一、线速度┄┄┄┄┄┄┄┄①
1．圆周运动：物体沿着圆周的运动，即物体运动的轨迹是圆。
2．线速度
(1)定义：物体做圆周运动通过的弧长Δs与通过这段弧长所用时间Δt的比值。
(2)定义式：v＝。
(3)单位：m/s。
(4)矢标性：线速度是矢量，其方向和半径垂直，和圆弧相切。
(5)物理意义：描述圆周运动的物体通过弧长快慢的物理量。
3．匀速圆周运动
(1)定义：沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等的运动。
(2)性质：线速度的方向是时刻变化的，所以是一种变速运动。
[说明]
匀速圆周运动是最简单的圆周运动形式，是一种重要的曲线运动模型。匀速圆周运动是一种理想化的运动形式，许多物体的运动接近于这种运动(如钟表)，具有一定的实际意义。一般的圆周运动，也可以取一段较短的时间(或弧长)进行研究，则此时可将其看成匀速圆周运动。
①[判一判]
1．匀速圆周运动是一种匀速运动，这里的“匀速”是指线速度不变(×)
2．做匀速圆周运动的物体，其所受合力一定不为零(√)
3．做匀速圆周运动的物体，绕圆周运动一周，平均速度为零，线速度也为零(×)
4．做匀速圆周运动的物体相等时间内通过的位移相同(×)
二、角速度┄┄┄┄┄┄┄┄②
1．定义：连接运动物体和圆心的半径转过的角度Δθ跟所用时间Δt的比值叫圆周运动的角速度，用符号ω来表示。
2．定义式：ω＝。
3．国际单位：弧度/秒，符号rad/s。
4．矢标性：角速度是矢量。匀速圆周运动的角速度大小和方向都不变，因此匀速圆周运动是角速度不变的运动。
5．物理意义：用来描述物体沿圆心转动快慢的物理量。
②[判一判]
1．做匀速圆周运动的物体转过的角度越大，其角速度就越大(×)
2．当半径一定时，线速度与角速度成正比(√)
3．在描述圆周运动快慢的物理量中，线速度是矢量，周期、频率、转速是标量(√)
三、转速与周期┄┄┄┄┄┄┄┄③
1．转速：转速是指物体单位时间所转过的圈数。常用符号n表示，单位是转每秒(r/s)，或转每分(r/min)。
2．周期：做匀速圆周运动的物体，转过一周所用的时间叫做周期。用T表示，单位是秒(s)。
③[填一填]
若钟表的指针都做匀速圆周运动，秒针的周期是________，分针的周期是________，秒针和分针的角速度之比是________。
解析：秒针的周期T秒＝1 min＝60 s，分针的周期T分＝1 h＝3 600 s。由ω＝ 得 ＝。
答案：60 s 3 600 s 60∶1
四、线速度与角速度的关系┄┄┄┄┄┄┄┄④
在圆周运动中，v＝ωr，即线速度的大小等于角速度大小与半径的乘积。
[注意]
(1)线速度和角速度都是描述物体做匀速圆周运动快慢的物理量，线速度侧重于描述物体通过弧长快慢的程度，而角速度侧重于描述物体转过圆心角的快慢程度。它们都有一定的局限性，其中任何一个物理量(v或ω)都无法全面准确地反映做匀速圆周运动的物体的运动状态。
(2)角速度是矢量，其方向在中学阶段不做讨论。
(3)注意区别角速度的单位rad/s和转速的单位r/s，分别表示每秒转过的角度和圈数。,
④[选一选]
关于做匀速圆周运动的物体的线速度、角速度、周期的关系，下面说法中正确的是( )
A．线速度大的角速度一定大
B．线速度大的周期一定小
C．角速度大的半径一定小
D．角速度大的周期一定小
解析：选D 由v＝ωr知，ω＝，角速度与线速度、半径两个因素有关，线速度大的角速度不一定大，A错误；同样，r＝，半径与线速度、角速度两个因素有关，角速度大的半径不一定小，C错误；由T＝知，周期与半径、线速度两个因素有关，线速度大的周期不一定小，B错误；而由T＝可知，ω越大，T越小，D正确。
1.线速度v与角速度ω的关系
(1)关系式：v＝ωr。
(2)理解：
①当半径一定时，线速度的大小与角速度成正比，如图甲所示；
②当角速度一定时，线速度的大小与半径成正比，如图乙所示；
③当线速度一定时，半径与角速度成反比，如图丙、丁所示。
2．线速度v与周期T的关系
因为做匀速圆周运动的物体，在一个周期内通过的弧长为2πr，所以有v＝。这表明，当半径相同时，周期小的线速度大；当半径不同时，周期小的线速度不一定大，所以周期与线速度描述的快慢是不一样的。
3．角速度ω与周期T的关系
因为做匀速圆周运动的物体，在一个周期内沿半径转过的角度为2π，所以有ω＝。这表明，角速度与周期一定成反比，周期大的角速度一定小。
4．频率f与角速度ω、线速度v的关系
ω＝2πf，v＝2πfr。
5．频率f与转速n的关系
f＝n(n的单位必须用r/s或r/min)。
6．角速度ω与转速n的关系
做圆周运动的物体每转过一圈转过的角度为2π，所以ω＝2πn(n的单位r/s)。
综上所述，圆周运动物理量之间关系描述如图
7．特别提醒
(1)角速度ω、线速度v、半径r之间的关系是瞬时对应关系。
(2)公式v＝ωr适用于所有的圆周运动；关系式T∝适用于具有周期性运动的情况。
[典型例题]
例1.做匀速圆周运动的物体，在10 s内沿半径为20 m的圆周运动了100 m，试求该物体做匀速圆周运动时：
(1)线速度的大小；
(2)角速度的大小；
(3)周期的大小。
[解析] (1)由线速度的定义式得
v＝＝ m/s＝10 m/s
(2)由v＝ωr得
ω＝＝ rad/s＝0.5 rad/s
(3)由ω＝得T＝＝ s＝4π s
[答案] (1)10 m/s (2)0.5 rad/s
(3)4π s
[点评]
(1)线速度与角速度关系的理解：由v＝ωr知，r一定时，v∝ω；v一定时，ω∝；ω一定时，v∝r。
(2)角速度、周期、转速之间关系的理解：物体做匀速圆周运动时，由ω＝＝2πn知，角速度、周期、转速三个物理量，只要其中一个物理量确定了，其余两个物理量也唯一确定了。
[即时巩固]
1．[多选](2016·宜兴月考)质点做匀速圆周运动时，下列说法中正确的是( )
A．因为v＝ωR，所以线速度v与轨道半径R成正比
B．因为ω＝，所以角速度ω与轨道半径R成反比
C．因为ω＝2πn，所以角速度ω与转速n成正比
D．因为ω＝，所以角速度ω与周期T成反比
解析：选CD ω一定时，线速度v与轨道半径R成正比，A错误；v一定时，角速度ω与轨道半径R成反比，B错误；在用转速或周期表示角速度时，角速度与转速成正比，与周期成反比，C、D正确。
1.同轴传动
(1)装置：A、B两点在同轴的一个圆盘上。
(2)特点：角速度、周期相同。
(3)A、B两点转动方向：相同。
(4)规律：线速度与半径成正比，即＝。
2．皮带传动
(1)装置：两个轮子用皮带连接，A、B两点分别是两个轮子边缘的点。
(2)特点：线速度相同。
(3)A、B两点转动方向：相同(若皮带铰接，两个轮子的转动方向也可以相反)。
(4)规律：角速度与半径成反比，即＝；周期与半径成正比，即＝。
3．齿轮传动
(1)装置：两个齿轮轮齿咬合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点。
(2)特点：线速度相同。
(3)A、B两点转动方向：相反。
(4)规律：角速度与半径成反比，即＝；周期与半径成正比，即＝。
[典型例题]
例2.(2016·衡阳高一检测)如图所示的传动装置中，B、C两轮固定在一起同轴转动，A、B两轮用皮带传动，三个轮的半径关系是rA＝rC＝2rB。若皮带不打滑，求A、B、C三轮边缘上a、b、c三点的角速度之比和线速度之比。
[解析] A、B两轮通过皮带传动，皮带不打滑，则A、B两轮边缘的线速度大小相等
即va＝vb或va∶vb＝1∶1①
由v＝ωr得ωa∶ωb＝rB∶rA＝1∶2②
B、C两轮固定在一起同轴转动，则B、C两轮的角速度相等，
即ωb＝ωc或ωb∶ωc＝1∶1③
由v＝ωr得vb∶vc＝rB∶rC＝1∶2④
由②③得ωa∶ωb∶ωc＝1∶2∶2
由①④得va∶vb∶vc＝1∶1∶2
[答案] 1∶2∶2 1∶1∶2
[点评] 传动装置的特点
在处理传动装置中各物理量间的关系时，关键是确定其相同的量。
(1)同轴传动的物体上各点的角速度、转速和周期相等，但在同一轮上半径不同的各点线速度不同。
(2)皮带传动(皮带不打滑)中与皮带接触的两轮边缘上各点(或咬合的齿轮边缘的各点)的线速度大小相同，角速度与半径有关。
[即时巩固]
2．某变速箱中有甲、乙、丙三个齿轮(轮齿未画出)，如图所示，三个轮子依靠摩擦传动，相互之间不打滑，其半径分别为r1、r2、r3。若甲轮的角速度为ω1，则丙轮的角速度为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 本题中的三个轮组成的是齿轮传动模型，则三个轮边缘的线速度相等，由线速度、角速度关系v＝ωr得ω＝，那么丙轮的角速度ω3＝＝＝。
1.题型特点
匀速圆周运动的多解问题常涉及两个物体的两种不同运动，其中一个物体为匀速圆周运动，另一个为其他运动形式。
2．一个桥梁
由于两个运动同时进行，依据两物体运动的等时性建立两物体的关系，是解答本类题的基本思路。
[典型例题]
例3.(2016·长治高一检测)如图所示，半径为R的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，在其正上方h处沿半径OB方向水平抛出一小球与圆盘只碰一次，且落点恰好为圆盘边缘上的B点，求小球的初速度v的大小及圆盘转动的角速度ω的大小(重力加速度为g)。
[解析] 小球做平抛运动，竖直方向有h＝gt2，则运动时间t＝
又因为其水平方向的位移为R，所以小球的初速度
v＝＝R
设在时间t内，圆盘转过了n周，则转过的角度θ＝n·2π(n＝1,2,3，……)
又因为θ＝ωt
故圆盘转动的角速度ω＝＝2nπ(n＝1,2，3，……)
[答案] R 2nπ(n＝1,2,3，……)
[点评]
本题要注意两物体运动的等时性和圆周运动的周期性，解题中对n的表述可写成(n＝1,2,3，……)。
[即时巩固]
3．(2016·揭阳高一检测)如图所示，直径为d的纸制圆筒以角速度ω绕垂直于纸面的轴O匀速转动。从枪口发射的子弹沿直径穿过圆筒，在圆周上留下a、b两个弹孔，已知aO与bO夹角为φ，求子弹的速度。
解析：设子弹速度为v，子弹通过的位移为d，所以子弹穿过圆筒的时间为t＝
此时间内圆筒转过的角度
Δφ＝2nπ＋(π－φ)＝(2n＋1)π－φ(n＝0,1,2，……)
又因为ω＝
所以子弹的速度v＝(n＝0,1,2，……)
答案：(n＝0,1,2，……)
1．[多选]做匀速圆周运动的物体，下列物理量中不变的是( )
A．速度 B．速率
C．角速度 D．转速
解析：选BCD 速度是矢量，匀速圆周运动的速度方向不断改变；速率、转速都是标量，匀速圆周运动的速率、转速不变；角速度也是矢量，但匀速圆周运动的角速度方向不变，B、C、D正确。
2．甲、乙两物体分别做匀速圆周运动，如果它们转动的半径之比为1∶5，线速度之比为3∶2，则下列说法正确的是( )
A．甲、乙两物体的角速度之比是2∶15
B．甲、乙两物体的角速度之比是10∶3
C．甲、乙两物体的周期之比是2∶15
D．甲、乙两物体的周期之比是10∶3
解析：选C 由v＝ωr得＝∶＝·＝×＝，A、B错误；由ω＝得＝＝，C正确，D错误。
3．甲沿着半径为R的圆周跑道匀速跑步，乙沿着半径为2R的圆周跑道匀速跑步，在相同的时间内，甲、乙各自跑了一圈，他们的角速度和线速度的大小分别为ω1、ω2和v1、v2，则( )
A．ω1>ω2，v1>v2
B．ω1<ω2，v1C．ω1＝ω2，v1D．ω1＝ω2，v1＝v2
解析：选C 由于甲、乙在相同时间内各自跑了一圈，v1＝，v2＝，v14．[多选](2016·徐州高一检测)如图所示，门上有A、B两点，在关门过程中，A、B两点的角速度、线速度之间的关系是( )
A．ωA>ωB B．ωA＝ωB
C．vA>vB D．vA解析：选BC A、B同轴转动，角速度相等，A错误，B正确；由v＝ωr可知，角速度相同，线速度与半径成正比，vA>vB，C正确，D错误。
5．如图所示，在男女双人花样滑冰运动中，男运动员以自己为转动轴拉着女运动员做匀速圆周运动。若男运动员的转速为30 r/min，女运动员触地冰鞋的线速度为4.7 m/s，求：
(1)女运动员做圆周运动的角速度；
(2)女运动员触地冰鞋做圆周运动的半径。
解析：男运动员与女运动员转速相同，即
n女＝n男＝0.5 r/s
(1)女运动员的角速度
ω＝2πn女＝2π×0.5 rad/s＝3.14 rad/s
(2)由v＝ωr得r＝＝ m≈1.5 m
答案：(1)3.14 rad/s (2)1.5 m
课件58张PPT。 谢谢课下能力提升(四) 圆周运动
[基础练]
一、选择题
1．(2016·洛阳高一检测)在一棵大树将要被伐倒的时候，有经验的伐木工人就会双眼紧盯着树梢，根据树梢的运动情况就能判断大树正在朝着哪个方向倒下，从而避免被倒下的大树砸伤，从物理知识的角度来解释，以下说法正确的是( )
A．树木倒下时，树梢的角速度较大，易于判断
B．树木倒下时，树梢的线速度较大，易于判断
C．树木倒下时，树梢的周期较大，易于判断
D．伐木工人的经验没有科学依据
2．两个小球固定在一根长为L的杆的两端，且绕杆上的O点做圆周运动，如图所示。当小球1的速度为v1，小球2的速度为v2时，则转轴O到小球2的距离为( )
A.L B.L
C.L D.L
3．[多选]如图所示为某一皮带传动装置。主动轮的半径为r1，从动轮的半径为r2。已知主动轮做顺时针转动，转速为n，转动过程中皮带不打滑。下列说法正确的是( )
A．从动轮做顺时针转动
B．从动轮做逆时针转动
C．从动轮的转速为n
D．从动轮的转速为n
4．[多选]静止在地球上的物体都要随地球一起转动，a是位于赤道上的一点，b是位于北纬30° 的一点，则下列说法正确的是( )
A．a、b两点的运动周期相同
B．它们的角速度是不同的
C．a、b两点的线速度大小相同
D．a、b两点线速度大小之比为2∶
二、非选择题
5．(2016·邯郸月考)如图所示，圆环以直径AB为轴匀速转动，已知其半径R＝0.5 m，转动周期T＝4 s，求环上P点和Q点的角速度和线速度。
6．如图所示，半径为R的圆轮在竖直面内绕O轴匀速转动，O轴离地面高为2R，轮上a、b两点与O点连线相互垂直，a、b两点均粘有一小物体。当a点转至最低位置时，a、b两点处的小物体同时脱落，经过相同时间落到水平地面上。
(1)试判断圆轮的转动方向；
(2)求圆轮转动的角速度ω的大小。
[提能练]
一、选择题
1．(2016·甘肃高一检测)如图所示的齿轮传动装置中，主动轮的齿数z1＝24，从动轮的齿数z2＝8，当主动轮以角速度ω顺时针转动时，从动轮的运动情况是( )
A．顺时针转动，周期为2π/3ω
B．逆时针转动，周期为2π/3ω
C．顺时针转动，周期为6π/ω
D．逆时针转动，周期为6π/ω
2．如图所示是自行车传动结构的示意图，其中A是半径为r1的大齿轮，B是半径为r2的小齿轮，C是半径为r3的后轮，假设大齿轮的转速为n r/s，则自行车前进的速度为( )
A. B.
C. D.
3．如图所示，竖直薄壁圆筒内壁光滑，其半径为R，上部侧面A处开有小口，在小口A的正下方h处亦开有与A大小相同的小口B，小球从小口A沿切线方向水平射入筒内，使小球紧贴筒内壁运动。要使小球从B口处飞出，小球进入A口的最小速率v0为( )
A．πR B．πR
C．πR D．2πR
4．(2016·枣阳高一检测)为了测定子弹的飞行速度，在一根水平放置的轴杆上固定两个薄圆盘A、B，盘A、B平行且相距2 m，轴杆的转速为3 600 r/min，子弹穿过两盘留下两弹孔a、b，测得两弹孔所在半径的夹角θ＝30°，如图所示。则该子弹的速度可能是( )
A．360 m/s B．720 m/s
C．1 440 m/s D．108 m/s
二、非选择题
5．(2016·哈尔滨月考)一半径为R的雨伞绕柄以角速度ω匀速旋转，如图所示。伞边缘距地面高h，甩出的水滴在地面上形成一个圆，则此圆的半径r为多少？
6．在生产电缆的工厂里，生产好的电缆线要缠绕在滚轮上，如图所示，已知其内芯半径r1＝20 cm，缠满时半径r2＝80 cm，且滚轮转速不变，恒为n＝30 r/min，试分析：
(1)滚轮的转动方向如何？
(2)电缆线缠绕的最大、最小速度是多大？
(3)从开始缠绕到缠满所用时间为t，则从开始缠绕到缠绕长度为缠满时电缆长度的一半时，所用时间为t/2吗？为什么？
答 案
[基础练]
1．解析：选B 整个大树倒下时的角速度和周期相同，树梢的线速度大，故B正确。
2．解析：选B 两小球的角速度相同，设为ω，则有v1＝ωr1，v2＝ωr2，r1＋r2＝L。以上各式联立解得r2＝L，B正确。
3．解析：选BC 主动轮顺时针转动时，皮带带动从动轮逆时针转动，A错误，B正确；由于两轮边缘线速度大小相同，根据v＝2πrn，可得两轮转速与半径成反比，所以C正确，D错误。
4.解析：选AD 如图所示，地球绕自转轴转动时，地球上各点的周期及角速度都是相同的，由T＝知，a、b两点周期相同，A正确，B错误；地球表面物体做圆周运动的平面是物体所在纬度线平面，其圆心分布在整条自转轴上，不同纬度处物体做圆周运动的半径是不同的，b点半径rb＝，由v＝ωr，可得va∶vb＝2∶，C错误，D正确。
5．解析：P点和Q点的角速度相同，其大小是
ω＝＝ rad/s＝1.57 rad/s
P点和Q点绕AB做圆周运动，其轨迹的半径不同。P点和Q点的圆周运动半径分别为
rP＝R·sin 30°＝R，
rQ＝R·sin 60°＝R
故其线速度分别为
vP＝ω·rP≈0.39 m/s，
vQ＝ω·rQ≈0.68 m/s
答案：1.57 rad/s 1.57 rad/s 0.39 m/s 0.68 m/s
6．解析：(1)由题意知，a、b两点处的物体脱离圆轮后在空中的运动时间相等，因hb>ha，所以脱离时b点处物体的速度应竖直向下，即圆轮的转动方向为逆时针。
(2)a、b两点处的物体脱落前分别随圆盘做匀速圆周运动，设速度大小为v0，则有v0＝ωR
脱落后a点处物体做平抛运动
ha＝gt2＝R
b点处物体做竖直下抛运动
hb＝v0t＋gt2＝2R
联立以上各式得ω＝
答案：(1)逆时针 (2)
[提能练]
1．解析：选B 主动轮顺时针转动，从动轮逆时针转动，两轮边缘的线速度相等，由齿数关系知主动轮转一周时，从动轮转三周，故T从＝，B正确。
2．解析：选C 前进速度即为后轮的线速度，由同一个轮上的各点的角速度相等，同一条线上的各点的线速度相等，可得ω1r1＝ω2r2，ω3＝ω2，又ω1＝2πn，v＝ω3r3，所以v＝，选项C正确。
3．解析：选B 小球在竖直方向上只受重力作用，做自由落体运动，故小球从A到B的时间为t＝，设小球从A运动到B的过程中，沿水平方向转了n圈，则有v0t＝n·2πR，当n＝1时，小球进入A口的速率v0最小，解得v0＝πR ，B正确。
4．解析：选C 子弹从A盘到B盘，B盘转过的角度θ＝2πn＋(n＝0,1,2，…)，B盘转动的角速度ω＝＝2πf＝2πn＝2π× rad/s＝120π rad/s，子弹在A、B盘间运动的时间等于B盘转动的时间，即＝，所以v＝＝ m/s(n＝0,1，2，…)，n＝0时，v＝1 440 m/s；n＝1时，v≈110.77 m/s；n＝2时，v＝57.6 m/s，C正确。
5．解析：水滴飞出的速度大小v＝ωR，
水滴做平抛运动，故竖直方向有
h＝gt2，水平方向有l＝vt，
由题意画出俯视图，如图所示
由几何关系知，水滴在地面上形成的圆的半径r＝
联立以上各式得r＝R
答案：R
6．解析：(1)从题图可知滚轮的转动方向为逆时针。
(2)因为转速不变，由v＝ωr＝2πnr知，开始缠绕时速度最小vmin＝ωr1＝2πnr1＝2π××0.2 m/s＝0.2π m/s
缠满时速度最大
vmax＝ωr2＝2πnr2＝2π××0.8 m/s
＝0.8π m/s
(3)由于电缆线的缠绕速度逐渐增大，因此从开始缠绕到缠绕长度为电缆长度一半时所用时间要大于t/2。
答案：(1)逆时针 (2)0.8π m/s 0.2π m/s(3)不是，理由见解析
