【鲁教版八下精美学案】9.9 利用位似放缩图形（知识构建+考点归纳+真题训练）
文档属性
| 名称 | 【鲁教版八下精美学案】9.9 利用位似放缩图形（知识构建+考点归纳+真题训练） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 2.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-05-16 14:55:58 | ||
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文档简介
第九章 图形的相似
第9节 利用位似放缩图形
知识梳理
知识点1 位似多边形的概念
如果两个相似多边形任意一组对应顶点A，A'的连线都经过同一点O，且有OA'＝k·OA（k≠0），那么这样的两个多边形叫位似多边形，点O叫位似中心，k就是这两个相似多边形的相似比。
如图（1）（2）所示的图形都是位似图形，其中△ABC与△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，五边形 ABCDE 与五边形A'B'C'D'E'是以点O为位似中心的位似图形。
注意 （1）位似图形是相似图形，是增加了条件的相似图形，这个条件就是:每组对应点所在直线都经过同一个点而相似图形不一定是位似图形；（2）两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的同侧；（3）位似中心只有一个。
知识点2 位似多边形的性质（重点）
1.位似多边形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比。
2.位似多边形上对应点和位似中心在同一条直线上。
3.位似多边形上的对应线段平行或在同一条直线上。
4.位似多边形是特殊的相似图形，因此位似图形具有相似图形的一切性质。
注意 可以应用性质1对图形进行放大（或缩小），使得放大（或缩小）前后的两个图形是位似图形。
知识点3 位似多边形的画法
1.画位似多边形的步骤:
（1）确定位似中心P，在原图形上取关键点；
（2）以各关键点为端点，向P作射线（或以点P为端点向各关键点作射线）；
（3）在射线上截取，找关键点的对应点，并使其满足放缩比例；
（4）按原图形顺次连接对应点，即可得到原图形放大或缩小后的图形。
2.位似图形的基本模式:
注意 （1）画位似图形的依据是位似图形的性质，关键是要准确地按比例画出各线段的长。
（2）在实际操作时，有的位似中心已知，有的位似中心需要依据实际情况来确定。
（3）位似中心可以在两个图形的同侧（称为外位似），也可以在两个图形之间（称为内位似）；即可以在两个图形的外部，也可以在两个图形的内部，还可以在两个图的一条对应边上或一个对应顶点处。
知识点4 平面直角坐标系中的位似变换（难点）
1.位似多边形对应点的坐标的变化规律:
在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k（k≠0，1），所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为｜k｜。
注意（1）这是以原点为位似中心的位似变换中图形坐标的变化规律。（2）当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比为k；当位似图形在原点两侧时，其对应顶点的坐标的比为－k。
（3）当k＞1时，图形扩大为原来的k倍；当0＜k＜1时，图形缩小为原来的k。
2.位似与平移、轴对称、旋转三种变换的联系和区别:
位似、平移、轴对称、旋转都是图形变换的基本形式，它们的本质区别在于:平移、轴对称、旋转三种图形变换都是全等变换，而位似变换是相似（扩大、缩小或不变）变换。
考点突破
考点1: 位似图形的确定
典例1 图中的图形是不是位似图形？若是，指出位似中心。
解:（1）（2）（4）三个图中的两个图形都是位似图形，位似中心分别为A，P，E。
友情提示 位似图形应满足两个条件:（1）是相似图形；（2）两图形每组对应点所在的直线都经过同一点。
变式1 在下列图形中，不是位似图形的是（ ）
变式2 如图所示，在平面直角坐标系中，与△ABC是位似图形的是（ ）
A.① B.② C.③ D.④
考点2:利用位似放缩图形
典例2 如图所示，在10×10的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，以点A为位似中心画四边形A'B'C'D'，使它与四边形ABCD位似，且相似比为2。
（1）在图中画出四边形A'B'C'D'；
（2）△AC'D'是__________三角形。
思路导析:画位似图形的一般步骤:（1）确定位似中心；（2）确定原图形的关键点，通常是多边形的顶点；（3）确定相似比；（4）找出新图形的对应关系点；（5）顺次连接各点，得到放大或缩小的图形。
解:（1）如图所示:
（2）∵AC'2＝42＋82＝16＋64＝80，AD'2＝62＋22＝36＋4＝40，C'D2＝62＋22＝36＋4＝40，
∴AD'＝C'D'， AD'2＋C'D'2＝AC'2。∴△AC'D'是等腰直角三角形。
友情提示 选取几个关键点和中心点，依次连接关键点和中心点，并按2:1的比例延长，即可得出符合要求的图形在画位似图形时:①要注意是放大还是缩小；②要注意画图的方法；③相似比就是放大或缩小的比例。
变式3 如图所示，请以点O为位似中心，位似比为2，画出△ABC在这个位似变换下的像。
变式4 如图所示，已知A（－4，2），B（－2，6），C（0，4）是直角坐标系平面上三点。
（1）把△ABC向右平移4个单位再向下平移1个单位，得到△A1B1C1画出平移后的图形，并写出点A的对应点A1的坐标；
（2）以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的一半，得到△A2B2C2，请在所给的坐标系中作出所有满足条件的图形。
考点3: 位似图形性质的应用
典例3 如图所示，在平面直角坐标系中，△ABC和△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B（3，1），B'（6，2）。
（1）请你根据位似的特征并结合点B的坐标变化回答下列问题:
①若点A（，3），则A＇的坐标为___________；
②△ABC与△A'B'C'的相似比为___________；
（2）若△ABC的面积为m，求△A'B'C'的面积。（用含m的代数式表示）
思路导析:（1）①观察点B点和B'点的坐标得到位似比为2，然后根据此规律确定A'的坐标（5，6）；②易得△ABC与△A'B'C'的相似比为1:2；（2）根据三角形相似的性质求解。
解:（1）①点B（3，1），B'（6，2），∴位似比为2。若点A（，3），则A'的坐标（5，6）；
②△ABC与△A'B'C'的相似比为1:2；故答案为（5，6） 1:2；
（2）∵△ABC与△A'B'C'的相似比为1:2，∴，
而△ABC的面积为 m，∴△A'B'C'的面积＝ 4 m。
友情提示 本题考查了位似变换:如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k。
变式5 若△ABC与△A'B'C'关于点O位似，其位似比为1:2，0A＝5cm，且A与A'在点O的同侧，则对应点A，A'之间的距离为________ cm。
变式6 如图所示，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，若AD＝OA，△ABC的面积为4，则△DEF的面积为（ ）
A.2 B.8 C.16 D.24
考点4:平面直角坐标系中的位似图形
典例4 如图所示，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上，建立如图所示的平面直角坐标系。
（1）将△ABC向左平移7个单位后再向下平移3个单位，请画出两次平移后的△A1B1C1，若M为△ABC内的一点，其坐标为（a，b），直接写出两次平移后点M的对应点M1的坐标；
（2）以原点O为位似中心，将△ABC缩小，使变换后得到的△A2B2C2与△ABC对应边的比为1:2.请在网格内画出在第三象限内的△A2B2C2，并写出点A2的坐标。
思路导析:（1）找出三角形平移后各顶点的对应点，然后顺次连接即可；根据平移的规律即可写出点M平移后的坐标；（2）根据位似变换的要求，找出变换后的对应点，然后顺次连接各点即可。
解:（1）所画图形如图所示，其中△A1B1C1即为所求，根据平移规律:左平移7个单位，再向下平移3个单位，可知M1的坐标（a－7，b－3）；
（2）所画图形如图所示，其中△A2B2C2即为所求，点A2的坐标为（－1，－4）。
友情提示 本题考查了平移变换和位似变换后图形的画法，解题关键是根据变换要求找出变换后的对应点。
变式7 如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），B（4，1），以原点O为位似中心，将△OAB缩小为原来的，则点A的对应点A'的坐标是（ ）
A.（2，）
B.（1，2）
C.（4，8）或（－4，－8）
D.（1，2）或（－1，－2）
变式8 如图所示，已知A（－4，2），B（－2，6），C（0，4）是直角坐标系平面上三点。
（1）把△ABC向右平移4个单位再向下平移1个单位，得到△A1B1C1，画出平移后的图形；
（2）若△ABC内部有一点P（a，b），则平移后它的对应点P1的坐标为_________；
（3）以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的一半，得到△A2B2C2，请在所给的坐标系中作出所有满足条件的图形。
考点5: 位似中心的确定
典例5 如图所示，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，点F的坐标为（1，1），点C的坐标为（4，2），在网格中求这两个正方形位似中心的坐标。
思路导析:每对位似对应点与位似中心共线，不经过位似中心的对应线段平行位似中心就是两对对应点的延长线的交点。
解:（1）两个图形位似时，位似中心就是CF与x轴的交点。
设直线CF的解析式为y＝kx＋b，将C（4，2），F（1，1）代入，
得，解得，即y＝x＋。
令y＝0，得x＝－2，∴O＇的坐标是（－2，0）；
（2）当位似中心O＇在两个正方形之间时，直线OC的解析式为y＝x，
直线BG的解析式为y＝－x＋1，联立方程组，得，解得，
∴O＇的坐标是（，）。∴O＇的坐标为（－2，0）或（，）。
友情提示 位似图形有两个重要特征:位似的两个图形一定相似，位似图形对应点的连线所在直线交于一点，交点就是位似中心，即位似中心一定在对应点的连线上，所以求位似中心的交点坐标，可以通过求两条一次函数图象的交点坐标来完成。
变式9 如图所示，△ABC与△DEF是位似图形，点B的坐标为（3，0），则其位似中心的坐标为__________。
变式10 如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别是O（0，0），A（3，0），B（4，4），C（－2，3），将点O，A，B，C的横坐标、纵坐标都乘以－2。
（1）画出以变化后的四个点为顶点的四边形；
（2）由（1）得到的四边形与四边形OABC位似吗？如果位似，指出位似中心及与原图形的相似比。
巩固提高
1.下列关于位似图形的表述:①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比。其中正确命题的序号是（ ）
A.②③ B.①② C.③④ D.②③④
2.如图所示，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A'B'C'，已知BB'＝2OB'，则△A'B'C'与△ABC的面积之比（ ）
A.1:3
B.1:4
C.1:5
D.1:9
3.在平面直角坐标系中，已知点A（－4，2），B（－6，－4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A'的坐标是（ ）
A.（－2，1） B.（－8，4） C.（－2，1）或（2，－1） D.（－8，4）或（8，－4）
4.如图所示，在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（6，0），B（0，8），以某点为位似中心，作出与△AOB的位似比为k的位似△CDE，则位似中心的坐标和k的值分别为（ ）
A.（0，0），2 B.（2，2）， C.（2，2），2 D.（1，1），
5.如图所示，已知矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，若点B的坐标为（2，4），点E的坐标为（－1，2），则点P的坐标为__________。
6.如图所示，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点（网格线的交点）上。以原点O为位似中心，画△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为2，则点B的对应点B1的坐标是____________。
7.如图所示，直线y＝x＋1与x轴交于点A，与y轴交于点B，△BOC与△B'O'C'是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1:3，则点B的对应点B'的坐标为_____________。
8.如图所示，△ABC与△A'B'C'位似，位似中心为O，OB＝3，OB′＝6.
（1）若AC＝5，求A'C'的长；
（2）若△ABC的面积为7，求△A'B'C'的面积。
9.在如图的方格纸中（每个小方格的边长都是1个单位）有一点O和△ABC。
（1）画图:以点O为位似中心，把△ABC缩小为原来的一半（不改变方向），得到△A'B'C'；
（2）△ABC与△A'B'C'相似比为___________。
10.如图所示，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点分别为A（－1，2），B（2，1），C（4，5）。
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2，并求出△A2B2C2的面积。
11.在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(2，－4)，B(3，－2)，C(6，－3)。
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）以M点为位似中心，在网格中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2:1；
（3）若每一个方格的面积均为1，求△A2B2C2的面积。
真题训练
1.（2018·潍坊）在平面直角坐标系中，点P（m，n）是线段AB上一点，以原点O为位似中心把
△AOB放大到原来的两倍，则点P的对应点的坐标为（ ）
A.(2m，2n) B.(2m，2n)或(－2m，－2n) C.(m，n) D.(m，n)或(－m，－n)
2.（2018·邵阳）如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），过点A作AB⊥x轴于点B.将△AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的，得到△COD，则CD的长度是（ ）
A.2 B.1 C.4 D.2
3.（2017·阿坝）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心若AB＝1.5，则DE＝_________。
4.（2017·滨州）在平面直角坐标系中，点C，D的坐标分别为C（2，3），D（1，0），现以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB.若点D的对应点B在x轴上且OB＝2，则点C的对应点A的坐标为______________。
5.（2018·安徽）如图所示，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，已知点O，A，B均为网格线的交点。
（1）在给定的网格中，以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，得到线段A1B1（点A，B的对应点分别为A1，B1），画出线段A1B1；
（2）将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90°得到线段A2B1，画出线段A2B1；
（3）以A，A1，B1，A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积是________个平方单位。
参考答案及解析
考点突破
1.D 2.C
3.解:根据题意画出相应的图形，如图所示
∴△A'B'C'为所求的△ABC在这个位似变换下的像。
4.解:（1）△A1B1C1如图所示，其中A1的坐标为（0，1）；
（2）符合条件△A2B2C2有两个，如图所示。
5.5 6.C 7.D
8.解:（1）如图所示，△A1B1C1即为所求：
（2）（a＋4，b－1）
（3）如图所示，△A2B2C2即为所求。
9.（1，0）
10.解:（1）如图所示，四边形OA'B'C'即为所求四边形；
（2）位似.
将点O，A，B，C的横坐标、纵坐标都乘以－2可得出四边形OA'B'C'，
∴各对应边的比为2，对应点的连线都过原点。
∴得到的四边形与四边形OABC位似位似中心是O（0，0），与原图形的相似比为2。
巩固提高
1.A 2.D 3.C 4.B 5.（－2，0）6.（4，2）或（一4，-2） 7.（8，－3）或（4，3）
8.解:（1）因为△ABC与△A'B'C'是位似图形，相似比为OB:OB＇＝3:6＝1:2，
所以△ABC∽△A'B'C'的相似比为，所以，即，所以A'C'＝10。
（2）根据题意，得，即,所以S△A'B'C'＝7×4＝28。
9.解:（1）利用三角形相似作图，连接OA，OB，OC，分别找出这三条线段的中点A'，B'，C'，顺次连接A'，B'，C'即可得到△A'B'C'；如图所示。
（2）BC:，B'C'＝2:1，故答案为2:1。
10.解:（1）如图所示，△A1B1C1就是所求角形；
（2）如图所示，△A2B2C2就是所求三角形。
∵A（－1，2），B（2，1），C（4，5），△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2，
∴A2（－2，4），B2（4，2），C2（8，10），
∴S△A2B2C2＝8×10－×6×2－×4×8－×6×10＝28。
11.解:（1）作图略.（2）作图略
（3）S△A2B2C2＝4×8－×8×2－×2×4－×6×2＝32－8－4－6＝14。
真题训练
1.B 2.A 3.4.5 4.（4，6）或（－4，－6）
5.解：（1）如图所示，线段A1B1即为所求；
如图所示，线段A2B1即为所求；
由图所得，四边形AA1B1A2为正方形，
∴四边形AA1B1A2的面积是。故答案为20。
第9节 利用位似放缩图形
知识梳理
知识点1 位似多边形的概念
如果两个相似多边形任意一组对应顶点A，A'的连线都经过同一点O，且有OA'＝k·OA（k≠0），那么这样的两个多边形叫位似多边形，点O叫位似中心，k就是这两个相似多边形的相似比。
如图（1）（2）所示的图形都是位似图形，其中△ABC与△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，五边形 ABCDE 与五边形A'B'C'D'E'是以点O为位似中心的位似图形。
注意 （1）位似图形是相似图形，是增加了条件的相似图形，这个条件就是:每组对应点所在直线都经过同一个点而相似图形不一定是位似图形；（2）两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的同侧；（3）位似中心只有一个。
知识点2 位似多边形的性质（重点）
1.位似多边形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比。
2.位似多边形上对应点和位似中心在同一条直线上。
3.位似多边形上的对应线段平行或在同一条直线上。
4.位似多边形是特殊的相似图形，因此位似图形具有相似图形的一切性质。
注意 可以应用性质1对图形进行放大（或缩小），使得放大（或缩小）前后的两个图形是位似图形。
知识点3 位似多边形的画法
1.画位似多边形的步骤:
（1）确定位似中心P，在原图形上取关键点；
（2）以各关键点为端点，向P作射线（或以点P为端点向各关键点作射线）；
（3）在射线上截取，找关键点的对应点，并使其满足放缩比例；
（4）按原图形顺次连接对应点，即可得到原图形放大或缩小后的图形。
2.位似图形的基本模式:
注意 （1）画位似图形的依据是位似图形的性质，关键是要准确地按比例画出各线段的长。
（2）在实际操作时，有的位似中心已知，有的位似中心需要依据实际情况来确定。
（3）位似中心可以在两个图形的同侧（称为外位似），也可以在两个图形之间（称为内位似）；即可以在两个图形的外部，也可以在两个图形的内部，还可以在两个图的一条对应边上或一个对应顶点处。
知识点4 平面直角坐标系中的位似变换（难点）
1.位似多边形对应点的坐标的变化规律:
在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k（k≠0，1），所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为｜k｜。
注意（1）这是以原点为位似中心的位似变换中图形坐标的变化规律。（2）当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比为k；当位似图形在原点两侧时，其对应顶点的坐标的比为－k。
（3）当k＞1时，图形扩大为原来的k倍；当0＜k＜1时，图形缩小为原来的k。
2.位似与平移、轴对称、旋转三种变换的联系和区别:
位似、平移、轴对称、旋转都是图形变换的基本形式，它们的本质区别在于:平移、轴对称、旋转三种图形变换都是全等变换，而位似变换是相似（扩大、缩小或不变）变换。
考点突破
考点1: 位似图形的确定
典例1 图中的图形是不是位似图形？若是，指出位似中心。
解:（1）（2）（4）三个图中的两个图形都是位似图形，位似中心分别为A，P，E。
友情提示 位似图形应满足两个条件:（1）是相似图形；（2）两图形每组对应点所在的直线都经过同一点。
变式1 在下列图形中，不是位似图形的是（ ）
变式2 如图所示，在平面直角坐标系中，与△ABC是位似图形的是（ ）
A.① B.② C.③ D.④
考点2:利用位似放缩图形
典例2 如图所示，在10×10的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，以点A为位似中心画四边形A'B'C'D'，使它与四边形ABCD位似，且相似比为2。
（1）在图中画出四边形A'B'C'D'；
（2）△AC'D'是__________三角形。
思路导析:画位似图形的一般步骤:（1）确定位似中心；（2）确定原图形的关键点，通常是多边形的顶点；（3）确定相似比；（4）找出新图形的对应关系点；（5）顺次连接各点，得到放大或缩小的图形。
解:（1）如图所示:
（2）∵AC'2＝42＋82＝16＋64＝80，AD'2＝62＋22＝36＋4＝40，C'D2＝62＋22＝36＋4＝40，
∴AD'＝C'D'， AD'2＋C'D'2＝AC'2。∴△AC'D'是等腰直角三角形。
友情提示 选取几个关键点和中心点，依次连接关键点和中心点，并按2:1的比例延长，即可得出符合要求的图形在画位似图形时:①要注意是放大还是缩小；②要注意画图的方法；③相似比就是放大或缩小的比例。
变式3 如图所示，请以点O为位似中心，位似比为2，画出△ABC在这个位似变换下的像。
变式4 如图所示，已知A（－4，2），B（－2，6），C（0，4）是直角坐标系平面上三点。
（1）把△ABC向右平移4个单位再向下平移1个单位，得到△A1B1C1画出平移后的图形，并写出点A的对应点A1的坐标；
（2）以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的一半，得到△A2B2C2，请在所给的坐标系中作出所有满足条件的图形。
考点3: 位似图形性质的应用
典例3 如图所示，在平面直角坐标系中，△ABC和△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B（3，1），B'（6，2）。
（1）请你根据位似的特征并结合点B的坐标变化回答下列问题:
①若点A（，3），则A＇的坐标为___________；
②△ABC与△A'B'C'的相似比为___________；
（2）若△ABC的面积为m，求△A'B'C'的面积。（用含m的代数式表示）
思路导析:（1）①观察点B点和B'点的坐标得到位似比为2，然后根据此规律确定A'的坐标（5，6）；②易得△ABC与△A'B'C'的相似比为1:2；（2）根据三角形相似的性质求解。
解:（1）①点B（3，1），B'（6，2），∴位似比为2。若点A（，3），则A'的坐标（5，6）；
②△ABC与△A'B'C'的相似比为1:2；故答案为（5，6） 1:2；
（2）∵△ABC与△A'B'C'的相似比为1:2，∴，
而△ABC的面积为 m，∴△A'B'C'的面积＝ 4 m。
友情提示 本题考查了位似变换:如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k。
变式5 若△ABC与△A'B'C'关于点O位似，其位似比为1:2，0A＝5cm，且A与A'在点O的同侧，则对应点A，A'之间的距离为________ cm。
变式6 如图所示，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，若AD＝OA，△ABC的面积为4，则△DEF的面积为（ ）
A.2 B.8 C.16 D.24
考点4:平面直角坐标系中的位似图形
典例4 如图所示，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上，建立如图所示的平面直角坐标系。
（1）将△ABC向左平移7个单位后再向下平移3个单位，请画出两次平移后的△A1B1C1，若M为△ABC内的一点，其坐标为（a，b），直接写出两次平移后点M的对应点M1的坐标；
（2）以原点O为位似中心，将△ABC缩小，使变换后得到的△A2B2C2与△ABC对应边的比为1:2.请在网格内画出在第三象限内的△A2B2C2，并写出点A2的坐标。
思路导析:（1）找出三角形平移后各顶点的对应点，然后顺次连接即可；根据平移的规律即可写出点M平移后的坐标；（2）根据位似变换的要求，找出变换后的对应点，然后顺次连接各点即可。
解:（1）所画图形如图所示，其中△A1B1C1即为所求，根据平移规律:左平移7个单位，再向下平移3个单位，可知M1的坐标（a－7，b－3）；
（2）所画图形如图所示，其中△A2B2C2即为所求，点A2的坐标为（－1，－4）。
友情提示 本题考查了平移变换和位似变换后图形的画法，解题关键是根据变换要求找出变换后的对应点。
变式7 如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），B（4，1），以原点O为位似中心，将△OAB缩小为原来的，则点A的对应点A'的坐标是（ ）
A.（2，）
B.（1，2）
C.（4，8）或（－4，－8）
D.（1，2）或（－1，－2）
变式8 如图所示，已知A（－4，2），B（－2，6），C（0，4）是直角坐标系平面上三点。
（1）把△ABC向右平移4个单位再向下平移1个单位，得到△A1B1C1，画出平移后的图形；
（2）若△ABC内部有一点P（a，b），则平移后它的对应点P1的坐标为_________；
（3）以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的一半，得到△A2B2C2，请在所给的坐标系中作出所有满足条件的图形。
考点5: 位似中心的确定
典例5 如图所示，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，点F的坐标为（1，1），点C的坐标为（4，2），在网格中求这两个正方形位似中心的坐标。
思路导析:每对位似对应点与位似中心共线，不经过位似中心的对应线段平行位似中心就是两对对应点的延长线的交点。
解:（1）两个图形位似时，位似中心就是CF与x轴的交点。
设直线CF的解析式为y＝kx＋b，将C（4，2），F（1，1）代入，
得，解得，即y＝x＋。
令y＝0，得x＝－2，∴O＇的坐标是（－2，0）；
（2）当位似中心O＇在两个正方形之间时，直线OC的解析式为y＝x，
直线BG的解析式为y＝－x＋1，联立方程组，得，解得，
∴O＇的坐标是（，）。∴O＇的坐标为（－2，0）或（，）。
友情提示 位似图形有两个重要特征:位似的两个图形一定相似，位似图形对应点的连线所在直线交于一点，交点就是位似中心，即位似中心一定在对应点的连线上，所以求位似中心的交点坐标，可以通过求两条一次函数图象的交点坐标来完成。
变式9 如图所示，△ABC与△DEF是位似图形，点B的坐标为（3，0），则其位似中心的坐标为__________。
变式10 如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别是O（0，0），A（3，0），B（4，4），C（－2，3），将点O，A，B，C的横坐标、纵坐标都乘以－2。
（1）画出以变化后的四个点为顶点的四边形；
（2）由（1）得到的四边形与四边形OABC位似吗？如果位似，指出位似中心及与原图形的相似比。
巩固提高
1.下列关于位似图形的表述:①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比。其中正确命题的序号是（ ）
A.②③ B.①② C.③④ D.②③④
2.如图所示，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A'B'C'，已知BB'＝2OB'，则△A'B'C'与△ABC的面积之比（ ）
A.1:3
B.1:4
C.1:5
D.1:9
3.在平面直角坐标系中，已知点A（－4，2），B（－6，－4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A'的坐标是（ ）
A.（－2，1） B.（－8，4） C.（－2，1）或（2，－1） D.（－8，4）或（8，－4）
4.如图所示，在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（6，0），B（0，8），以某点为位似中心，作出与△AOB的位似比为k的位似△CDE，则位似中心的坐标和k的值分别为（ ）
A.（0，0），2 B.（2，2）， C.（2，2），2 D.（1，1），
5.如图所示，已知矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，若点B的坐标为（2，4），点E的坐标为（－1，2），则点P的坐标为__________。
6.如图所示，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点（网格线的交点）上。以原点O为位似中心，画△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为2，则点B的对应点B1的坐标是____________。
7.如图所示，直线y＝x＋1与x轴交于点A，与y轴交于点B，△BOC与△B'O'C'是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1:3，则点B的对应点B'的坐标为_____________。
8.如图所示，△ABC与△A'B'C'位似，位似中心为O，OB＝3，OB′＝6.
（1）若AC＝5，求A'C'的长；
（2）若△ABC的面积为7，求△A'B'C'的面积。
9.在如图的方格纸中（每个小方格的边长都是1个单位）有一点O和△ABC。
（1）画图:以点O为位似中心，把△ABC缩小为原来的一半（不改变方向），得到△A'B'C'；
（2）△ABC与△A'B'C'相似比为___________。
10.如图所示，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点分别为A（－1，2），B（2，1），C（4，5）。
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2，并求出△A2B2C2的面积。
11.在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(2，－4)，B(3，－2)，C(6，－3)。
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）以M点为位似中心，在网格中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2:1；
（3）若每一个方格的面积均为1，求△A2B2C2的面积。
真题训练
1.（2018·潍坊）在平面直角坐标系中，点P（m，n）是线段AB上一点，以原点O为位似中心把
△AOB放大到原来的两倍，则点P的对应点的坐标为（ ）
A.(2m，2n) B.(2m，2n)或(－2m，－2n) C.(m，n) D.(m，n)或(－m，－n)
2.（2018·邵阳）如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），过点A作AB⊥x轴于点B.将△AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的，得到△COD，则CD的长度是（ ）
A.2 B.1 C.4 D.2
3.（2017·阿坝）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心若AB＝1.5，则DE＝_________。
4.（2017·滨州）在平面直角坐标系中，点C，D的坐标分别为C（2，3），D（1，0），现以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB.若点D的对应点B在x轴上且OB＝2，则点C的对应点A的坐标为______________。
5.（2018·安徽）如图所示，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，已知点O，A，B均为网格线的交点。
（1）在给定的网格中，以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，得到线段A1B1（点A，B的对应点分别为A1，B1），画出线段A1B1；
（2）将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90°得到线段A2B1，画出线段A2B1；
（3）以A，A1，B1，A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积是________个平方单位。
参考答案及解析
考点突破
1.D 2.C
3.解:根据题意画出相应的图形，如图所示
∴△A'B'C'为所求的△ABC在这个位似变换下的像。
4.解:（1）△A1B1C1如图所示，其中A1的坐标为（0，1）；
（2）符合条件△A2B2C2有两个，如图所示。
5.5 6.C 7.D
8.解:（1）如图所示，△A1B1C1即为所求：
（2）（a＋4，b－1）
（3）如图所示，△A2B2C2即为所求。
9.（1，0）
10.解:（1）如图所示，四边形OA'B'C'即为所求四边形；
（2）位似.
将点O，A，B，C的横坐标、纵坐标都乘以－2可得出四边形OA'B'C'，
∴各对应边的比为2，对应点的连线都过原点。
∴得到的四边形与四边形OABC位似位似中心是O（0，0），与原图形的相似比为2。
巩固提高
1.A 2.D 3.C 4.B 5.（－2，0）6.（4，2）或（一4，-2） 7.（8，－3）或（4，3）
8.解:（1）因为△ABC与△A'B'C'是位似图形，相似比为OB:OB＇＝3:6＝1:2，
所以△ABC∽△A'B'C'的相似比为，所以，即，所以A'C'＝10。
（2）根据题意，得，即,所以S△A'B'C'＝7×4＝28。
9.解:（1）利用三角形相似作图，连接OA，OB，OC，分别找出这三条线段的中点A'，B'，C'，顺次连接A'，B'，C'即可得到△A'B'C'；如图所示。
（2）BC:，B'C'＝2:1，故答案为2:1。
10.解:（1）如图所示，△A1B1C1就是所求角形；
（2）如图所示，△A2B2C2就是所求三角形。
∵A（－1，2），B（2，1），C（4，5），△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2，
∴A2（－2，4），B2（4，2），C2（8，10），
∴S△A2B2C2＝8×10－×6×2－×4×8－×6×10＝28。
11.解:（1）作图略.（2）作图略
（3）S△A2B2C2＝4×8－×8×2－×2×4－×6×2＝32－8－4－6＝14。
真题训练
1.B 2.A 3.4.5 4.（4，6）或（－4，－6）
5.解：（1）如图所示，线段A1B1即为所求；
如图所示，线段A2B1即为所求；
由图所得，四边形AA1B1A2为正方形，
∴四边形AA1B1A2的面积是。故答案为20。