21．5 反比例函数
第1课时 反比例函数
1．领会反比例函数的意义，理解并掌握反比例函数的概念；(重点)
2．会判断一个函数是否是反比例函数；(重点)
3．会求反比例函数的表达式．(难点)
一、情境导入
你吃过拉面吗？有人能拉到细如发丝，同时还能做到丝丝分明．实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识．
一定体积的面团做成拉面，面条的总长度与面条的粗细之间有什么关系呢？
二、合作探究
探究点一：反比例函数的概念
【类型一】 辨别反比例函数
在下列反比例函数表达式中，哪些函数表示y是x的反比例函数？
(1)y＝； (2)y＝； (3)y＝；
(4)xy＝； (5)y＝； (6)y＝－；
(7)y＝2x－1； (8)y＝(a≠5，a是常数)．
解析：根据反比例函数的概念，必须是形如y＝(k是常数，k≠0)的函数，才是反比例函数．如(2)(3)(6)(8)均符合这一概念的要求，所以它们都是反比例函数．但还要注意y＝(k是常数，k≠0)的一些常见的变化形式，如xy＝k，y＝kx－1等，所以(4)(7)也是反比例函数．在(5)中，y是(x－1)的反比例函数，而不是x的反比例函数．(1)中的y是x的正比例函数．故(2)(3)(4)(6)(7)(8)表示y是x的反比例函数．
方法总结：判断一个函数是否是反比例函数，关键看它能否写成y＝(k是常数，k≠0)或xy＝k(k≠0)及y＝kx－1(k≠0)的形式，即两个变量的积是不是一个非零常数．如果两个变量的积是一个不为0的常数，则这两个变量就是反比例关系；否则便不成反比例关系．
【类型二】 根据反比例函数的概念求值
若y＝(k2＋k)xk2－2k－1是反比例函数，试求(k－3)2015的值．
解：根据反比例函数的概念，得
所以
即k＝2.
因此(k－3)2015＝(2－3)2015＝－1.
易错提醒：反比例函数表达式的一般形式y＝(k是常数，k≠0)也可以写成y＝kx－1(k≠0)，利用反比例函数的定义求字母参数的值时，一定要注意y＝中k≠0这一条件，不能忽略，否则易造成错误．
探究点二：确定反比例函数的表达式
【类型一】 利用待定系数法求反比例函数的表达式
已知y是x的反比例函数，当x＝－4时，y＝3.
(1)写出y与x的函数表达式；
(2)当x＝－2时，求y的值；
(3)当y＝12时，求x的值．
解：(1)设y＝(k≠0)，∵当x＝－4时，y＝3，∴3＝，解得k＝－12.因此，y与x的函数表达式为y＝－；
(2)把x＝－2代入y＝－，得y＝－＝6；
(3)把y＝12代入y＝－，得12＝－，x＝－1.
方法总结：(1)求反比例函数表达式时常用待定系数法，先设其表达式为y＝(k≠0)，然后再求出k值；(2)当反比例函数的表达式y＝(k≠0)确定以后，已知x(或y)的值，将其代入表达式中即可求得相应的y(或x)的值．
【类型二】 利用待定系数法求组合型函数的表达式
已知y＝y1＋y2，其中y1与x成正比例关系，y2与x成反比例关系，并且当x＝2时，y＝－4；当x＝－1时，y＝5.求y与x的函数表达式．
解：∵y1与x成正比例关系，∴设y1＝k1x(k1≠0)．
∵y2与x成反比例关系，∴设y2＝(k2≠0)．∴y＝k1x＋.
把x＝2，y＝－4及x＝－1，y＝5代入y＝k1x＋，得解得
∴y＝－x－.
易错提醒：当一个函数的表达式由若干个常见的函数(正比例函数、反比例函数等)组成时，它们各自有待定系数，不能一律为k.本题易出现设y1＝kx(k≠0)，y2＝(k≠0)的形式，导致两个待定系数都是k的错误．
探究点三：列反比例函数关系式
如图所示，某学校广场有一段25米长的旧围栏(图中用线段AB表示)．现打算利用该围栏的一部分(或全部)为一边建成一块面积为100平方米的矩形草坪(图中的矩形CDEF，CD(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)若利用旧围栏12米，则计划修建费用应为多少元？
解析：可先利用面积把长与宽表示出来，求出y与x之间的关系，再利用x＝12求出y的值．
解：(1)∵S矩形CDEF＝100，CF＝x，∴CD＝，∴y＝1.75x＋4.5(x＋)＝6.25x＋(10(2)由(1)知y＝6.25x＋(10方法总结：解此类题型，首先要理解题意，然后根据已知条件选择合适的数学模型，最后根据实际情况确定自变量的取值范围．
三、板书设计
反比例函数
结合实例引导学生了解所讨论的函数的表达形式，形成反比例函数概念的具体形象．利用多媒体创设大量生活情境，让学生体验数学来源于生活实际，并为生活实际服务，从而培养学生学习数学的兴趣．
21.5 反比例函数
第1课时 反比例函数
教学思路
（纠错栏）
教学思路
（纠错栏）
教学目标：
1．知道反比例函数的意义，掌握反比例函数的一般形式．
2．学会建立反比例函数关系式解决问题的方法．
3．通过探索反比例函数的过程，提高分析问题、解决问题的能力．
教学重点：理解和领会反比例函数的概念。
预设难点：领悟反比例函数的概念。
☆ 预习导航 ☆
一、链接：
1、什么叫正比例函数？写出它们的一般式.
2、电流I、电阻R、电压U之间满足关系式U=IR，当U＝220V时，电流I和电阻R成 比例关系；
3、当一个矩形的面积一定时，长和宽成 比例关系.（填“正”“反”）
二、导读
1、某村有耕地200hm2，人口数量x逐年发生变化。干村人均占有的耕地面积yhm2与人口数量之间有怎样的关系？
2、某市距省城248km，汽车有该市驶往省城，汽车行驶全程所需时间th，与形式的平均速度vkm/h之间有怎样的关系？
3、当电压一定时，通过电阻的电流I与电阻R有怎样的关系？
上述函数关系式都具有的形式，两个变量之间的关系就是小学学过的反比例关系。由此给出反比例函数的概念：
一般地，函数（k为常数，且k≠0）叫做反比例函数。反比例函数的自变量x不能为零.
☆ 合作探究 ☆
1、当n取何值时，y=(n2+2n)是反比例函数？
2、已知y+3与x成反比例,且当x=1时,y=4,求出函数表达式,并判断是哪类函数?
3、一定质量的氧气放在容器中，体积V与它的密度ρ成反比例函数，当它的体积V是10m3时，它的密度ρ=1.43kg/m3。
（1）写出ρ与V的函数关系；
（2）当氧气密度是7.15 kg/m3时，容器的容积是多少m3．
☆ 归纳反思 ☆
我们教学了反比例函数的定义,并归纳总结出反比例函数的表达式为 (k为常数,k≠0),自变量x .
☆ 达标检测 ☆
1．下列函数中，哪些y是x的反比例函数？
，，，， xy = 5，
2．若函数y=(m+1)是反比例函数，求m的值．
3．已知参加施工的人数y与完成某项工程的时间x天成反比例关系。当施工人数为4时，10天能完成这项工程。现要求8天完成这项工程，应选派多少人去施工？
第2课时 反比例函数的图象和性质
1．会用描点法画出反比例函数的图象，并掌握反比例函数图象的特征；(重点)
2．理解并掌握反比例函数的性质．(重点)
一、情境导入
已知某面粉厂加工出4000吨面粉，厂方决定把这些面粉全部运往B市．
所需要的时间t(天)和每天运出的面粉总重量m(吨)之间有怎样的函数关系？你能在平面直角坐标系中形象地画出这个函数关系的图象吗？
二、合作探究
探究点一：反比例函数的图象和性质
【类型一】 反比例函数图象的画法
在同一平面直角坐标系中画出反比例函数y＝和y＝－的图象．
解：(1)列表：
x
…
－3
－2
－1
1
2
3
…
y＝
…
－
－
－5
5
…
y＝－
…
5
－5
－
－
…
(2)描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点．
(3)连线：在各象限内，分别用光滑的曲线顺次连接各点，即可得到函数y＝和y＝－的图象，如图．
【类型二】 反比例函数的性质
在反比例函数y＝－的图象上有三点(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，若x1＞x2＞0＞x3，则下列各式正确的是( )
A．y3＞y1＞y2 B．y3＞y2＞y1
C．y1＞y2＞y3 D．y1＞y3＞y2.
解析：本题方法较多，一是根据x1，x2，x3的大小即可比较；二是画出草图，根据反比例函数的性质比较；三是利用特值法．
(方法一)比较法：由题意，得y1＝－，y2＝－，y3＝－，因为x1＞x2＞0＞x3，所以y3＞y1＞y2.
(方法二)图象法：
如图，在直角坐标系中做出y＝－的草图，描出符合条件的三个点，观察图象直接得到y3＞y1＞y2.
(方法三)特殊值法：设x1＝2，x2＝1，x3＝－1，则y1＝－，y2＝－1，y3＝1，所以y3＞y1＞y2.故选A.
方法总结：此题的三种解法中，图象法直观明了，具有一般性；特殊值法最简单，这种方法对于解答选择题很有效，要注意学会使用．
探究点二：反比例函数与一次函数的综合
【类型一】 反比例函数与一次函数图象的综合
在同一直角坐标系中，函数y＝kx－k与y＝(k≠0)的图象大致是( )
解析：在同一直角坐标系中，函数y＝kx－k与y＝(k≠0)的图象只有两种情况，当k>0时，y＝分布在第一、三象限，此时y＝kx－k经过第一、三、四象限；当k<0时，y＝分布在第二、四象限，此时y＝kx－k经过第一、二、四象限．故选D.
方法总结：判断函数图象分布是否正确，主要通过假设条件，根据函数的图象及性质判断，若与选项一致则正确；若相矛盾，则错误．
【类型二】 反比例函数与一次函数图象与性质的综合
如图所示，一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数y＝的图象交于M、N两点．
(1)求反比例函数与一次函数的表达式；
(2)根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围．
解析：(1)把点N(－1，－4)代入y＝即可求出反比例函数解析式，进而求出点M，再把M、N代入一次函数即可求出一次函数的解析式；
(2)由图象可知当反比例函数的值大于一次函数的值时x的取值范围是x<－1或0解：(1)由反比例函数定义可知k＝(－1)×(－4)＝4.
∴y＝，而M(2，m)在反比例函数图象上．
∴m＝＝2，∴M(2，2)．
将M、N两点坐标代入一次函数解析式得解得
∴y＝2x－2；
(2)由图中观察可知，x的取值范围为x<－1或0方法总结：分别利用反比例函数和一次函数的定义求出其解析式，根据图象形态和性质判断，在解题过程中要考虑全面，不要漏解．
探究点三：反比例函数y＝(k≠0)中k的几何意义
如图所示，两个反比例函数y＝和y＝在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为________．
解析：根据反比例函数y＝(k≠0)系数k的几何意义得S△POA＝×4＝2，S△AOB＝×2＝1，∴S△POB＝S△POA－S△AOB＝2－1＝1.
方法总结：本题考查了反比例函数y＝(k≠0)系数k的几何意义，从反比例函数y＝(k≠0)图象上任取一点P向x轴(或y轴)作垂线，垂线与坐标轴交点、点P与原点的连线段围成的直角三角形的面积都是.
三、板书设计
反比例函数的图象和性质
通过学生自己动手列表、描点、连线，提高学生的作图能力．理解函数的三种表示方法及相互转换，对函数进行认识上的整合．通过对反比例函数图象的全面观察和比较，发现函数自身的规律，概括反比例函数的有关性质．让学生积极参与到数学学习活动中，增强他们对数学学习的好奇心与求知欲．
21.5 反比例函数
第2课时 反比例函数的图象和性质
教学思路
（纠错栏）
教学思路
（纠错栏）
教学目标：
1.能描点画出反比例函数的图象．
2.通过反比例函数的图象的分析，探索并掌握反比例函数图象的性质．
教学重点：反比例函数的图象及性质
预设难点：当x>0或<0时反比例函数的性质
☆ 预习导航 ☆
一、链接：
什么是反比例函数？写出它的一般形式．
二、导读
画出函数的图象.
问题：画函数图象的步骤是什么？如何取值呢？取值时需要注意哪些问题？
☆ 合作探究 ☆
1.列表
x
…
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
…
…
…
2.描点、连线
观察图象，说说反比例函数的图象有哪些特征？
在上面的平面直角坐标系中画出的图象，观察它有哪些特征？并与的图象作比较。
归纳：反比例函数y=(k≠0)的图象和性质
（1）当k>0时，图象的两个分支分别在第_______象限，在每个象限内，图象自左向右下降， 函数y随着 x的增大而 ；
（2）当k<0 时，图象的两个分支分别在第 象限，在每个象限内，图象自左向右上升，函数y 随着 x的增大而 .
4. 反比例函数的图象在二、四象限，求m的取值范围。
☆ 归纳反思 ☆
1.反比例函数的图象和性质。
2.比较反比例函数与正比例函数的性质有何异同？
☆ 达标检测 ☆
1.对于函数，当x<0时，y随x的 而增大，这部分图象在第 象限。
2.函数y=－kx+k与y=－（k≠0）在同一坐标系中的图象可能是：（ ）
3.已知函数（＞0）的图象上有点A（）、B（）、C（），
且<<0<，试比较、、的大小.
第3课时 反比例函数的应用
1．会根据实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型；(重点)
2．能利用反比例函数解决实际问题．(难点)
一、情境导入
我们都知道，气球内可以充满一定质量的气体．
如果在温度不变的情况下，气球内气体的气压p(kPa)与气体体积V(m3)之间有怎样的关系？你想知道气球在什么条件下会爆炸吗？
二、合作探究
探究点一：生活中的反比例函数
做拉面的过程中，渗透着反比例函数的知识．将一定体积的面团做成拉面，苗条的总长度y(m)是面条粗细(横截面积)S(mm2)的反比例函数，其图象如图所示．
(1)写出y与S之间的函数表达式；
(2)当面条的横截面积为1.6mm2时，面条的总长度是多少米？
(3)要使面条的横截面积不多于1.28mm2，面条的总长度至少是多少米？
解：(1)由题意可设y与S之间的函数关系式为y＝.∵点P(4，32)在图象上，
∴32＝，∴k＝128.
∴y与S之间的函数表达式为y＝(S>0)；
(2)把S＝1.6mm2代入y＝中，得y＝＝80.
∴当面条的横截面积为1.6mm2时，面条的总长度是80m；
(3)把S＝1.28mm2代入y＝中，得y＝100.
由图象可知，要使面条的横截面积不多于1.28mm2，面条的总长度至少应为100m.
方法总结：解决实际问题的关键是认真阅读，理解题意，明确基本数量关系(即题中的变量与常量之间的关系)，抽象出实际问题中的反比例函数模型，由此建立反比例函数，再利用反比例函数的图象与性质解决问题．
探究点二：物理学科中的反比例函数
某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地，为了安全、迅速地通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干木板，构筑成一条临时通道．木板对地面的压强p(Pa)是木板面积S(m2)的反比例函数，其图象如图所示．
(1)请直接写出这一函数表达式和自变量的取值范围；
(2)当木板面积为0.2m2时，压强是多少？
(3)如果要求压强不超过6000Pa，木板的面积至少要多大？
解：(1)设木板对地面的压强p(Pa)与木板面积S(m2)的反比例函数关系式为p＝(S>0)．
因为反比例函数的图象经过点A(1.5，400)，所以k＝600.
所以反比例函数的关系式为p＝(S>0)；
(2)当S＝0.2时，p＝＝3000，即压强是3000Pa；
(3)由题意知≤6000，所以S≥0.1，即木板面积至少要有0.1m2.
方法总结：本题渗透了物理学中压强、压力与受力面积之间的关系p＝，当压力一定时，p与S成反比例．另外利用反比例函数的知识解决实际问题，要善于发现实际问题中变量之间的关系，从而进一步建立反比例函数模型．
三、板书设计
经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题，提高运用代数方法解决问题的能力，体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识．通过反比例函数在其他学科中的运用，体验学科整合思想．
21.5 反比例函数
第3课时 反比例函数的应用
一、教学目标
1．利用反比例函数的知识分析、解决实际问题
2．渗透数形结合思想，提高学生用函数观点解决问题的能力
二、重点、难点
1．重点：利用反比例函数的知识分析、解决实际问题
2．难点：分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式
3．难点的突破方法：
用函数观点解实际问题，一要搞清题目中的基本数量关系，将实际问题抽象成数学问题，看看各变量间应满足什么样的关系式（包括已学过的基本公式），这一步很重要；二是要分清自变量和函数，以便写出正确的函数关系式，并注意自变量的取值范围；三要熟练掌握反比例函数的意义、图象和性质，特别是图象，要做到数形结合，这样有利于分析和解决问题。教学中要让学生领会这一解决实际问题的基本思路。
三、教学过程：
寒假到了，小明正与几个同伴在结冰的河面上溜冰，突然发现前面有一处冰出现了裂痕，小明立即告诉同伴分散趴在冰面上，匍匐离开了危险区。你能解释一下小明这样做的道理吗？
四、例习题分析
例1．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（千帕）是气体体积V（立方米）的反比例函数，其图像如图所示（千帕是一种压强单位）
（1）写出这个函数的解析式；
（2）当气球的体积是0.8立方米时，气球内的气压是多少千帕？
（3）当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？
分析：题中已知变量P与V是反比例函数关系，并且图象经过点A，利用待定系数法可以求出P与V的解析式，得，（3）问中当P大于144千帕时，气球会爆炸，即当P不超过144千帕时，是安全范围。根据反比例函数的图象和性质，P随V的增大而减小，可先求出气压P＝144千帕时所对应的气体体积，再分析出最后结果是不小于立方米
五、随堂练习
1．京沈高速公路全长658km，汽车沿京沈高速公路从沈阳驶往北京，则汽车行完全程所需时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的函数关系式为
2．完成某项任务可获得500元报酬，考虑由x人完成这项任务，试写出人均报酬y（元）与人数x（人）之间的函数关系式
3．一定质量的氧气，它的密度（kg/m3）是它的体积V（m3）的反比例函数，当V＝10时，＝1.43，（1）求与V的函数关系式；（2）求当V＝2时氧气的密度
答案：＝，当V＝2时，＝7.15
六、课后练习
1．小林家离工作单位的距离为3600米，他每天骑自行车上班时的速度为v（米/分），所需时间为t（分）
（1）则速度v与时间t之间有怎样的函数关系？
（2）若小林到单位用15分钟，那么他骑车的平均速度是多少？
（2）如果小林骑车的速度最快为300米/分，那他至少需要几分钟到达单位？
答案：，v＝240，t＝12
2．学校锅炉旁建有一个储煤库，开学初购进一批煤，现在知道：按每天用煤0.6吨计算，一学期（按150天计算）刚好用完.若每天的耗煤量为x吨，那么这批煤能维持y天
（1）则y与x之间有怎样的函数关系？
（2）画函数图象
（3）若每天节约0.1吨，则这批煤能维持多少天？
七、教学反思 ：
