1.模型特点
2．处理方法
由＝＝mrω2＝mr＝ma，分析相应轨道上的v、ω、T、a、Ek、Ep、E。
3．卫星、飞船做椭圆运动
此时可以通过开普勒第二定律讨论卫星、飞船在同一椭圆轨道上不同位置的线速度大小，或可以通过开普勒第三定律讨论卫星、飞船在不同椭圆轨道上运动的周期大小，还可以通过关系式a＝讨论椭圆轨道上距地心不同距离处的加速度大小。
4.飞船对接问题
两飞船实现对接前应处于高低不同的两轨道上，目标船处于较高轨道，在较低轨道上运动的对接船通过合理的加速，可以提升高度并追上目标船与其完成对接。
[典型例题]
例1.[多选](2016·扬州高一检测)如图所示是某次同步卫星发射过程的示意图，先将卫星送入一个近地圆轨道，然后在P点点火加速，进入椭圆转移轨道，其中P是近地点，Q是远地点，在Q点再次点火加速进入同步轨道。设卫星在近地圆轨道的运行速率为v1，加速度大小为a1；在P点短时间点火加速之后，速率为v2，加速度大小为a2；沿转移轨道刚到达Q点速率为v3，加速度大小为a3；在Q点点火加速之后进入圆轨道，速率为v4，加速度大小为a4，则( )
A．v1＝v2 a1
B．v1C．v3D．v3[解析] 卫星在近地圆轨道上运行时所受到的万有引力大小保持不变，由G＝ma可知a1＝a2；在P点短时间点火加速之后卫星的速率增大，故v1[答案] BC
[点评] 卫星变轨问题的处理技巧
(1)当卫星绕天体做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力，由G＝m，得v＝，由此可见轨道半径r越大，线速度v越小。当由于某原因速度v突然改变时，若速度v减小，则F>m，卫星将做近心运动，轨迹为椭圆；若速度v增大，则F(2)卫星到达椭圆轨道与圆轨道的切点时，卫星受到的万有引力相同，所以加速度相同。
[即时巩固]
1．[多选]发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3。轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，如图所示。则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是( )
A．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率
B．卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度
C．卫星在轨道1上经过Q点时的速率大于它在轨道2上经过Q点时的速率
D．卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度
解析：选BD 由G＝m得v＝ 可知，A错误；由G＝mω2r得ω＝ 可知，B正确；卫星在轨道1上经过Q点时经过加速才能做离心运动沿轨道2运动，C错误；由万有引力定律和牛顿第二定律知，D正确。
某星体的两颗卫星之间的距离有最近和最远之分，但它们都处在同一条直线上。由于它们的轨道不是重合的，因此在最近和最远的相遇问题上不能通过位移或弧长相等来处理，而是通过卫星运动的圆心角来衡量，若它们初始位置在同一直线上，实际上内轨道所转过的圆心角与外轨道所转过的圆心角之差为π的整数倍时就是出现距离最近或最远的时刻。
[典型例题]
例2.(2016·沈阳高一检测)某航天飞机在地球赤道上空飞行，轨道半径为r，飞行方向与地球的自转方向相同，设地球的自转角速度为ω0，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，在某时刻航天飞机通过赤道上某建筑物的上方，求它下次通过该建筑物上方所需的时间。
[解析] 用ω表示航天飞机的角速度，用m、M分别表示航天飞机及地球的质量，则有＝mrω2
航天飞机在地面上，有G＝mg
联立解得ω＝
若ω>ω0，即航天飞机高度低于同步卫星高度，用t表示所需时间，则ωt－ω0t＝2π
所以t＝＝
若ω<ω0，即航天飞机高度高于同步卫星高度，用t表示所需时间，则ω0t－ωt＝2π
所以t＝＝
[答案] 或
[即时巩固]
2．如图所示，甲、乙两颗卫星绕地球做圆周运动，已知甲卫星的周期为N小时，每过9N小时，乙卫星都要运动到与甲卫星同居于地球一侧且三者共线的位置上，则甲、乙两颗卫星的线速度之比为( )
A. B. C. D.
解析：选A 由·9N＝2π，T1＝N，解得：＝。根据开普勒定律，＝()，线速度v＝，则＝·＝()×＝，A正确。
1．俄罗斯车里雅宾斯克州曾发生过天体坠落事件。一块陨石从外太空飞向地球，到A点刚好进入大气层，由于受地球引力和大气层空气阻力的作用，轨道半径渐渐变小，则下列说法中正确的是( )
A．陨石正减速飞向A处
B．陨石绕地球运转时角速度渐渐变小
C．陨石绕地球运转时速度渐渐变大
D．进入大气层陨石的机械能渐渐变大
解析：选C 陨石进入大气层前，只有万有引力做正功，速度增大，A错误；进入大气层后，空气阻力做负功，机械能减小，D错误；由＝m＝mω2r得：v＝，ω＝ ，故随r减小，v、ω均增大，B错误，C正确。
2．[多选]甲、乙为两颗地球卫星，其中甲为地球同步卫星，乙的运行高度低于甲的运行高度，两卫星轨道均可视为圆轨道。以下判断正确的是( )
A．甲的周期大于乙的周期
B．乙的速度大于第一宇宙速度
C．甲的加速度小于乙的加速度
D．甲在运行时能经过北极的正上方
解析：选AC 对同一个中心天体而言，根据开普勒第三定律可知，卫星的轨道半径越大，周期就越长，选项A正确；第一宇宙速度是卫星环绕地球运行的最大线速度，选项B错误；由G＝ma可得轨道半径越大的天体加速度越小，选项C正确；同步卫星只能在赤道的正上方运行，不可能过北极的正上方，选项D错误。
3．[多选]我国探月探测器“嫦娥三号”在西昌卫星发射中心成功发射升空，此飞行轨道示意图如图所示，探测器从地面发射后奔向月球，在P点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，Q为轨道Ⅱ上的近月点。下列关于“嫦娥三号”的运动，正确的说法是( )
A．发射速度一定大于7.9 km/s
B．在轨道Ⅱ上从P到Q的过程中速率不断增大
C．在轨道Ⅱ上经过P的速度小于在轨道Ⅰ上经过P的速度
D．在轨道Ⅱ上经过P的加速度小于在轨道Ⅰ上经过P的加速度
解析：选ABC “嫦娥三号”探测器的发射速度一定大于7.9 km/s，A正确；在轨道Ⅱ上从P到Q的过程中速率不断增大，B正确；“嫦娥三号”从轨道Ⅰ上运动到轨道Ⅱ上要减速，故在轨道Ⅱ上经过P的速度小于在轨道Ⅰ上经过P的速度，C正确；在轨道Ⅱ上经过P的加速度等于在轨道Ⅰ上经过P的加速度，D错误。
4．人造地球卫星在运行过程中由于受到微小的阻力，轨道半径将缓慢减小。在此运动过程中，卫星所受万有引力大小将________；其动能将________(均填“减小”或“增大”)。
解析：根据万有引力定律F＝G，因r减小，F增大；又根据G＝m，动能Ek＝mv2＝G，因r减小，Ek增大。
答案：增大 增大
5．(2016·太原高一检测)发射地球同步卫星时，先将卫星发射到距地面高度为h1的近地圆轨道上，在卫星经过A点时点火实施变轨进入椭圆轨道，最后在椭圆轨道的远地点B点再次点火将卫星送入同步轨道，如图所示。已知同步卫星的运动周期为T，地球的半径为R，地球表面重力加速度为g，忽略地球自转的影响。求：
(1)卫星在近地点A的加速度大小；
(2)远地点B距地面的高度。
解析：(1)设地球质量为M，卫星质量为m，万有引力常量为G，卫星在A点的加速度为a，由牛顿第二定律得
G＝ma①
物体在地球赤道表面上受到的万有引力等于重力，则G＝mg②
解以上两式得a＝③
(2)设远地点B距地面高度为h2，卫星受到的万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得
G＝m(R＋h2)④
由②④两式解得h2＝ －R
答案：(1) (2) －R
课件35张PPT。谢谢课下能力提升(十二) 卫星的发射和运行
[基础练]
一、选择题
1．天文学家在太阳系外找到一个和地球尺寸大体相同的系外行星P，这个行星围绕某恒星Q做匀速圆周运动。测得行星P的公转周期为T，公转轨道半径为r。已知引力常量为G，则( )
A．恒星Q的质量约为
B．行星P的质量约为
C．以7.9 km/s的速度从地球发射的探测器可以到达该行星表面
D．以11.2 km/s的速度从地球发射的探测器可以到达该行星表面
2．[多选]如图所示，在发射地球同步卫星的过程中，卫星首先进入椭圆轨道Ⅰ，然后在Q点通过改变卫星速度，让卫星进入地球同步轨道Ⅱ，则( )
A．该卫星在P点的速度大于7.9 km/s，小于11.2 km/s
B．卫星在同步轨道Ⅱ上的运行速度大于7.9 km/s
C．在轨道Ⅰ上，卫星在P点的速度大于在Q点的速度
D．卫星在Q点通过加速实现由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ
3．[多选]在发射一颗质量为m的人造地球同步卫星时，先将其发射到贴近地球表面运行的圆轨道Ⅰ上(离地面高度忽略不计)，再通过一椭圆轨道Ⅱ变轨后到达距地面高为h的预定圆轨道Ⅲ上。已知它在圆形轨道Ⅰ上运行的加速度为g，地球半径为R，图中PQ长约为8R，卫星在变轨过程中质量不变，则( )
A．卫星在轨道Ⅲ上运行的加速度为()2g
B．卫星在轨道Ⅲ上运行的线速度为v＝
C．卫星在轨道Ⅲ上运行时经过P点的速率大于在轨道Ⅱ上运行时经过P点的速率
D．卫星在轨道Ⅲ上的动能大于在轨道Ⅰ上的动能
4．(2016·宜春高一检测)“嫦娥三号”探测器由“长征三号乙”运载火箭从西昌卫星发射中心发射，首次实现月球软着陆和月面巡视勘察，“嫦娥三号”的飞行轨道示意图如图所示。假设“嫦娥三号”在环月段圆轨道和椭圆轨道上运动时，只受到月球的万有引力，则以下说法正确的是( )
A．若已知“嫦娥三号”环月段圆轨道的半径、运动周期和引力常量，则可以计算出月球的密度
B．“嫦娥三号”由环月段圆轨道变轨进入环月段椭圆轨道时，应让发动机点火使其加速
C．“嫦娥三号”在从远月点P向近月点Q运动的过程中，加速度变大
D．“嫦娥三号”在环月段椭圆轨道上P点的速度大于Q点的速度
5．在航天员聂海胜的精准操控和张晓光、王亚平的密切配合下，“神舟十号”飞船与“天宫一号”目标飞行器成功实现手控交会对接。如果对接前飞船和飞行器在同一轨道上运行，飞船与前面飞行器对接，飞船为了追上飞行器，可采用的方法是( )
A．飞船加速追上飞行器，完成对接
B．飞船从原轨道减速至一个较低轨道，再加速追上飞行器完成对接
C．飞船加速至一个较低轨道再减速追上飞行器完成对接
D．无论飞船如何采取措施，均不能与飞行器对接
二、非选择题
6．(2016·隆化月考)如图所示，有A、B两颗行星绕同一颗恒星M做匀速圆周运动，旋转方向相同，A行星的周期为T1，B行星的周期为T2，在某一时刻两行星相距最近，则
(1)经过多长时间，两行星再次相距最近？
(2)经过多长时间，两行星第一次相距最远？
[提能练]
一、选择题
1．[多选](2016·丰城月考)在地球大气层外有大量的太空垃圾。在太阳活动期，地球大气会受太阳风的影响而扩张，使一些原本在大气层外绕地球飞行的太空垃圾被大气包围，从而逐渐降低轨道。大部分太空垃圾在落地前已经燃烧成灰烬，但体积较大的太空垃圾仍会落到地面上，对人类造成危害。以下关于太空垃圾正确的说法是( )
A．大气的扩张使垃圾受到的万有引力增大而导致轨道降低
B．太空垃圾在与大气摩擦过程中机械能不断减小，进而导致轨道降低
C．太空垃圾在轨道缓慢降低的过程中，由于与大气的摩擦，速度不断减小
D．太空垃圾在轨道缓慢降低的过程中，向心加速度不断增大而周期不断减小
2．[多选]假设将来人类登上了火星，考察完毕后，乘坐一艘宇宙飞船从火星返回地球时，经历了如图所示的变轨过程，则有关这艘飞船的下列说法正确的是( )
A．飞船在轨道Ⅰ上经过P点时的速度大于飞船在轨道Ⅱ上经过P点时的速度
B．飞船在轨道Ⅱ上运动时，经过P点时的速度大于经过Q点时的速度
C．飞船在轨道Ⅲ上运动到P点时的加速度等于飞船在轨道Ⅱ上运动到P点时的加速度
D．飞船绕火星在轨道Ⅰ上运动的周期跟飞船返回地球的过程中绕地球以与轨道Ⅰ同样的轨道半径运动的周期相同
3．[多选]如图是“嫦娥三号”飞行轨道示意图。假设“嫦娥三号”运行经过P点第一次通过近月制动使“嫦娥三号”在距离月面高度为100 km的圆轨道Ⅰ上运动，再次经过P点时第二次通过近月制动使“嫦娥三号”在距离月面近地点为Q、高度为15 km，远地点为P、高度为100 km的椭圆轨道Ⅱ上运动，下列说法正确的是( )
A．“嫦娥三号”在距离月面高度为100 km的圆轨道Ⅰ上运动时速度大小可能变化
B．“嫦娥三号”在距离月面高度100 km的圆轨道Ⅰ上运动的周期一定大于在椭圆轨道Ⅱ上运动的周期
C．“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过Q点时的加速度一定大于经过P点时的加速度
D．“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过Q点时的速率可能小于经过P点时的速率
4．[多选](2016·天津高一检测)在完成各项任务后，“神舟十号”飞船在返回地面时，要在P点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，Q为轨道Ⅱ上的一点，M为轨道Ⅰ上的另一点，关于“神舟十号”的运动，下列说法中正确的有( )
A．飞船在轨道Ⅱ上经过P的速度小于经过Q的速度
B．飞船在轨道Ⅱ上经过P的速度小于在轨道Ⅰ上经过M的速度
C．飞船在轨道Ⅱ上运动的周期大于在轨道Ⅰ上运动的周期
D．飞船在轨道Ⅱ上经过P的加速度小于在轨道Ⅰ上经过M的加速度
二、非选择题
5．设地球质量为M，绕太阳做匀速圆周运动，有一质量为m的飞船由静止开始从P点沿PD方向做加速度为a的匀加速直线运动，1年后飞船在D点掠过地球上空，再过3个月又在Q点掠过地球上空，如图所示(图中“S”表示太阳)。根据以上条件，求地球与太阳之间的万有引力大小。
6．质量为m的登月器与航天飞机连接在一起，随航天飞机绕月球做半径为3R(R为月球半径)的匀速圆周运动。当它们运动到轨道的A点时，登月器被弹离，航天飞机速度变大，登月器速度变小且仍沿原方向运动，随后登月器沿椭圆轨道登上月球表面的B点，在月球表面逗留一段时间后，经快速启动仍沿原椭圆轨道回到分离点A与航天飞机实现对接，如图所示。已知月球表面的重力加速度为g月。科学研究表明，天体在椭圆轨道上运行的周期的平方与轨道半长轴的立方成正比。
(1)登月器与航天飞机一起在圆轨道上绕月球运行的周期是多少？
(2)若登月器被弹离后，航天飞机的椭圆轨道的长轴为8R，为保证登月器能顺利返回A点实现对接，则登月器可以在月球表面逗留的时间是多少？
答 案
[基础练]
1．解析：选A 根据万有引力提供向心力，以行星P为研究对象，有G＝mr，得M＝，A正确；根据万有引力提供向心力只能求得中心天体的质量，因此根据题目所给信息不能求出行星P的质量，B错误；如果发射探测器到达该系外行星，需要克服太阳对探测器的万有引力，脱离太阳系的束缚，所以需要发射速度大于第三宇宙速度，C、D错误。
2．解析：选CD 卫星的最大环绕速度为7.9 km/s，A错误；环绕地球做圆周运动的人造卫星，最大的运行速度是7.9 km/s，B错误；P点比Q点离地球近些，故在轨道Ⅰ上，卫星在P点的速度大于在Q点的速度，C正确；卫星在Q点通过加速实现由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ，D正确。
3．解析：选BC 设地球质量为M，由万有引力提供向心力得，在轨道Ⅰ上有G＝mg，在轨道Ⅲ上有G＝ma，所以a＝2g，A错误；又因a＝，所以v＝ ，B正确；卫星由轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅲ需要加速做离心运动，即满足＜，所以卫星在轨道Ⅲ上运行时经过P点的速率大于在轨道Ⅱ上运行时经过P点的速率，C正确；尽管卫星从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅲ要在P、Q点各加速一次，但在圆形轨道上v＝ ，所以由动能表达式知卫星在轨道Ⅲ上的动能小于在轨道Ⅰ上的动能，D错误。
4．解析：选C 根据“嫦娥三号”环月段圆轨道的半径、运动周期和引力常量可以求出月球的质量，但是由于不知道月球的半径，故无法求出月球的密度，A错误；“嫦娥三号”由环月段圆轨道变轨进入环月段椭圆轨道时，轨道半径减小，故应使其减速，B错误；“嫦娥三号”在从远月点P向近月点Q运动的过程中所受万有引力逐渐增大，故加速度变大，C正确；“嫦娥三号”在环月段椭圆轨道上运动时离月球越近速度越大，故P点的速度小于Q点的速度，D错误。
5．解析：选B 飞船要追上飞行器，应先减速，使它的半径减小，速度增大，故在低轨道上飞船可接近或超过飞行器，当飞船运动到合适的位置时再加速，使其轨道半径增大，速度减小，当刚好运动到飞行器所在轨道时停止加速，则飞船的速度刚好等于飞行器的速度，可以完成对接。B正确。
6．解析：A、B两颗行星做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力G＝mr?T＝2π ，因此T1(1)设再次相距最近的时间为t1，
由t1－t1＝2π?t1＝；
(2)设第一次相距最远的时间为t2，
由t2－t2＝π?t2＝。
答案：(1) (2)
[提能练]
1．解析：选BD 大气的扩张使垃圾的机械能减小，速度减小，从而做近心运动，使轨道半径减小，A错误，B正确；由＝m＝m·r＝ma可得：v＝，T＝，a＝，可知随r减小，v增大，T减小，a增大，故C错误，D正确。
2．解析：选BC 飞船在轨道Ⅰ上运动至P点时必须点火加速才能进入轨道Ⅱ，因此飞船在轨道Ⅰ上经过P点时的速度小于飞船在轨道Ⅱ上经过P点时的速度，A错误；由开普勒第二定律可知，飞船在轨道Ⅱ上运动时，经过P点时的速度大于经过Q点时的速度，B正确；由公式a＝G可知，飞船在轨道Ⅲ上运动到P点时的加速度等于飞船在轨道Ⅱ上运动到P点时的加速度，C正确；由公式T＝2π 可知，因地球质量和火星质量不同，所以飞船绕火星在轨道Ⅰ上运动的周期跟飞船返回地球的过程中绕地球以与轨道Ⅰ同样的轨道半径运动的周期不相同，D错误。
3．解析：选BC “嫦娥三号”在距离月面高度为100 km的圆轨道Ⅰ上运动是匀速圆周运动，速度大小不变，选项A错误；由于圆轨道Ⅰ的轨道半径大于椭圆轨道Ⅱ的半长轴，根据开普勒定律，“嫦娥三号”在距离月面高度100 km的圆轨道Ⅰ上运动的周期一定大于在椭圆轨道Ⅱ上运动的周期，选项B正确；由于在Q点“嫦娥三号”所受万有引力大，所以“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过Q点时的加速度一定大于经过P点时的加速度，选项C正确；由开普勒第二定律可知，“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过Q点时的速率大于经过P点时的速率，选项D错误。
4．解析：选AB 由开普勒行星运动定律可知A正确；飞船在轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，故飞船经过P、M两点时的速率相等，由于飞船在P点进入轨道Ⅱ时相对于轨道Ⅰ做近心运动，可知飞船在轨道Ⅱ上P点速度小于轨道Ⅰ上P点速度，故B正确；根据开普勒第三定律可知，飞船在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期，C错误；根据牛顿第二定律可知，飞船在轨道Ⅱ上经过P的加速度与在轨道Ⅰ上经过M的加速度大小相等，D错误。
5．解析：飞船开始与地球相当于在D点相遇，经过3个月后，它们又在Q点相遇，因此在这段时间内，地球与太阳的连线转过的角度θ＝×360°＝90°。
设地球的公转周期为T，飞船由静止开始做加速度为a的匀加速直线运动，则
DQ＝PQ－PD＝a2－aT2
＝aT2
由几何关系知，地球的公转半径为
R＝·DQ＝aT2
所以，地球与太阳之间的万有引力大小为
F＝M2R＝
答案：
6．解析：(1)设登月器和航天飞机在半径为3R的圆轨道上运行时的周期为T，因其绕月球做匀速圆周运动，所以满足
G＝m2·3R
同时，月球表面的物体所受重力和引力的关系满足
G＝mg月
联立以上两式得T＝6π
(2)设登月器在小椭圆轨道运行的周期是T1，由几何关系易知其轨道半长轴为2R，航天飞机在大椭圆轨道运行的周期是T2。
依题意，对登月器有＝，解得T1＝T
对航天飞机有＝，解得
T2＝T
为使登月器沿原椭圆轨道返回到分离点A与航天飞机实现对接，登月器可以在月球表面逗留的时间t应满足：
t＝nT2－T1(n＝1,2,3，……)
故t＝·nT－T
＝4π(4n－ ) (n＝1,2,3，……)。
答案：(1)6π
(2)4π(4n－ ) (n＝1,2,3，……)
