一、动能┄┄┄┄┄┄┄┄①
1．定义：物体由于运动而具有的能量。
2．表达式：Ek＝mv2。
3．单位：与功的单位相同，国际单位为焦耳。
1 J＝1_N·m＝1_kg·m2/s2。
4．标矢性：标量，只有大小，没有方向。
二、动能的特点┄┄┄┄┄┄┄┄②
1．动能是标量，没有方向，Ek>0。
2．动能是状态量，对应某一时刻物体的瞬时速度。
3．动能具有相对性，物体运动速度的大小与选定的参考系有关，相对于不同参考系，物体具有不同的速度，即物体的动能不同。无特别说明均以地面为参考系。
[注意]
(1)动能描述的是物体在某一时刻或某一位置所具有的能量状态，具有瞬时性，是个状态量。动能变化量则是指物体的末动能减去初动能，即Ek2－Ek1，描述的是从一个状态到另一个状态的变化量，即对应一个过程。动能为非负值，而动能变化量有正有负，ΔEk>0表示物体的动能增加，ΔEk<0表示物体的动能减少。
(2)一个质量不变的物体速度发生变化，动能不一定变化；若动能变化了，则速度一定变化。
三、动能定理┄┄┄┄┄┄┄┄③
1．推导：如图所示，物体做匀加速直线运动，F为合力。
2．内容：力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。
3．表达式
(1)W＝Ek2－Ek1。
(2)W＝mv－mv。
4．适用范围
不仅适用于恒力做功和直线运动，也适用于变力做功和曲线运动的情况。
[说明]
(1)如果物体受到几个力的共同作用，式中W为合力所做的功，它等于各力做功的代数和。
(2)如果外力对物体做正功，物体的动能增加，外力对物体做负功，物体的动能减少。
①[判一判]
1．一个物体的动能与参考系的选取无关(×)
2．做匀速圆周运动的物体的动能保持不变(√)
3．两质量相同的物体，若动能相同，则速度一定相同(×)
4．动能不变的物体，一定处于平衡状态(×)
②[判一判]
1．合外力做功不等于零，物体的动能一定变化(√)
2．物体的速度发生变化，合外力做功一定不等于零(×)
3．物体的动能增加，合外力做正功(√)
1.表达式的理解
(1)动能定理中所说的外力，既可以是重力、弹力、摩擦力，也可以是任何其他的力。
(2)动能定理中的W是指所有作用在物体上的外力的合力做的功，而不是某一力做的功。W可以为正功，也可以为负功。其求解思路如下。
(3)Ek1、Ek2分别为初动能和末动能，Ek2可以大于也可以小于Ek1。
2．两种关系
(1)等值关系：某物体的动能变化量总等于合力对它做的功。
(2)因果关系：合力对物体做功是引起物体动能变化的原因，合力做功的过程实质上是其他形式的能与动能相互转化的过程，转化了多少由合力做了多少功来度量。
3．普遍性
动能定理虽然可根据牛顿第二定律和匀变速直线运动的运动学公式推出，但动能定理本身既适用于恒力作用过程，也适用于变力作用过程，既适用于直线运动的情况，也适用于曲线运动情况。
4．研究对象及过程
(1)研究对象：可以是单个物体，也可以是相对静止的系统。
(2)研究过程：既可以是运动中的某一段过程，也可以是运动的全过程。
[典型例题]
例1.[多选]一物体做变速运动时，下列说法正确的有( )
A．合力一定对物体做功，使物体动能改变
B．物体所受合力一定不为零
C．合力一定对物体做功，但物体动能可能不变
D．物体加速度一定不为零
[解析] 物体的速度发生了变化，则合力一定不为零，加速度也一定不为零，B、D正确；物体的速度变化，可能是大小不变，方向变化，故动能不一定变化，合力不一定做功，A、C错误。
[答案] BD
[点评] 动能与速度的关系
(1)数值关系：Ek＝mv2，速度v和动能Ek均为相对于同一参考系时的数值。
(2)瞬时关系：动能和速度均为状态量，二者具有瞬时对应关系。
(3)变化关系：动能是标量，速度是矢量，当动能发生变化时，物体的速度(大小)一定发生了变化，当速度发生变化时，可能仅是速度方向的变化，物体的动能可能不变。
[即时巩固]
1．(2016·灵宝月考)下列关于运动物体所受的合力、合力做功和动能变化的关系，正确的是( )
A．如果物体所受的合力为零，那么合力对物体做的功一定为零
B．如果合力对物体做的功为零，则合力一定为零
C．物体在合力作用下做匀变速直线运动，则动能在一段过程中变化量一定不为零
D．物体的动能不发生变化，物体所受合力一定是零
解析：选A 功是力与物体在力的方向上发生的位移的乘积，如果物体所受的合力为零，那么合力对物体做的功一定为零，A正确；如果合力对物体做的功为零，可能是合力不为零，而是在力的方向上的位移为零，B错误；竖直上抛运动是一种匀变速直线运动，其在上升和下降阶段经过同一位置时动能相等，故动能在一段过程中变化量可以为零，C错误；动能不变化，只能说明速度大小不变，但速度方向有可能变化，因此合力不一定为零，D错误。
1.应用动能定理解题的步骤
(1)确定研究对象和研究过程(研究对象一般为单个物体)。
(2)对研究对象进行受力分析(注意哪些力做功或不做功)。
(3)确定合力对物体做的功(注意功的正负)。
(4)确定物体的初、末动能(注意动能增量是末动能减初动能)。
(5)根据动能定理列式、求解。
2．动能定理与牛顿定律解题的比较
牛顿定律
动能定理
相同点
确定研究对象，对物体进行受力分析和运动过程分析
适用条件
只能研究在恒力作用下物体做直线运动
对于物体在恒力或变力作用下，物体做直线或曲线运动均适用
应用方法
要考虑运动过程的每一个细节，结合运动学公式解题
只考虑各力的做功情况及初、末状态的动能
运算方法
矢量运算
代数运算
特别提醒
两种思路对比可以看出应用动能定理解题不涉及加速度、时间，不涉及矢量运算，运算简单不易出错
[典型例题]
例2.质量M＝6.0×103 kg的客机，从静止开始沿平直的跑道匀加速滑行，当滑行距离l＝7.2×102 m 时，达到起飞速度 v＝60 m/s。求：
(1)起飞时飞机的动能多大？
(2)若不计滑行过程中所受的阻力，则飞机受到的牵引力为多大？
(3)若滑行过程中受到的平均阻力大小为F＝3.0×103 N，牵引力与第(2)问中求得的值相等，则要达到上述起飞速度，飞机的滑行距离应为多大？
[解析] (1)飞机起飞时的动能
Ek＝Mv2
代入数值得Ek＝1.08×107 J
(2)设牵引力为F1，由动能定理得
F1l＝Ek－0
代入数值，解得F1＝1.5×104 N
(3)设滑行距离为l′，由动能定理得
F1l′－Fl′＝Ek－0
整理得l′＝
代入数值，得l′＝9.0×102 m
[答案] (1)1.08×107 J
(2)1.5×104 N (3)9.0×102 m
[点评] 动能定理解题的优越性
应用牛顿运动定律和运动学规律时，涉及的有关物理量比较多，对运动过程中的细节也要仔细研究；应用动能定理解题时，研究对象的运动性质、运动轨迹、做功的力是变力还是恒力等诸多因素都可以不予考虑，使分析简化，只考虑合力做功和初、末两个状态的动能，并且可以把不同的运动过程合并为一个全过程来处理。
[即时巩固]
2．(2016·咸阳月考)如图所示，物体(可看成质点)沿一曲面从A点无初速度下滑，当滑至曲面的最低点B点时，下滑的竖直高度 h＝5 m，此时物体的速度v＝6 m/s。若物体的质量m＝1 kg，g＝10 m/s2，求物体在下滑过程中克服阻力所做的功。
解析：物体在曲面上的受力情况为：重力、弹力、摩擦力，其中弹力不做功。设摩擦力做功为Wf，由A→B用动能定理知
mgh＋Wf＝mv2－0
解得Wf＝－32 J
故物体在下滑过程中克服阻力所做的功为32 J。
答案：32 J
1．放在光滑水平面上的物体，仅在两个同向水平力的共同作用下开始运动。若这两个力分别做了6 J和8 J的功，则该物体的动能增加了( )
A．48 J B．14 J
C．10 J D．2 J
解析：选B 合力对物体做功W合＝6 J＋8 J＝14 J。根据动能定理得物体的动能增加量为14 J，B正确。
2．一质量为m的小球，用长为l的轻绳悬挂于O点。小球在水平拉力F作用下，从平衡位置P点很缓慢地移动到Q点，如图所示，则拉力F所做的功为( )
A．mglcos θ B．mgl(1－cos θ)
C．Flcos θ D．Flsin θ
解析：选B 小球缓慢移动，时时都处于平衡状态，由平衡条件可知，F＝mgtan θ，随着θ的增大，F也在增大，是一个变化的力，不能直接用功的公式求它做的功，所以此题需要用动能定理求解。由于物体缓慢移动，动能保持不变，由动能定理得：－mgl(1－cos θ)＋W＝0，所以W＝mgl(1－cos θ)，B正确。
3．(2016·三明高一检测)两个物体A、B的质量之比为mA∶mB＝2∶1，二者初动能相同，它们和水平桌面的动摩擦因数相同，则二者在桌面上滑行到停止经过的距离之比为( )
A．xA∶xB＝2∶1 B．xA∶xB＝1∶2
C．xA∶xB＝4∶1 D．xA∶xB＝1∶4
解析：选B 物体滑行过程中只有摩擦力做功，根据动能定理，对A：－μmAgxA＝0－Ek；对B：－μmBgxB＝0－Ek。故＝＝，B正确。
4．[多选]质量为m的物体，从静止开始以a＝g的加速度竖直向下运动高度h，下列说法中正确的是( )
A．物体的动能增加了mgh
B．物体的动能减少了mgh
C．物体的势能减少了mgh
D．物体的势能减少了mgh
解析：选AD 物体的合力为ma＝mg，向下运动h时合力做功mgh，根据动能定理物体的动能增加了mgh，A正确，B错误；向下运动高度h过程中重力做功mgh，物体的势能减少了mgh，C错误，D正确。
5．(2016·三门峡高一检测)如图所示，斜面倾角为θ，滑块质量为m，滑块与斜面的动摩擦因数为μ，从距挡板P为s0的位置以v0的速度沿斜面向上滑行。设重力沿斜面的分力大于滑动摩擦力，且每次与P碰撞前后的速度大小保持不变，挡板与斜面垂直，斜面足够长。求滑块从开始运动到最后停止滑行的总路程s。
解析：滑块在斜面上运动时受到的摩擦力大小
Ff＝μFN＝μmgcos θ
整个过程滑块下落的总高度h＝s0sin θ
根据动能定理mgh－Ff·s＝0－mv
联立以上各式得s＝＋
答案：＋
课件47张PPT。 谢谢课下能力提升(十九) 机械能守恒定律
[基础练]
一、选择题
1．[多选]关于机械能守恒，下列说法中正确的是( )
A．物体受力平衡，则机械能守恒
B．物体做匀速直线运动，则机械能守恒
C．物体做自由落体运动，则机械能守恒
D．只有重力对物体做功，物体机械能一定守恒
2．(2016·宁波高一检测)从同一高度以相同的速率分别抛出质量相等的三个小球，一个竖直上抛，一个竖直下抛，另一个平抛，则它们从抛出到落地：①运动的时间相等 ②加速度相同 ③落地时的速度相同 ④落地时的动能相等。以上说法正确的是( )
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
3．[多选]如图为两个半径不同而内壁光滑的固定半圆轨道，质量相等的两个小球分别从与半圆轨道圆心在同一水平高度的A、B两点由静止开始自由滑下，它们通过轨道最低点时，下列说法正确的是( )
A．向心加速度相等
B．对轨道的压力相等
C．机械能相等
D．速度相同
4．[多选](2016·延安高一检测)如图所示，同一物体沿倾角不同的光滑斜面AB和AC的顶端A点分别由静止开始下滑到底端，斜面固定，则下列说法中正确的是( )
A．两次运动，重力对物体做功相同
B．滑到底端时，两次重力的瞬时功率相同
C．滑到底端时，两次物体的速度相同
D．滑到底端时，两次物体的动能相同
5．以相同大小的初速度v0将物体从同一水平面分别竖直上抛、斜上抛、使物体沿光滑斜面(足够长)上滑，如图所示，三种情况达到的最大高度分别为h1、h2和h3，不计空气阻力，(斜上抛物体在最高点的速度方向水平)，则( )
A．h1＝h2>h3 B．h1＝h2C．h1＝h3h2
二、非选择题
6．如图所示，质量分别为3 kg和5 kg的物体A、B，用轻绳连接跨在一个定滑轮两侧，轻绳正好拉直，且A的底面与地面接触，B距地面0.8 m，放开B，取g＝10 m/s2，求：
(1)当B着地时，A的速度；
(2)B着地后，A还能上升多高？
[提能练]
一、选择题
1．在如图所示的四个图中，木块均在固定的斜面上运动，其中图A、B、C中的斜面是光滑的，图D中的斜面是粗糙的，图A、B中的F为木块所受的外力，方向如图中箭头所示，图A、B、D中的木块向下运动，图C中的木块向上运动，在这四个图所示的运动过程中机械能守恒的是( )
2．(2016·龙海高一检测)如图所示，质量为m的小球以速度v0离开桌面，若以桌面为零势能面，则它经过A点时所具有的机械能是(不计空气阻力)( )
A.mv＋mgh B.mv－mgh
C.mv D.mv＋mg(H－h)
3．一个物体以一定的初速度竖直上抛，不计空气阻力，那么在选项图中，表示物体的动能Ek随高度h变化的图象A，物体的重力势能Ep随速度v变化的图象B，表示物体的机械能E随高度h变化的图象C，表示物体的动能Ek随速度v的变化图象D，其中错误的是( )
4．[多选]如图所示，在两个质量分别为m和2m的小球a和b之间，用一根轻质细杆连接，两小球可绕过轻杆中心的水平轴无摩擦转动，现让轻杆处于水平方向放置，静止释放小球后，b球向下转动，a球向上转动，在转过90°的过程中，以下说法正确的是( )
A．b球的重力势能减少，动能减少
B．a球的重力势能增大，动能增大
C．a球和b球的机械能总和保持不变
D．a球和b球的机械能总和不断减小
5．[多选]如图所示，小球沿水平面通过O点进入半径为R的半圆弧轨道后恰能通过最高点P，然后落回水平面，不计一切阻力。下列说法正确的是( )
A．小球落地点离O点的水平距离为2R
B．小球落地时的动能为
C．小球运动到半圆弧最高点P时向心力恰好为零
D．若将半圆弧轨道上部的圆弧截去，其他条件不变，则小球能达到的最大高度比P点高0.5R
二、非选择题
6．(2016·临汾高一检测)如图所示，光滑细圆管轨道AB部分平直，BC部分是处于竖直平面内半径为R的半圆，C为半圆的最高点。有一质量为m，半径较管道略小的光滑的小球以水平初速度v0射入圆管。
(1)若要小球从C端出来，初速度v0应满足什么条件？
(2)在小球从C端出来瞬间，对管壁作用力有哪几种情况，初速度v0各应满足什么条件？
答 案
[基础练]
1．解析：选CD 物体若沿斜面匀速下滑，物体受力平衡，机械能不守恒，A、B错误；物体做自由落体运动时只受重力，机械能守恒，C正确；只有重力做功时，只有重力势能与动能间的转化，物体的机械能守恒，D正确。
2．解析：选D 平抛运动在竖直方向上做自由落体运动，在同一高度自由落体运动的时间小于竖直上抛运动的时间，大于竖直下抛运动的时间。故①错误；竖直上抛运动、竖直下抛运动、平抛运动仅受重力，加速度都为g。故②正确；根据机械能守恒mgh＝mv－mv，知初动能相等，下落高度相同，则末动能相等。末速度的大小相等，但方向不同，所以落地速度不同。故③错误，④正确。故D正确。
3．解析：选ABC 设小球的质量为m，通过最低点时的速度大小为v，半圆轨道的半径为R，则根据机械能守恒定律mgR＝mv2，得v＝，由于两半圆轨道的半径不同，两球过最低点时的速度不同，D错误；a＝＝2g，两球过最低点时的加速度相等，A正确；由牛顿第二定律知FN－mg＝m，FN＝mg＋m＝3mg，两球过最低点时对半圆轨道的压力大小相等，B正确；两球的机械能都守恒，均等于它们在最高点的机械能，若取最高点所在水平面为参考平面，则两球的机械能都等于零，C正确。
4．解析：选AD 根据重力做功的公式W＝mgh，可得两次运动，重力对物体做的功相同，A正确；根据机械能守恒有mgh＝mv2，所以滑到底端时，两次物体的动能相同，速度大小相等，但方向不同，故D正确，C错误；根据公式P＝Fvcos α，两次重力的瞬时功率不同，故B错误。
5．解析：选D 竖直上抛物体、沿斜面运动的物体，上升到最高点时，速度均为零，由机械能守恒得mgh＝mv，解得h＝，斜上抛物体在最高点时的水平速度不为零，设为v1，则mgh2＝mv－mv，h2＜h1＝h3，D正确。
6．解析：(1)对于A、B组成的系统，当B下落时系统机械能守恒。
法一：利用公式E2＝E1求解
以地面为参考平面，则
mAgh＋(mA＋mB)v2＝mBgh
解得v＝ ＝2 m/s
法二：利用公式ΔEp减＝ΔEk增求解
由题意得mBgh－mAgh＝(mA＋mB)v2
解得v＝2 m/s
法三：利用公式ΔEA增＝ΔEB减求解
由题意得
mAgh＋mAv2＝mBgh－mBv2
解得v＝2 m/s
(2)当B着地后，A以2 m/s的速度竖直上升，由机械能守恒定律得mAgh′＝mAv2
解得A上升的高度h′＝＝0.2 m
答案：(1)2 m/s (2)0.2 m
[提能练]
1．解析：选C 对于A、B选项，外力F对物体做功，机械能不守恒；C选项中只有重力做功，机械能守恒；D选项中有摩擦力做功，机械能也不守恒，C正确，A、B、D错误。
2．解析：选C 小球下落过程机械能守恒，所以EA＝E初＝mv，C正确。
3．解析：选B 机械能守恒，E1＝mv，E2＝mgh＋Ek，E1＝E2，Ek＝E1－mgh，E1为定值，故Ek与h是一次函数关系，A正确；E1＝Ep＋mv2，Ep＝E1－mv2，故Ep与v是二次函数关系，B错误；机械能守恒，机械能不变，物体在任何高度E不变，C正确；Ek＝mv2，Ek与v是二次函数关系，故D正确。
4．解析：选BC 在b球向下、a球向上转动过程中，两球均在加速转动，两球动能增加，同时b球重力势能减小，a球重力势能增大，A错误，B正确；a、b两球组成的系统只有重力和系统内弹力做功，系统机械能守恒，C正确，D错误。
5．解析：选ABD 小球恰能通过P点，则在P点时重力提供向心力，大小为mg，C错误；由题意知，在P点时mg＝m，故小球经P点时的速度大小v＝，由2R＝gt2、x＝vt得小球落地点离O点的水平距离为2R，A正确；根据机械能守恒得2mgR＝Ek－mv2，解得小球落地时的动能Ek＝2mgR＋mv2＝mgR，B正确；由mgh＝mgR得，轨道上部的圆弧截去后小球能达到的最大高度h＝2.5R，比P点高0.5R，D正确。
6．解析：(1)小球恰好能达到最高点的条件是vC＝0，
由机械能守恒定律，此时需要初速度v0满足mv＝mg·2R，得v0＝，
因此要使小球能从C端出来需满足入射速度v0>。
(2)小球从C端出来瞬间，对管壁作用力可以有三种情况：
①刚好对管壁无作用力，此时重力恰好充当向心力，由圆周运动知识得mg＝m。
由机械能守恒定律
mv＝mg·2R＋mv，
联立解得v0＝。
②对下管壁有作用力，此时应有
mg>m，
此时相应的入射速度v0应满足
③对上管壁有作用力，此时应有
mg此时相应的入射速度v0应满足v0>。
答案：(1)v0>
(2)v0＝ 时对管壁无作用力；
时对上管壁有作用力。
