【鲁教版八下精美学案】第九章 图形的相似 章末复习（知识构建+考点归纳+真题训练）
文档属性
| 名称 | 【鲁教版八下精美学案】第九章 图形的相似 章末复习（知识构建+考点归纳+真题训练） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-05-16 15:09:36 | ||
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文档简介
第九章 图形的相似
章 末 复 习
考点归纳
考点1: 成比例线段
1.下列四条线段能成比例线段的是（ ）
A.1，1，2，3 B.1，2，3，4 C.2，2，3，3 D.2，3，4，5
2.已知，那么下列等式中，不成立的是（ ）
A. B. C. D.4x＝3y
考点2: 平行线分线段成比
3.如图所示，直线a∥b∥c，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F.若AB:BC＝1:2，DE＝3，则EF的长为____________。
4.如图所示，已知△ABC中，DE∥BC， AD＝5， EC＝2， BD＝AE＝x，求BD的长。
考点3: 相似多边形
5.下列四组图形中，一定相似的是（ ）
A.正方形与矩形 B.正方形与菱形 C.菱形与菱形 D.正五边形与正五边形
6.如图所示，一个矩形广场的长为60 m，宽为40 m，广场内两条纵向小路的宽均为1.5 m，如果设两条横向小路的宽都为x m，那么当x为多少时，小路内外边缘所围成的两个矩形相似？
考点4: 探索三角形相似的条件
7.已知:如图所示，∠ADE＝∠ACD＝∠ABC，图中相似三角形共有（ ）
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
8.已知:如图所示，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E，F。
（1）求证:EF＝AE－BE；
（2）连接BF，如果。求证:EF＝EP。
考点5: 黄金分割
9.如果C是线段AB一点，并且AC＞CB，AB＝1，那么AC的长度为_______时，点C是线段AB的黄金分割点（ ）
A.0.618 B. C. D.
10.主持人主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体。如图所示，如果舞台AB的长为12米，一名主持人现在站在A处，则她至少走_______米才最理想.（ ）
A.18－6 B.6－6 C.6＋6 D.18－6或6－6
考点6: 利用相似三角形测高
11.（2018·长春）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣:今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即:有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示:1丈＝10尺，1尺＝10寸），则竹竿的长为（ ）
A.五丈 B.四丈五尺 C.一丈 D.五尺
12.如图所示，某水平地面上有建筑物AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB，标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G处，使点G与建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，使点H与建筑物顶点A和标杆顶端E在同一条直线上，则建筑物的高是_________米。
13.如图所示，小明为了测量一凉亭的高度AB（顶端A到水平地面BD的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE（DE＝BC＝0.5米，A，B，C三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点G处，测得CG＝15米，然后沿直线CG后退到点E处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得EG＝3米，小明身高1.6米，则凉亭的高度AB约为（ ）
A.8.5米 B.9米 C.9.5米 D.10米
考点7: 相似三角形的性质
14.已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为（ ）
A. B. C. D.
15.如图所示，在 ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，则△BEF与△DCB的面积比为（ ）
A. B. C. D.
考点8: 利用位似放缩图形
16.如图所示是△ABC位似图形的几种画法，其中正确的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
17.在平面直角坐标系中，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，8），B（10，2），若以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩短为原来的后得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为（ ）
A.（5，1） B.（4，3） C.（3，4） D.（1，5）
18.如图所示，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，－3），B（3，－2），C（2，－4），在正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度。
（1）画出△ABC向上平移4个单位得到的△A1B1C1；
（2）以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C，使△A2B2C与△ABC位似，且△A2B2C与△ABC的位似比为2:1，并直接写出点B2的坐标。
真题训练
1.（2018·新泰校级检测）如果两个相似多边形面积的比为1:5，则它们的相似比为（ ）
A.1:25 B.1:5 C.1:2.5 D.1:
2.（2018·泰山区期末）如图所示，在△ABC中，点D是AB边上的一点，若∠ACD＝∠B，AD＝1，
AC＝2，△ADC的面积为3，则△BCD的面积为（ ）
A.12 B.9 C.6 D.3
3.（2017·泰安）如图所示，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E。若AB＝12，BM＝5，则DE的长为（ ）
A.18 B. C. D.
4.（2018·泰安）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题:“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问:出南门几步而见木？”用今天的话说，大意是:如图所示，DEFG是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木（即点D在直线AC上）？请你计算KC的长为_________步。
5.（2014·泰安）如图所示，在四边形ABCD中AB＝AD，AC与BD交于点E，∠ADB＝∠ACB。（1）求证:；
（2）若AB⊥AC，AE:EC＝1:2，F是BC中点，求证:四边形ABFD是菱形。
6.（2015·泰安）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，点P，D分别是BC，AC边上的点，且∠APD＝∠B。
（1）求证:AC·CD＝CP·BP；
（2）若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长。
7.（2016·泰安）如图所示，在四边形ABCD中，AC平分∠BCD，AC⊥AB，E是BC的中点，AD⊥AE。
（1）求证:AC2＝CD·BC；
（2）过E作EG⊥AB，并延长EG至点K，使EK＝EB。
①若点H是点D关于AC的对称点，点F为AC的中点，求证:FH⊥GH；
②若∠B＝30°，求证:四边形AKEC是菱形。
8.（2017·泰安）如图所示，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD。
（1）证明:∠BDC＝∠PDC；
（2）若AC与BD相交于点E，AB＝1，CE:CP＝2:3，求AE的长。
9.（2018·泰安）如图所示，在菱形ABCD中，AC与BD交于点O，E是BD上一点，EF∥AB，
∠EAB＝∠EBA，过点B作DA的垂线，交DA的延长线于点G。
（1）∠DEF和∠AEF是否相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由；
（2）找出图中与△AGB相似的三角形，并证明；
（3）BF的延长线交CD的延长线于点H，交AC于点M.求证:BM2＝MF·MH。
10.（2018·宁夏）已知:△ABC三个顶点的坐标分别为A(－2，－2)，B(－5，－4)，C(－1，－5)。（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在网格中画出△A2B2C2，并写出点B2的坐标。
参考答案及解析
考点归纳
1.C 2.B 3.6
4.解:∵DE∥BC，∴，∴，∴x2＝10。
x＝或x＝－（舍去）。∴BD＝。
D
6.解:∵小路内外边缘所围成的两个矩形相似，
∴，解得，x＝1m。
答:当x为1m时，小路内外边缘所围成的两个矩形相似。
7. D
8.证明:（1）∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°。
∵BE⊥AP，DF⊥AP，∴∠BEA＝∠AFD＝90°。
∴∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3。
在△ABE和△DAF中，，∴△ABE≌△DAF，∴BE＝AF，
∴EF＝AE－AF＝AE－BE；
（2）如图所示，∵，而AF＝BE，∴，∴。
∴Rt△BEF∽RtA△DFA。∴∠4＝∠3，而∠1＝∠3.∴∠4＝∠1。
∵∠5＝∠1，∴∠4＝∠5。即BE平分∠FBP，而BE⊥EP，∴EF＝EP。
9.C 10.A 11.B 12.54 13.A 14.A 15.D 16.D 17.C
18.解:（1）如图所示，△A1B1C1为所求的三角形；
（2）如图所示，△A2B2C为所求三角形，点B2的坐标为（4，0）。
真题训练
1.D 2.B 3.B 4.
5.证明:（1）∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABE。又∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ABE＝∠ACB，
又∵∠BAE＝∠CAB，∴△ABE∽△ACB。∴。
又∵B＝AD，∴。
（2）设AE＝x，∵AE：EC＝1：2，∴EC＝2x，
由（1）得:AB2＝AE?AC，即AB2＝x?3x.AB＝x。
又∵BA⊥AC，∴BC＝2 x，∴∠ACB＝30°，
∵F是BC中点，∴BF＝x，∴BF＝AB＝AD。
连接AF，则AF＝BF＝CF，∠ACB＝30°，∠ABC＝60o。
又∵∠ABD＝∠ADB＝30°，∴∠CBD＝30°，∴∠ADB＝∠CBD＝∠ACB＝30°，
∴AD∥BF，∵四边形ABFD是平行四边形。又∵AD＝AB，
∴四边形ABFD是菱形。
6.解:（1）证明:∵AB＝AC，∠B＝∠C。∴∠APD＝∠B，∴∠APD＝∠B＝∠C。
∵∠APC＝∠BAP＋∠B，∠APC＝∠APD＋∠DPC，∴∠BAP＝∠DPC。
∴△ABP∽△PCD，∴，∴AB?CD＝CP?BP。
∵AB＝AC，∴AC?CD＝CP?BP。
（2）∵PD∥AB，∴∠APD＝∠BAP，∵∠APD＝∠C，∠BAP＝∠C。
又∵∠B＝∠B，∴△BAP∽△BCA，∴。
∵AB＝10，BC＝12，∴，∴BP＝。
7.证明:（1）∵AC平分∠BCD，∴∠DCA＝∠ACB。
又∵AC⊥AB，AD⊥AE，∴∠DAC＋∠CAE＝90°，∠CAE＋∠EAB＝90°，
∴∠DAC＝∠EAB。又∵E是BC的中点，∴AE＝BE。
∴∠EAB＝∠ABC，∴∠DAC＝∠ABC，∴△ACD∽△BCA，∴。
∴AC2＝CD?BC；
（2）①证明:连接AH。
∵∠ADC＝∠BAC＝90o，点H，D关于AC对称，∴AH⊥BC。
∵EG⊥AB，AE＝BE，∴点G是AB的中点，∴HG＝AG，∴∠GAH＝∠GHA。
∵点F为AC的中点，∴AF＝FH，∴∠HAF＝∠FHA，
∴∠FHG＝∠AHF＋∠AHG＝∠FAH＋∠HAG＝∠CAB＝90°，∴FH⊥GH；
②EK⊥AB，AC⊥AB，∴EK∥AC。又∵∠B＝30°，
∴ AC＝BC＝EB＝EC。又EK＝EB，∴EK＝AC，即AK＝KE＝EC＝CA，∴四边形AKEC是菱形。
8.解:（1）证明:AB＝AD，AC平分∠BAD，∴AC⊥BD，∴∠ACD＋∠BDC＝90o。
∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC，∴∠ADC＋∠BDC＝90o。
∵PD⊥AD，∴∠ADC＋∠PDC＝90°，∴∠BDC＝∠PDC。
（2）过点C作CM⊥PD于点M，∵∠BDC＝∠PDC，∴CE＝CM。
∵∠CMP＝∠ADP＝90°，∠P＝∠P，∴△CPM∽△APD，∴。
设CM＝CE＝x，∵CE:CP＝2:3，∴PC=。∵AB＝AD＝AC＝1，
∴，解得:x＝，故AE＝1－＝。
9.解:（1）∠DEF＝∠AEF。
理由:∵EF∥AB，∴∠DEF＝∠EBA，∠AEF＝∠EAB，
∵∠EAB＝∠EBA，∴∠DEF＝∠AEF；
（2）△EOA∽△AGB，
理由:∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AC⊥BD，
∴∠GAB＝∠ABE＋∠ADB＝2∠ABE.∵∠AEO＝∠ABE＋∠BAE＝2∠ABE，
∴∠GAB＝∠AEO。∵∠AGB＝∠AOE＝90o，∴△EOA∽△AGB；
（3）证明:如图所示，连接DM。
∵四边形ABCD是菱形，∴由对称性可知，BM＝DM，∠ADM＝∠ABM.
∵AB∥CH，∴∠ABM＝∠H，∴∠ADM＝∠H，∵∠DMH＝∠FMD，
∴△MFD∽△MDH，∴，
∴DM2＝MF·MH，∴BM2＝MF·MH。
10.解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2即为所求；
B2（10，8）。
章 末 复 习
考点归纳
考点1: 成比例线段
1.下列四条线段能成比例线段的是（ ）
A.1，1，2，3 B.1，2，3，4 C.2，2，3，3 D.2，3，4，5
2.已知，那么下列等式中，不成立的是（ ）
A. B. C. D.4x＝3y
考点2: 平行线分线段成比
3.如图所示，直线a∥b∥c，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F.若AB:BC＝1:2，DE＝3，则EF的长为____________。
4.如图所示，已知△ABC中，DE∥BC， AD＝5， EC＝2， BD＝AE＝x，求BD的长。
考点3: 相似多边形
5.下列四组图形中，一定相似的是（ ）
A.正方形与矩形 B.正方形与菱形 C.菱形与菱形 D.正五边形与正五边形
6.如图所示，一个矩形广场的长为60 m，宽为40 m，广场内两条纵向小路的宽均为1.5 m，如果设两条横向小路的宽都为x m，那么当x为多少时，小路内外边缘所围成的两个矩形相似？
考点4: 探索三角形相似的条件
7.已知:如图所示，∠ADE＝∠ACD＝∠ABC，图中相似三角形共有（ ）
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
8.已知:如图所示，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E，F。
（1）求证:EF＝AE－BE；
（2）连接BF，如果。求证:EF＝EP。
考点5: 黄金分割
9.如果C是线段AB一点，并且AC＞CB，AB＝1，那么AC的长度为_______时，点C是线段AB的黄金分割点（ ）
A.0.618 B. C. D.
10.主持人主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体。如图所示，如果舞台AB的长为12米，一名主持人现在站在A处，则她至少走_______米才最理想.（ ）
A.18－6 B.6－6 C.6＋6 D.18－6或6－6
考点6: 利用相似三角形测高
11.（2018·长春）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣:今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即:有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示:1丈＝10尺，1尺＝10寸），则竹竿的长为（ ）
A.五丈 B.四丈五尺 C.一丈 D.五尺
12.如图所示，某水平地面上有建筑物AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB，标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G处，使点G与建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，使点H与建筑物顶点A和标杆顶端E在同一条直线上，则建筑物的高是_________米。
13.如图所示，小明为了测量一凉亭的高度AB（顶端A到水平地面BD的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE（DE＝BC＝0.5米，A，B，C三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点G处，测得CG＝15米，然后沿直线CG后退到点E处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得EG＝3米，小明身高1.6米，则凉亭的高度AB约为（ ）
A.8.5米 B.9米 C.9.5米 D.10米
考点7: 相似三角形的性质
14.已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为（ ）
A. B. C. D.
15.如图所示，在 ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，则△BEF与△DCB的面积比为（ ）
A. B. C. D.
考点8: 利用位似放缩图形
16.如图所示是△ABC位似图形的几种画法，其中正确的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
17.在平面直角坐标系中，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，8），B（10，2），若以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩短为原来的后得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为（ ）
A.（5，1） B.（4，3） C.（3，4） D.（1，5）
18.如图所示，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，－3），B（3，－2），C（2，－4），在正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度。
（1）画出△ABC向上平移4个单位得到的△A1B1C1；
（2）以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C，使△A2B2C与△ABC位似，且△A2B2C与△ABC的位似比为2:1，并直接写出点B2的坐标。
真题训练
1.（2018·新泰校级检测）如果两个相似多边形面积的比为1:5，则它们的相似比为（ ）
A.1:25 B.1:5 C.1:2.5 D.1:
2.（2018·泰山区期末）如图所示，在△ABC中，点D是AB边上的一点，若∠ACD＝∠B，AD＝1，
AC＝2，△ADC的面积为3，则△BCD的面积为（ ）
A.12 B.9 C.6 D.3
3.（2017·泰安）如图所示，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E。若AB＝12，BM＝5，则DE的长为（ ）
A.18 B. C. D.
4.（2018·泰安）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题:“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问:出南门几步而见木？”用今天的话说，大意是:如图所示，DEFG是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木（即点D在直线AC上）？请你计算KC的长为_________步。
5.（2014·泰安）如图所示，在四边形ABCD中AB＝AD，AC与BD交于点E，∠ADB＝∠ACB。（1）求证:；
（2）若AB⊥AC，AE:EC＝1:2，F是BC中点，求证:四边形ABFD是菱形。
6.（2015·泰安）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，点P，D分别是BC，AC边上的点，且∠APD＝∠B。
（1）求证:AC·CD＝CP·BP；
（2）若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长。
7.（2016·泰安）如图所示，在四边形ABCD中，AC平分∠BCD，AC⊥AB，E是BC的中点，AD⊥AE。
（1）求证:AC2＝CD·BC；
（2）过E作EG⊥AB，并延长EG至点K，使EK＝EB。
①若点H是点D关于AC的对称点，点F为AC的中点，求证:FH⊥GH；
②若∠B＝30°，求证:四边形AKEC是菱形。
8.（2017·泰安）如图所示，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD。
（1）证明:∠BDC＝∠PDC；
（2）若AC与BD相交于点E，AB＝1，CE:CP＝2:3，求AE的长。
9.（2018·泰安）如图所示，在菱形ABCD中，AC与BD交于点O，E是BD上一点，EF∥AB，
∠EAB＝∠EBA，过点B作DA的垂线，交DA的延长线于点G。
（1）∠DEF和∠AEF是否相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由；
（2）找出图中与△AGB相似的三角形，并证明；
（3）BF的延长线交CD的延长线于点H，交AC于点M.求证:BM2＝MF·MH。
10.（2018·宁夏）已知:△ABC三个顶点的坐标分别为A(－2，－2)，B(－5，－4)，C(－1，－5)。（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在网格中画出△A2B2C2，并写出点B2的坐标。
参考答案及解析
考点归纳
1.C 2.B 3.6
4.解:∵DE∥BC，∴，∴，∴x2＝10。
x＝或x＝－（舍去）。∴BD＝。
D
6.解:∵小路内外边缘所围成的两个矩形相似，
∴，解得，x＝1m。
答:当x为1m时，小路内外边缘所围成的两个矩形相似。
7. D
8.证明:（1）∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°。
∵BE⊥AP，DF⊥AP，∴∠BEA＝∠AFD＝90°。
∴∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3。
在△ABE和△DAF中，，∴△ABE≌△DAF，∴BE＝AF，
∴EF＝AE－AF＝AE－BE；
（2）如图所示，∵，而AF＝BE，∴，∴。
∴Rt△BEF∽RtA△DFA。∴∠4＝∠3，而∠1＝∠3.∴∠4＝∠1。
∵∠5＝∠1，∴∠4＝∠5。即BE平分∠FBP，而BE⊥EP，∴EF＝EP。
9.C 10.A 11.B 12.54 13.A 14.A 15.D 16.D 17.C
18.解:（1）如图所示，△A1B1C1为所求的三角形；
（2）如图所示，△A2B2C为所求三角形，点B2的坐标为（4，0）。
真题训练
1.D 2.B 3.B 4.
5.证明:（1）∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABE。又∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ABE＝∠ACB，
又∵∠BAE＝∠CAB，∴△ABE∽△ACB。∴。
又∵B＝AD，∴。
（2）设AE＝x，∵AE：EC＝1：2，∴EC＝2x，
由（1）得:AB2＝AE?AC，即AB2＝x?3x.AB＝x。
又∵BA⊥AC，∴BC＝2 x，∴∠ACB＝30°，
∵F是BC中点，∴BF＝x，∴BF＝AB＝AD。
连接AF，则AF＝BF＝CF，∠ACB＝30°，∠ABC＝60o。
又∵∠ABD＝∠ADB＝30°，∴∠CBD＝30°，∴∠ADB＝∠CBD＝∠ACB＝30°，
∴AD∥BF，∵四边形ABFD是平行四边形。又∵AD＝AB，
∴四边形ABFD是菱形。
6.解:（1）证明:∵AB＝AC，∠B＝∠C。∴∠APD＝∠B，∴∠APD＝∠B＝∠C。
∵∠APC＝∠BAP＋∠B，∠APC＝∠APD＋∠DPC，∴∠BAP＝∠DPC。
∴△ABP∽△PCD，∴，∴AB?CD＝CP?BP。
∵AB＝AC，∴AC?CD＝CP?BP。
（2）∵PD∥AB，∴∠APD＝∠BAP，∵∠APD＝∠C，∠BAP＝∠C。
又∵∠B＝∠B，∴△BAP∽△BCA，∴。
∵AB＝10，BC＝12，∴，∴BP＝。
7.证明:（1）∵AC平分∠BCD，∴∠DCA＝∠ACB。
又∵AC⊥AB，AD⊥AE，∴∠DAC＋∠CAE＝90°，∠CAE＋∠EAB＝90°，
∴∠DAC＝∠EAB。又∵E是BC的中点，∴AE＝BE。
∴∠EAB＝∠ABC，∴∠DAC＝∠ABC，∴△ACD∽△BCA，∴。
∴AC2＝CD?BC；
（2）①证明:连接AH。
∵∠ADC＝∠BAC＝90o，点H，D关于AC对称，∴AH⊥BC。
∵EG⊥AB，AE＝BE，∴点G是AB的中点，∴HG＝AG，∴∠GAH＝∠GHA。
∵点F为AC的中点，∴AF＝FH，∴∠HAF＝∠FHA，
∴∠FHG＝∠AHF＋∠AHG＝∠FAH＋∠HAG＝∠CAB＝90°，∴FH⊥GH；
②EK⊥AB，AC⊥AB，∴EK∥AC。又∵∠B＝30°，
∴ AC＝BC＝EB＝EC。又EK＝EB，∴EK＝AC，即AK＝KE＝EC＝CA，∴四边形AKEC是菱形。
8.解:（1）证明:AB＝AD，AC平分∠BAD，∴AC⊥BD，∴∠ACD＋∠BDC＝90o。
∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC，∴∠ADC＋∠BDC＝90o。
∵PD⊥AD，∴∠ADC＋∠PDC＝90°，∴∠BDC＝∠PDC。
（2）过点C作CM⊥PD于点M，∵∠BDC＝∠PDC，∴CE＝CM。
∵∠CMP＝∠ADP＝90°，∠P＝∠P，∴△CPM∽△APD，∴。
设CM＝CE＝x，∵CE:CP＝2:3，∴PC=。∵AB＝AD＝AC＝1，
∴，解得:x＝，故AE＝1－＝。
9.解:（1）∠DEF＝∠AEF。
理由:∵EF∥AB，∴∠DEF＝∠EBA，∠AEF＝∠EAB，
∵∠EAB＝∠EBA，∴∠DEF＝∠AEF；
（2）△EOA∽△AGB，
理由:∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AC⊥BD，
∴∠GAB＝∠ABE＋∠ADB＝2∠ABE.∵∠AEO＝∠ABE＋∠BAE＝2∠ABE，
∴∠GAB＝∠AEO。∵∠AGB＝∠AOE＝90o，∴△EOA∽△AGB；
（3）证明:如图所示，连接DM。
∵四边形ABCD是菱形，∴由对称性可知，BM＝DM，∠ADM＝∠ABM.
∵AB∥CH，∴∠ABM＝∠H，∴∠ADM＝∠H，∵∠DMH＝∠FMD，
∴△MFD∽△MDH，∴，
∴DM2＝MF·MH，∴BM2＝MF·MH。
10.解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2即为所求；
B2（10，8）。