23．2 解直角三角形及其应用
第1课时 解直角三角形
1．了解并掌握解直角三角形的概念；
2．掌握解直角三角形的依据并能熟练解题．(重点、难点)
一、情境导入
在直角三角形中，除了直角外，一共有五个元素，即三角形的三条边和两个锐角．
尝试探究已知哪些元素能够求出其他元素．
二、合作探究
探究点一：解直角三角形
【类型一】 已知斜边和一直角边解直角三角形
在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝2，a＝3，解这个直角三角形．
解析：已知一条斜边和一条直角边，可以先利用勾股定理求出另一条直角边的长，再利用正弦或余弦求角的度数．
解：在Rt△ABC中，b＝＝＝.
∵sinA＝＝＝，∴∠A＝60°.
∴∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°.
方法总结：在解直角三角形时，可以画一个直角三角形的草图，按照题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，进而结合勾股定理、三角形内角和定理、锐角三角函数求解．
【类型二】 已知两直角边解这个直角三角形
已知Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝－1，b＝3－，解直角三角形．
解析：根据直角三角形中各元素之间的关系，选择合适的式子求解．
解：由tanB＝，得tanB＝＝.
∴∠B＝60°，则∠A＝30°.
由sinA＝，得c＝＝＝2－2.
【类型三】 已知直角三角形一边一锐角解直角三角形
在Rt△ABC中，a、b、c是∠A、∠B、∠C的对边，∠C＝90°，∠B＝60°，a＝4，解这个三角形．
解析：如图所示，本题实际上是要求∠A、b、c的值，可根据直角三角形中各元素之间的关系解决．
解：∠A＝90°－∠B＝90°－60°＝30°，∴c＝2a＝2×4＝8.
由tanB＝，知b＝a·tanB＝4·tan60°＝4.(或b＝＝＝4)
方法总结：解直角三角形时，正确选择关系式是关键，选择关系式遵循以下原则：(1)尽量选可以直接应用原始数据的关系式；(2)选择便于计算的关系式，若能用乘法计算就不用除法计算．
探究点二：解直角三角形的简单应用
【类型一】 利用直角三角形求面积
在△ABC中，∠A＝55°，b＝20cm，c＝30cm，求三角形ABC的面积S△ABC.(精确到0.1cm2)
解析：(1)求三角形面积需要作高；(2)需构造直角三角形．
解：作AB上的高CD，在Rt△ACD中，
∵CD＝AC·sinA＝b·sinA.
∴S△ABC＝AB·CD＝bc·sinA.
∵∠A＝55°，b＝20cm，c＝30cm，
∴S△ABC＝bc·sinA＝×20×30·sin55°
＝×20×30×0.8192＝245.8(cm2)．
方法总结：求三角形面积可先作高构造直角三角形，然后用已知量的三角函数表示出高，代入数据即可求得．
【类型二】 构造直角三角形解决问题
如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，将此矩形折叠，使C点和A点重合，求折痕EF的长．
解析：由题意可知A点和C点关于直线EF对称，连接AC，则AC⊥EF，且OA＝OC，于是构造了Rt△AOE，利用解直角三角形的知识求出OE即可．
解：如图，连接AC，则AC⊥EF，OA＝OC，∴∠AOE＝90°.又∵AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝＝10，∴OA＝5.在Rt△ADC中，tan∠DAC＝＝＝.在Rt△AOE中，tan∠EAO＝，∴OE＝AO·tan∠EAO＝AO·tan∠DAC＝5×＝.在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF，∴OE＝OF.∴EF＝2OE＝2×＝.
方法总结：折叠后折痕两边的图形成轴对称，从而利用对称性构造直角三角形，并利用解直角三角形求出线段的长．
三、板书设计
)
教学过程中引导学生对所学理论知识进行系统的复习，归纳整合成一个知识网络，能够清楚认识到各个知识点之间的联系，为接下来综合应用的学习打下基础．教学过程中还应当把握教学进度，确保学生能够牢牢把握基础知识．
23.2 解直角三角形及其应用
第1课时 解直角三角形
教学目标
【知识与技能】
在理解解直角三角形的含义、直角三角形五个元素之间关系的基础上,会运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.
【过程与方法】
通过综合运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形,逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.
【情感、态度与价值观】
在探究学习的过程中,培养学生合作交流的意识,使学生认识到数与形相结合的意义与作用,体会到学好数学知识的作用,并提高学生将数学知识应用于实际的意识,从而体验“从实践中来,到实践中去”的辩证唯物主义思想,激发学生学习数学的兴趣.让学生在学习过程中感受到成功的喜悦,产生后继学习激情,增强学好数学的信心.
重点难点
【重点】
直角三角形的解法.
【难点】
灵活运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.
、教学过程
一、复习回顾
师:你还记得勾股定理的内容吗?
生:记得.
学生叙述勾股定理的内容.
师:直角三角形的两个锐角之间有什么关系呢?
生:两锐角互余.
师:直角三角形中,30°的角所对的直角边与斜边有什么关系?
生:30°的角所对的直角边等于斜边的一半.
师:很好!
二、共同探究,获取新知
1.概念.
师:由sinA=,你能得到哪些公式?
生甲:a=c·sinA.
生乙:c=.
师:我们还学习了余弦函数和正切函数,也能得到这些式子的变形.这些公式有一个共同的特点,就是式子的右端至少有一条边,为什么会是这样的呢?
学生思考.
生:因为左边的也是边,根据右边边与角的关系计算出来的应是长度.
师:对!解三角形就是由已知的一些边或角求另一些边和角,我们现在看看解直角三角形的概念.
教师板书:
在直角三角形中,由已知的边角关系,求出未知的边与角,叫做解直角三角形.
2.练习
教师多媒体课件出示:
(1)如图(1)和(2),根据图中的数据解直角三角形;
师:图(1)中是已知一角和一条直角边解直角三角形的类型,你怎样解决这个问题呢?
生1:根据cos60°=,得到AB=,然后把AC边的长和60°角的余弦值代入,求出AB边的长,再用勾股定理求出BC边的长,∠B的度数根据直角三角形两锐角互余即可得到.
生2:先用直角三角形两锐角互余得到∠B为30°,然后根据30°的角所对的直角边等于斜边的一半,求出AB的值,再由sin60°=得到BC=AB·sin60°,从而得到BC边的长.
师:你们回答得都对!还有没有其他的方法了?
生3:可以求出AB后用AB的值和∠B的余弦求BC的长.
生4:可以在求出AB后不用三角函数,用勾股定理求出BC.
师:同学们说出这几种做法都是对的.下面请同学们看图(2),并解这个直角三角形.
学生思考,计算.
师:这两个题目中已经给出了图形,现在我们再看几道题.
教师多媒体课件出示:
【例1】 在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=42°6',c=287.4,解这个直角三角形.
师:你怎样解答这道题呢?先做什么?
生:先画出图形.
师:很好!现在请同学们画出大致图形.
学生画图.
教师找一生说说解这个直角三角形的思路,然后让同学们自己做,最后集体订下.
解: ∠A=90°-42°6'=47°54'.
由cosB=,得
a=ccosB=287.4×0.7420≈213.3.
由sinB=得
b=csinB=287.4×0.6704≈192.7.
教师多媒体课件出示:
【例2】 在△ABC中,∠A=55°,b=20 cm,c=30 cm.求△ABC的面积S△ABC.(精确到0.1 cm2)
师:这道题是已知了三角形的两条边和一个角,求三角形的面积.要先怎样?
学生思考.
生:先画出图形.
师:对,题中没有已知图形时,一般都要自己画出图形.然后呢?你能给出解这道题的思路吗?
生1:先计算AB边上的高,以AB为底,AB边上的高为三角形的高,根据三角形的面积公式,就能计算出这个三角形的面积了.
生2:还可以先计算AC边上的高,然后用三角形的面积公式计算这个三角形的面积.
师:很好!我们现在讨论以AB为底时求三角形面积的方法,怎样求AB边上的高呢?
教师找一生回答,然后集体订正.
解:如图,作AB上的高CD.
在Rt△ACD中,CD=AC·sinA=bsinA,
∴S△ABC=AB·CD=bcsinA.
当∠A=55°,b=20 cm,c=30 cm时,有
S△ABC=bcsinA=×20×30sin55°
=×20×30×0.8192
≈245.8(cm2).
教师多媒体课件出示:
【例3】 如图,东西两炮台A、B相距2 000米,同时发现入侵敌舰C,炮台A测得敌舰C在它的南偏东40°的方向,炮台B测得敌舰C在它的正南方,试求敌舰与两炮台的距离.(精确到1米)
师:这是一个与解直角三角形有关的实际问题,你能将它转化为数学模型吗?
学生思考后回答:会.
师:这相当于已知了哪些条件,让你求什么量?
生:已知直角三角形的一个锐角和一条直角边,求它的斜边和另一直角边.
师:你回答得很好!现在请同学们计算一下.
学生计算,教师巡视指导,最后集体订正.
解:在Rt△ABC中,
∵∠CAB=90°-∠DAC=50°,=tan∠CAB,
∴BC=AB·tan∠CAB=2 000×tan50°≈2 384(米)
又∵=cos50°,
∴AC==≈3 111(米).
答:敌舰与A、B两炮台的距离分别约为3 111米和2 384米.
三、练习新知
师:现在请同学们看课本第125页练习1的第(1)、(2)题.
教师找两生各板演1题,其余同学在下面做,然后集体订正.
解:(1)
∠A=90°-80°=10°,
AB=≈≈172.81,
AC=≈≈170.16,
(2)
BC===≈7.42.
cosA===0.375,
∠A≈67.976°≈67°58'32″,
∠B=90°-∠A=22°1'28″.
教师找一生板演课本第125页练习的第3题,其余同学在下面做,然后集体订正.
解:
过点A向DC作垂线,与DC交于一点E.
AE=ADsin43°
=6×sin43°
≈6×0.682
=4.092.
S=(AB+DC)×AE
=(4+8)×4.092
≈24.55.
答:梯形的面积为24.55.
四、巩固提高
师:同学们,通过刚才的学习,相信大家都掌握了一定的解直角三角形及其应用题的方法,现在我出几道习题来检测下大家学得怎么样!
教师多媒体课件出示习题:
1.在△ABC中,∠C=90°,下列各式中不正确的是( )
A.b=a·tanB B.a=b·cosA
C.c= D.c=
【答案】B
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,a=35,b=28,则tanA= ,tanB= .?
【答案】
3.在Rt△ABC中,∠C=90°,c=10,b=5,则∠A= ,S△ABC= .?
【答案】30°
4.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,a=104,b=20.49,求∠A和∠B.(可利用计算器进行运算,精确到1°)
【答案】∠A=79°,∠B=11°
5.如图,在Rt△ABC中,BC=7.85,AB=11.40,解这个直角三角形.(边长保留三个有效数字,角度精确到1°)
【答案】AC=8.27,∠A=44°,∠B=46°
五、课堂小结
师:本节课,我们学习了什么内容?
学生回答.
师:你还有什么不懂的地方吗?
学生提问,教师解答.
教学反思
本节课在教学过程中,能灵活处理教材,敢于放手让学生通过自主学习、合作探究,达到理解并掌握知识的目的,并能运用知识解决问题.在本章开头,我带领学生复习了与解直角三角形有关的知识点,使学生在解决问题时能想到并能熟练运用.在解有特殊角的三角形时有不止一种解法,我鼓励学生勇于发言,给了他们展示自我的机会,锻炼他们表达自己想法的能力,并且增强了他们的自信心.
第2课时 仰角与俯角问题
1．巩固解直角三角形有关知识；
2．能运用解直角三角形知识解决仰角和俯角的问题．(重点、难点)
一、情境导入
秋千是我们生活中常见的娱乐器材，如图所示是秋千的简图，秋千拉绳(OA)的长为3m，静止时秋千踏板(B，大小忽略不计)距离地面(BE)的距离0.5m，秋千向两边摆动时，若最大的摆角(摆角是指秋千拉绳与铅垂线的夹角∠AOB或∠COB)约为52°.
你能否通过所学知识求出秋千踏板与地面的最大距离约为多少？
二、合作探究
探究点：仰角、俯角问题
【类型一】 仰角问题
如图所示，为了测量山的高度AC，在水平面B处测得山顶A的仰角为30°，AC⊥BC，自B沿着BC方向向前走1000m，到达D处，又测得山顶A的仰角为45°，求山高．(结果保留根号)
解析：要求AC，无论是在Rt△ACD中，还是在Rt△ABC中，只有一个角的条件，因此这两个三角形都不能解，所以要用方程思想，先把AC看成已知，用含AC的代数式表示BC和DC，由BD＝1000m建立关于AC的方程，从而求得AC.
解：在Rt△ABC中，＝tanB＝tan30°＝，∴BC＝AC.在Rt△ACD中，＝tan∠ADC＝tan45°＝1，∴DC＝AC.∴BD＝BC－DC＝AC－AC＝(－1)AC＝1000，∴AC＝＝500(＋1)(m)．
答：山高为500(＋1)m.
方法总结：在解直角三角形时，若仰角、俯角不是直角三角形的内角时，应利用已知条件将它转化为直角三角形的内角，再利用直角三角形的边角关系列方程求解．
【类型二】 俯角问题
如图，飞机A在目标B正上方1000m处，飞行员测得地面目标C的俯角为30°，则地面目标B，C之间的距离是________．
解析：由题意可知，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝∠CAD＝30°，AB＝1000m，∴BC＝＝＝1000(m)，故填1000m.
方法总结：解此类问题，首先要找到合适的直角三角形，然后根据已知条件解直角三角形．
如图，某人站在楼顶观测对面笔直的旗杆AB，已知观察点C到旗杆的距离(CE的长度)为8m，测得旗杆顶的仰角∠ECA为30°，旗杆底边的俯角∠ECB为45°，那么，旗杆AB的高度是( )
A．(8＋8)m B．(8＋8)m
C．(8＋)m D．(8＋)m
解析：由题意可知：在Rt△BCE中，∵CE＝8m，∠ECB＝45°，∠ACE＝30°，∴BE＝CE＝8(m)，AE＝EC·tan∠ACE＝8×tan30°＝(m)，∴AB＝AE＋BE＝(8＋)m.故选D.
方法总结：解此类问题，要作好辅助线，将问题分为仰角和俯角两个问题来解直角三角形．
三、板书设计
本次教学过程中涉及实际应用问题，在合作探究环节可引导学生探究几个具有代表性的数学模型，从这些数学模型中总结规律并积累解题技巧，培养学生的创新意识和逻辑思维能力．
23.2 解直角三角形及其应用
第2课时 仰角与俯角问题
教学目标
【知识与技能】
使学生掌握仰角、俯角的概念,并学会正确地运用这些概念和解直角三角形的知识解决一些实际问题.
【过程与方法】
让学生体验方程思想和数形结合思想在解直角三角形中的用途.
【情感、态度与价值】
使学生感知本节课与现实生活的密切联系,进一步认识到将数学知识运用于实践的意义.
重点难点
【重点】
将实际问题转化为解直角三角形问题.
【难点】
将实际问题中的数量关系如何转化为直角三角形中元素间的关系求解.
教学过程
一、创设情境,导入新知
教师多媒体课件出示:
南浦大桥建桥时为世界第三大斜拉桥,桥全长8346米,6车道,主塔高154米,塔柱中间,由两根高8米、宽7米的上下拱梁牢牢地连接着,呈“H”型.南浦大桥于1991年12月1日建成通车.南浦大桥横卧在黄浦江上,它使上海人圆了“一桥飞架黄浦江”的梦想.
问题:南浦大桥主塔高154米,最高的一根钢索与桥面的夹角为30°,问最高的钢索有多长?
追问:第二根钢索与桥面的夹角为35°,如何求第二根钢索的长呢?
教师带领学生看题目.
二、共同探究
师:请同学们思考这个问题.这是一个实际问题,我们将它转换为数学模型后是不是很简单了?你能求出最高的钢索长度吗?
生:能.
教师找一生回答.
量:你能求出第二根钢索的长吗?
生:能,与最长的一根钢索长的求法一样.
教师多媒体课件出示:
操场上有一根旗杆,老师让小明去测量旗杆的高度,小明站在离旗杆底部10米远处,目测旗杆的顶部,视线与水平线的夹角为34°,并已知目高为1米.然后他很快就算出旗杆的高度了.
师:请同学们思考这个问题,想想他是如何计算的.
学生思考,讨论.
师:如果我们把已知的条件转化为三角形的一些元素,你能不能算出?
生:能.
师:很好!现在请同学们想想已知了或容易算出哪些量,需要求的是什么量?
生:已知了一个直角梯形的一条底边,一条腰长,并且容易算出它的一个内角,求它的另一底.
师:对,那你知道小明是怎么算的吗?
学生思考,交流.
生:先把各个顶点用字母标出,然后作辅助线,构造直角三角形.
教师找一生板演,并让他解释自己的思路.
三、继续探究,层层推进
1.讲解.
师:在实际生活中,解直角三角形有着广泛的应用,例如我们通常遇到的视线、水平线、铅垂线就构成了直角三角形.
教师在黑板上作图.
师:当我们测量时,在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫做仰角;在水平线以下的角叫做俯角.
注意:(1)仰角和俯角必须是视线与水平线所夹的角,而不是与铅垂线所夹的角;
(2)仰角和俯角都是锐角.
师:我们自己测量角时用什么工具啊?
生:量角器.
量:测量仰角、俯角也有专门的工具,是测角仪.
2.练习新知.
教师多媒体课件出示:
(1)如图,∠C=∠DEB=90°,FB∥AC,从A看D的仰角是 ;从B看D的俯角是 ;从A看B的 角是 ;从D看B的 是 ;从B看A的 角是 .?
师:你能根据仰角和俯角的概念回答这些问题吗?
生:能.
教师找一生回答,然后集体订正得到:
从A看D的仰角是∠2,从B看D的俯角是∠FBD,从A看B的仰角是∠BAC,从D看B的仰角是∠3,从B看A的俯角是∠1.
教师多媒体课件出示:
(2)如图,线段AB、CD分别表示甲、乙两幢楼的高,AB⊥BD,CD⊥BD,从甲楼顶部A处测得乙楼顶部C的仰角α=30°,测得乙楼底部D的俯角β=60°.已知甲楼的高AB=24米,求乙楼的高CD.
学生看题思考.
师:这道题也需要我们把它转化为解直角三角形来解决,但现在还没有直角三角形呢,你怎样求?
生:因为AB⊥BD,CD⊥BD,所以过A作AE∥BD,即有AE⊥BD,得到 Rt△ACE和Rt△ADE,确定仰角和俯角.已知AB=24米,可知DE=24米,可求出AE,进而求出CE.
教师作图.
师:然后怎样做呢?
老师找两生板演,其余同学在下面做,然后集体订正.
解:在Rt△AEC中,
∠AEC=90°
∠EAC=α=30°.
∵tanα==,
∴CE=8tanα=8×tan30°=8×=8(米).
∴CD=CE+DE=24+8=32(米).
四、例题讲解
【例1】 如图,一学生要测量校园内一棵水杉树的高度.他站在距离水杉树8 m的E处,测得树顶的仰角∠ACD=52°.已知测角器的架高CE=1.6 m,问树高AB为多少米?(精确到0.1 m)
解:在Rt△ACD中,∠ACD=52°,CD=EB=8 m.
由tan∠ACD=,得
AD=CD·tan∠ACD=8×tan52°=8×1.2799≈10.2(m).
由DB=CE=16 m得
AB=AD+DB=10.2+1.6=11.8(m).
答:树高AB为11.8 m.
【例2】 解决本章引言所提问题.如图,某校九年级学生要测量当地电视塔的高度AB,因为不能直接到达塔底B处,他们采用在发射台院外与电视塔底B成一直线的C、D两处地面上,用测角器测得电视塔顶部A的仰角分别为45°和30°,同时量得CD为50 m,已知测角器高为1 m,问电视塔的高度为多少米?(精确到1 m)
解:设AB1=x m.
在Rt△AC1B1中,由∠AC1B1=45°,
得C1B1=AB1.
在Rt△AD1B1中,由∠AD1B1=30°,得
tan∠AD1B1==,
即 =.
解方程,得x=25(+1)≈68.
∴AB=AB1+B1B≈68+1=69(m).
答:电视塔的高度为69m.
五、巩固提高
师:同学们,刚才的讲解你们都听明白了吗?还有什么不懂的地方可以在下课后问我,现在让我们一起来解决几个关于直角三角形应用的问题.
老师多媒体课件出示题目:
1.如图,小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路,经测得有一水塔(图中点A处)在她家北偏东60°方向500 m处,那么水塔所在的位置到公路的距离AB长是( )
A.250 m
B.250 m
C. m
D.250 m
【答案】A
2.王师傅在楼顶上的点A处测得楼前一棵树CD的顶端C的俯角为60°,已知水平距离BD=10 m,楼高AB=24 m,则树CD的高度为( )
A.(24-)m B.(24-10)m
C.(24-5)m D.9 m
【答案】B
3.升国旗时,某同学站在距离旗杆底部24米处行注目礼,当国旗升到主旗杆顶端时,该同学视线的仰角恰为30°.若该同学的双眼距离地面1.5米,则旗杆的高度大约为 .(精确到0.1米)?
【答案】15.4米
4.如图,某飞机在空中A处探测到地面的目标B,此时从飞机上看目标B的俯角为α,若测得飞机与目标B之
间的距离AB大约为2400米,且sinα=0.52,求飞机的飞行高度.
【答案】1248米
5.如图,为测量某塔AB的高度,在距离该塔底部20米的C处目测塔的顶端A,仰角为60°.已知目高为1.5米,求该塔的高度.(≈1.7)
【答案】35.5米
六、课堂小结
师:本节课,我们学习了什么内容?
学生回答.
师:你还有什么不懂的地方吗?
学生提问,教师解答.
教学反思
多媒体课件简洁生动,通过图片形象地向学生展示出所提出的问题,吸引学生的注意,使学生解决问题的同时,吸收了数学中的转化思想、建模思想、方程思想,即把现实问题通过建立数学模型转化成数学问题,并运用构建方程的思想达到数与形的结合.
解直角三角形的内容是初中阶段数学教学中的重点之一,使学生对所学知识有了更好的巩固,同时让学生体会到数学与实际的联系.例题设置具有一定坡度,由浅入深,步步深入.
第3课时 方向角问题
1．正确理解方向角的概念；(重点)
2．灵活运用解直角三角形的知识构建直角三角形模型，会利用所学的知识解决现实生活中的问题．(难点)
一、情境导入
如图，一艘轮船从A点出发，航行路线为AC、CB，你知道如何准确描述此过程轮船航行的方向吗？
二、合作探究
探究点：与方向角有关的实际问题
一条东西走向的高速公路上有两个加油站A，B，在A的北偏东45°方向还有一个加油站C，C到高速公路的最短距离是30km，B，C间的距离是60km，想要经过C修一条笔直的公路与高速公路相交，使两路交叉口P到B，C的距离相等，请求出交叉口P到加油站A的距离(结果保留根号)．
解析：此题针对点P的位置分两种情况讨论，即点P可能在线段AB上，也可能在BA的延长线上．
解：分两种情况：
(1)如图①，在Rt△BDC中，CD＝30km，BC＝60km，∴∠B＝30°.
∵PB＝PC，∴∠BCP＝∠B＝30°.
∴在Rt△CDP中，∠CPD＝∠B＋∠BCP＝60°，
∴DP＝＝＝10(km)．
在Rt△ADC中，∵∠A＝45°，∴AD＝DC＝30km.
∴AP＝AD＋DP＝(30＋10)km；
(2)如图②，同理可求得DP＝10km，AD＝30km.
∴AP＝AD－DP＝(30－10)km.
答：交叉口P到加油站A的距离为(30±10)km.
方法总结：求一般三角形的边长或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距600km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行方向成30°角的方向飞行，飞行到中途，再沿与原来的飞行方向成45°角的方向继续飞行直到终点．这样飞机的飞行路程比原来的路程600km远了多少？
(参考数据：≈1.73，≈1.41，要求在结果化简后再代入参考数据运算，结果保留整数)
解：过点C作CD⊥AB于点D，
则AD＝，BD＝，
∵AD＋BD＝AB，∴(＋1)CD＝600，∴CD＝300(－1)(km)．
∴在Rt△BCD中，BC＝300(－1)(km)，
在Rt△ACD中，AC＝600(－1)(km)，
∴AC＋BC＝600(－1)＋300(－1)≈747(km)，747－600＝147(km)．
答：飞机的飞行路程比原来的路程600km远了147km.
方法总结：构造直角三角形，分别解两个直角三角形．
三、板书设计
方向角问题
指南或指北方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角．
通过学习本课时内容，让学生认识到日常生活中许多问题可以转化为直角三角形的问题，并从中体会直角三角形的边角关系在解决实际问题中的作用．
23.2 解直角三角形及其应用
第3课时 方向角问题
【教学目标】?
使学生理解方位角概念的意义，并能适当的选择锐角三角函数关系式去解决有关直角三角
形实际问题；
培养学生将实际问题抽象为数学问题(形)的能力
【教学重点】用三角函数有关知识解决方位角的实际问题;
【教学难点】学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型.
在平面上，过观测点作一条水平线（向右为东）和一条铅垂线（向上为北），则从点出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角. 例如，图4中“北偏东”是一个方向角，又如“西北”即指正西方向与正北方向所夹直角的平分线，此时的方向角为“北偏西”.
例（内蒙古呼和浩特市）如图5，、是两座现代城市，是一个古城遗址，城在城的北偏东，在城的北偏西，且城与城相距千米.
城在城的正东方向. 以为圆心，以千米为半径的圆形区域内有古迹和地下文物现要在、两城市间修建一条笔直的高速公路.
（1）请你计算公路的长（结果保留根号）.
（2）请你分析这条公路有没有可能对文物古迹造成损毁.
分析：解本题的关键是根据题意构造直角三角形，只要过作于，就得到两个直角三角形. 这样就把问题转化为直角三角形问题来解决.
解：（1）过作于，在中，∵，
∴，.
在中，∵. ∴.
∴公路长（千米）.
（2）∵ （千米） （千米），∴此条公路不会对文物造成损毁.
达标检测
1、在南北海岸线有A、B两港口，相距(120-120)海里，一船从A港出发，沿北偏东60°方向航行，当船到达C处时，从B港测得此时船在B港的南偏东45°处，求这时C处到海岸线AB的距离。
2、一轮船在海面上A处，沿着南偏东75°方向以每小时24海里的速度航行，为了确定船的位置，船在A处测得灯塔B在北偏东45°的方向上，船按原来航向和航行速度继续航行40分钟到达C处，测得灯塔B恰好在正北方向，求此时船与灯塔的距离(精确到0.1海里)sin75°=0.9659,cos75°=0.2588,
tan75°=3.7321,cot75°=0.2679
一艘渔船在A处观测到东北方向有一小岛C，已知小岛C周围4.8海里范围内是水产养殖场.渔船沿北偏东30°方向航行10海里到达B处，在B处测得小岛C在北偏东60°方向，这时渔船改变航线向正东(即BD)方向航行，这艘渔船是否有进入养殖场的危险？
课后小结
第4课时 坡度问题
1．理解并掌握坡度、坡比的定义；
2．学会用坡度、坡比解决实际问题．(重点、难点)
一、情境导入
在现实生活中，测量某些量可以采取不同的方法，某斜面的截面如图所示，两位同学分别选取不同的点进行测量．从F处进行测量和从A处进行测量的数据如图所示．
你能否通过所学知识求得该坡面的铅直高度？
二、合作探究
探究点：与坡度或坡角有关的实际问题
一辆汽车从坡底走到坡顶共用30s，车速是2m/s，汽车行驶的水平距离是40m，则这个斜坡的坡度是________．
解析：坡面距离为30×2＝60m，水平距离为40m，∴铅直高度为＝20(m)，∴坡度i＝20∶40＝∶2.
方法总结：根据坡度的定义i＝，解题时需先求得水平距离l和铅直高度h.
如图所示，在平面上种植树木时，要求株距(相邻两树间的水平距离)为4m，如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为( )
A．5m
B．6m
C．7m
D．8m
解析：由题知，水平距离l＝4m，i＝0.75，∴铅直高度h＝l·i＝4×0.75＝3(m)，∴坡面距离为＝5(m)．故选A.
方法总结：解此类题，首先根据坡度的定义，求得水平距离或铅直高度，再根据勾股定理，求得坡面距离．
如图所示，给高为3米，坡度为1∶1.5的楼梯表面铺地毯．已知每级楼梯长度为1.5米，地毯的价格为每平方米8元，则铺完整个楼梯共需多少元？
解析：由于楼梯的长度已知，所以要求地毯的总面积，需求地毯的总长度，由题意知，地毯的总长度为BC与AC的和，而由坡度的定义知＝，所以AC可求．
解：∵＝，∴AC＝1.5BC＝1.5×3＝4.5(米)．
∴AC＋BC＝4.5＋3＝7.5(米)．
∴地毯的总面积为1.5×7.5＝11.25(平方米)．
∴需要的钱数为8×11.25＝90(元)．
答：铺完整个楼梯共需90元．
三、板书设计
坡度(坡比)的问题：
坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫坡度(或坡比)，即i＝tanα＝，坡面与水平面的夹角α叫坡角．
本课时主要培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．进一步感知坡度、坡角与实际生活的密切联系，认识将知识应用于实践的意义．
23.2 解直角三角形及其应用
第4课时 坡度问题
教学目标
【知识与技能】
会运用解直角三角形的知识解决与坡度、坡角等有关的实际问题.
【过程与方法】
逐步培养学生分析问题、解决问题的能力,渗透数形结合的思想方法
【情感、态度与价值观】
使学生感知本节课与现实生活的密切联系,进一步认识到将数学知识运用于实践的意义.
重点难点
【重点】
解决有关坡度的实际问题.
【难点】
理解坡度的概念和有关术语.
教学过程
一、创设情境,导入新知
师:在现实生活中,经常会有建筑大坝、修地基等,它们的截面上底和下底不是同样宽的,侧面是有斜坡的,且倾斜程度是不一样的,这些在设计图纸上都要注明,以便施工时遵循.
教师多媒体课件出示:
例:如图,一段路基的横断面是梯形,高为4.2米,上底的宽是12.51米,路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°.求路基下底的宽.(精确到0.1米)
师:已知一个大坝的横截面是梯形,坝顶宽6 m,坝高23 m,斜坡AB的坡度i=1∶3,斜坡CD的坡度i=1∶2.5,求斜坡AB的坡面角α,坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1 m).
学生思考.
二、问题探究
1.回忆旧知识.
师:我们先来回忆一下坡度与坡角的概念.
学生看课本.
老师作图:
师:坡面的铅直高度h和水平长度l的比叫做坡面的坡度或坡比,通常用小写字母i表示,坡面与水平面的夹角叫做坡角或倾斜角,一般用α表示.坡度与坡角的关系是:坡度越大,坡角越大.
2.练习.
教师多媒体课件出示:
(1)一斜坡的坡角为30°,则它的坡度为 ;?
(2)坡度通常写成1∶ 的形式.如果一个坡度为1∶2.5,则这个坡角为 ;?
(3)等腰梯形的较小底长为3,腰长为5,高为4,则另一个底长为 ,坡度为 ;?
(4)堤坝横断面是等腰梯形,(如图所示)
若AB=10,CD=4,高h=4,则坡度i= ,AD= ;?
若AB=10,CD=4,i=,则h= .?
师:我们再来看几个练习,以加深对坡度和坡角的理解.
教师找学生回答,然后集体订正.
【答案】(1) (2)m 20°48' (3)4∶3 5 0.6
三、例题讲解
【例1】 如图,一船以20n mile/h的速度向东航行,在A处测得灯塔C在北偏东60°的方向上,继续航行1h到达B处,再测得灯塔C在北偏东30°的方向上.已知灯塔C四周10n mile内有暗礁,问这船继续向东航行是否安全?
分析:这船继续向东航行是否安全,取决于灯塔C到AB航线的距离是否大于10n mile.
解:过点C作CD⊥AB于点D,设CD=x n mile.
在Rt△ACD中,AD==.
在Rt△BCD中,BD==.
由AB=AD-BD,得
AB=-=20,
即-=20,
解方程,得x=10>10.
答:这船继续向东航行是安全的.
【例2】 如图,铁路路基的横断面是四边形ABCD,AD∥BC,路基顶宽BC=9.8 m,路基高BE=5.8 m,斜坡AB的坡度i=1∶1.6,斜坡CD的坡度i'=1∶2.5,求铁路路基下底宽AD的值(精确到0.1 m)与斜坡的坡角α和β(精确到1°)的值.
解:过点C作CD⊥AD于点F,得
CF=BE,EF=BC,∠A=α,∠D=β.
∵BE=5.8 m,=,=,
∴AE=1.6×5.8=9.28(m),DF=2.5×5.8=14.5(m).
∴AD=AE+FE+DF=9.28+9.8+14.5≈33.6(m).
由tanα=i=,tanβ=i'=,得
α≈32°,β≈21°.
答:铁路路基下底宽为33.6 m,斜坡的坡角分别为32°和21°.
【例3】 已知:在直线y=kx+b上有任意两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2) ,这条直线向上方向与x轴正方向所夹的锐角为α.
求证:tanα==k.
证明:由α是锐角,可知直线y=kx+b是上升的,即函数y=kx+b的值随x值的增大而增大.
如图,设x1在Rt△P2P1R中,tanα===.
∵P1、P2都在直线y=kx+b上,
∴y1=kx1+b, ①
y2=kx2+b. ②
由②-①,得y2-y1=k(x2-x1),
∴k=.
即tanα==k.
四、巩固练习
1.为抗洪需修筑一坡度为3∶4的大坝,如果此大坝斜坡的坡角为α,那么α的正切值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
2.如图,防洪大坝的横断面是梯形,坝高AC为6米,背水坡AB的坡度i=1∶2,则斜坡AB的长为 米.?
【答案】6
3.某人沿着有一定坡度的坡面前进了10 m,此时
他与出发地的垂直距离为2 m,则这个坡面的坡度为 .?
【答案】1∶2
4.如图,斜坡AC的坡度为1∶,AC=10米,坡顶有一旗杆BC,旗杆的顶端点B与点A用一条彩带AB相连,AB=14米,求旗杆BC的高度.
【答案】设旗杆高为x,在Rt△ADC中,CD=AC=5,AD=AC=5,则在△ADB中,AD2+BD2=AB2,即(5)2+(5+x)2=142,解得x=6,所以旗杆高6米.
5.如图,梯形ABCD是拦水坝的横断面示意图(i=1:是指坡面的铅直高度DE与水平长度CE的比),∠B=60°,AB=6,AD=4,求拦水坝的横断面ABCD的面积.(结果保留三个有效数字,参考数据:≈1.732)
【答案】52.0
师:请同学们认真思考上面的问题,然后在草稿纸上完成解答过程.
教师巡视,对有疑问的学生进行指导.
五、课堂小结
师:本节课,我们学习了什么内容?
学生回答.
师:你们还有什么不懂的地方吗?
学生提问,教师解答.
教学反思
在教学过程中要多给学生提供练习的机会,让学生自己来作辅助线.在解直角三角形时让学生讨论,各抒己见.在有多种方法时,让学生讨论哪一种方法简单.这节课应用了坡比、坡度与解直角三角形的结合,而坡比、坡度的概念有些同学可能忘记了或记得不牢,难于灵活应用,所以在本节课开头我带领学生复习并练习了这些概念,使他们能熟练地在下面的练习中应用.
