《全等三角形辅助线的作法》专题练习
随练1.1 如图所示,已知中,平分,、分别在、上.,.求证:∥.
随练1.2 已知中,,、分别平分和,、交于点,试判断、、的数量关系,并加以证明.
随练1.3 如图,在△ABC中,,,P、Q分别在BC、CA上,并且AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的角平分线.求证:
(1);
(2).
随练1.4 五边形ABCDE中,,,,求证:AD平分∠CDE.
随练1.5 如图,△ABC中,,AD是BC边上的高,如果,我们就称△ABC为“高和三角形”.请你依据这一定义回答问题:
(1)若,,则△ABC____ “高和三角形”(填“是”或“不是”);
(2)一般地,如果△ABC是“高和三角形”,则与之间的关系是____,并证明你的结论
随练1.6 如图所示,,是的中点,,,求证.
随练1.7 已知:如图,在△ABC中,,,BE⊥AE.求证:.
作业1 已知:如图,E是BC的中点,点A在DE上,且.
求证:.
作业2 如图,在中,D为BC边上的中点,AE平分交BC于E,交AC于F,,,求CF的长.
作业3 如图,在△ABC中,,AD平分∠BAC,求证:.
作业4 已知:,OM是∠AOB的平分线,将三角板的直角顶点P在射线OM上滑动,两直角边分别与OA、OB交于C、D.
(1)PC和PD的数量关系是__________.
(2)请你证明(1)得出的结论.
作业5 已知:如图,△ABC中,,BD平分∠ABC,BC上有动点P.
(1)DP⊥BC时(如图1),求证:;
(2)DP平分∠BDC时(如图2),BD、CD、CP三者有何数量关系?
作业6 已知等腰,,的平分线交于,则.
作业7 如图,在△ABC中,,D是三角形外一点,且,.求证:
作业8 如图1,在△ABC中,,∠BAC的平分线AO交BC于点D,点H为AO上一动点,过点H作直线l⊥AO于H,分别交直线AB、AC、BC于点N、E、M.
(1)当直线l经过点C时(如图2),证明:;
(2)当M是BC中点时,写出CE和CD之间的等量关系,并加以证明;
(3)请直接写出BN、CE、CD之间的等量关系.
参考答案
练习1.【解析】 延长到,使,连结,利用证明≌,
∴,.
又,∴,
∴,∴,
∵平分,∴,
∴,∴∥.
练习1图练习2图
练习2.【解析】 ,
理由是:在上截取,连结,利用证得≌,∴,
∵,∴,∴,
∴,∴,∴,
∵,∴,∴,利用证得≌,∴,
∴.
练习3.【解析】 该题考察的是全等三角形.
(1)∵BQ是的角平分线,∴.
∵,且,,
∴,∴,∴,∴;
(2)延长AB至M,使得,连结MP.∴,
∵△ABC中,,∴,
∵BQ平分,∴,∴,
∵,∴,
∵AP平分,∴,
在△AMP和△ACP中,∵,∴△AMP≌△ACP,∴,
∵,,∴
练习4.【解析】 延长DE至F,使得,连接AC.
∵,,∴
∵,,∴△ABC≌△AEF.∴,
∵,∴,∴△ADC≌△ADF,∴
即AD平分∠CDE.
练习5.【答案】 (1)是(2);见解析
【解析】 该题考察的是全等三角形.
(1)如图,Rt△ABC中,,,
在BC上截取,则△ABE为等边三角形,∴
∵,,∴,∴,∴
∵,且△ABE为等边三角形,∴
∴,∴是高和三角形.
(2)如上图,在△ABC中,在DC上截取.
∵,∴,∴,∴
∵AD是BC边上的高且,∴△ABD≌△AED(SAS)
∴,∴
练习6.【解析】 如图所示,设交于,要证明,实际上就是证明,而条件不好运用,我们可以倍长中线到,连接交于点,交于点.
容易证明
则,,从而,
而,,故
从而,故
而
故,亦即.
练习7.【解析】 延长BE交AC于M,
∵BE⊥AE,∴,在△ABE中,∵,
∴。同理,
∵,∴,∴。∵BE⊥AE,∴,
∴,∵∠4是△BCM的外角,∴
∵,∴
∴,∴,∴,∴
1.【解析】 延长DE到F,使,连接BF,
∵E是BC的中点,∴,∵在△BEF和△CED中
∴△BEF≌△CED.∴,.
∵,∴.∴,又∵,∴.
2.【答案】
【解析】 解:延长DF交BA延长线与点G,延长FD到H使得,连接BH.
平分,,,,
又,,易得,,,
则,设,则,,
解得,,.
3.【解析】 在AB上截取点E,使得.
∵AD平分∠BAC,∴,∴△ADE≌△ADC(SAS).∴,.
∵,∴.∵,∴,∴.
∴.
4.【解析】 (1).
(2)过P分别作PE⊥OB于E,PF⊥OA于F,∴,
∵OM是∠AOB的平分线,∴,∵,且,
∴,∴,∴,
在△CFP和△DEP中,∴△CFP≌△DEP,∴.
5.【答案】 (1)见解析(2)
【解析】 (1)证明:在BP上截取,连接DM,
∵DP⊥BC,∴,∴,∵,∴,
∵BD平分∠ABC,∴,∴,
∵,∴,∴,
∴.
(2)解:,
理由是:在BD上截取,连接PM,
∵DP平分∠BDC,∴,
在△MDP和△CDP中,∴△MDP≌△CDP(SAS),
∴,,
∵,∴,
∴,∴,∴.
6.【解析】 如图,在上截取,连接,
过作,交于,于是,.
又∵,∴,故.显然是等腰梯形.
∴,.
∵,,
∴,∴,
∴,.又∵,∴.
7.【解析】 延长BD至E,使,连接AE,AD,
∵,,∴,
∵,∴△ABE是等边三角形,∴,,
在△ACD和△ADE中,,∴△ACD≌△ADE(SSS),∴.
8.【答案】 (1)见解析(2)(3)当点M在线段BC上时,;当点M在BC的延长线上时,;当点M在CB的延长线上时,
【解析】 该题考查的是等腰三角形的三线合一,全等三角形的判定和性质.
(1)证明:连接ND.∵AO平分∠BAC,∴,
∵直线l⊥AO于H,∴,∴,∴,∴,
∴AH是线段NC的中垂线,∴,∴.∴,
∵,,∴,∴.∴;
(2)如图,当M是BC中点时,CE和CD之间的等量关系为
证明:过点C作CN'⊥AO交AB于N'.
由(1)可得,,.∴,.
过点C作CG∥AB交直线l于G.∴,.∴.∴.
∵M是BC中点,∴。在△BNM和△CGM中,
∴△BNM≌△CGM.(ASA)∴.∴.
(3)BN、CE、CD之间的等量关系:
当点M在线段BC上时,;
当点M在BC的延长线上时,;
当点M在CB的延长线上时,.