一、计算天体的质量┄┄┄┄┄┄┄┄①
1．地球质量的计算
(1)若不考虑地球自转的影响，地面上质量为m的物体所受的重力等于地球对物体的万有引力，即mg＝G。
(2)地球质量M＝，式中只要知道G、R、g的值就能计算地球的质量。
2．其他天体质量的计算
(1)将行星(或卫星)的运动近似看做匀速圆周运动，行星(或卫星)的向心力由万有引力提供。
(2)公式：G＝mω2r＝m＝mr。
(3)被环绕的太阳或行星的质量：M＝。
[说明]
若已知月球绕地球转动的周期T和半径r，利用G＝m2r，求出的质量M＝是地球的质量。做圆周运动的月球的质量m在等式中已消掉，要想求月球的质量，要考虑绕月球做圆周运动的卫星的运动规律。
①[选一选]
若已知某行星绕太阳公转的半径为r，公转周期为T，引力常量为G，则由此可求出( )
A．该行星的质量
B．太阳的质量
C．该行星的密度
D．太阳的密度
解析：选B 设行星的质量为m，太阳的质量为M，由＝mr2，得M＝，可求出太阳的质量，不能求出行星的质量m和密度ρ，因为不知太阳的半径，故不能求出太阳的密度，B正确，A、C、D错误。
二、发现未知天体┄┄┄┄┄┄┄┄②
1．已发现天体的轨道推算
18世纪，人们观测到太阳系第七个行星——天王星的轨道和用万有引力定律计算出来的轨道有一些偏差。
2．未知天体的发现
根据已发现的天体的运行轨道结合万有引力定律推算出还没发现的未知天体的轨道，如海王星、冥王星就是这样发现的。
[说明]
海王星的发现和哈雷彗星“按时回归”的意义并不仅仅在于发现了新天体，更重要的是确立了万有引力定律的地位。
②[判一判]
1．牛顿发现万有引力定律，同时测出地球的质量(×)
2．“笔尖下发现的行星”是冥王星(×)
1.天体质量的计算
(1)基本思路
绕中心天体运动的其他天体或卫星做匀速圆周运动，做圆周运动的天体(或卫星)的向心力等于它与中心天体的万有引力，利用此关系建立方程求中心天体的质量。
(2)计算方法
①已知卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为T，半径为r，则由G＝mr，得
M＝；
②已知卫星绕地球做匀速圆周运动的半径r和运行的线速度v，则由G＝m，得
M＝；
③已知卫星的线速度v和运行周期T，则由G＝mv和G＝m，得M＝；
④若已知地球的半径R和地球表面的重力加速度g，根据物体的重力近似等于地球对物体的引力得mg＝G，解得地球质量为M＝。
2．天体密度的计算
若天体的半径为R，则天体的密度ρ＝。
方法一：利用天体的重力加速度
由mg＝G和ρ＝，得ρ＝(其中g为天体表面的重力加速度)。
方法二：利用天体的卫星
设卫星绕天体运动的半径为r，周期为T，则对卫星而言，万有引力提供向心力，
G＝mr
又由ρ＝，代入上式得ρ＝
当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则ρ＝。
[典型例题]
例1.月球绕地球转动的周期为T，轨道半径为r，地球半径为R，引力常量为G，请写出地球质量和地球密度的表达式。
[解析] 对月球由万有引力定律及牛顿第二定律得：＝m2r
则地球的质量：M＝
地球的密度：ρ＝＝
[答案] 见解析
[即时巩固]
1．“嫦娥二号”是我国月球探测第二期工程的先导星。如图所示，若测得“嫦娥二号”在月球(可视为密度均匀的球体)表面附近圆形轨道运行的周期为T，已知引力常量为G，半径为R的球体体积公式V＝πR3，则可估算月球的( )
A．密度 B．质量 C．半径 D．自转周期
解析：选A 由万有引力提供向心力有G＝mr，由于在月球表面附近轨道有r＝R，由球体体积公式V＝πR3，联立解得月球的密度ρ＝，A正确。
1.应用万有引力定律解题的两条思路
(1)万有引力提供天体运动的向心力
G＝m＝mr＝mω2r。
(2)黄金代换
在天体表面上，天体对物体的万有引力近似等于物体的重力，即G＝mg，从而得出GM＝R2g。
2．几个常用公式
(1)由G＝m可得v＝ ，r越大，v越小。
(2)由G＝mω2r可得ω＝ ，r越大，ω越小。
(3)由G＝m2r可得T＝2π，r越大，T越大。
(4)由G＝ma可得a＝，r越大，a越小。
(5)辅助公式：ρ＝，V＝πR3。
[典型例题]
例2.(2016·巴中高一检测)据报道，天文学家发现了一颗距地球40光年的“超级地球”，名为“55 Cancri e”。该行星绕母星(中心天体)运行的周期约为地球绕太阳运动周期的，母星的体积约为太阳的60倍。假设母星与太阳密度相同，“55 Cancri e”与地球均做匀速圆周运动，则“55 Cancri e”与地球的( )
A．轨道半径之比约为
B．轨道半径之比约为
C．向心加速度之比约为
D．向心加速度之比约为
[解析] 由公式G＝m2r，可得通式r＝，则＝＝，从而判断A错误，B正确；再由G＝ma得通式a＝G，则＝·＝＝，所以C、D错误。
[答案] B
[点评] 应用万有引力定律应注意的问题
(1)卫星的an、v、ω、T与卫星的质量无关，仅由被环绕的天体的质量M和轨道半径r决定。
(2)应用万有引力定律求解时还要注意挖掘题目中的隐含条件，如地球的公转周期是365天，自转一周是24小时，其表面的重力加速度约为9.8 m/s2。
[即时巩固]
2．质量为m的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动。已知月球质量为M，月球半径为R，月球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑月球自转的影响，则航天器的( )
A．线速度v＝
B．角速度ω＝
C．运行周期T＝
D．向心加速度a＝
解析：选A 由万有引力提供向心力可得G＝ma＝m＝mω2R＝mR，忽略月球自转时，有G＝mg，联立各式解得相关物理量后可判断A正确。
1.双星模型
宇宙中往往会有相距较近、质量相差不多的两颗星球，它们离其他星球都较远，因此其他星球对它们的万有引力可以忽略不计。在这种情况下，它们将围绕它们连线上的某一固定点做同周期的匀速圆周运动，这种结构叫做双星系统。
2．双星模型的特点
[典型例题]
例3.宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不至于因万有引力的作用吸引到一起。设二者的质量分别为m1和m2，二者相距为L，求：
(1)双星的轨道半径之比；
(2)双星的线速度之比。
[解析] 这两颗天体必须各以一定速率绕某一中心转动才不至于因万有引力作用而吸引到一起，所以两天体间距离L应保持不变，二者做圆周运动的角速度ω必须相同。如图所示，设二者轨迹圆的圆心为O，圆半径分别为R1和R2。
由万有引力提供向心力有
G＝m1ω2R1①
G＝m2ω2R2②
(1)①②两式相除，得＝
(2)因为v＝ωR，所以＝＝
[答案] (1)m2∶m1 (2)m2∶m1
[点评] 双星模型的解题思路
(1)要明确双星中两颗子星做匀速圆周运动的向心力来源。
(2)要明确双星中两颗子星做匀速圆周运动时的运动参量的关系。
(3)要明确两子星圆周运动的动力学关系。
设双星的两子星的质量分别为M1和M2，相距为L，M1和M2的线速度分别为v1和v2，角速度分别为ω1和ω2，由万有引力定律和牛顿第二定律得，对M1 有G＝M1 ＝M1ωr1 ，对M2 有G＝M2 ＝M2 ωr2。(在求两子星间的万有引力时两子星间的距离不能代成两子星做圆周运动的轨道半径)。
[即时巩固]
3．(2016·大连高一检测)银河系的恒星中大约四分之一是双星，某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C做匀速圆周运动。由天文观察测得其运动周期为T，S1到C点的距离为r1，S1和S2的距离为r，已知引力常量为G。由此可求出S2的质量为( )
A. B. C. D.
解析：选D 取S1为研究对象，S1做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得G＝m12r1，得m2＝，D正确。
1．(2016·湖州高一检测)若已知月球绕地球运动可近似看作匀速圆周运动，并且已知月球的轨道半径为r，它绕地球运动的周期为T，引力常量是G，由此可以知道( )
A．月球的质量m＝
B．地球的质量M＝
C．月球的平均密度ρ＝
D．地球的平均密度ρ′＝
解析：选B 对月球有＝r，可得地球质量M＝，月球质量无法求出，其密度也无法计算，故B正确，A、C错误；因不知道地球自身半径，故无法计算密度，故D错误。
2．小行星绕恒星运动，恒星均匀地向四周辐射能量，质量缓慢减小，可认为小行星在绕恒星运动一周的过程中近似做圆周运动。则经过足够长的时间后，小行星运动的( )
A．半径变大 B．速率变大
C．角速度变大 D．加速度变大
解析：选A 恒星均匀地向四周辐射能量，恒星质量缓慢减小，二者之间万有引力减小，小行星运动的半径增大，速率减小，角速度减小，加速度减小，选项A正确，B、C、D错误。
3．一艘宇宙飞船绕一个不知名的行星表面飞行，要测定该行星的密度，仅仅需要( )
A．测定飞船的运行周期
B．测定飞船的环绕半径
C．测定行星的体积
D．测定飞船的运动速度
解析：选A 取飞船为研究对象，由G＝mR及M＝πR3ρ，解得ρ＝，A正确。
4．(2016·江西高一检测)一卫星在某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v。假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N。已知引力常量为G，则这颗行星的质量为( )
A. B. C. D.
解析：选B 由N＝mg得g＝。在行星表面G＝mg，卫星绕行星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，则G＝m，联立以上各式得M＝，故B正确。
5．某行星绕太阳运动可近似看做匀速圆周运动，已知行星运动的轨道半径为R，周期为T，引力常量为G，则该行星的线速度大小为多大？太阳的质量为多少？
解析：该行星的线速度v＝
由万有引力定律G＝
解得太阳的质量M＝
答案：
课件57张PPT。谢谢课下能力提升(十) 万有引力理论的成就
[基础练]
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．海王星是人们直接应用万有引力定律计算的轨道而发现的
B．天王星是人们依据万有引力定律计算的轨道而发现的
C．海王星是人们经过长期的太空观测而发现的
D．天王星的运行轨道与由万有引力定律计算的轨道存在偏差，其原因是天王星受到轨道外的行星的引力作用，由此，人们发现了海王星
2．(2016·唐山高一检测)已知引力常量G，那么在下列给出的各种情境中，能根据测量的数据求出火星平均密度的是( )
A．在火星表面使一个小球做自由落体运动，测出下落的高度H和时间t
B．发射一颗贴近火星表面绕火星做圆周运动的卫星，测出卫星的周期T
C．观察火星绕太阳的圆周运动，测出火星的直径D和火星绕太阳运行的周期T
D．发射一颗绕火星做圆周运动的卫星，测出卫星离火星表面的高度H和卫星的周期T
3．一物体静置在平均密度为ρ的球形天体表面的赤道上。已知引力常量为G，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为( )
A. B.
C. D.
4．有一星球X的密度与地球的密度相同，但它表面处的重力加速度是地球表面处重力加速度的3倍，则该星球的质量与地球质量的比值为( )
A．3 B．27
C. D．9
5．(2016·淄博高一检测)有两个行星A、B，在这两个行星表面附近各有一颗卫星，如果这两颗卫星运行的周期相等，则行星A、B的密度之比( )
A．1∶1 B．2∶1
C．1∶2 D．无法计算
二、非选择题
6．某人在某一星球上以速度v竖直上抛一物体，经时间t落回抛出点，已知该星球的半径为R，若要在该星球上发射一颗靠近该星运转的人造星体，则该人造星体的运转速度大小为多少？
[提能练]
一、选择题
1．[多选](2016·喀什高一检测)在研究宇宙发展演变的理论中，有一种学说叫“宇宙膨胀说”，这种学说认为万有引力常量G在缓慢地减小。根据这一理论，在很久很久以前，太阳系中地球的公转情况与现在相比( )
A．公转半径R较大
B．公转周期T较小
C．公转速率v较大
D．公转角速率ω较小
2．[多选]假设“嫦娥三号”探月卫星绕月球表面匀速飞行(不计周围其他天体的影响)，宇航员测出“嫦娥三号”飞行N圈用时为t，已知地球质量为M，地球半径为R，月球半径为r，地球表面重力加速度为g，则( )
A．“嫦娥三号”探月卫星匀速飞行的速度为
B．月球的平均密度为
C．“嫦娥三号”探月卫星的质量为
D．“嫦娥三号”探月卫星绕月球表面匀速飞行的向心加速度为
3．[多选]一行星绕恒星做圆周运动。由天文观测可得，其运行周期为T，速度为v。引力常量为G，则( )
A．恒星的质量为
B．行星的质量为
C．行星运动的轨道半径为
D．行星运动的加速度为
4．[多选]两颗靠得较近的天体叫双星，它们以两者质心连线上的一点为圆心做匀速圆周运动，因而不至于因引力的作用而吸引在一起，以下关于双星的说法中正确的是( )
A．运动的线速度与其质量成反比
B．运动的角速度与其质量成反比
C．运动轨道的半径与其质量成反比
D．所受的向心力与其质量成反比
5．如图所示，极地卫星的运行轨道平面通过地球的南北两极(轨道可视为圆轨道)。若已知一个极地卫星从北纬30°处A点的正上方，按图示方向第一次运行至南纬60°处B点正上方时所用时间为t，地球半径为R(地球可看做球体)，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G。由以上条件不能求出的是( )
A．卫星运行的周期
B．卫星距地面的高度
C．卫星的质量
D．地球的质量
二、非选择题
6．(2016·扬州高一检测)借助于物理学，人们可以了解到无法用仪器直接测定的物理量，使人类对自然界的认识更完善。现已知太阳光经过时间t到达地球，光在真空中的传播速度为c，地球绕太阳运转的轨道可以近似认为是圆，地球的半径为R，地球赤道表面的重力加速度为g，地球绕太阳运转的周期为T。试由以上数据及你所知道的物理知识推算太阳的质量M与地球的质量m之比(地球到太阳的间距远大于它们的大小)。
答 案
[基础练]
1．解析：选D 由行星的发现历史可知，天王星并不是根据万有引力定律计算出轨道而发现的；海王星不是通过观测发现，也不是直接由万有引力定律计算出轨道而发现的，而是人们发现天王星的实际轨道与理论轨道存在偏差，然后运用万有引力定律计算出“新”星的轨道发现的，A、B、C错误，D正确。
2．解析：选B 估算天体密度的一般思路是给定围绕天体并在天体表面运行的卫星的周期T，根据G＝m，天体密度ρ＝＝，即已知引力常量G和在天体表面运行的卫星的周期T，可求出天体的平均密度，B正确；由A、C、D选项数据均不能求出火星密度，A、C、D错误。
3．解析：选D 物体对天体压力为零，说明万有引力全部提供物体做圆周运动的向心力，并且天体自转周期就是物体绕天体做圆周运动的周期。根据万有引力定律有G＝m2R，又因为天体的质量M＝ρ·πR3，两式联立解得T＝ ，D正确。
4．解析：选B 在不考虑星球自转的时候，星球表面物体的重力等于万有引力，即G＝mg，故X星球表面的重力加速度与地球表面的重力加速度的比值＝，又M＝ρπR3，所以＝＝3，＝27，B正确。
5．解析：选A 万有引力提供向心力G＝mR解得M＝①，行星的密度为ρ＝②，V＝πR3③，由①②③式解得ρ＝，所以行星A、B的密度之比ρA∶ρB＝1∶1，A正确。
6．解析：星球表面的重力加速度g＝＝
设人造星体靠近该星球运转时速度为v′，则
＝m＝mg
(M为星球质量，m为人造星体质量)
所以v′＝
答案：
[提能练]
1．解析：选BC 由于万有引力常量G在缓慢减小，地球所受的万有引力在变化，故地球的公转半径R、速率v、周期T、角速度ω等都在变化，即地球做的不是匀速圆周运动，但由于G变化缓慢，在并不太长的时间内，可认为是匀速圆周运动。由G＝＝m＝m＝mω2R，得v＝，T＝2π，ω＝。对于漫长的演变过程而言，由于G在减小，地球所受万有引力在逐渐减小，有G2．解析：选BD 由题知“嫦娥三号”绕月运行周期为T＝，由v＝得v＝，A错误；由G＝m′2r、m＝ρ·πr3及GM＝gR2得，月球的平均密度为ρ＝，B正确；根据题中相关信息只能估算出中心天体月球的质量，而不能求出运行天体“嫦娥三号”探月卫星的质量，C错误；a＝＝，D正确。
3．解析：选ACD 因v＝ωr＝，所以r＝，C正确；结合万有引力定律公式G＝m，可解得恒星的质量M＝，A正确；因不知行星和恒星之间的万有引力的大小，所以行星的质量无法计算，B错误；行星的加速度a＝ω2r＝×＝，D正确。
4．解析：选AC 设两星做圆周运动的半径为r1、r2，两星间距为L＝r1＋r2，则G＝m1ω2r1＝m2ω2r2，可得m1r1＝m2r2，C正确；以上各式化简可得ω＝，B错误；由v＝ωr可知，m1v1＝m2v2，A正确；向心力F＝G，D错误。
5．解析：选C 卫星从北纬30°的正上方，第一次运行至南纬60°正上方时，刚好为运行周期的，所以卫星运行的周期为4t，A能求出；知道周期、地球的半径，由＝m2(R＋h)和＝mg，可以算出卫星距地面的高度，B能求出；通过上面的公式可以看出，只能算出地球的质量，D能求出，C不能求出。
6．解析：设地球绕太阳运转的轨道为r，
由万有引力定律得G＝mr
在地球表面G＝m′g
又r＝ct
解得＝
答案：
