苏科版七年级下数学第七章全等三角形辅助线的作法同步练习（含答案）

《全等三角形辅助线的作法》专题练习

随练1.1 如图所示，已知中，平分，、分别在、上．，．求证：∥．

随练1.2 已知中，，、分别平分和，、交于点，试判断、、的数量关系，并加以证明．

随练1.3 如图，在△ABC中，，，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的角平分线．求证：
（1）；
（2）．

随练1.4 五边形ABCDE中，，，，求证：AD平分∠CDE．

随练1.5 如图，△ABC中，，AD是BC边上的高，如果，我们就称△ABC为“高和三角形”．请你依据这一定义回答问题：
（1）若，，则△ABC____ “高和三角形”（填“是”或“不是”）；
（2）一般地，如果△ABC是“高和三角形”，则与之间的关系是____，并证明你的结论

随练1.6 如图所示，，是的中点，，，求证．

随练1.7 已知：如图，在△ABC中，，，BE⊥AE．求证：．


作业1 已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且．
求证：．

作业2 如图，在中，D为BC边上的中点，AE平分交BC于E，交AC于F，，，求CF的长．

作业3 如图，在△ABC中，，AD平分∠BAC，求证：．

作业4 已知：，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、D．
（1）PC和PD的数量关系是__________．
（2）请你证明（1）得出的结论．

作业5 已知：如图，△ABC中，，BD平分∠ABC，BC上有动点P．
（1）DP⊥BC时（如图1），求证：；
（2）DP平分∠BDC时（如图2），BD、CD、CP三者有何数量关系？

作业6 已知等腰，，的平分线交于，则．

作业7 如图，在△ABC中，，D是三角形外一点，且，．求证：

作业8 如图1，在△ABC中，，∠BAC的平分线AO交BC于点D，点H为AO上一动点，过点H作直线l⊥AO于H，分别交直线AB、AC、BC于点N、E、M．
（1）当直线l经过点C时（如图2），证明：；
（2）当M是BC中点时，写出CE和CD之间的等量关系，并加以证明；
（3）请直接写出BN、CE、CD之间的等量关系．

参考答案
练习1．【解析】 延长到，使，连结，利用证明≌，
∴，．
又，∴，
∴，∴，
∵平分，∴，
∴，∴∥．
练习1图练习2图
练习2．【解析】 ，
理由是：在上截取，连结，利用证得≌，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，∴，
∵，∴，∴，利用证得≌，∴，
∴．
练习3．【解析】 该题考察的是全等三角形．
（1）∵BQ是的角平分线，∴．
∵，且，，
∴，∴，∴，∴；
（2）延长AB至M，使得，连结MP．∴，
∵△ABC中，，∴，
∵BQ平分，∴，∴，
∵，∴，
∵AP平分，∴，
在△AMP和△ACP中，∵，∴△AMP≌△ACP，∴，
∵，，∴

练习4．【解析】 延长DE至F，使得，连接AC.
∵，，∴
∵，，∴△ABC≌△AEF．∴，
∵，∴，∴△ADC≌△ADF，∴
即AD平分∠CDE．

练习5．【答案】 （1）是（2）；见解析
【解析】 该题考察的是全等三角形．
（1）如图，Rt△ABC中，，，
在BC上截取，则△ABE为等边三角形，∴
∵，，∴，∴，∴
∵，且△ABE为等边三角形，∴
∴，∴是高和三角形．

（2）如上图，在△ABC中，在DC上截取．
∵，∴，∴，∴
∵AD是BC边上的高且，∴△ABD≌△AED（SAS）
∴，∴
练习6．【解析】 如图所示，设交于，要证明，实际上就是证明，而条件不好运用，我们可以倍长中线到，连接交于点，交于点．
容易证明
则，，从而，
而，，故
从而，故
而
故，亦即．

练习7．【解析】 延长BE交AC于M，
∵BE⊥AE，∴，在△ABE中，∵，
∴。同理，
∵，∴，∴。∵BE⊥AE，∴，
∴，∵∠4是△BCM的外角，∴
∵，∴
∴，∴，∴，∴


1．【解析】 延长DE到F，使，连接BF，
∵E是BC的中点，∴，∵在△BEF和△CED中
∴△BEF≌△CED．∴，．
∵，∴．∴，又∵，∴．

2．【答案】
【解析】 解：延长DF交BA延长线与点G，延长FD到H使得，连接BH．
平分，，，，
又，，易得，，，
则，设，则，，
解得，，．

3．【解析】 在AB上截取点E，使得．
∵AD平分∠BAC，∴，∴△ADE≌△ADC（SAS）．∴，．
∵，∴．∵，∴，∴．
∴．

4．【解析】 （1）．
（2）过P分别作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，∴，
∵OM是∠AOB的平分线，∴，∵，且，
∴，∴，∴，
在△CFP和△DEP中，∴△CFP≌△DEP，∴．

5．【答案】 （1）见解析（2）
【解析】 （1）证明：在BP上截取，连接DM，
∵DP⊥BC，∴，∴，∵，∴，
∵BD平分∠ABC，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴．
（2）解：，
理由是：在BD上截取，连接PM，
∵DP平分∠BDC，∴，
在△MDP和△CDP中，∴△MDP≌△CDP（SAS），
∴，，
∵，∴，
∴，∴，∴．

6．【解析】 如图，在上截取，连接，
过作，交于，于是，．
又∵，∴，故．显然是等腰梯形．
∴，．
∵，，
∴，∴，
∴，．又∵，∴．

7．【解析】 延长BD至E，使，连接AE，AD，
∵，，∴，
∵，∴△ABE是等边三角形，∴，，
在△ACD和△ADE中，，∴△ACD≌△ADE（SSS），∴．

8．【答案】 （1）见解析（2）（3）当点M在线段BC上时，；当点M在BC的延长线上时，；当点M在CB的延长线上时，
【解析】 该题考查的是等腰三角形的三线合一，全等三角形的判定和性质．
（1）证明：连接ND．∵AO平分∠BAC，∴，
∵直线l⊥AO于H，∴，∴，∴，∴，
∴AH是线段NC的中垂线，∴，∴．∴，
∵，，∴，∴．∴；

（2）如图，当M是BC中点时，CE和CD之间的等量关系为
证明：过点C作CN'⊥AO交AB于N'．
由（1）可得，，．∴，．
过点C作CG∥AB交直线l于G．∴，．∴．∴．
∵M是BC中点，∴。在△BNM和△CGM中，
∴△BNM≌△CGM．（ASA）∴．∴．
（3）BN、CE、CD之间的等量关系：
当点M在线段BC上时，；
当点M在BC的延长线上时，；
当点M在CB的延长线上时，．