2018-2019学年北师大版必修一 第二章函数 单元测试

第二章检测
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1设M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},下列的四个图形中能表示从集合M到集合N的函数关系的为(　　)
解析:由函数的定义知A不是,因为集合M中1≤x≤2时,在N中无元素与之对应;C选项中的x=2对应的元素y=3?N,所以C不是;D选项中的x=1时,在N中有两个元素与之对应,D也不是.
答案:B
2函数f(x)=(m+2)xm是幂函数,则实数m=(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.0 B.1 C.-1 D.2
解析:由m+2=1,得m=-1.
答案:C
3设集合M={x|0≤x≤6},N={y|0≤y≤2},从M到N的对应法则f不是映射的是(　　)
A.f:x→y=12x B.f:x→y=13x
C.f:x→y=14x D.f:x→y=16x
解析:A不是映射,按照对应法则f,集合M中的元素6,在后一个集合B中没有元素与之对应,故不满足映射的定义.B,C,D是映射,因为按照对应法则f,集合M中的每一个元素,在后一个集合N中都有唯一的一个元素与之对应,故B,C,D满足映射的定义,故选A.
答案:A
4下列各组函数中,表示同一函数的是(　　)
A.y=x2-1x+1与y=x-1 B.y=3x3与y=x2
C.y=x0与y=1x0 D.y=x2|x|与y=x
解析:选项A,D中,两个函数的定义域不同;选项B中,两个函数的定义域相同,但是对应关系不同;选项C中,两个函数的定义域与对应关系均相同,故选C.
答案:C
5已知函数f(x)=x-x2,x≤5,f(x-4),x>5,则f(6)=(　　)
A.-3 B.-1 C.1 D.-2
解析:f(6)=f(6-4)=f(2)=2-22=-2,故选D.
答案:D
6函数f(x)=11-x+1+x的定义域是(　　)
A.[-1,+∞) B.[-1,1)∪(1,+∞)
C.(1,+∞) D.(-∞,+∞)
解析:要使f(x)有意义,只需1-x≠0,1+x≥0,解得x≥-1,且x≠1.
答案:B
7函数y=ax2+bx与y=ax+b(ab≠0)在同一坐标系中的图像只能是(　　)
答案:C
8下列函数中,在(0,2)上是增加的是(　　)
A.y=-3x+1 B.y=x2-2x+3
C.y=x D.y=4x
解析:选项A中y=-3x+1,为一次函数,易知在区间(0,2)上是减少的;
选项B中y=x2-2x+3,为二次函数,开口向上,对称轴为x=1,所以在区间(0,2)上是先减少后增加;
选项C中y=x,为幂函数,易知在区间(0,2)上是增加的;
选项D中y=4x,为反比例函数,易知在(-∞,0)和(0,+∞)上均为减少的,所以函数在(0,2)上是减少的;
综上可知,y=x在区间(0,2)上是增加的,故选C.
答案:C
9若奇函数y=f(x)在区间[3,7]上是增加的,且最小值为5,则在区间[-7,-3]上是(　　)
A.增加的且有最小值-5
B.增加的且有最大值-5
C.减少的且有最小值-5
D.减少的且有最大值-5
解析:因为f(x)是奇函数,在区间[3,7]上是增加的,且最小值为5,所以f(x)在[-7,-3]上也是增加的,又奇函数图像关于原点对称,所以f(x)在[-7,-3]上有最小值-5,故选B.
答案:B
10已知a,b,c∈R,函数f(x)=ax2+bx+c.若f(0)=f(4)>f(1),则(　　)
A.a>0,4a+b=0 B.a<0,4a+b=0
C.a>0,2a+b=0 D.a<0,2a+b=0
解析:由f(0)=f(4)得4a+b=0,所以b=-4a.
又f(0)>f(1),所以a+b<0.
所以-3a<0,即a>0.
答案:A
11若函数f(x)=x2+bx+c对任意实数x都有f(2+x)=f(2-x),则(　　)
A.f(2)B.f(1)C.f(2)D.f(4)解析:由f(2+x)=f(2-x)可知,函数f(x)的对称轴为x=2,由二次函数f(x)开口方向向上,可得f(2)最小,又f(4)=f(2+2)=f(2-2)=f(0),当x<2时,y=f(x)是减少的,由0<1<2,得f(0)>f(1)>f(2),即f(2)答案:A
12已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数,且对任意实数x都有xf(x+1)=(x+1)f(x),则f52=(　　)
A.0 B.12
C.1 D.52
解析:因为xf(x+1)=(x+1)f(x),所以当x≠0时,有f(x+1)=(x+1)f(x)x,
令x=-12,则f12=-12+1f-12-12,
即f12=-f-12.
又f(x)是偶函数,所以f12=0,f52=f1+32=32+1f3232=53f32=53·1+12f1212=5f12=0,故选A.
答案:A
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)
13已知集合A={1,2,m}与集合B={4,7,13},若f:x→y=3x+1是从A到B的映射,则m的值为　　　　　.?
解析:若3m+1=4,则m=1与集合A={1,2,m}矛盾,
若3m+1=7,则m=2,同理舍去,
所以3m+1=13,即m=4.
答案:4
14如果函数g(x)=2x-3,x>0,f(x),x<0是奇函数,那么f(x)=　　　　　.?
解析:设x<0,则-x>0,g(-x)=-2x-3.
∵g(x)为奇函数,
∴f(x)=g(x)=-g(-x)=2x+3.
答案:2x+3
15已知函数f(x)为R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x(x+1).若f(a)=-2,则实数a=　　　　　.?
解析:令x<0,则-x>0,所以f(-x)=-x(1-x).
又f(x)为奇函数,所以当x<0时,有f(x)=x(1-x).
令f(a)=a(1-a)=-2,得a2-a-2=0,
解得a=-1或a=2(舍去),故答案为-1.
答案:-1
16已知函数f(x)=x21+x2,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f12+f13+f14的值为　　　　　.?
解析:∵f(x)=x21+x2,
∴f1x=11+x2.
∴f(x)+f1x=1.
再由f(1)=12,可得f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f12+f13+f14=f(1)+3=72.
答案:72
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17(10分)已知二次函数f(x)=x2+2(1-2a)x+6在区间(-∞,-1)上是减少的.
(1)求f(2)的取值范围;
(2)比较f(2a-1)与f(0)的大小.
解:(1)∵二次函数f(x)图像的对称轴方程为x=2a-1,
∴函数在(-∞,2a-1]上是减少的.
∴-1≤2a-1.∴a≥0.
而f(2)=22+2(1-2a)×2+6=-8a+14,
∴f(2)=14-8a≤14.
(2)∵当x=2a-1时,函数y=f(x)取最小值,
∴f(2a-1)≤f(0).
18(12分)已知函数f(x)=3-x2,x∈[-1,2],x-3,x∈(2,5].
(1)在如图给定的直角坐标系内画出f(x)的图像;
(2)写出f(x)的递增区间.
解:(1)函数f(x)的图像如图.
(2)由图像可知,函数f(x)的递增区间为[-1,0]和[2,5].
19(12分)已知函数f(x)=2x-1x+1,x∈[3,5].
(1)判断f(x)在区间[3,5]上的单调性并证明;
(2)求f(x)的最大值和最小值.
解:(1)f(x)在区间[3,5]上是增加的,证明如下:
f(x)=2x-1x+1=2(x+1)-3x+1=2-3x+1,
任取x1,x2∈[3,5],且x1则f(x1)-f(x2)
=2-3x1+1?2-3x2+1
=3x2+1?3x1+1=3(x1-x2)(x1+1)(x2+1).
∵x1,x2∈[3,5],
∴x1+1>0,x2+1>0,即(x1+1)(x2+1)>0.
又x1∴f(x1)∴f(x)=2x-1x+1在区间[3,5]上是增加的.
(2)由(1)知,f(x)的最小值为f(3)=2×3-13+1=54;f(x)的最大值为f(5)=2×5-15+1=32.
20(12分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x(1-x).
(1)求函数的解析式,并画出函数图像;
(2)写出函数的单调区间及值域.
解:(1)∵x≥0时,f(x)=x(1-x),
∴当x<0时,-x>0,
∴f(-x)=-x(1+x),
又∵f(x)为奇函数,
∴f(-x)=-f(x),
∴-f(x)=-x(1+x),即f(x)=x(1+x).
综上可知,f(x)=x(1-x),x≥0,x(1+x),x<0.
由函数的解析式可得其图像,如图.
(2)由函数的图像可知,f(x)在-12,12上是增加的,在-∞,-12和12,+∞上是减少的,f(x)的值域为R.
21(12分)已知函数f(x)=x2-2ax(a>0),求函数f(x)在[0,2]上的最大值g(a).
解:函数f(x)=x2-2ax=(x-a)2-a2(a>0)的对称轴为直线x=a.
①当0②当a>1时,g(a)=f(0)=0;
故g(a)=4-4a,01.
22(12分)已知函数f(x)的定义域为[-1,1],且f(1)=1,若x,y∈[-1,1],有(x-y)·[f(x)-f(y)]>0.
(1)判断f(x)的单调性,并加以证明;
(2)解不等式fx+12(3)若f(x)≤m2-2am+1对所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,求实数m的取值范围.
解:(1)f(x)在[-1,1]上是增加的.证明如下:
任取x1,x2∈[-1,1],且x10,
由题意(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]>0,
得f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1).
故f(x)在[-1,1]上是增加的.
(2)由题意,得-1≤x+12≤1,-1≤1-2x≤1,x+12<1-2x,
解得0≤x<16.
(3)由f(x)在[-1,1]上是增加的,
得f(x)max=f(1)=1.
由题意,1≤m2-2am+1,
即m2-2am≥0对任意a∈[-1,1]恒成立.
令g(a)=-2ma+m2,a∈[-1,1],
则g(-1)=2m+m2≥0,g(1)=-2m+m2≥0,
解得m=0或m≤-2或m≥2.
综上所述,m∈{m|m=0或m≤-2或m≥2}.