*3.二次函数表达式的确定
1．通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究，掌握求解析式的方法；(重点)
2．会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式．(难点)
一、情境导入
某广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为1米的喷水管喷出的抛物线水柱最大高度为3米，此时喷水水平距离为米，你能写出如图所示的平面直角坐标系中抛物线水柱的解析式吗？
二、合作探究
探究点：用待定系数法求二次函数解析式
【类型一】 用一般式确定二次函数解析式
已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)．求这个二次函数的关系式．
解析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
解：设这个二次函数的关系式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
依题意得解得
∴这个二次函数的关系式为y＝2x2＋3x－4.
方法总结：当题目给出函数图象上的三个点时，设一般式y＝ax2＋bx＋c，转化成一个三元一次方程组，以求得a，b，c的值．
【类型二】 用顶点式确定二次函数解析式
已知二次函数的图象顶点坐标是(－2，3)，且过点(－1，5)，求这个二次函数的关系式．
解：设二次函数关系式为y＝a(x＋h)2＋k，
∵图象顶点是(－2，3)，
∴h＝2，k＝3.
依题意得5＝a(－1＋2)2＋3，解得a＝2.
∴二次函数的关系式为y＝2(x＋2)2＋3＝2x2＋8x＋11.
方法总结：若已知抛物线的顶点或对称轴、极值，则设y＝a(x＋h)2＋k.顶点坐标为(－h，k)，对称轴为x＝－h，极值为当x＝－h时，y极值＝k.
【类型三】 用交点式确定二次函数解析式
已知抛物线与x轴相交于点A(－1，0)，B(1，0)，且过点M(0，1)，求此函数的解析式．
解析：由于已知图象与x轴的两个交点，所以可设y＝a(x－x1)(x－x2)求解．
解：因为点A(－1，0)，B(1，0)是图象与x轴的交点，所以设二次函数的解析式为y＝a(x＋1)(x－1)．又因为抛物线过点M(0，1)，所以1＝a(0＋1)(0－1)，解得a＝－1，所以所求抛物线的解析式为y＝－(x＋1)(x－1)，即y＝－x2＋1.
方法总结：此题也可设y＝a(x＋h)2＋k，因为与x轴交于(－1，0)，(1，0)，故对称轴为y轴．
三、板书设计
二次函数表达式的确定
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，体会学习数学知识的价值，从而提高学习数学知识的兴趣．
21．3 二次函数与一元二次方程
第1课时 二次函数与一元二次方程
1．通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系，会用二次函数图象求一元二次方程的近似解；(重点)
2．通过研究二次函数与一元二次方程的联系体会数形结合思想的应用．(难点)
一、情境导入
小唐画y＝x2－6x＋c的图象时，发现其顶点在x轴上，请你帮小唐确定字母c的值是多少？
二、合作探究
探究点一：判断二次函数图象与x轴交点个数
【类型一】 二次函数图象与x轴交点情况判断
下列函数的图象与x轴只有一个交点的是( )
A．y＝x2＋2x－3 B．y＝x2＋2x＋3
C．y＝x2－2x＋3 D．y＝x2－2x＋1
解析：选项A中b2－4ac＝22－4×1×(－3)＝16＞0，选项B中b2－4ac＝22－4×1×3＝－8＜0，选项C中b2－4ac＝(－2)2－4×1×3＝－8＜0，选项D中b2－4ac＝(－2)2－4×1×1＝0，所以选项D的函数图象与x轴只有一个交点．故选D.
【类型二】 利用二次函数图象与x轴交点坐标确定抛物线的对称轴
如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于(1，0)，(3，0)两点，则它的对称轴为________．
解析：∵点(1，0)与(3，0)是一对对称点，∴其对称中心是(2，0)，∴对称轴的方程是x＝2.
方法总结：解答二次函数问题，若能利用抛物线的对称性，则可以简化计算过程．
【类型三】 利用抛物线与x轴交点情况确定字母取值(范围)
若函数y＝mx2＋(m＋2)x＋m＋1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为( )
A．0 B．0或2
C．2或－2 D．0，2或－2
解析：若m≠0，根据二次函数与x轴只有一个交点，利用一元二次方程根的判别式为零来求解；若m＝0，原函数是一次函数，图象与x轴有一个交点．当m≠0时，Δ＝(m＋2)2－4m(m＋1)＝0，解得m＝2或－2；当m＝0时，原函数是一次函数，图象与x轴只有一个交点，所以当m＝0，2或－2时，图象与x轴只有一个交点．故选D.
方法总结：二次函数y＝ax2＋bx＋c，当b2－4ac＞0时，图象与x轴有两个交点，当b2－4ac＝0时，图象与x轴有一个交点，当b2－4ac＜0时，图象与x轴没有交点．
探究点二：二次函数图象与x轴的交点坐标与一元二次方程根的关系
已知二次函数y＝－x2＋2x＋m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的解为________．
解析：因为抛物线经过点(3，0)，所以x＝3，y＝0是该函数的一组对应值．将x＝3，y＝0代入函数表达式，得0＝－32＋2×3＋m，解得m＝3.所以一元二次方程为－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3.
方法总结：本题先求出m的值，从而写出一元二次方程，然后解这个一元二次方程得出其解．也可以由图象得抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点为(3，0)．根据抛物线的对称性知抛物线与x轴的另一个交点为(－1，0)，则(3，0)和(－1，0)两点的横坐标就是所求方程的根，即x1＝－1，x2＝3.
探究点三：利用二次函数求一元二次方程的近似解
利用二次函数的图象求一元二次方程－x2＋2x－3＝－8的实数根(精确到0.1)．
解析：对于y＝－x2＋2x－3，当函数值为－8时，对应点的横坐标即为一元二次方程－x2＋2x－3＝－8的实数根，故可通过作出函数图象来求方程的实数根．
解：在平面直角坐标系内作出函数y＝－x2＋2x－3的图象，如图．由图象可知方程－x2＋2x－3＝－8的根是抛物线y＝－x2＋2x－3与直线y＝－8的交点的横坐标，左边的交点横坐标在－1与－2之间，另一个交点的横坐标在3与4之间．
(1)先求在－2和－1之间的根，利用计算器进行探索：
x
－1.1
－1.2
－1.3
－1.4
－1.5
y
－6.41
－6.84
－7.29
－7.76
－8.25
因此x≈－1.4是方程的一个实数根；
(2)另一个根可以类似地求出：
x
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
y
－6.41
－6.84
－7.29
－7.76
－8.25
x≈3.4是方程的另一个实数根．
方法总结：用二次函数的图象求一元二次方程满足精确度的实数根的方法：(1)作出函数的图象，并由图象确定方程解的个数；(2)由图象与y＝h的交点的位置确定交点横坐标的取值范围；(3)利用计算器求方程的实数根．
三、板书设计
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，通过观察二次函数与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况．体会知识间的相互转化和相互联系．
21.3 二次函数与一元二次方程
第1课时 二次函数与一元二次方程
教学目标
【知识与技能】
掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况之间的关系,会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解以及一元二次不等式的解集.
【过程与方法】
经历探究二次函数与一元二次方程、一元二次不等式关系的过程,体会函数、方程、不等式之间的联系.
【情感、态度与价值观】
进一步培养学生的综合解题能力,掌握解决问题的方法,培养探究精神.
重点难点
【重点】
用函数图象求一元二次方程的近似解及一元二次不等式的解集.
【难点】
用数形结合的思想解方程及不等式.
教学过程
一、创设情境,导入新知
师:任意一次函数的图象与x轴有几个交点?
生甲:一个.
生乙:不对,当直线与x轴平行时,没有交点.
生丙:还有一种情况,当直线与x轴重合时,有无数个交点.
师:同学们考虑得很周到!当一次函数的图象与x轴有1个交点时,你能求出它与x轴交点的坐标吗?比如一次函数y=2x-3,它的图象与x轴交点的坐标是多少?
学生计算后回答.
二、共同探究,获取新知
师:你猜想一下,二次函数的图象与x轴可能会有几个交点?我们可以借助什么来研究?
学生思考.
生:借助二次函数的图象.
师:对.
教师多媒体课件出示:
二次函数y=x2+3x+2的图象如图所示,根据图象回答问题:
1.它与x轴有公共点吗?如果有,公共点的横坐标是多少?
2.当x取公共点的横坐标时,函数的值是多少?
3.由此你能求出方程x2+3x+2=0的根吗?
4.方程x2+3x+2=0的解与交点的横坐标有什么关系?
师:请同学们先画出函数图象,然后思考下面几个问题.
学生作图,教师巡视指导.
教师出示图象:
学生观察图象后回答.
生:这个函数的图象与x轴有公共点,公共点的横坐标分别是-2和-1.这时函数值都为0,所以方程x2+3x+2=0的根为-2和-1.方程x2+3x+2=0的解与交点的横坐标是一样的.
师:同学们回答得很好!你能归纳出函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点个数的其他情况吗?交点的个数与方程ax2+bx+c=0的根的个数有何关系呢?
学生思考,交流讨论.
生:函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数与方程ax2+bx+c=0根的个数一样,所以也有三种情况:令Δ=b2-4ac,当Δ>0时,函数图象与x轴有两个交点,方程有两个根;当Δ=0时,函数图象与x轴有一个交点,方程有两个相等的根;当Δ<0时,函数图象与x轴没有交点,方程无解.
师:同学们回答得很好!所以我们有了求一元二次方程根的另一种方法,画出二次函数的图象,然后怎么确定方程的解呢?
生:二次函数的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的解.
三、例题讲解
【例】 用图象法求一元二次方程x2+2x-1=0的近似解(精确到0.1).
解:画出函数y=x2+2x-1的图象,如图.
由图象可知,方程有两个实数根,一个在-3和-2之间,另一个在0和1之间.
先求位于-3和-2之间的根.由图象可估计这个根是-2.5或-2.4,利用计算器进行探索,见下表:
x
…
-2.5
-2.4
…
y
…
0.25
-0.04
…
观察上表可以发现,当x分别取-2.5和-2.4时,对应的y由正变负,可见在-2.5与-2.4之间肯定有一个x使y=0,即有方程x2+2x-1=0的一个根.题目只要求精确到0.1,这时取x=-2.5或x=-2.4作为根都符合要求.但当x=-2.4时,y=-0.04比y=0.25(x=-2.5)更接近0,故选x=-2.4.
同理,可求出方程x2+2x-1=0在0和1之间精确到0.1的另一个根.
方程x2+2x-1=0的近似解还可以这样求:分别画出函数y=x2和y=-2x+1的图象,如图,它们的交点A、B的横坐标就是方程x2+2x-1=0的根.
如有条件,可以在计算机上用《几何画板》处理.
四、练习新知
师:我这有几个习题,现在让我们一起来解决它们.
1.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点坐标分别为(1,0)、(-5,0),那么关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是 .?
【答案】x1=1,x2=-5
2.判断下列二次函数的图象与x轴有无交点.若有,求出交点的坐标;若没有,请说明理由.
(1)y=2x2-5x+3; (2)y=x2+3x+5;
(3)y=3x2-7x+8; (4)y=x2+x-12.
【答案】(1)有交点,交点坐标为(1,0)、(,0);
(2)无交点,Δ=b2-4ac=32-4×1×5=-11<0;
(3)无交点,Δ=b2-4ac=(-7)2-4×3×8=-47<0;
(4)有交点,交点坐标为(4,0)、(-6,0).
3.已知二次函数y=kx2-3x-2的图象与x轴有两个交点,求k的取值范围.
【答案】根据题意,得
解得k>-且k≠0.
五、继续探究,层层推进
师:我们前面学习了一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的关系,上面讨论了二次函数与一元二次方程的关系,下面我们讨论二次函数与一元二次不等式的关系.请同学们看课本第30页的图21~20.
学生看图.
师:我们可以清楚地看到二次函数y=x2+3x+2的图象被x轴分成三部分:一部分与x轴相交,一部分在x轴上方,一部分在x轴下方.在x轴上方或下方的意义是什么?
生1:在x轴上方时,y>0,也就是x2+3x+2>0,所以图象在x轴上方的x的取值范围就是不等式x2+3x+2>0的解集.
生2:在x轴下方时,y<0,也就是x2+3x+2<0,所以图象在x轴下方的x的取值范围就是不等式x2+3x+2<0的解集.
师:同学们很聪明!你现在就根据这个来完成课本第33页练习的1、2.
学生做题,教师巡视指导,完成后集体订正.
六、课堂小结
师:本节课你学习了什么内容?有什么收获?
学生回答.
师:你还有什么不明白的地方吗?
学生提问,教师解答.
教学反思
学习这节内容要充分运用两种思想方法:1.函数与方程的思想,用变量和函数来思考问题的方法就是函数思想,函数思想是函数概念、图象和性质等知识更高层次的提炼和概括,是在知识和方法反复学习中抽象出的带有观念的指导方法.2.数形结合思想,在中学数学里,我们不可能把“数”和“形”完全孤立地割裂开,也就是说,代数问题可以几何化,几何问题也可以代数化,“数”和“形”在一定条件下可以相互转化、相互渗透.在学生理解二次函数与一元二次方程的联系的基础上,能够运用二次函数及其图象、性南去解决现实生活中的一些问题,进一步培养学生综合解题的能力,在整个章节的学习过程中始终渗透数形结合的思想,更体现了学好数学的重要意义.
第2课时 二次函数与一元二次不等式
1．通过探索，理解二次函数与一元二次不等式之间的联系；(重点)
2．会用二次函数的图象求出一元二次不等式的解集．(难点)
一、情境导入
如图，是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，你能通过观察图象得到关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0的解集吗？请你直接写出来．
二、合作探究
探究点一：二次函数与一元二次不等式的关系
【类型一】 利用抛物线解一元二次不等式
抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)如图所示，则关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是( )
A．x＜2 B．x＞－3
C．－3＜x＜1 D．x＜－3或x＞1
解析：观察图象，可知当x<－3或x>1时，抛物线在x轴上方，此时y＞0，即ax2＋bx＋c＞0，∴关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是x<－3或x>1.故选D.
方法总结：抛物线y＝ax2＋bx＋c在x轴上方部分的点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x轴下方部分的点的纵坐标均为负，所对应的x的所有值就是一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集，所以利用二次函数的图象，可以直观地求得一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0的解集．
【类型二】 确定抛物线相应位置的自变量的取值范围
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则函数值y在x轴下方时，x的取值范围是( )
A．x＜－1 B．x＞3
C．－1＜x＜3 D．x＜－1或x＞3
解析：由二次函数图象可知，当－1＜x＜3时，函数图象在x轴的下方．故选C.
方法总结：利用数形结合思想来求解．当y＝0时，对应x的值为x1＝－1，x2＝3，当y＞0时，看抛物线在x轴上方的部分，x的取值范围是x＜－1或x＞3；当y＜0时，看抛物线在x轴下方的部分，x的取值范围是－1＜x＜3.
已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，与y轴的交点坐标为(0，3)．
(1)求出b，c的值，并写出此二次函数的关系式；
(2)根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围．
解析：用待定系数法将已知两点的坐标代入二次函数关系式，即可求出b，c的值，然后通过解一元二次方程求抛物线与x轴的另一个交点坐标，由图象法求得函数值y为正数时，自变量x的取值范围．
解：(1)由题意得
解得
故所求关系式为y＝－x2＋2x＋3；
(2)令y＝0，得－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3，0)．
∴由图象可知函数值y为正数时，自变量x的取值范围是－1＜x＜3.
探究点二：抛物线y＝ax2＋bx＋c的位置与b2－4ac的关系
求证：无论a是什么实数，二次函数y＝x2＋ax＋a－2的图象都与x轴有两个不同的交点．
解析：抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标就是方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根，于是问题就转化成证明Δ>0的问题．
证明：由题意知Δ＝a2－4(a－2)＝a2－4a＋8＝(a－2)2＋4.∵无论a取什么实数，(a－2)2≥0，∴(a－2)2＋4>0，即Δ>0.∴无论a是什么实数，二次函数y＝x2＋ax＋a－2的图象都与x轴有两个不同的交点．
三、板书设计
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，学会利用图象的直观性和性质来解决问题，体会数形结合思想．
21.3 二次函数与一元二次方程
第2课时 二次函数与一元二次不等式
教学思路
（纠错栏）
教学思路
（纠错栏）
教学目标：
1.会利用二次函数与一元二次方程的关系综合解题．
2.根据二次函数图象认识一元二次不等式的解集，体会数形结合的思想.
教学重点：利用二次函数与一元二次方程的知识综合解题．
预设难点：用图象法求一元二次不等式的解集．
☆ 预习导航 ☆
一、链接：
画出一次函数的图象，利用图象：
（1）当x为何值时,y=0?
（2）当x为何值时,y<0?
（3）当x为何值时,y>0?
二、导读
抛物线与x轴有两个交点（7，0）、（-3，0），则方程的解是 ．如果a>0，你能求出不等式ax2+bx+c>0的解集吗？
☆ 合作探究 ☆
1、画出函数的图象，并根据图象解决下列问题
（1）写出抛物线的顶点坐标、对称轴和抛物线与x轴、y轴的交点坐标
（2）当x在什么范围内时y随x的增大而减小？
（3）当x在什么范围内时,y>0?当x在什么范围内时，y<0 ?
2、如图，已知抛物线与轴的两个交点分别为A（）、B（），且，．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求△ABC的面积．
☆ 归纳反思 ☆
对照教学目标谈谈这节课你们有什么收获，还有什么疑惑？
☆ 达标检测 ☆
1.抛物线的部分图象如图所示，若y>0，则x 的取值范围是( )
A．-4C．x<-4或x>1 D．x<-3或x>1
2. 不等式2x2-5x+2>0的解集是 .
3、如图给出二次函数的图象，对于这个函数有下列五个结论，其中正确的有 .
（1）<0； （2）；（3）> 0 ； （4） ；（5）当y = 2时，x只能等于0.
