一、向心力┄┄┄┄┄┄┄┄①
1．定义：做匀速圆周运动的物体受到的指向圆心的合力。
2．方向：始终指向圆心，与线速度方向垂直。
3．公式：Fn＝m或Fn＝mω2r或Fn＝mr。
4．来源：
(1)向心力是按照力的作用效果命名的。
(2)匀速圆周运动中向心力可能是物体所受外力的合力，也可能是某个力的分力。
5．作用：产生向心加速度，改变线速度的方向。
[说明]
根据向心加速度的表达式an＝＝ω2r＝r＝4π2n2r＝ωv，结合牛顿第二定律Fn＝man就可得到向心力表达式。
①[判一判]
1．向心力是除物体所受重力、弹力以及摩擦力以外的一种新力(×)
2．向心力的方向时刻指向圆心，方向不断变化(√)
3．做圆周运动的物体其向心力大小不变，方向时刻变化(×)
4．向心力既可以改变速度的大小，也可以改变速度的方向(×)
5．物体做圆周运动的速度越大，向心力一定越大(×)
二、变速圆周运动和一般的曲线运动┄┄┄┄┄┄┄┄②
1．变速圆周运动：线速度大小发生变化的圆周运动，做变速圆周运动的物体同时具有向心加速度和切向加速度。
2．一般的曲线运动
(1)定义：运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动。
(2)研究方法：将一般的曲线运动分成许多很短的小段，质点在每一小段的运动都可以看做圆周运动的一部分。
[说明]
对于变速圆周运动，Fn＝m＝mω2r，an＝＝ω2r仍可用。
②[填一填]
荡秋千是小朋友很喜欢的游戏，当秋千向下荡时，
(1)小朋友做的是________运动；
(2)绳子拉力与重力的合力指向悬挂点吗？
________________________________________________________________________
解析：(1)秋千荡下时，速度越来越大，做的是变速圆周运动。(2)由于秋千做变速圆周运动，合外力既有指向圆心的分力，又有沿圆周切向的分力，所以合力不指向悬挂点。
答案：(1)变速圆周 (2)不指向
1.向心力的作用效果：改变线速度的方向。由于向心力始终指向圆心，其方向与物体运动方向始终垂直，故向心力不改变速度的大小。
2．大小：Fn＝man＝m＝mω2r＝mωv，对于匀速圆周运动，向心力大小始终不变，但对非匀速圆周运动(如用一根绳拴住小球绕固定圆心在竖直平面内做的圆周运动)，其向心力大小随速率v而变化，所以公式表述的只是瞬时值。
3．方向：无论是否为匀速圆周运动，其向心力总是沿着半径指向圆心，方向时刻改变，故向心力是变力。
4．向心力的来源
(1)实例分析
①向心力可以由某一个力充当
重力可以充当向心力
如图所示，用细绳拴住小球在竖直平面内转动，当它经过最高点时，若绳的拉力恰好为零，则此时向心力由重力提供
弹力可以充当向心力
如图所示，用细绳拴住小球在光滑的水平面内做匀速圆周运动，向心力由绳子的拉力提供
摩擦力可以充当向心力
如图所示，物体随转盘做匀速圆周运动，且物体相对于转盘静止，向心力由转盘对物体的静摩擦力提供
②向心力可以由合力提供
如细线拴住小球在竖直面内做匀速圆周运动，当小球经过最低点时，向心力由细线的拉力和重力的合力提供，如图甲所示。
③向心力可以由某个力的分力提供
如小球在细线作用下，在水平面内做圆锥摆运动时，向心力由细线的拉力在水平面内的分力提供，如图乙所示。
(2)结论：向心力是按力的作用效果命名的，充当向心力的力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，可以是某一个单独的力，也可以是几个力的合力，还可以是物体受到的合力在沿半径指向圆心方向上的分量。
[典型例题]
例1.一圆台可绕通过圆台中心O且垂直于台面的竖直轴转动。在圆台上放置一小木块A，它随圆台一起做匀速圆周运动，如图所示，则关于木块A的受力，下列说法中正确的是( )
A．木块A受重力、支持力和向心力作用
B．木块A受重力、支持力和静摩擦力作用，静摩擦力的方向与木块运动方向相反
C．木块A受重力、支持力和静摩擦力作用，静摩擦力的方向与木块运动方向相同
D．木块A受重力、支持力和静摩擦力作用，静摩擦力的方向指向圆心
[解析] 物体A在水平圆台上，受竖直向下的重力，竖直向上的支持力，且两力是一对平衡力。由于A随圆台一起做匀速圆周运动，故其必受向心力作用，所以A必定受到静摩擦力作用，静摩擦力一定指向圆心且等于向心力，D正确，B、C错误；向心力不是物体受到的力，是由木块A所受的静摩擦力提供的，A错误。
[答案] D
[点评] 向心力的三点理解
(1)向心力不是具有特定性质的某种力，任何性质的力都可以作为向心力，受力分析时不分析向心力。
(2)公式F＝mω2r＝m既适用于匀速圆周运动，也适用于变速圆周运动。
(3)匀速圆周运动中，合力提供向心力；非匀速圆周运动中，合力不一定指向圆心，合力沿半径方向的分力充当向心力。
[即时巩固]
1．(2016·盐城高一检测)有一个惊险的杂技节目叫“飞车走壁”，杂技演员骑摩托车先在如图所示的大型圆筒底部做速度较小、半径较小的圆周运动，通过逐步加速，圆周运动半径逐步增大，最后能以较大的速度在竖直的壁上做匀速圆周运动，这时使车子和人整体做匀速圆周运动的向心力是( )
A．圆筒壁对车的静摩擦力
B．筒壁对车的弹力
C．摩托车本身的动力
D．重力和摩擦力的合力
解析：选B 当车子和人在垂直的筒壁上做匀速圆周运动时，在竖直方向上，摩擦力等于重力，这两个力是平衡力；在水平方向上，车子和人转动的向心力由筒壁对车的弹力来提供，B正确。
1.匀速圆周运动的特点
2．匀速圆周运动的性质
(1)线速度仅大小不变而方向时刻改变，是变速运动。
(2)向心加速度仅大小恒定而方向时刻改变，是非匀变速曲线运动。
(3)匀速圆周运动具有周期性，即每经过一个周期运动物体都要重新回到原来的位置，其运动状态(如v、a大小及方向)也要重复原来的情况。
(4)匀速圆周运动的物体所受合力大小恒定，方向总是沿半径指向圆心，方向时刻改变。
3．匀速圆周运动的解题步骤
4．匀速圆周运动的常见模型及向心力分析
(1)
或mgtan θ＝mω2lsin θ
则an＝gtan θ
(2)
或mgtan θ＝mrω2
则an＝gtan θ
(3)
或mgtan θ＝mrω2
则an＝gtan θ
(4)
则an＝ω2r
[典型例题]
例2.如图所示，有一质量为m的小球在光滑的半球形碗内做匀速圆周运动，轨道平面在水平面内。已知小球与半球形碗的球心O的连线跟竖直方向的夹角为θ，半球形碗的半径为R，求小球做圆周运动的速度及碗壁对小球的弹力。
[解析] 方法一：正交分解法
根据小球做圆周运动的轨迹找圆心，定半径。由题图可知，
圆心为O′，运动半径为r＝Rsin θ。小球受重力mg及碗对小球弹力FN的作用，向心力为弹力的水平分力。受力分析如图所示。
由向心力公式Fn＝m
得FNsin θ＝m①
竖直方向上小球的加速度为零，所以竖直方向上所受的合力为零，即FNcos θ＝mg
解得FN＝ ②
联立①②两式，可解得小球做匀速圆周运动的速度为v＝。
方法二：合成法
如图为小球做匀速圆周运动时的受力情况，FN为碗壁对小球的弹力，则FN＝，设小球做圆周运动的速度大小为v，则F合＝mgtan θ＝m，其中r＝Rsin θ，
联立解得v＝。
[答案]
[点评] 解决匀速圆周运动问题时，应注意以下几个方面：
(1)弄清物体圆形轨道所在的平面，明确圆心和半径。
(2)分析向心力来源，明确提供向心力的是什么力。
(3)对解题结果进行动态分析，明确各量之间的制约关系、变化趋势以及结果涉及物理量的决定因素。
[即时巩固]
2．几位同学探究用如图所示的装置粗略验证向心力的表达式。他们用细线吊着一小铁球，使小铁球在水平面内做匀速圆周运动，如图所示。他们用仪器测出下列物理量：小铁球质量m，悬点O到球心距离l，细线与竖直方向的夹角α。已知重力加速度为g。求：
(1)小铁球做匀速圆周运动时向心力的大小；
(2)小铁球做匀速圆周运动时的角速度大小；
(3)小铁球做匀速圆周运动时的线速度大小。
解析：(1)对小铁球受力分析如图，重力与拉力的合力提供向心力，所以Fn＝mgtan α
(2)小铁球做匀速圆周运动时的半径r＝lsin α，由mgtan α＝mω2lsin α
解得ω＝
(3)由mgtan α＝m
解得v＝ sin α
答案：(1)mgtan α (2)
(3) sin α
1.临界条件
在变速圆周运动中的某些特殊位置上，常存在着最小(或最大)的速度，小于(或大于)这个速度，物体就不能再继续做圆周运动了，此速度即为临界速度。在这个位置，物体的受力必满足特定的条件，这就是临界条件。当物体的受力发生变化时，其运动状态随之变化。
2．临界状态
当某力突然变为零时，对应物体出现相应的临界状态。常见的如绳子突然断裂、支持物的作用力突然变化、静摩擦力充当向心力时突然消失或达最大值等。通过受力分析来确定临界状态和临界条件，是较常用的解题方法。
[典型例题]
例3.如图所示，细绳一端系着质量M＝0.6 kg的物体A静止在水平转台上，另一端通过轻质小滑轮O吊着质量m＝0.3 kg 的物体B。A与滑轮O的距离为 0.2 m，且与水平面的最大静摩擦力为2 N，为使B保持静止状态，水平转台做圆周运动的角速度ω应在什么范围内？(g取10 m/s2)
[解析] 当ω最小时，A受的最大静摩擦力Ff的方向与拉力方向相反，则有
mg－Ff＝Mrω
ω1＝＝ rad/s≈2.89 rad/s
当ω最大时，A受的最大静摩擦力Ff的方向与拉力方向相同，则有mg＋Ff＝Mrω
ω2＝＝ rad/s≈6.45 rad/s
故ω的取值范围为
2．89 rad/s≤ω≤6.45 rad/s
[答案] 2.89 rad/s≤ω≤6.45 rad/s
[点评] 临界条件和临界速度
[即时巩固]
3．(2016·浙江高一检测)如图所示，水平转盘上放有质量为m的物体(可视为质点)，连接物体和转轴的绳子长为r，物块与转盘间的最大静摩擦力是其压力的μ倍，转盘的角速度由零逐渐增大，试通过计算求：
(1)绳子对物体拉力为零时的最大角速度；
(2)当角速度为 时，绳子对物体拉力的大小。
解析：(1)当恰由最大静摩擦力提供向心力时，绳子拉力为零且转速达最大，设转盘转动的角速度为ω0，
由Fn＝mrω2得μmg＝mωr
解得ω0＝
(2)当ω＝时，ω＞ω0，所以绳子拉力F和最大静摩擦力共同提供向心力
由F＋μmg＝mω2r
解得F＝μmg
答案：(1) (2)μmg
1．[多选]下列关于向心力的说法中正确的是( )
A．做圆周运动的物体其向心力可以是恒力，也可以是变力
B．做圆周运动的物体其向心力的方向一定指向圆心
C．做匀速圆周运动的物体其向心力的方向时刻与其线速度的方向垂直
D．做圆周运动的物体其向心力的方向和向心加速度的方向相同
解析：选BCD 做圆周运动的物体其向心力时刻变化，A错误；向心力方向始终指向圆心，B正确；向心力只改变线速度方向，不改变大小，C正确；由F＝ma知，D正确。
2．如图所示，玻璃球沿碗的内壁做匀速圆周运动(忽略摩擦)，这时球受到的力是( )
A．重力和向心力
B．重力和支持力
C．重力、支持力和向心力
D．重力
解析：选B 玻璃球沿碗内壁做匀速圆周运动的向心力由重力和支持力的合力提供，向心力不是物体受的力，故B正确。
3．(2016·烟台高一检测)在水平冰面上，狗拉着雪橇做匀速圆周运动，O点为圆心。能正确表示雪橇受到的牵引力F及摩擦力Ff的图是( )
解析：选C 由于雪橇在冰面上滑动，其滑动摩擦力方向必与运动方向相反，即沿圆的切线方向；因雪橇做匀速圆周运动，其所受合力一定指向圆心，C正确。
4．甲、乙两个物体都做匀速圆周运动，其质量之比为1∶2，转动半径之比为1∶2，在相同的时间里甲转过60°，乙转过45°，则它们的向心力之比为( )
A．1∶4 B．2∶3
C．4∶9 D．9∶16
解析：选C 由匀速圆周运动的向心力公式Fn＝mRω2＝mR2，所以＝，C正确。
5．(2016·嘉兴高一检测)如图所示，长0.40 m的细绳，一端拴一质量为0.2 kg的小球，在光滑水平面上绕绳的另一端做匀速圆周运动。若运动的角速度为5.0 rad/s，求绳对小球需施加多大的拉力。
解析：小球沿半径等于绳长的圆周做匀速圆周运动，根据向心力公式，所需向心力的大小Fn＝mω2r＝0.2×5.02×0.40 N＝2.0 N
因此，绳对小球需施加拉力的大小
FT＝Fn＝2.0 N
答案：2.0 N
课件67张PPT。1 谢谢课下能力提升(六) 向 心 力
[基础练]
一、选择题
1．下列有关向心力的说法中正确的是( )
A．物体由于做圆周运动而产生了一个向心力
B．向心力只改变做匀速圆周运动物体的线速度的方向，不改变线速度的大小
C．做圆周运动物体的向心力一定等于其所受的合力
D．做匀速圆周运动物体的向心力是不变的
2．质量为m的木块从半球形的碗口下滑到碗底的过程中，如果由于摩擦力的作用，使得木块的速率不变，那么( )
A．下滑过程中木块加速度为零
B．下滑过程中木块所受合力大小不变
C．下滑过程中木块所受合力为零
D．下滑过程中木块所受的合力越来越大
3．(2016·葫芦岛高一检测)汽车甲和汽车乙质量相等，以相等的速率沿同一水平弯道做匀速圆周运动，甲车在乙车的外侧。两车沿半径方向受到的摩擦力分别为Ff甲和Ff乙。以下说法正确的是( )
A．Ff甲＜Ff乙
B．Ff甲＝Ff乙
C．Ff甲＞Ff乙
D．Ff甲和Ff乙大小均与汽车速率无关
4．如图所示，将完全相同的两小球A、B用长L＝0.8 m的细绳悬于以v＝4 m/s向右匀速运动的小车顶部，两球分别与小车前、后壁接触。由于某种原因，小车突然停止运动，此时悬线的拉力之比FB∶FA为(取g＝10 m/s2)( )
A．1∶1 B．1∶2
C．1∶3 D．1∶4
5．(2016·临沂高一检测)如图所示，半径为r的圆形转筒，绕其竖直中心轴OO′转动，小物体a靠在圆筒的内壁上，它与圆筒间的动摩擦因数为μ，要使小物体不下落，圆筒转动的角速度至少为( )
A. B.
C. D.
二、非选择题
6．(2016·新泰高一检测)如图所示，旋转木马被水平钢杆拴住，绕转台的中心轴做匀速圆周运动。若相对两个木马间的杆长为6 m，木马的质量为30 kg，骑木马的儿童质量为40 kg，当木马旋转的速度为6 m/s时，试求：
(1)此时木马和儿童的向心力由哪个物体提供？
(2)此时儿童受到的向心力是多大？
[提能练]
一、选择题
1．(2016·枣庄高一检测)如图所示，A、B随水平圆盘绕轴匀速转动，物体B在水平方向所受的作用力有( )
A．圆盘对B及A对B的摩擦力，两力都指向圆心
B．圆盘对B的摩擦力指向圆心，A对B的摩擦力背离圆心
C．圆盘对B及A对B的摩擦力和向心力
D．圆盘对B的摩擦力和向心力
2．[多选]如图所示，质量不计的轻质弹性杆P插入地面上的小孔中，杆的另一端固定一质量为m的小球，今使小球在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，角速度为ω，则下列说法正确的是(重力加速度为g)( )
A．球所受的合力大小为mω2R
B．球所受的合力大小为m
C．球对杆作用力的大小为m
D．球对杆作用力的大小为m
3．[多选](2016·上饶高一检测)如图所示的圆锥摆，摆线与竖直方向的夹角为θ，悬点O到圆轨道平面的高度为h，下列说法正确的是( )
A．摆球质量越大，则h越大
B．角速度ω越大，则摆角θ也越大
C．角速度ω越大，则h也越大
D．摆球周期与质量无关
4．[多选]如图所示，A、B两球穿过光滑水平杆，两球间用一细绳连接，当该装置绕竖直轴OO′匀速转动时，两球在杆上恰好不发生滑动，若两球质量之比mA∶mB＝2∶1，那么A、B两球的( )
A．运动半径之比为1∶2
B．加速度大小之比为1∶2
C．线速度大小之比为1∶2
D．向心力大小之比为1∶2
二、非选择题
5．(2016·绵阳月考)如图所示，两根长度相同的轻绳，连接着相同的两个小球1、2，让它们以光滑的杆为轴在水平面内做匀速圆周运动，其中O为圆心，两段细绳在同一直线上，此时，两段绳子受到的拉力之比为多少？
6．如图所示，在光滑的圆锥顶用长为l的细线悬挂一质量为m的小球，圆锥顶角为2θ，当圆锥和球一起以角速度ω匀速转动时，球压紧锥面。此时绳的张力是多少？若要小球离开锥面，则小球的角速度至少为多少？
答 案
[基础练]
1．解析：选B 物体因受到了向心力而做圆周运动，A错误；匀速圆周运动物体所受向心力指向圆心，方向时刻在变，大小不变，其作用只改变线速度的方向，B正确，D错误；只有做匀速圆周运动的物体向心力等于其所受合力，C错误。
2．解析：选B 因木块做匀速圆周运动，故木块受到的合力即向心力大小不变，向心加速度大小不变，B正确。
3．解析：选A 静摩擦力分别提供两车转弯时的向心力，Ff甲＝m，Ff乙＝m，因r甲＞r乙，故Ff甲＜Ff乙，A正确。
4．解析：选C 设两小球A、B的质量均为m。小车突然停止运动时，小球B由于受到小车前壁向左的弹力作用，相对于小车静止，竖直方向上受力平衡，则有FB＝mg＝10m；小球A绕悬点以速度v做圆周运动，此时有FA－mg＝m，得FA＝mg＋m＝10m＋20m＝30m。故FB∶FA＝10m∶30m＝1∶3，C正确。
5．解析：选C 本题中圆筒内壁的弹力提供向心力，当圆筒的角速度为ω时，其内壁对物体a的弹力为FN，要使物体a不下落，应满足μFN≥mg，又因为物体在水平面内做匀速圆周运动，则FN＝mrω2，联立两式解得ω≥，则圆筒转动的角速度至少为。
6．解析：(1)木马受骑在木马上的儿童对它的压力、重力和钢杆对它的作用力做匀速圆周运动。木马受到的向心力由钢杆提供；儿童受到木马对他的作用力和重力作用，向心力由木马提供。
(2)儿童所受向心力由木马提供且指向圆心，由F＝m得F＝40× N＝480 N。
答案：(1)钢杆 木马 (2)480 N
[提能练]
1．解析：选B A随B做匀速圆周运动，它所需的向心力由B对A的静摩擦力来提供，因此B对A的摩擦力指向圆心，A对B的摩擦力背离圆心，圆盘对B的摩擦力指向圆心，才能使B受到指向圆心的合力，所以B正确。
2．解析：选AD 小球沿水平方向做匀速圆周运动，其所受合力提供向心力，大小为mω2R，A正确，B错误；设杆对球的作用力为F，沿竖直方向的分力为Fy，水平方向的分力为Fx，则Fx＝mω2R，Fy＝mg，故杆对球的作用力大小为F＝＝m，由牛顿第三定律可知，球对杆的作用力大小为m，C错误，D正确。
3．解析：选BD 摆球所受重力与拉力的合力提供向心力，由mgtan θ＝mlsin θω2，又tan θ＝，可得h＝，与质量无关，ω越大，h越小，A、C错误；又由mgtan θ＝mlsin θω2得ω＝ ，所以角速度ω越大，则摆角θ也越大，B正确；由T＝＝2π 知，摆球周期与质量无关，D正确。
4．解析：选ABC 两球的向心力都由细绳拉力提供，大小相等，D错误；两球都随杆一起转动，角速度相等，设两球的运动半径分别为rA、rB，转动角速度为ω，则mArAω2＝mBrBω2，所以rA∶rB＝mB∶mA＝1∶2，A正确；＝＝，B正确；＝＝，C正确。
5．解析：设每段绳子长为l，分别对小球受力分析，如图所示，
对球2有F2＝2mlω2
对球1有F1－F2＝mlω2
由以上两式得F1＝3mlω2
故＝
答案：3∶2
6.解析：对小球进行受力分析如图所示，
根据牛顿第二定律，指向圆心的方向上有
FTsin θ－FNcos θ＝mω2r①
y方向上应有
FNsin θ＋FTcos θ－mg＝0②
又因为r＝lsin θ③
联立①②③式可得
FT＝mgcos θ＋mω2lsin2 θ④
当小球刚好离开锥面时FN＝0(临界条件)，设此时角速度是ω0
则有FTsin θ＝mωr⑤
FTcos θ－mg＝0⑥
联立③⑤⑥可得ω0＝
即小球角速度至少为 。
答案：mgcos θ＋mω2lsin2θ
