMB＋S△DMC＝180－20－80＝80（m2）。又∵160＋640＋80×10＝1600（元），
∴应选择种植苿莉花可刚好用完所筹集的资金。
真题训练
1.C 2.C 3. 4.或3
5.解:（1）证明:四边形EFGH是正方形，∴EH∥BC。
∴∠AEH＝∠B，∠AHE＝∠C。∴△AEH∽△ABC。
（2）如图所示，设AD与EH交于点M。
∵∠EFD＝∠FEM＝∠FDM＝90o，∴四边形EFDM是矩形。
∴EF＝DM，设正方形EFGH的边长为x。
∵△AEH∽△ABC，∴，∴。∴。
∴正方形EFGH的边长为cm，面积为cm2。