【鲁教版七下精美学案】10.2 等腰三角形（知识构建+考点归纳+真题训练）

第十章 三角形的有关证明
10.2 等腰三角形
知 识 梳 理
知识点1 等腰三角形的性质
等腰三角形的____________相等（简称:等边对等角）。
符号语言:
∵AB＝AC，∴_______________。
注意 说明一个三角形是等腰三角形一定要指出相等的两边，如在等腰三角形ABC中，AB＝AC。
知识点2 等腰三角形的推论
等腰三角形_________的平分线、_________的中线、________的高互相重合。
符号语言:如图所示，
（1）∵AB＝AC，∠1＝∠2，∴AD⊥BC，_____________。
（2）∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，______________。
（3）∵AB＝AC，______________，∴∠1＝∠2，BD＝CD。
注意 此推论也称为“三线合一定理”，在应用时，需注意必须是等腰三角形已知为前提。
知识点3 等边三角形的性质
等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于____________。
符号语言:如图所示，
∵AB＝AC＝BC，
∴________＝________＝_________＝_________。
知识点4 等腰三角形的判定定理
___________________________________是等腰三角形（简称等角对等边）。
符号语言:如图所示，
∵_____________________，∴AB＝AC。
知识点5 等边三角形的判定
1.有_______________等腰三角形是等边三角形.
符号语言:如图所示，
∵AB＝AC，∠B＝60°，（∠A＝60°或∠C＝60°）
∴△ABC是等边三角形
2.___________________三角形是等边三角形。
符号语言:∵∠A＝∠B＝∠C，
∴△ABC是等边三角形。
知识点6 直角三角形性质定理
在直角三角形中，如果____________，那么它所对的直角边等于_______________。
符号语言:如图所示，
在Rt△ABC中，
∵∠A＝30°，∴BC＝AB。
知识点7 反证法
1.定义:先假设命题的_____________________，然后推导出与_________________相矛盾的结果，从而证明______________________。这种证明方法叫做_______________。
2.证明步骤:
（1）反设:假设结论的反面成立；
（2）归谬:从假设出发，通过推理得出矛盾；
（3）结论:由矛盾判断假设不成立，从而肯定原命题的结论成立。
考 点 突 破
考点1: 与等腰三角形性质有关的证明
典例1 如图所示，已知在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，且BD＝AD，DC＝AC，求∠B的度数。
思路导析:把“等边对等角”这一性质用在三个不同的等腰三角形中，然后用方程的思想解决，列方程的依据是三角形内角和定理。
解:∵AB＝AC，∴∠B＝∠C。同理:∠B＝∠BAD，∠CAD＝∠CDA。
设∠B＝a，则∠C＝a，∠BAD＝a，∴∠CDA＝2a，∠CAD＝2a。
在△ADC中，∵∠C＋∠CAD＋∠CDA＝180°，∴a＋2a＋2a＝180°
∴a＝36o，即∠B＝36°。
变式1 等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角的度数为____________。
变式2 如图所示，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为（ ）
A.5 B.6 C.8 D.10
典例2 如图所示，AB＝AE，BC＝ED，∠B＝∠E，F为CD的中点。求证:AF⊥CD。
思路导析:连接AC，AD。要证AF⊥CD，已有F为CD中点，由等腰三角形三线合一定理可知，必须要证AC＝AD。而这可由证△ABC≌△AED证得。
证明:连接AC，AD。
在△ABC和△AED中，∴△ABC≌△AED（SAS）。
∴AC＝AD（全等三角形对应边相等），∵F是CD的中点，
∴AF⊥CD（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）。
友情提示 等腰三角形三线合一定理是证明垂直、两线段相等、两角相等的重要方法，要能灵活运用。变式3 如图所示，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE.求证:BD＝CE。
考点2: 反证法
典例3 在一个三角形中，若两条边不相等，则这两条边所对的角也不相等。
已知:如图所示，在△ABC中，AB≠AC。求证:∠B≠∠C。
思路导析: 本题是一道否定性命题直接证明难以下手、不妨反证法证明。
证明: 假设∠B＝∠C，那么AB＝AC，与已知AB≠AC矛盾，故假设错误即原命题结论∠B≠∠C成立。
友情提示 遇到否定惊命题、唯一性命题、必然性命题和一些基本定理的证明，可运用反证法来证明。变式4 用反证法证明:在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。应假设这个三角形的三个内角都_____________。
变式5 用反证法证明:一个三角形中至多有一个直角、应假设这个三角形中__________________。
巩 固 提 高
1.等腰三角形的一个内角为80°，则顶角的度数是（ ）
A.80° B.20° C.80°或20° D.80°且20°
2.若实数m，n满足等式＋＝0，且m，n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（ ）
A.12 B.10 C.8 D.6
3.如图所示，Rt△ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，B点与0刻度线的一端重合，∠ABC＝40°，射线CD绕点C转动，与量角器外沿交于点D，若射线CD将△ABC分割出以BC为底边的等腰三角形，则点D在量角器上对应的度数是（ ）
A.40° B.140° C.70°或80° D.80°
4.如图所示，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线，若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是（ ）
A.20° B.35° C.40° D.70°
5.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，则下列结论一定成立的是（ ）
A.BC＝EC B.EC＝BE
C.BC＝BE D.AE＝EC
6.若一个等腰三角形的顶角等于50°，则它的底角等于____________。
7.如图所示，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD＝___________。
8.如图所示，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC＝4，则PD的长是__________。
9.如图所示，△ABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝DB，∠BAC＝102°，则∠ADC＝__________。
10.如图所示，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，将△ABC中的∠A沿DE向下翻折，使点A落在点C处若AE＝，则BC的长是__________。
11.如图所示，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC。求证:△BDE是等腰三角形。
真 题 训 练
1.（2018·福建）如图所示，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，点E在线段AD上，
∠EBC＝45°，则∠ACE等于（ ）
A.15° B.30°
C.45o D.60°
2.（2018·吉林）我们规定:等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k若k＝，则该等腰三角形的顶角为_________度。
3.（北京中考）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D。
求证:AD＝BC。
参考答案及解析
知识梳理
知识点1: 两个底角 ∠B＝∠C
知识点2: 顶角 底边上 底边上
（1）BD＝CD （2）∠1＝∠2 （3）AD⊥BC
知识点3: 60° ∠A ∠B ∠C 60°
知识点4: 有两个角相等的三角形 ∠B＝∠C
知识点5: 1.一个角等于60°的 2.三个角都相等的
知识点6: 一个锐角等于30° 斜边的一半
知识点7: 1.结论不成立 定义、基本事实已有定理或已知条件 命题的结论一定成立 反证法
考点突破
1.80° 2.C
3.提示:证明△ABD≌△ACE或过点A作BC的垂线。
4.大于60°
5.至少有两个直角
巩固提高
1.C 2.B 3.D 4.B 5.C 6.65° 7.30° 8.2 9.52° 10.
11.证明:如图所示，∵DE∥AC，∴∠1＝∠3，
∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠3。
∵AD⊥BD，∠2＋∠B＝90°，∠3＋∠BDE＝90o，∴∠B＝∠BDE。
∴△BDE是等腰三角形。
真题训练
1.A 2.36
3.证明:∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°。
∵BD平分∠ABC交AC于点D，∴∠ABD＝∠DBC＝36°。
∴∠A＝∠ABD，∴AD＝BD。∵∠C＝72°，∴∠BDC＝72°。
∴∠C＝∠BDC，∴BC＝BD。∴AD＝BC。