一、功率┄┄┄┄┄┄┄┄①
1．定义：力做的功W与完成这些功所用时间t的比值叫做功率。影响功率的两个因素：一是功的多少；二是时间的长短。
2．定义式：P＝。
3．意义：功率是表示做功快慢的物理量，功率大表示物体做功本领大，即单位时间内做功多。
4．单位：功率在国际单位制中用瓦特表示，简称瓦，符号为 W，1 W＝1 J/s。
5．额定功率和实际功率的比较
定义
特点
联系
额
定
功
率
发动机正常条件下长时间工作时的最大输出功率
不同机械额定功率可能不同，但同一机械额定功率不变
为了机械的安全
P额≥P实
实
际
功
率
发动机实际工作时的输出功率
同一机械实际功率随工作情况而变
[说明]
功率P＝实际上反映了t时间内做功的平均快慢——平均功率。
①[判一判]
1．功率是描述力对物体做功快慢的物理量(√)
2．力对物体做功越多，功率就越大(×)
3．各种机械铭牌上所标功率一般是指额定功率(√)
4．某机械工作时的实际功率一定比额定功率小(×)
二、功率与速度┄┄┄┄┄┄┄┄②
1．公式：P＝Fv，即一个力对物体做功的功率等于这个力与受力物体运动速度的乘积。
2．意义：当发动机的功率P一定时，牵引力F与速度v成反比。
3．公式P＝Fv一般用来计算瞬时功率，但如果F为恒力，v取平均速度，此式也可用来计算平均功率。
[注意]
(1)应用公式P＝Fv解题时首先应明确它的适用范围：F与v方向相同。
(2)若F的方向与v的方向的夹角为α，由W＝Flcos α、P＝得功率应为P＝Fvcos α。可见计算功率时必须考虑作用力F与物体运动方向v的夹角。
②[选一选]
质量为m的物体，自高为h、倾角为θ的光滑斜面顶端由静止滑下，经历时间t到达斜面底端，到达斜面底端时的速度为v。物体刚滑到斜面底端时，重力做功的功率是( )
A．mgv B．mgvsin θ
C．mgvcos θ D．mgvtan θ
解析：选B 物体滑至斜面底端时重力做功的功率为：PG＝mgvy＝mgvsin θ，故B正确。
1. 平均功率与瞬时功率的比较
2.对公式P＝Fv的理解
(1)F、v、P的对应关系
①同时性：P、F、v三个量中任意一个物理量都是可以变化的，但应用P＝Fv时，三者一定对应同一时刻；
②同体性：P、F、v是对应于同一物体的三个物理量，对不在同一物体上的三者关系的讨论毫无意义；
③同向性：P＝Fv应用时F与v同向，若F的方向与v的方向成α角，则P＝Fvcos α。
(2)对F、v、P的相互制约关系的理解
[典型例题]
例1.(2016·平度高一检测)如图所示，质量为m＝2 kg的木块在倾角θ＝37° 的固定斜面上由静止开始下滑，木块与斜面间的动摩擦因数为0.5，斜面足够长。已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，求：
(1)前2 s内重力做的功；
(2)前2 s内重力的平均功率；
(3)2 s末重力的瞬时功率。
[解析] (1)木块所受的合力
F合＝mgsin θ－μmgcos θ
代入数据，解得F合＝4 N
物体的加速度a＝＝2 m/s2
前2 s内木块的位移
x＝at2＝×2×22 m＝4 m
所以，重力在前2 s内做的功
W＝mgsin θ·x＝2×10×0.6×4 J＝48 J
(2)重力在前2 s内的平均功率
＝＝ W＝24 W
(3)木块在2 s末的速度
v＝at＝2×2 m/s＝4 m/s
重力在2 s末的瞬时功率
P＝mgsin θ·v＝2×10×0.6×4 W
＝48 W
[答案] (1)48 J (2)24 W (3)48 W
[点评] 求解功率时应该注意的问题
(1)首先要明确是求哪个力的功率，是某个力的功率，还是物体所受合力的功率，汽车的功率是指汽车牵引力的功率，起重机的功率是指起重机钢丝绳拉力的功率。
(2)若求平均功率，还需明确是哪段时间内的平均功率，可由公式P＝或P＝F来计算。
(3)若求瞬时功率，需明确是哪一时刻或哪一位置，再确定该时刻或该位置的速度，应用公式P＝Fv，如果F、v不同向，则投影到相同方向再计算。
[即时巩固]
1．[多选]如图为一种测定运动员体能的装置，运动员的质量为m1，绳的一端拴在运动员腰间并沿水平方向跨过滑轮(不计滑轮质量与摩擦)，绳的下端悬挂一个质量为m2的重物。运动员用力蹬传送带且其重心不动，使传送带以速度v匀速向右运动。下列说法中正确的是( )
A．绳子拉力对人做正功
B．绳子拉力对人不做功
C．运动员对传送带做功的瞬时功率为m2gv
D．运动员对传送带做功的瞬时功率为(m1＋m2)gv
解析：选BC 由公式W＝Fl可知，因l＝0，故绳子拉力对运动员不做功，A错误，B正确；由平衡条件知运动员受传送带的摩擦力大小为m2g，因而运动员作用于传送带上的摩擦力大小也为m2g，由公式P＝Fv可知，运动员对传送带做功的瞬时功率为m2gv，C正确，D错误。
机车启动通常有两种方式，即以恒定功率启动和以恒定加速度启动。
1．机车以恒定功率启动的运动过程
故机车达到最大速度时a＝0，F＝Ff，P＝Fvm＝Ffvm, 这一启动过程的v-t图象如3中图甲所示。
2．机车以恒定加速度启动的运动过程
设机车维持匀加速直线运动的时间为t1，则Fv1＝P?(Ff＋ma)at1＝P，那么t1＝，此时速度v1＝at1＝，这一启动过程的v-t关系图象如3中图乙所示。
3．两种过程的v-t图象、P-t图象对比
4．特别注意
(1)机车以恒定加速度启动时，匀加速结束时的速度，并未达到整个过程的最大速度vm。
(2)P＝Fv中因为P为机车牵引力的功率，所以对应的F是牵引力并非合力，这一点在计算时需要注意。
[典型例题]
例2.(2016·泰兴高一检测)额定功率为80 kW的汽车在平直公路上行驶时，其最大速度可达20 m/s，汽车的质量为2 t。如图所示，如果汽车从静止开始做匀加速运动，设运动中阻力不变，加速度为2 m/s2，求：
(1)汽车所受的阻力；
(2)第3 s末汽车的瞬时功率。
[解析] (1)当F＝Ff时，v＝vmax
则P＝Fv＝Ffvmax
故Ff＝＝ N＝4×103 N
(2)设汽车做匀加速运动时的牵引力为F′，由牛顿第二定律得F′－Ff＝ma
故F′＝ma＋Ff＝8×103 N
汽车做匀加速运动能达到的最大速度
v′max＝＝ m/s＝10 m/s
匀加速的时间为
t＝＝ s＝5 s>3 s
故第3 s末汽车的瞬时功率
P3＝F′v3＝F′at3＝8×103×2×3 W＝48 kW
[答案] (1)4×103 N (2)48 kW
[即时巩固]
2．[多选]下列关于汽车运动的论述，正确的是( )
A．汽车以额定功率启动后做变加速运动，速度、加速度均逐渐增大
B．汽车以额定功率启动后做变加速运动，速度逐渐增大，加速度逐渐减小；加速度为零时，速度最大
C．汽车匀速行驶时最大允许速度受发动机额定功率限制，要提高最大允许速度，必须增大发动机的额定功率
D．汽车在水平路面上以额定功率P行驶，则当牵引力F与阻力Ff平衡时，汽车的速度最大
解析：选BCD 汽车以额定功率启动后，速度逐渐增加，根据公式P＝Fv可知，功率一定，为额定功率P额，速度增大，牵引力必减小，阻力恒定不变，因此，汽车所受的合力不断减小，加速度逐渐减小，直至汽车以最大速度匀速运动，A错误，B正确；根据公式P＝Fv以及F－Ff＝ma可知，加速度等于零时，速度最大，因此牵引力F等于恒定的阻力Ff时，汽车的速度最大，故汽车的最大速度vm＝，功率越大，汽车的最大速度就越大，C、D正确。
1．关于功率，下列说法中正确的是( )
A．功率是描述做功快慢的物理量，在国际单位制中，其单位是焦耳(J)
B．功率是描述做功快慢的物理量，在国际单位制中，其单位是瓦特(W)
C．功率是描述做功多少的物理量，在国际单位制中，其单位是焦耳(J)
D．功率是描述做功多少的物理量，在国际单位制中，其单位是瓦特(W)
解析：选B 功率是表示做功快慢的物理量，功率越大，表示做功越快。功率的国际单位是瓦特，故B正确。
2．雨滴在空中运动时所受阻力与其速度的平方成正比，若有两个雨滴从高空中落下，其质量分别为m1、m2，落至地面前均已做匀速直线运动，则其重力功率之比为( )
A．m1∶m2 B.∶
C．m2∶m1 D.∶
解析：选D 当重力与阻力相等时，雨滴做匀速直线运动，此时重力的功率P＝mgv，而mg＝Ff＝kv2(k为正比系数)，则P＝mg，所以＝＝，故D正确。
3．[多选]质量为3 kg的物体，从高45 m处自由落下(g取10 m/s2)，那么在下落的过程中( )
A．前2 s内重力做功的功率为300 W
B．前2 s内重力做功的功率为675 W
C．第2 s末重力做功的功率为600 W
D．第2 s末重力做功的功率为900 W
解析：选AC 前2 s内物体下落h＝gt2＝20 m，重力做功的功率P1＝＝ W＝300 W，A正确，B错误；第2 s末物体的速度v＝gt＝20 m/s，此时重力的功率P2＝mgv＝600 W，C正确，D错误。
4．[多选](2016·杭州高一检测)如图所示为一汽车在平直的公路上由静止开始运动的速度图象，汽车所受阻力恒定。图中OA为一段直线，AB为一曲线，BC为一平行于时间轴的直线，则( )
A．OA段汽车发动机的功率是恒定的
B．OA段汽车发动机的牵引力恒定
C．AB段汽车发动机的功率可能是恒定的
D．BC段汽车发动机的功率是恒定的
解析：选BCD OA为一段直线，说明OA段汽车做匀加速直线运动，牵引力不变，根据P＝Fv可知，速度增大，牵引力不变，功率增大，故A错误，B正确；AB为一曲线，斜率逐渐减小，则加速度逐渐减小，牵引力减小，根据P＝Fv可知，牵引力减小，速度增大，功率可能不变，故C正确；BC为一平行于时间轴的直线，则汽车做匀速直线运动，即速度不变，牵引力等于阻力也不变，根据P＝Fv可知，功率不变，故D正确。
5．(2016·南昌高一检测)如图所示为修建高层建筑常用的塔式起重机。在起重机将质量m＝5×103 kg的重物竖直吊起的过程中，重物由静止开始向上做匀加速直线运动，加速度a＝0.2 m/s2，当起重机输出功率达到其允许的最大值时，保持该功率直到重物做vm＝1.02 m/s的匀速运动。g取10 m/s2，不计额外功。求：
(1)起重机允许输出的最大功率；
(2)重物做匀加速运动所经历的时间和起重机在第2 s末的输出功率。
解析：(1)设起重机允许输出的最大功率为P0，重物达到最大速度时，拉力F0等于重力。
P0＝F0vm，F0＝mg，代入数据，得P0＝5.1×104 W
(2)匀加速运动结束时，起重机达到允许输出的最大功率，设此时重物受到的拉力为F，速度为v1，匀加速运动经历时间为t1，有：P0＝Fv1，F－mg＝ma，v1＝at1
代入数据，得t1＝5 s
t2＝2 s时，重物处于匀加速运动阶段，设此时速度为v2，输出功率为P，则v2＝at2，P＝Fv2
代入数据，得P＝2.04×104 W
答案：(1)5.1×104 W (2)5 s 2.04×104 W
课件51张PPT。谢谢课下能力提升(十五) 功 率
[基础练]
一、选择题
1．[多选](2016·瑞安高一检测)关于功率公式P＝Fv，下列说法正确的是( )
A．当F是恒力，v是平均速度时，对应的P是平均功率
B．当v是瞬时速度时，对应的P是瞬时功率
C．只适用于物体做匀速直线运动的情况
D．只适用于F与v同方向的情况
2．某人用同一水平力F先后两次拉同一物体，第一次使此物体沿光滑水平面前进距离l，第二次使此物体沿粗糙水平面也前进距离l，若先后两次拉力做的功为W1和W2，拉力做功的功率是P1和P2，则( )
A．W1＝W2，P1＝P2
B．W1＝W2，P1>P2
C．W1>W2，P1>P2
D．W1>W2，P1＝P2
3．一小球以初速度v0水平抛出，不计空气阻力，小球在空中运动的过程中重力做功的功率P随时间t变化的图象是( )
4．质量为m的汽车启动后沿平直路面行驶，如果发动机的功率恒为P，且行驶过程中受到的阻力大小一定。当汽车速度为v时，汽车做匀速运动；当汽车速度为时，汽车的瞬时加速度的大小为( )
A. B.
C. D.
5．(2016·保定高一检测)如图是小孩滑滑梯的情景，假设滑梯是固定光滑斜面，倾角为30°，小孩质量为m，由静止开始沿滑梯下滑，滑行距离为s时，重力的瞬时功率为( )
A．mg B.mg
C．mg D.mg
二、非选择题
6．如图甲所示，质量为1 kg的物体置于固定斜面上，现对物体施以平行于斜面向上的拉力F,1 s后将拉力撤去，物体运动的v-t图象如图乙所示，试求：
(1)拉力F的大小；
(2)拉力F在第1 s内的平均功率。
[提能练]
一、选择题
1．质量为5 000 kg的汽车，在水平路面上由静止开始做加速度为2 m/s2的匀加速直线运动，所受阻力是1 000 N，汽车在启动后第1 s末牵引力的瞬时功率为( )
A．2 kW B．11 kW
C．20 kW D．22 kW
2．(2016·三明高一检测)一个小孩站在船头，按图示两种情况用同样大小的力拉绳，经过相同的时间t(船未碰撞)，小孩所做的功W1、W2及在时间t内小孩拉绳的功率P1、P2的关系为( )
甲 乙
A．W1>W2，P1＝P2
B．W1< W2，P1
C．W1＝W2，P1＝P2
D．W13．[多选]质量为m＝2 kg的物体沿水平面向右做直线运动，t＝0时刻受到一个水平向左的恒力F，如图甲所示，此后物体的v-t图象如图乙所示，取水平向右为正方向，g取10 m/s2，则( )
A．物体与水平面间的动摩擦因数为μ＝0.5
B．10 s末恒力F的瞬时功率为6 W
C．10 s末物体在计时起点左侧2 m处
D．10 s内物体克服摩擦力做功34 J
4．[多选]汽车在平直公路上以速度v0匀速行驶，发动机功率为P，牵引力为F0，t1时刻，司机减小了油门，使汽车的功率立即减小一半，并保持该功率继续行驶，到t2时刻，汽车又恢复了匀速直线运动。图中能正确表示这一过程中汽车牵引力F和速度v随时间t变化的图象是( )
5．[多选]如图甲所示，滑轮质量、摩擦均不计，质量为2 kg的物体在F作用下由静止开始向上做匀加速运动，其速度随时间的变化关系如图乙所示，由此可知(g取10 m/s2)( )
A．物体加速度大小为2 m/s2
B．4 s末F的功率大小为42 W
C．F的大小为10.5 N
D．4 s内F做功的平均功率为21 W
二、非选择题
6．(2016·重庆高一检测)在水平路面上运动的汽车的额定功率为60 kW，若其总质量为5 t，在水平路面上所受的阻力为5×103 N，试求：
(1)汽车所能达到的最大速度；
(2)若汽车以0.5 m/s2的加速度由静止开始做匀加速运动，则这一过程能维持多长时间；
(3)若汽车以额定功率启动，则汽车车速为v′＝2 m/s时，其加速度多大。
答 案
[基础练]
1．解析：选ABD 用公式P＝Fv计算功率时，F应与v方向相同，D正确；当v为瞬时速度时，Fv为瞬时功率，B正确；v为平均速度，且F为恒力时，Fv为平均功率，A正确；P＝Fv适用于任何运动的求解，但应注意v是力F方向上的速度，C错误。
2．解析：选B 由于拉力相同而又通过相同的位移，根据W＝Fl可知拉力对物体做的功一样多，但由于沿光滑水平面前进所用时间短，所以P1>P2，故B正确。
3．解析：选A 设经过时间t速度大小为v，其方向与竖直方向(或重力方向)成θ角，由功率公式P＝Fvcos θ知，此时重力的功率P＝mgvcos θ＝mgvy＝mg·gt＝mg2t，所以A正确。
4．解析：选C 由题意知，汽车所受阻力Ff＝，汽车速度为时的牵引力F＝＝，由牛顿第二定律得F－Ff＝ma。联立以上三式求得a＝，C正确。
5．解析：选B 小孩的加速度a＝＝g，由v2＝2as得，小孩滑行距离s时的速率v＝，故此时重力的瞬时功率P＝mgvsin 30°＝mg，B正确。
6．解析：(1)由v-t图象知，当撤去拉力F后，物体做匀减速直线运动，加速度大小
a＝6 m/s2
由牛顿第二定律得Ff＝ma＝6 N
当物体受拉力F的作用时，由牛顿第二定律得
F－Ff＝ma′
其中由题图知加速度a′＝12 m/s2
所以F＝18 N
(2)物体在拉力F作用下的位移
l＝a′t2＝6 m
所以拉力F在第1 s内的平均功率
＝＝ W＝108 W
答案：(1)18 N (2)108 W
[提能练]
1．解析：选D 汽车的牵引力F＝ma＋Ff＝5 000×2 N＋1 000 N＝11 000 N，汽车第1 s末的速度v＝at＝2 m/s，故第1 s末牵引力的瞬时功率P＝Fv＝22 000 W＝22 kW，D正确。
2．解析：选B 两种情况用同样大小的力拉绳，甲图中的船与乙图中左边的船移动的位移相同，但乙图中右边的船也要移动，故拉力作用点移动的距离大。拉力的功等于拉力与作用点在拉力方向上的位移的乘积，故乙图中拉力做功多，由于时间相同，故乙图中拉力的功率大。故B正确。
3．解析：选CD 由v-t图象得两段时间的加速度大小分别为a1＝2 m/s2、a2＝1 m/s2。根据牛顿第二定律：有F＋μmg＝ma1，F－μmg＝ma2。解得：F＝3 N，μ＝0.05，故A错误；10 s末恒力F的瞬时功率P＝Fv＝18 W，B错误；10 s内物体的位移x＝×4 m－×6 m＝－2 m，说明物体10 s末在计时起点左侧2 m处，C正确；整个过程的路程s＝×4 m＋×6 m＝34 m，所以10 s内物体克服摩擦力做功W＝μmgs＝34 J，D正确。
4．解析：选AD 由P＝Fv可判断，开始时汽车做匀速运动，则F0＝Ff，P＝F0v0，v0＝，当汽车功率减小一半P′＝时，汽车开始做变减速运动，其牵引力减小为F1＝＝＝，加速度大小为a＝＝－，由此可见，随着汽车速度v减小，其加速度a也减小，最终以v＝ 做匀速运动，A正确；同理，可判断出汽车的牵引力由F1＝ 最终增加到F0，D正确。
5．解析：选BCD 由速度—时间图象可得加速度a＝0.5 m/s2，由牛顿第二定律得2F－mg＝ma，解得F＝＝10.5 N，P＝F·2v＝10.5×2×2 W＝42 W，＝＝＝ W＝21 W，B、C、D正确。
6．解析：(1)当汽车速度达到最大时，牵引力F＝Ff，
则由P＝Fv得汽车所能达到的最大速度为
vmax＝＝ m/s＝12 m/s
(2)汽车以恒定的加速度a做匀加速运动，设能够达到的最大速度为v，则由
－Ff＝ma得
v＝＝ m/s
＝8 m/s
由v＝at得这一过程维持的时间为
t＝＝ s＝16 s
(3)当汽车以额定功率启动达到2 m/s的速度时，牵引力为
F′＝＝ N＝3×104 N
由牛顿第二定律得汽车的加速度为
a′＝＝ m/s2
＝5 m/s2
答案：(1)12 m/s (2)16 s (3)5 m/s2
