一、动能和势能的相互转化┄┄┄┄┄┄┄┄①
1．动能与重力势能间的转化
(1)物体自由下落或沿光滑斜面滑下时，重力对物体做正功，物体的重力势能减少，动能增加，物体原来具有的重力势能转化为动能。
(2)原来具有一定速度的物体，由于惯性在空中竖直上升或沿光滑斜面向上运动时，重力对物体做负功，物体原来具有的动能转化为重力势能。
2．被压缩的弹簧具有弹性势能，当弹簧恢复原状时，把跟它接触的物体弹出去。这一过程中，弹力做正功，弹簧的弹性势能减少，转化为物体的动能。
3．动能和势能统称为机械能。通过重力或弹力做功，机械能可以从一种形式转化为另一种形式。
[说明]
(1)机械能是标量，只有大小，没有方向，但有正负(因为势能有正负)。
(2)机械能具有瞬时性。物体在某一时刻的机械能等于该时刻的动能与势能之和。
(3)机械能具有相对性。因为势能具有相对性(需确定零势能面)，与动能相关的速度也具有相对性(需相对于同一惯性参考系，一般以地面为参考系)，所以机械能也具有相对性。
①[选一选]
高台滑雪运动员腾空跃下，如果不考虑空气阻力，则下落过程中该运动员机械能的转换关系是( )
A．动能减少，重力势能减少
B．动能减少，重力势能增加
C．动能增加，重力势能减少
D．动能增加，重力势能增加
解析：选C 运动员腾空跃下，不考虑空气阻力，只受重力作用，故机械能守恒。下落过程中高度减小，重力势能减少，速度增大，动能增加。选项C正确。
二、机械能守恒定律┄┄┄┄┄┄┄┄②
1．推导：
2．内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。
3．守恒定律表达式
(1)Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2，即ΔEk增＝ΔEp减。
(2)Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1，即E2＝E1。
4．守恒条件：只有重力(或弹力)做功。
[说明]
由于应用动能定理不需要满足什么条件，所以涉及到功能关系问题时可以优先考虑动能定理(特别是单个物体时)。
②[判一判]
1．合力为零，物体的机械能一定守恒(×)
2．合力做功为零，物体的机械能一定守恒(×)
3．只有重力做功，物体的机械能一定守恒(√)
1.对机械能守恒条件的理解
机械能守恒的条件是只有重力或弹力做功，可分如下三层理解
(1)只受重力作用：如在不考虑空气阻力的情况下的各种抛体运动(自由落体、竖直上抛、平抛、斜抛等)。
(2)受其他力，但其他力不做功，只有重力或弹力做功，例如：①物体沿光滑的曲面下滑，受重力、曲面的支持力的作用，但曲面的支持力对物体不做功；②在光滑水平面上的小球运动中碰到弹簧，把弹簧压缩后又被弹簧弹回来。
(3)除重力和弹力之外，还有其他力做功，但其他力做功的总和为零，系统机械能没有转化为其他形式的能，物体的机械能不变，这不属于真正的守恒，但也可以当作守恒来处理。
2．机械能守恒的判断
(1)用做功来判断：分析物体或物体受力情况(包括内力和外力)，明确各力做功的情况，若对物体或系统只有重力或弹力做功，没有其他力做功或其他力做功的代数和为零，则机械能守恒。
(2)用能量转化来判断：若系统中只有动能和势能的相互转化，无机械能与其他形式的能的转化，则系统机械能守恒。
[典型例题]
例1.[多选](2016·泰兴检测)如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是( )
A．甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，A机械能守恒
B．乙图中，在大小等于摩擦力的拉力下沿斜面下滑时，物体B机械能守恒
C．丙图中，不计任何阻力时，A加速下落，B加速上升的过程中，A、B组成的系统机械能守恒
D．丁图中，小球沿水平面做速度大小不变的圆锥摆运动时，小球机械能守恒
[解析] 甲图中重力和弹力做功，物体A和弹簧组成的系统机械能守恒，但A机械能不守恒，A错误；乙图中物体B除受重力外，还受支持力、拉力、摩擦力，但当拉力与摩擦力大小相等时，除重力之外的三个力做功的代数和为零，故B机械能守恒，B正确；丙图中绳子的张力对A做负功，对B做正功，两者代数和为零，又不计任何阻力，故A、B组成的系统机械能守恒，C正确；丁图中小球的动能不变，势能不变，故机械能守恒，D正确。
[答案] BCD
[点评] 判断机械能是否守恒应注意的问题
(1)合力为零是物体处于平衡状态的条件。物体的合力为零时，它一定处于匀速运动状态或静止状态，但它的机械能不一定守恒。
(2)合力做功为零是物体动能不变的条件。合力对物体不做功，它的动能一定不变，但它的机械能不一定守恒。
(3)只有重力做功或系统内弹力做功是机械能守恒的条件。只有重力对物体做功时，物体的机械能一定守恒；只有重力或系统内弹力做功时，系统的机械能一定守恒。
[即时巩固]
1．[多选]如图所示，一蹦极运动员身系弹性蹦极绳从水面上方的高台下落，到最低点时距水面还有数米距离。假定空气阻力可忽略，运动员可视为质点，下列说法正确的是( )
A．运动员到达最低点前重力势能始终减小
B．蹦极绳张紧后的下落过程中，弹力做负功，弹性势能增加
C．蹦极过程中，运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒
D．蹦极过程中，重力势能的改变量与重力势能零点的选取有关
解析：选ABC 蹦极运动员只要向下运动，其重力势能就减小，所以运动员到达最低点前重力势能始终减小，A正确；蹦极绳张紧后下落过程中，弹力做负功，弹性势能增加，B正确；在空气阻力可忽略时，运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒，C正确；重力势能的改变量与重力势能零点的选取无关，D错误。
1.机械能守恒定律表达式和用法
2.应用机械能守恒定律解题的一般步骤
(1)确定研究对象，就是要明确以哪几个物体组成的系统为研究对象。
(2)正确分析研究对象内各物体所受的力。分析时应注意：重力、弹力、摩擦力都是成对出现的，分清哪几个力是内力，哪几个力是外力。
(3)分析各力做功情况，明确守恒条件。
(4)选择零势能面，确定初、末状态的机械能(初、末状态必须用同一零势能面计算势能)。
(5)按机械能守恒定律列出方程并求解。
3．机械能守恒定律与动能定理的对比
[典型例题]
例2.如图所示，一固定在竖直平面内的光滑的半圆形轨道ABC，其半径R＝0.5 m，轨道在C处与水平地面相切，在C处放一小物块(未画出)，给它一水平向左的初速度v0＝5 m/s，它沿CBA运动，通过A处，最后落在水平地面上的D处，求C、D间的距离x(取重力加速度g＝10 m/s2)。
[解析] 方法一：应用机械能守恒定律求解
物块从C到A过程中，只有重力做功，机械能守恒，则
ΔEp＝－ΔEk
即2mgR＝mv－mv2
物块从A到D过程中做平抛运动，则
竖直方向2R＝gt2
水平方向x＝vt
联立以上各式并代入数据得x＝1 m
方法二：应用动能定理求解
物块从C到A过程中，只有重力做功，由动能定理得
－mg·2R＝mv2－mv
物块从A到D过程中做平抛运动，则
竖直方向2R＝gt2
水平方向x＝vt
联立以上各式并代入数据得x＝1 m
[答案] 1 m
[点评] 动能定理与机械能守恒定律的选择
能用机械能守恒定律解决的题一般都能用动能定理解决，而且省去了确定是否守恒和选定零势能面的麻烦；反过来，能用动能定理来解决的题却不一定都能用机械能守恒定律来解决，在这个意义上讲，动能定理比机械能守恒定律应用更广泛、更普遍。
[即时巩固]
2．例2题中若小物块经过A处时，轨道对物块弹力大小等于物块重力大小的2.2倍，求小物块在C处获得的初速度v0。
解析：小物块经过A处时，重力和弹力的合力提供向心力，在A处由牛顿第二定律得
mg＋2.2mg＝m
物块从C到A过程中，只有重力做功，机械能守恒，则
ΔEp＝－ΔEk
即2mgR＝mv－mv2
联立各式并代入数据得v0＝6 m/s
答案：6 m/s
1．关于机械能守恒，以下说法中正确的是( )
A．机械能守恒的物体一定只受重力和弹力的作用
B．物体处于平衡状态时，机械能一定守恒
C．物体所受合外力不等于零时，机械能可能守恒
D．合外力做功时，物体的机械能一定不守恒
解析：选C 物体机械能守恒时还有可能受其他力的作用，但是其他力做功为零，故A错误；物体处于平衡状态时，机械能不一定守恒，例如物体匀速上升，动能不变，重力势能增大，B错误；物体所受合外力不等于零时，机械能可能守恒，例如自由下落的物体，C正确；自由落体运动中，合外力做正功，机械能守恒，D错误。
2．[多选]一物体在做自由落体运动过程中，重力做了2 J的功，则( )
A．该物体重力势能减少2 J
B．该物体重力势能增加2 J
C．该物体动能减少2 J
D．该物体动能增加2 J
解析：选AD 在自由落体运动过程中，重力做了2 J的功，重力势能减少2 J。通过重力做功，重力势能转化为动能，则物体动能增加了2 J，故A、D正确，B、C错误。
3．(2016·漳州高一检测)质量为1 kg的物体从倾角为30°、长 2 m 的光滑斜面顶端由静止开始下滑，若选初始位置为零势能点，那么，当它滑到斜面中点时具有的机械能和重力势能分别是(g取10 m/s2)( )
A．0 J，－5 J B．0 J，－10 J
C．10 J,5 J D．20 J，－10 J
解析：选A 物体下滑时机械能守恒，故它下滑到斜面中点时的机械能等于在初始位置的机械能，下滑到斜面中点时的重力势能Ep＝－mg·sin 30°＝－1×10××sin 30° J＝－5 J。故选项A正确。
4．如图所示，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上。若以海平面为零势能面，不计空气阻力，则下列说法中正确的是( )
A．物体到海平面时的重力势能为mgh
B．重力对物体做的功为－mgh
C．物体在海平面上的动能为mv＋mgh
D．物体在海平面上的机械能为mv
解析：选C 物体到达海平面时位于参考平面上，重力势能为零，A错误；物体运动过程下落了h高度，重力做功mgh，B错误；根据机械能守恒定律mgh＋mv＝mv2，即物体在海平面上的机械能E2＝mv2＝mgh＋mv，C正确，D错误。
5．在h高处，以初速度v0向水平方向抛出一个小球，不计空气阻力，小球着地时速度大小为( )
A．v0＋ B．v0－
C. D.
解析：选C 小球做平抛运动，不计空气阻力，只有重力做功，机械能守恒，则有：mgh＋mv＝mv2，得小球着地时速度大小为v＝，故C正确。
6．(2016·杭州高一检测)如图所示，小球质量为m，大小不计，右边半圆轨道半径为R，小球从h＝3R处沿斜面滑下后，又沿半圆轨道滑到最高点P处，不计任何摩擦。求：
(1)小球通过P点的速度大小。
(2)小球通过半圆轨道最低点时对轨道的压力。
解析：(1)根据机械能守恒定律
mg(h－2R)＝mv
解得小球通过P点的速度v1＝
(2)设小球通过最低点的速度为v2
根据机械能守恒定律mgh＝mv
根据牛顿第二定律FN－mg＝m
解得FN＝7mg，故小球通过半圆轨道最低点时对轨道的压力大小为7mg，方向竖直向下。
答案：(1) (2)7mg，竖直向下
课件57张PPT。 谢谢课下能力提升(二十) 动能定理和机械能守恒定律的综合应用
[基础练]
一、选择题
1．(2016·黄山高一检测)一质量为m的物体在水平恒力F的作用下沿水平面运动，在t0时刻撤去力F，其v-t图象如图所示。已知物体与水平面间的动摩擦因数为μ，则下列关于力F的大小和力F做的功W的大小关系式，正确的是( )
A．F＝μmg
B．F＝2μmg
C．W＝μmgv0t0
D．W＝μmgv0t0
2．如图所示，水平地面上固定一个光滑轨道ABC，该轨道由两个半径均为R的圆弧平滑连接而成，O1、O2分别为两段圆弧所对应的圆心，O1、O2的连线竖直，现将一质量为m的小球(可视为质点)由轨道上A点静止释放，则小球落地点到A点的水平距离为( )
A．2R B.R
C．3R D.R
3．将一质量为m的小球套在一光滑的、与水平面夹角为α(α＜45°)的固定杆上，小球与一原长为L的轻质弹性绳相连接，弹性绳的一端固定在水平面上，将小球从离地面L高处由静止释放，刚释放时，弹性绳长为L，如图所示。小球滑到固定杆底端时速度恰好为零，则小球运动过程中，下列说法中正确的是( )
A．小球的机械能守恒
B．弹性绳的弹性势能将一直增大
C．小球到达底端时，弹性绳的弹性势能为mgL(cot α－1)
D．小球和弹性绳组成的系统机械能守恒
4．[多选]如图所示，质量分别为m和2m的两个小球A和B，中间用轻质杆相连，在杆的中点O处有一固定转动轴，把杆置于水平位置后释放，在B球顺时针摆动到最低位置的过程中(不计一切摩擦)，下列说法正确的是( )
A．B球的重力势能减少，动能增加，B球和地球组成的系统机械能守恒
B．A球的重力势能增加，动能也增加，A球和地球组成的系统机械能不守恒
C．A球、B球和地球组成的系统机械能守恒
D．A球、B球和地球组成的系统机械能不守恒
5．(2016·胶州高一检测)如图所示，在轻弹簧的下端悬挂一个质量为m的小球A，若将小球A从弹簧原长位置由静止释放，小球A能够下降的最大高度为h。若将小球A换为质量为2m的小球B，仍从弹簧原长位置由静止释放，已知重力加速度为g，不计空气阻力，则小球B下降h时的速度为( )
A. B. C. D．0
二、非选择题
6．如图，半径R＝0.5 m的光滑圆弧轨道ABC与足够长的粗糙轨道CD在C处平滑连接，O为圆弧轨道ABC的圆心，B点为圆弧轨道的最低点，半径OA、OC与OB的夹角分别为53°和37°。将一个质量m＝0.5 kg 的物体(视为质点)从A点左侧高为h＝0.8 m处的P点水平抛出，恰从A点沿切线方向进入圆弧轨道。已知物体与轨道CD间的动摩擦因数μ＝0.8，重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求：
(1)物体水平抛出时的初速度大小v0；
(2)物体经过B点时，对圆弧轨道压力大小FN；
(3)物体在轨道CD上运动的距离x。
[提能练]
一、选择题
1.如图所示，P、Q两球质量相等，开始时两球静止(P、Q两球用弹簧连接)，将P上方的细绳烧断，在Q落地之前，下列说法正确的是(不计空气阻力)( )
A．在任一时刻，两球动能相等
B．在任一时刻，两球加速度相等
C．在任一时刻，系统动能和重力势能之和保持不变
D．在任一时刻，系统机械能是不变的
2．(2016·抚州高一检测)物体做自由落体运动，Ek代表动能，Ep代表势能，h代表下落的距离，以水平地面为零势能面(不计一切阻力)。下列图象能正确反映各物理量之间关系的是( )
3．如图所示，将一个内、外侧均光滑的半圆形槽置于光滑的水平面上，槽的左侧有一竖直墙壁。现让一小球自左端槽口A点的正上方由静止开始下落，从A点与半圆形槽相切进入槽内，则下列说法正确的是( )
A．小球在半圆形槽内运动的全过程中，只有重力对它做功
B．小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，小球处于失重状态
C．小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与槽组成的系统机械能守恒
D．小球从下落到从右侧离开槽的过程中机械能守恒
4．[多选]如图所示，物体A、B通过细绳及轻质弹簧连接在轻滑轮两侧，物体B的质量为2m，放置在倾角为30°的光滑斜面上，物体A的质量为m，用手托着物体A使弹簧处于原长，细绳伸直，A与地面的距离为h，物体B静止在斜面上挡板P处。放手后物体A下落，与地面即将接触时速度大小为v，此时物体B对挡板恰好无压力，则下列说法正确的是( )
A．弹簧的劲度系数为
B．此时弹簧的弹性势能等于mgh－mv2
C．此时物体A的加速度大小为g，方向竖直向上
D．此后物体B可能离开挡板沿斜面向上运动
二、非选择题
5．(2016·海口高一检测)如图所示，半径 R＝0.50 m的光滑四分之一圆弧轨道 MN竖直固定在水平桌面上，轨道末端水平且端点N处于桌面边缘，把质量m＝0.20 kg 的小物块从圆弧轨道上某点由静止释放，经过N点后做平抛运动，到达地面上的P点。已知桌面高度 h＝0.80 m, 小物块经过N点时的速度 v0＝3.0 m/s, g取10 m/s2。不计空气阻力，物块可视为质点，求：
(1)圆弧轨道上释放小物块的位置与桌面间的高度差；
(2)小物块经过 N点时轨道对物块支持力的大小；
(3)小物块落地前瞬间的速度大小。
6．如图所示，倾斜轨道AB的倾角为37°，CD、EF轨道水平，AB与CD通过光滑圆弧管道BC连接，CD右端与竖直光滑圆周轨道相连。小球可以从D进入该轨道，沿轨道内侧运动，从E滑出该轨道进入EF水平轨道。小球由静止从A点释放，已知AB长为5R，CD长为R，重力加速度为g，小球与倾斜轨道AB及水平轨道CD、EF的动摩擦因数均为0.5，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，圆弧管道BC入口B与出口C的高度差为1.8R。求：(在运算中，根号中的数值无需算出)
(1)小球滑到斜面底端C时速度的大小；
(2)小球刚到C时对轨道的作用力；
(3)为使小球在运动过程中不脱离轨道，竖直圆周轨道的半径R′应该满足的条件。
答 案
[基础练]
1．解析：选D 整个过程由动能定理得：Fx1－μmgx总＝0，得F＝3μmg，W＝Fx1＝3μmg·v0t0＝μmgv0t0。故D正确。
2．解析：选C 由题意结合机械能守恒定律，可得小球下滑至第二个四分之一圆弧轨道顶端时的速度大小为v＝，方向水平向右。在第二个四分之一圆弧轨道顶端的临界速度v0＝，由于v>v0，所以小球将做平抛运动，结合平抛运动规律，可得小球落地点到A点的水平距离为3R，所以选项C正确。
3．解析：选D 在小球下滑过程中，小球和弹性绳组成的系统机械能守恒，故选项A错误，D正确；弹性绳的弹性势能先不变后增大，选项B错误；由机械能守恒定律知，弹性绳的弹性势能增加了mgL，选项C错误。
4．解析：选BC A球在上摆过程中，重力势能增加，动能也增加，机械能增加，B项正确；由于A球、B球和地球组成的系统只有重力做功，故系统的机械能守恒，C项正确，D项错误；B球和地球组成的系统机械能一定减少，A项错误。
5．解析：选B 对弹簧和小球A，根据机械能守恒定律得弹性势能Ep＝mgh；对弹簧和小球B，根据机械能守恒定律有Ep＋×2mv2＝2mgh；解得小球B下降h时的速度v＝，故选项B正确。
6．解析：(1)由平抛运动规律知v＝2gh
竖直分速度vy＝＝4 m/s
初速度v0＝vytan 37°＝3 m/s。
(2)对从P点至B点的过程，由机械能守恒得
mg(h＋R－Rcos 53°)＝mv－mv
经过B点时，由向心力公式得
F′N－mg＝m
代入数据解得F′N＝34 N
由牛顿第三定律知，物体对圆弧轨道的压力大小为FN＝34 N，方向竖直向下。
(3)因μmgcos 37°>mgsin 37°，物体沿轨道CD向上做匀减速运动，速度减为零后不会下滑
从B点到上滑至最高点的过程，由动能定理得－mgR(1－cos 37°)－(mgsin 37°＋μmgcos 37°)x＝0－mv
代入数据可解得x＝ m≈1.09 m
在轨道CD上运动通过的距离x约为1.09 m。
答案：(1)3 m/s (2)34 N，竖直向下
(3)1.09 m
[提能练]
1．解析：选D 细绳烧断后，Q落地前，两球及弹簧组成的系统只有重力和弹簧的弹力做功，整个系统机械能守恒，C错误，D正确；两球所受的合力随时间变化，它们的加速度大小、速度大小也随时间变化，在任一时刻，两球的加速度、速度不一定相等，A、B错误。
2．解析：选B 由机械能守恒定律得Ep＝E－Ek，可知势能与动能关系的图象为倾斜的直线，C错误；由动能定理得Ek＝mgh，则Ep＝E－mgh，故势能与h关系的图象也为倾斜的直线，D错误；Ep＝E－mv2，故势能与速度关系的图象为开口向下的抛物线，B正确；Ep＝E－mg2t2，势能与时间关系的图象也为开口向下的抛物线，A错误。
3．解析：选C 小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，半圆形槽有向左运动的趋势，但是实际上没有动，整个系统只有重力做功，所以小球与槽组成的系统机械能守恒；而小球过了半圆形槽的最低点以后，半圆形槽向右运动，由于系统没有其他形式的能量产生，满足机械能守恒的条件，所以系统的机械能守恒；小球从开始下落至到达槽最低点前，小球先失重，后超重；当小球沿槽向右上方滑动时，半圆形槽也向右移动，半圆形槽对小球做负功，小球的机械能不守恒，故C正确。
4．解析：选AB 物体A刚落地时，弹簧伸长量为h，物体B受力平衡，所以kh＝2mgsin 30°，所以k＝，选项A正确；物体A落地前，系统机械能守恒，所以弹性势能等于mgh－mv2，选项B正确；物体A即将落地时，对A应用牛顿第二定律得：mg－kh＝ma，解得a＝0，选项C错误；物体A落地后，弹簧不再伸长，故物体B不可能离开挡板沿斜面向上运动，选项D错误。
5．解析：(1)设圆弧轨道上释放小物块的位置与桌面间的高度差为 H，小物块运动至 N点过程中机械能守恒，则有
mgH＝mv，解得H＝0.45 m。
(2)设小物块经过N点时所受支持力为F
根据牛顿第二定律有 F－mg＝m
解得F＝5.6 N。
(3)小物块由释放点到落地前瞬间的运动过程中，只有重力做功，机械能守恒，由
mg(H＋h)＝mv2，
解得物块落地前瞬间的速度为v＝5.0 m/s。
答案：(1)0.45 m (2)5.6 N (3)5.0 m/s
6．解析：(1)设小球到达C点时速度为vC，小球从A运动至C过程，由动能定理，得：
mg(5Rsin 37°＋1.8R)－μmgcos 37°·5R＝mv
可得：vC＝2。
(2)小球沿BC轨道做圆周运动，设在C点时轨道对球的作用力为FN，由牛顿第二定律，得：
FN－mg＝m
其中r满足：r＋r·sin 53°＝1.8R
联立上式可得：FN＝6.6mg
由牛顿第三定律可得，球对轨道的作用力为6.6mg，方向竖直向下。
(3)要使小球不脱离轨道，有两种情况：
情况一：小球能滑过圆周轨道最高点，进入EF轨道，则小球在最高点的速度v应满足：m≥mg
小球从C直到此最高点过程，由动能定理，有：
－μmgR－mg·2R′＝mv2－mv
可得：R′≤R＝0.92R
情况二：小球上滑至与圆周轨道圆心等高时，速度减为零，然后滑回D，则由动能定理有：
－μmgR－mg·R′＝0－mv
解得：R′≥2.3R
所以要使小球不脱离轨道，竖直圆周轨道的半径R′应该满足R′≤0.92R或R′≥2.3R。
答案：(1) 2 (2)6.6mg，竖直向下
(3)R′≤0.92R或R′≥2.3R
