一、感受圆周运动的加速度┄┄┄┄┄┄┄┄①
1．圆周运动必有加速度
圆周运动是变速运动，变速运动必有加速度。
2．匀速圆周运动物体的受力和加速度
[注意]
(1)速度的变化量是矢量，有关计算遵从矢量运算的三角形定则或平行四边形定则。
(2)不管是直线运动还是曲线运动，速度的变化量Δv都是从初速度v1的末端指向末速度v2的末端的有向线段。
①[判一判]
1．匀速圆周运动所受的合力和加速度总指向圆心(√)
2．匀速圆周运动的线速度大小不变，所以加速度为零(×)
3．匀速圆周运动是加速度不变的运动(×)
二、向心加速度┄┄┄┄┄┄┄┄②
1．定义：任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指向圆心，这个加速度叫做向心加速度。
2．大小：an＝或an＝ω2r。
3．方向：沿半径方向指向圆心，与线速度方向垂直。
[说明]
做变速圆周运动的物体，加速度并不指向圆心，该加速度有两个分量：一是向心加速度；二是切向加速度，切向加速度改变线速度大小。
②[填一填]
地球在不停地公转和自转，关于地球的自转，思考以下问题(填“相同”或“不相同”)：
(1)地球上各地的角速度大小________、线速度大小______。
(2)地球上各地的向心加速度大小__________。
解析：(1)地球上各地自转的周期都是24 h，所以地球上各地的角速度大小相同，但由于各地自转的半径不同，根据v＝ωr可知各地的线速度大小不同。(2)地球上各地自转的角速度相同，半径不同，根据an＝ω2r可知，各地的向心加速度大小因自转半径的不同而不同。
答案：(1)相同 不相同 (2)不相同
1.方向：向心加速度是矢量，方向总指向圆心，始终与速度方向垂直，故向心加速度只改变速度方向，不改变速度大小。
2．物理意义：向心加速度是描述线速度方向改变的快慢的物理量，不表示速度大小变化的快慢。
3．圆周运动的性质：向心加速度的方向时刻指向圆心，是时刻改变的，所以圆周运动一定是非匀变速曲线运动。
4．任何圆周运动的速度方向都改变，所以做圆周运动的物体都有向心加速度。
[典型例题]
例1.[多选](2016·宜昌高一检测)关于向心加速度，以下说法中正确的是( )
A．向心加速度的方向始终与速度方向垂直
B．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小
C．物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
D．物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
[解析] 向心加速度的方向沿半径指向圆心，速度方向则沿圆周的切线方向。所以，向心加速度的方向始终与速度方向垂直，只改变线速度的方向，物体做匀速圆周运动时，只具有向心加速度，加速度方向始终指向圆心；一般情况下，圆周运动的向心加速度与切向加速度的合加速度的方向不一定始终指向圆心。故A、B、D正确。
[答案] ABD
[点评] 向心加速度的两个特点
(1)向心加速度只描述线速度方向变化的快慢，沿切线方向的加速度只描述线速度大小变化的快慢。
(2)向心加速度的方向始终与速度方向垂直，且方向在不断改变。
[即时巩固]
1．下列关于匀速圆周运动中向心加速度的说法正确的是( )
A．向心加速度表示速率改变的快慢
B．向心加速度表示角速度变化的快慢
C．向心加速度描述线速度方向变化的快慢
D．向心加速度不变
解析：选C 匀速圆周运动中速率不变，速度的变化只表现为速度方向的变化，作为反映速度变化快慢的物理量，向心加速度只改变速度的方向，描述的是速度方向变化的快慢，A、B错误，C正确；匀速圆周运动的角速度是不变的，向心加速度的方向是变化的，始终指向圆心，D错误。
1.向心加速度的几种表达式
2．向心加速度与半径的关系
(1)若ω为常数，根据an＝ω2r可知，向心加速度与r成正比，如图甲所示。
(2)若v为常数，根据an＝可知，向心加速度与r成反比，如图乙所示。
(3)当匀速圆周运动的半径一定时，向心加速度的大小与角速度的平方成正比，也与线速度的平方成正比，随频率的增加或周期的减小而增大。
(4)若无特定条件，则不能说向心加速度与r是成正比还是成反比。
3．利用向心加速度表达式分析问题的方法
(1)根据题目中所给的条件，灵活选取an的各种表达式，既可以减少运算又能顺利地求解问题。
(2)对车辆辐条的转动、汽车转弯、皮带传动等生产、生活中的实例，我们可以通过探究其an、ω、v、r等物理量的变化规律，抓住关键物理量(an、ω、v、r等)的相互约束关系求解。
[典型例题]
例2.如图所示为两级皮带传动装置，转动时皮带均不打滑，中间两个轮子是固定在一起的，轮1的半径和轮2的半径相同，轮3的半径和轮4的半径相同，且为轮1和轮2半径的一半，则轮1边缘的a点与轮4边缘的c点相比( )
A．线速度之比为1∶4
B．角速度之比为4∶1
C．向心加速度之比为8∶1
D．向心加速度之比为1∶8
[解析] 由题意知2va＝2v3＝v2＝vc，其中v2、v3为轮2和轮3边缘的线速度，所以va∶vc＝1∶2，A错误；设轮4的半径为r，则aa＝＝＝＝ac，即aa∶ac＝1∶8，C错误，D正确；＝＝，B错误。
[答案] D
[点评] 比较圆周运动物理量大小时的两点提醒
(1)皮带(或齿轮)带动的接触面上线速度大小相等；同一转轴(除轴心)上的各部分角速度相等。
(2)在线速度相等的情况下，比较向心加速度的大小，用公式an＝；在角速度相等的情况下，用公式an＝rω2则较为方便。
[即时巩固]
2．(2016·湖州高一检测)质点做匀速圆周运动时，下列说法中正确的是( )
A．因为a＝Rω2，所以向心加速度a与轨道半径R成正比
B．因为a＝，所以向心加速度a与轨道半径R成反比
C．因为a＝4π2f2R，所以向心加速度a与轨道半径R成正比
D．因为a＝R，所以在轨道半径R一定时，向心加速度a与周期T成反比
解析：选D ω一定时，a与轨道半径R成正比，A错误；v一定时，a与轨道半径R成反比，B错误；在f一定时，a与R成正比；在R一定时，a与T成反比，C错误，D正确。
1．“月球勘探者号”空间探测器绕月球的飞行可以看成匀速圆周运动，关于探测器的运动，下列说法正确的是( )
A．是匀速运动
B．是匀变速运动
C．是变加速曲线运动
D．是向心加速度大小和方向都变化的运动
解析：选C 做匀速圆周运动的物体的速度大小不变，但速度的方向时刻在变化，A错误；做匀速圆周运动的物体具有向心加速度，尽管加速度的大小不变，但方向时刻变化，C正确，B、D错误。
2．关于质点做匀速圆周运动，下列说法中正确的是( )
A．线速度大，加速度一定大
B．角速度大，加速度一定大
C．周期大，加速度一定大
D．加速度大，速度一定变化快
解析：选D 由a＝＝ω2r＝可知，当r一定时，a与线速度v的平方成正比，与角速度ω的平方成正比，与周期T的平方成反比，A、B、C错误；加速度是描述速度变化快慢的，加速度越大，速度变化越快，D正确。
3．[多选]如图所示，一小物块在外力作用下，以大小为a＝4 m/s2的向心加速度做匀速圆周运动，半径R＝1 m，则下列说法正确的是( )
A．小物块运动的角速度为2 rad/s
B．小物块做圆周运动的周期为π s
C．小物块在t＝ s内通过的位移大小为 m
D．小物块在π s内通过的路程为零
解析：选AB 因为a＝ω2R，所以小物块运动的角速度为ω＝＝2 rad/s，周期T＝＝π s，A、B正确；小物块在 s内转过弧度，通过的位移为 m，在π s内转过一周，通过的路程为2π m，C、D错误。
4．在长0.2 m的细绳的一端系一小球，绳的另一端固定在水平桌面上，使小球以0.6 m/s的速度在桌面上做匀速圆周运动，求小球运动的向心加速度和角速度。
解析：小球运动的向心加速度
a＝＝ m/s2＝1.8 m/s2
角速度ω＝＝ rad/s＝3 rad/s
答案：1.8 m/s2 3 rad/s
5．(2016·天水月考)如图所示，质量为m的小球用长为L的悬绳固定于O点，在O点的正下方处有一颗钉子，把悬绳拉直与竖直方向成一定角度，由静止释放小球，则小球从右向左摆的过程中，悬绳碰到钉子前后小球的向心加速度之比为多少？
解析：在悬绳碰到钉子的前后瞬间，速度不变。做圆周运动的半径从L变成了，则根据加速度公式a＝得，两次向心加速度之比为半径之反比，即a前∶a后＝2∶3
答案：2∶3
课件38张PPT。谢谢课下能力提升(五) 向心加速度
[基础练]
一、选择题
1．下列说法中正确的是( )
A．向心加速度是描述角速度变化快慢的物理量
B．向心加速度是描述线速度大小变化快慢的物理量
C．向心加速度总是与线速度方向垂直
D．向心加速度只改变速度的大小
2．一质点做半径为r的匀速圆周运动，它的加速度、角速度、线速度、周期分别为a、ω、v、T，下列关系中错误的是( )
A．ω＝ B．v＝r
C．a＝vω D．T＝2π
3．如图所示，细绳的一端固定，另一端系一小球，让小球在竖直面内做圆周运动，关于小球运动到P点时的加速度方向，可能的是( )
4．[多选](2016·成都月考)一质点做匀速圆周运动，其线速度大小为4 m/s，转动周期为2 s，则( )
A．角速度为0.5 rad/s
B．转速为0.5 r/s
C．轨迹半径为 m
D．向心加速度大小为4π m/s2
5．如图所示，半径为R的圆盘绕过圆心的竖直轴OO′匀速转动，在距轴为r处有一竖直杆，杆上用长为L的细线悬挂一小球。当圆盘以角速度ω匀速转动时，小球也以同样的角速度做匀速圆周运动，这时细线与竖直方向的夹角为θ，则小球的向心加速度大小为( )
A．ω2R B．ω2r
C．ω2Lsin θ D．ω2(r＋Lsin θ)
二、非选择题
6．(2016·金台区高一检测)如图所示，一个大轮通过皮带拉着小轮转动，皮带和两轮之间无相对滑动，大轮的半径是小轮半径的2倍，大轮上的一点S离转动轴的距离是大轮半径的。当大轮边缘上的P点的向心加速度是12 m/s2时，大轮上的S点和小轮边缘上的Q点的向心加速度各为多少？
[提能练]
一、选择题
1．[多选](2016·银川高一检测)上海锦江乐园的“摩天转轮”可以在竖直平面内转动，其直径达98 m。游人乘坐时，转轮始终不停地做匀速转动，每转动一圈用时25 min，则( )
A．每时每刻，每个人受到的合力都不等于零
B．每个乘客都在做加速度为零的匀速运动
C．乘客在乘坐过程中，向心加速度并不是零，只是很微小
D．乘客在乘坐过程中的速度始终不变
2．如图所示，A、B为咬合传动的两齿轮，rA＝2rB，则A、B两轮边缘上两点的( )
A．角速度之比为2∶1
B．向心加速度之比为1∶2
C．周期之比为1∶2
D．转速之比为2∶1
3．[多选](2016·青岛高一检测)关于北京和广州随地球自转的向心加速度，下列说法中正确的是( )
A．它们的方向都是沿半径指向地心
B．它们的方向都在平行于赤道的平面内指向地轴
C．北京的向心加速度比广州的向心加速度大
D．北京的向心加速度比广州的向心加速度小
4．[多选]如图为一拖拉机的示意图，其大轮半径是小轮半径的1.5倍。A、B分别为大轮和小轮边缘上的点，在拖拉机前进时( )
A．A、B两点的线速度之比为vA∶vB＝1∶1
B．A、B两点的线速度之比为vA∶vB＝3∶2
C．A、B两点的角速度之比为ωA∶ωB＝3∶2
D．A、B两点的向心加速度之比为aA∶aB＝2∶3
5．[多选]小金属球质量为m，用长为L的轻悬线固定于O点，在O点的正下方处钉有一颗钉子P，把悬线沿水平方向拉直，如图所示，若无初速度释放小球，当悬线碰到钉子后瞬间(设线没有断)( )
A．小球的角速度突然增大
B．小球的线速度突然减小到零
C．小球的向心加速度突然增大
D．小球的线速度突然增大
二、非选择题
6．如图所示，定滑轮的半径r＝0.4 m，绕在定滑轮上的细线悬挂着一个重物，由静止释放，测得重物以加速度a＝2 m/s2做匀加速运动，在重物由静止下落h＝1 m的瞬间，试求滑轮边缘上某点向心加速度的大小和合加速度的大小。
答 案
[基础练]
1．解析：选C 向心加速度描述线速度方向变化的快慢，不改变线速度的大小，与角速度无关，A、B、D错误；向心加速度的方向时刻指向圆心，总是与线速度方向垂直，C正确。
2．解析：选B 因为a＝ω2r，所以ω＝，A正确；因为a＝，所以v＝，B错误；因为a＝ω2r，又v＝ωr，所以a＝vω，C正确；因为a＝2r，所以T＝2π，D正确。
3．解析：选D 竖直面内做圆周运动的小球在P点受到重力和绳拉力的共同作用，由牛顿第二定律可知其加速度a的方向即为所受二力合力的方向，指向圆周内侧，A、B、C错误，D正确。
4．解析：选BCD 角速度为ω＝＝π rad/s，A错误；转速为n＝＝0.5 r/s，B正确；半径r＝＝ m，C正确；向心加速度为an＝＝4π m/s2，D正确。
5．解析：选D 小球运动的轨迹是水平面内的圆，如题图中虚线所示，其圆心是轨迹所在水平面与转轴OO′的交点，所以圆周运动的半径为r＋Lsin θ，所以an＝ω2·r＝ω2(r＋Lsin θ)，D正确。
6．解析：同一轮子上的S点和P点的角速度相同，
即ωS＝ωP
由向心加速度公式an＝ω2r
解得＝
故aS＝aP＝×12 m/s2＝4 m/s2
又因为皮带不打滑，所以皮带传动的两轮边缘上各点的线速度大小相等，即vP＝vQ
由向心加速度公式an＝
解得＝
故aQ＝aP＝2×12 m/s2＝24 m/s2
答案：4 m/s2 24 m/s2
[提能练]
1．解析：选AC “摩天转轮”匀速转动，其上的人随之做匀速圆周运动，而匀速圆周运动属于变速运动，必定有加速度(向心加速度)，根据牛顿第二定律，人所受合力一定不为零；同时，人在竖直平面内做匀速圆周运动，向心加速度的方向随时改变，但大小一定，an＝ω2r＝r＝× m/s2≈8.6×10－4 m/s2；另外，乘客随转轮做匀速圆周运动，其速度的大小不发生变化，但速度的方向时刻变化。所以A、C正确。
2．解析：选B 根据两轮边缘上各点的线速度大小相等，由v＝rω得角速度之比为ωA∶ωB＝rB∶rA＝1∶2，A错误；由a＝得向心加速度之比为aA∶aB＝rB∶rA＝1∶2，B正确；由T＝得周期之比为TA∶TB＝rA∶rB＝2∶1，C错误；由n＝得转速之比为nA∶nB＝ωA∶ωB＝1∶2，D错误。
3.解析：选BD 如图所示，地球表面各点的向心加速度方向都在平行于赤道的平面内指向地轴，B正确，A错误；设地球半径为R0，在地面上纬度为φ的P点，做圆周运动的轨道半径r＝R0cos φ，其向心加速度为an＝ω2r＝ω2R0cos φ，由于北京的地理纬度比广州的大，cos φ小，两地随地球自转的角速度相同，因此北京随地球自转的向心加速度比广州的小，D正确，C错误。
4．解析：选AD 由题意知vA∶vB＝1∶1，A正确，B错误；又由ω＝得ωA∶ωB＝rB∶rA＝2∶3，C错误；又由a＝得aA∶aB＝rB∶rA＝2∶3，D正确。
5．解析：选AC 由题意知，当悬线运动到与钉子相碰时，线速度大小不变，但半径突然变小，故ω＝突然变大，且an＝也突然变大，A、C正确。
6．解析：由题意知，滑轮边缘上的点的线速度与物体的速度相等。由v2＝2ah得，
v＝＝ m/s＝2 m/s
所以an＝＝ m/s2＝10 m/s2
滑轮边缘某点的切向加速度与物体的加速度相等，
即at＝2 m/s2
合加速度a合＝＝ m/s2≈10.2 m/s2
答案：10 m/s2 10.2 m/s2
