2018-2019学年人教B版_ 必修三 第3章_ 概率_单元测试
文档属性
| 名称 | 2018-2019学年人教B版_ 必修三 第3章_ 概率_单元测试 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 487.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标B版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-05-17 08:05:41 | ||
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文档简介
第3章 概率 单元测试
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．把一根长度为5的铁丝截成任意长的3段，则能构成三角形的概率为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设其中一段为x，第二段为y，则第三段为5－x－y，则：
即,作出不等式组对应的可行域，可知满足不等式的三角形区域面积占正方形区域面积的
2．某日，甲乙二人随机选择早上6:00-7:00的某个时刻到达七星公园早锻炼，则甲比乙提前到达超过20分钟的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在平面直角坐标系中， 轴分别表示甲乙两人的时间，满足题意时，有 ，由几何概型计算公式可得，甲比乙提前到达超过20分钟的概率为 .
本题选择B选项.
点睛：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域进行计算即可.
3．函数，，则任取一点，使得≥的概率为
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】
试题分析：令，得，由几何概型的概率公式，得任取一点，使得≥的概率为；故选C．
考点：1.一元二次不等式的解法；2.几何概型．
4．从图中所示的矩形区域内任取一点，则点取自阴影部分的概率为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】阴影部分的面积为
矩形的面积为2，故点取自阴影部分的概率为.
故选B.
5．在区间上随机取一个实数，则事件：“”的概率为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】
试题分析：由，得：，所以事件：“”的概率为
考点：几何概型概率
6．如图， 是圆心为，半径为1的圆内接正六边形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用表示事件“豆子落在正六边形内”，用表示事件“豆子落在扇形内(阴影部分)”，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】.
本题选择C选项.
7．某校高三年级学生会主席团有共有5名同学组成,其中有3名同学来自同一班级,另外两名同学来自另两个不同班级.现从中随机选出两名同学参加会议,则两名选出的同学来自不同班级的概率为（ ）
A．0.35 B．0.4 C．0.6 D．0.7
【答案】D
【解析】
【分析】
分别计算出从5名学生中选出2名学生进入学生会的基本事件总数和满足这两名选出的同学来自不同班级的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案.
【详解】
来自同一班级的3名同学，用a，b，c表示，来自另两个不同班级2名同学用，A，B表示，
从中随机选出两名同学参加会议，共有ab，ac，aA，aB，bc，bA，bB，cA，cB，AB共10种，
这两名选出的同学来自不同班级，共有aA，aB，bA，bB，cA，cB，AB共7种，
故这两名选出的同学来自不同班级概率P=710=0.7
故选：D．
【点睛】
本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤，是解答的关键．
8．从如图所示的正方形OABC区域内任取一个点,则点M取自阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：由题可运用定积分求阴影部分的面积即： ，
则由几何概型可得；
考点：定积分求面积与几何概型.
9．一只小鸟自由自在地在空中飞行，然后随意落在图中所示的某个方格中（每个方格除颜色外完全一样），那么小鸟停在某个黑方格中的概率是（ )
Ａ、１／２ Ｂ、１／３ Ｃ、１／４ Ｄ、１／５
【答案】B
【解析】本题考查了几何概率模型中，事件A发生的概率
思路分析：题中所示总计有15个方格，黑方格的个数为5个，所以小鸟停留在某个黑方格的概率P===
10．某校毕业生毕业后有回家待业，上大学和补习三种方式，现取一个样本调查如图所示。若该校每个学生上大学的概率为，则每个学生补习的概率为（ ）
A． B． C D．
【答案】C
【解析】
11．某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格，问质检人员从中随机抽出2听，检测出不合格产品的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：将6听饮料用字母表示，分别为a,b,c,d,m,n,从中随机抽取2听的情况有：ab,ac,ad,am,an,bc,bd,bm,bn,cd,cm,cn,dm,dn,mn,共15种，其中符合题意的有am,an, bm,bn, cm,cn,dm,dn,mn,共9种，所以概率为．
考点：概率．
12．从12个同类产品（其中10个是正品，2个是次品）中任意抽取3个的必然事件是（ ）
A．3个都是正品 B．至少有1个是次品
C．3个都是次品 D．至少有1个是正品
【答案】D
【解析】
解：因为抽取3件产品，至少要抽到一个正品，因此显然选择D
二、填空题
13．记函数f(x)=6+x?x2的定义域为D．在区间[?4,5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是_______________．
【答案】【答案】59
【解析】
由6+x-x2≥0,即x2-x-6≤0得-2≤x≤3,所以D=[-2,3]?[-4,5],由几何概型的概率公式得x∈D的概率P=3-(-2)5-(-4)=59,答案为59.
点睛：本题考查的是几何概型.对于几何概型的计算，首先要确定所法事件的类型为几何概型并确定其几何区域是长度（角度、面积、体积或时间等），其次是计算基本事件区域的几何度量（长度、角度、面积、体积或时间等）和事件A区域的几何度量（长度、角度、面积、体积或时间等），最后计算P(A).
14．设矩形区域由直线和所围成的平面图形，区域是由余弦函数、 及所围成的平面图形．在区域内随机的抛掷一粒豆子，则该豆子落在区域的概率是 ．
【答案】
【解析】
试题分析：区域的面积,
矩形区域的面积，所以该豆子落在区域的概率是.
考点：1、定积分；2、几何概型.
15．集合A={y|y=6n?4,n=1,2,3,4,5,6}，集合B={y|y=2n?1,n=1,2,3,4,5,6}，若任意A∪B中的元素a，则a∈A∩B的概率是________。
【答案】13.
【解析】分析：先求A∪B，A∩B，再根据集合元素个数，利用古典概型公式求结果.
详解：因为A={2,8,14,20,26,32},B={1,2,4,8,16,32}，
所以A∩B={2,8,32},A∪B={1,2,4,8,14,16,20,26,32}
因此概率是39=13.，
点睛：古典概型中基本事件数的探求方法
(1)列举法.
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.
(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.
(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.
16．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落.小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中.己知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入袋中的概率为__________．
【答案】
【解析】记小球落入袋中的概率，则，又小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落，小球将落入袋，所以有，则．故本题应填．
三、解答题
17．为了响应政府“节能、降耗、减排、增效”的号召，某工厂决定转产节能灯，现有A、B两种型号节能灯的生产线。在这两种生产线的大量产品中各随机抽取100个进行质量评估，经检测，综合得分情况如下面的频率分布直方图：
产品级别划分以及利润率如表，
综合得分的范围
产品级别
产品利润率
≥85
一级
75≤＜85
二级
70≤＜75
三级
其中;
将频率视为概率.
（Ⅰ）在A型节能灯中按产品级别用分层抽样的方法抽取10个，在这10个节能灯中随机抽取3个，至少有2个一级品的概率是多少？
（Ⅱ）从长期来看，投资哪种型号的节能灯的平均利润率较大？
【答案】（1） （2）见解析
【解析】
试题分析：（1）由条件给出了A型号节能灯的频率分布直方图，读图并结合产品定级表可得；各级产品的频率，再根据分层抽样的方法抽取10个，可得一级品6个，二级品4个，然后根据互斥概率公式计算可得；
（2）由题要判断两种产品的利润大小，可通过计算它们的期望作为依据；分别表示出A、B两种型号节能灯的利润的期望值，（含变量a），然后分情况讨论可得；
试题解析：（Ⅰ）由频率分布直方图知，A型节能灯中，一级品的频率为，
二级品的频率为，三级品的频率为0
在A型节能灯中按产品级别用分层抽样的方法随机抽取10个，其中一级品6个，二级品4个
设在这节能灯中随机抽取3个，至少有2个一级品为事件，恰好有个一级品为事件，
则；，
因为事件为互斥事件，所以，
即，在这10个节能灯中随机抽取3个，至少有2个一级品的概率为
（Ⅱ）设投资A、B两种型号节能灯的利润率分别为、，
由频率分布直方图知，A型节能灯中，一级品、二级品、三级品的概率分别为、，0
B型号节能灯中一级品、二级品、三级品的概率分别为、、
所以、的分布列分别是：
则、的期望分别是：
，
所以，
因为，所以从长期看
当时，投资B型号的节能灯的平均利润率较大
时，投资A型号的节能灯的平均利润率较大
时，投资两种型号的节能灯的平均利润率相等
考点： （1）频率分布直方图及分层抽样和互斥事件概率的算法。
（2）随机变量分布列及期望的运用和函数思想。
18．2015年高中学业水平考试之后，为了调查同学们的考试成绩，随机抽查了某高中的高二一班的
10名同学的语文、数学、英语成绩，已知其考试等级分为，现在对他们的成绩进行量化：级记
为2分，级记为1分，级记为0分，用表示每位同学的语文、数学、英语的得分情况，再
用综合指标的值评定该同学的得分等级：若，则得分等级为一级；若，则
得分等级为二级；若，则得分等级为三级，得到如下结果：
人员编号
（1）在这10名同学中任取两人，求这两位同学英语得分相同的概率；
（2）从得分等级是一级的同学中任取一人，其综合指标为，从得分等级不是一级的同学中任取一人，
其综合指标为，记随机变量，求的分布列及其数学期望.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）在这名同学中任取两个人，基本事件总数，名学生中等名学生的英语成绩都是分，另外名学生的英语成绩都是一分，再求出任取得两名学生的英语成绩相同的基本事件个数，由此能求出这两位同学英语得出相同的概率，（2）由已知条件求出的可能取值为，，，，，分别求出相应的概率，从而能求出的分布列数学期望．
试题解析：（1）设事件为“从10名同学中随机抽取两人，他们的英语得分相同”.
英语得分为1的有
英语得分为2的有
从10名同学中随机抽取两人的所有可能结果数为，英语得分相同的所有可能结果数为，
所以英语得分相同的概率
（2）计算10名同学的综合指标，可得下表：
人员编号
综合指标
4
4
6
1
4
5
3
5
4
3
其中综合指标是一级的有，共7名，
综合指标不是一级的有共3名.
随机变量的所有可能取值为：1,2,3,4,5.
，
，
所以的分布列为：
1
2
3
4
5
所以.
考点：1、古典概型；2、随机变量的分布列和数学期望.
19．某校体育教研组研发了一项新的课外活动项目,为了解该项目受欢迎程度,在某班男生女生中各随机抽取名学生进行调研, 统计得到如下列联表：
喜欢
不喜欢
总计
女生
男生
总计
附：参考公式及数据
（1）在喜欢这项课外活动项目的学生中任选人，求选到男生的概率；
（2）根据题目要求，完成列联表，并判断是否有的把握认为“喜欢该活动项目与性别有关”？
【答案】（1）；（2）列联表见解析，有的把握认为“喜欢该活动项目与性别有关”。
【解析】
试题分析：（1）借助题设条件运用古典概型的计算公式求解；（2）借助题设条件先运用列联表计算卡方系数，再与参数表比对作出推断。
试题解析：
（1）依题意知,喜欢这项课外活动的男生有人，女生有人，从中选一人有种选法，其中选到男生有种，所求概率为。
喜欢
不喜欢
总计
女生
男生
总计
（2）将代入得知有的把握认为“喜欢该活动项目与性别有关”。
考点：古典概型计算公式和列联表、卡方系数等相关知识的综合运用。
20．已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m,n ,n 2）,这些球除颜色外全部相同。现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3，……，m+n的抽屉内，其中第k次取球放入编号为k的抽屉（k=1,2,3，……，m+n）.
（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p;
（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E(x)是x的数学期望，证明
【答案】（1）（2）见解析
【解析】试题分析：（1）根据条件先确定总事件数为，而编号为2的抽屉内放的是黑球的事件数为，最后根据古典概型的概率公式即可求概率；（2）先确定最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数为，所对应的概率，再根据数学期望公式得，利用性质，进行放缩变形： ，最后利用组合数性质化简，可得结论．
试题解析：解:(1)?编号为2的抽屉内放的是黑球的概率为: .?
(2)?随机变量?X?的概率分布为:
X
…
…
P
…
…
随机变量?X?的期望为：
.
所以
.
点睛:求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：
（1）“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；
（2）“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；
（3）“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；
（4）“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度．
21．长时间用手机上网严重影响着学生的身体健康，某中学为了解两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取名同学进行调查，将他们平均每周手机上网的时长作为样本，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）.
（Ⅰ）分别求出图中所给两组样本数据的平均值，并据此估计，哪个班的学生平均上网时间较长；
（Ⅱ）从班的样本数据中各随机抽取一个不超过的数据分别记为，求的概率.
【答案】（Ⅰ）估计班学生每周平均上网时间较长；（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据茎叶图所给的数据计算两个班的平均值，进行比较；
（Ⅱ）首先计算两个班不超过20的数据的个数和数据，然后列举两个版各随机抽取一个数据的方法，并计算其中满足的情况，并相除计算其概率.
试题解析：（Ⅰ）班样本数据的平均值为，
由此估计班学生每周平均上网时间小时；
班样本数据的平均值为，
由此估计班学生每周平均上网时间较长.
（Ⅱ）班的样本数据中不超过的数据有4个，分别为：9，11,14,20，
班的样本数据中不超过的数据有2个，分别为：11,12.
从班和班的样本数据中各随机抽取一个共有8种不同情况，
分别为：（9,11），（9,12），（11,11），（11,12），（14,11），（14,12），（20,11），（20,12），
其中的情况有（9,11），（9,12），（11,11），（11,12），共4种，
故的概率.
考点：1.茎叶图；2.古典概型.
22．盒子里装有大小相同的个球，其中个号球，个号球，个号球.
（1）若第一次从盒子中任取一个球，放回后第二次再任取一个球，求第一次与第二次取到球的号码和是的概率；
（2）若从盒子中一次取出个球，记取到球的号码和为随机变量，求的分布列及期望.
【答案】（1）；（2）分布列见解析；.
【解析】
试题分析：（1)利用互斥事件有一个发生的概率公式和互相独立事件同时发生的概率公式进行求解；（2）写出随机变量的所有可能取值，利用超几何分布的概率公式求出概率，列表得到分布列，利用期望公式求其期望.
试题解析：（1）记“第一次与第二次取到的球上的号码的和是”为事件， 1分
则 4分
（2）可能取的值是 ， 5分
, 6分
, 7分
， 8分 . 9分
∴的分布列为：
10分
故所求的数学期望为. 12分
考点：1.独立事件同时发生的概率；2.离散型随机变量的分布列和数学期望.
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．把一根长度为5的铁丝截成任意长的3段，则能构成三角形的概率为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设其中一段为x，第二段为y，则第三段为5－x－y，则：
即,作出不等式组对应的可行域，可知满足不等式的三角形区域面积占正方形区域面积的
2．某日，甲乙二人随机选择早上6:00-7:00的某个时刻到达七星公园早锻炼，则甲比乙提前到达超过20分钟的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在平面直角坐标系中， 轴分别表示甲乙两人的时间，满足题意时，有 ，由几何概型计算公式可得，甲比乙提前到达超过20分钟的概率为 .
本题选择B选项.
点睛：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域进行计算即可.
3．函数，，则任取一点，使得≥的概率为
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】
试题分析：令，得，由几何概型的概率公式，得任取一点，使得≥的概率为；故选C．
考点：1.一元二次不等式的解法；2.几何概型．
4．从图中所示的矩形区域内任取一点，则点取自阴影部分的概率为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】阴影部分的面积为
矩形的面积为2，故点取自阴影部分的概率为.
故选B.
5．在区间上随机取一个实数，则事件：“”的概率为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】
试题分析：由，得：，所以事件：“”的概率为
考点：几何概型概率
6．如图， 是圆心为，半径为1的圆内接正六边形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用表示事件“豆子落在正六边形内”，用表示事件“豆子落在扇形内(阴影部分)”，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】.
本题选择C选项.
7．某校高三年级学生会主席团有共有5名同学组成,其中有3名同学来自同一班级,另外两名同学来自另两个不同班级.现从中随机选出两名同学参加会议,则两名选出的同学来自不同班级的概率为（ ）
A．0.35 B．0.4 C．0.6 D．0.7
【答案】D
【解析】
【分析】
分别计算出从5名学生中选出2名学生进入学生会的基本事件总数和满足这两名选出的同学来自不同班级的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案.
【详解】
来自同一班级的3名同学，用a，b，c表示，来自另两个不同班级2名同学用，A，B表示，
从中随机选出两名同学参加会议，共有ab，ac，aA，aB，bc，bA，bB，cA，cB，AB共10种，
这两名选出的同学来自不同班级，共有aA，aB，bA，bB，cA，cB，AB共7种，
故这两名选出的同学来自不同班级概率P=710=0.7
故选：D．
【点睛】
本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤，是解答的关键．
8．从如图所示的正方形OABC区域内任取一个点,则点M取自阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：由题可运用定积分求阴影部分的面积即： ，
则由几何概型可得；
考点：定积分求面积与几何概型.
9．一只小鸟自由自在地在空中飞行，然后随意落在图中所示的某个方格中（每个方格除颜色外完全一样），那么小鸟停在某个黑方格中的概率是（ )
Ａ、１／２ Ｂ、１／３ Ｃ、１／４ Ｄ、１／５
【答案】B
【解析】本题考查了几何概率模型中，事件A发生的概率
思路分析：题中所示总计有15个方格，黑方格的个数为5个，所以小鸟停留在某个黑方格的概率P===
10．某校毕业生毕业后有回家待业，上大学和补习三种方式，现取一个样本调查如图所示。若该校每个学生上大学的概率为，则每个学生补习的概率为（ ）
A． B． C D．
【答案】C
【解析】
11．某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格，问质检人员从中随机抽出2听，检测出不合格产品的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：将6听饮料用字母表示，分别为a,b,c,d,m,n,从中随机抽取2听的情况有：ab,ac,ad,am,an,bc,bd,bm,bn,cd,cm,cn,dm,dn,mn,共15种，其中符合题意的有am,an, bm,bn, cm,cn,dm,dn,mn,共9种，所以概率为．
考点：概率．
12．从12个同类产品（其中10个是正品，2个是次品）中任意抽取3个的必然事件是（ ）
A．3个都是正品 B．至少有1个是次品
C．3个都是次品 D．至少有1个是正品
【答案】D
【解析】
解：因为抽取3件产品，至少要抽到一个正品，因此显然选择D
二、填空题
13．记函数f(x)=6+x?x2的定义域为D．在区间[?4,5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是_______________．
【答案】【答案】59
【解析】
由6+x-x2≥0,即x2-x-6≤0得-2≤x≤3,所以D=[-2,3]?[-4,5],由几何概型的概率公式得x∈D的概率P=3-(-2)5-(-4)=59,答案为59.
点睛：本题考查的是几何概型.对于几何概型的计算，首先要确定所法事件的类型为几何概型并确定其几何区域是长度（角度、面积、体积或时间等），其次是计算基本事件区域的几何度量（长度、角度、面积、体积或时间等）和事件A区域的几何度量（长度、角度、面积、体积或时间等），最后计算P(A).
14．设矩形区域由直线和所围成的平面图形，区域是由余弦函数、 及所围成的平面图形．在区域内随机的抛掷一粒豆子，则该豆子落在区域的概率是 ．
【答案】
【解析】
试题分析：区域的面积,
矩形区域的面积，所以该豆子落在区域的概率是.
考点：1、定积分；2、几何概型.
15．集合A={y|y=6n?4,n=1,2,3,4,5,6}，集合B={y|y=2n?1,n=1,2,3,4,5,6}，若任意A∪B中的元素a，则a∈A∩B的概率是________。
【答案】13.
【解析】分析：先求A∪B，A∩B，再根据集合元素个数，利用古典概型公式求结果.
详解：因为A={2,8,14,20,26,32},B={1,2,4,8,16,32}，
所以A∩B={2,8,32},A∪B={1,2,4,8,14,16,20,26,32}
因此概率是39=13.，
点睛：古典概型中基本事件数的探求方法
(1)列举法.
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.
(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.
(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.
16．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落.小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中.己知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入袋中的概率为__________．
【答案】
【解析】记小球落入袋中的概率，则，又小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落，小球将落入袋，所以有，则．故本题应填．
三、解答题
17．为了响应政府“节能、降耗、减排、增效”的号召，某工厂决定转产节能灯，现有A、B两种型号节能灯的生产线。在这两种生产线的大量产品中各随机抽取100个进行质量评估，经检测，综合得分情况如下面的频率分布直方图：
产品级别划分以及利润率如表，
综合得分的范围
产品级别
产品利润率
≥85
一级
75≤＜85
二级
70≤＜75
三级
其中;
将频率视为概率.
（Ⅰ）在A型节能灯中按产品级别用分层抽样的方法抽取10个，在这10个节能灯中随机抽取3个，至少有2个一级品的概率是多少？
（Ⅱ）从长期来看，投资哪种型号的节能灯的平均利润率较大？
【答案】（1） （2）见解析
【解析】
试题分析：（1）由条件给出了A型号节能灯的频率分布直方图，读图并结合产品定级表可得；各级产品的频率，再根据分层抽样的方法抽取10个，可得一级品6个，二级品4个，然后根据互斥概率公式计算可得；
（2）由题要判断两种产品的利润大小，可通过计算它们的期望作为依据；分别表示出A、B两种型号节能灯的利润的期望值，（含变量a），然后分情况讨论可得；
试题解析：（Ⅰ）由频率分布直方图知，A型节能灯中，一级品的频率为，
二级品的频率为，三级品的频率为0
在A型节能灯中按产品级别用分层抽样的方法随机抽取10个，其中一级品6个，二级品4个
设在这节能灯中随机抽取3个，至少有2个一级品为事件，恰好有个一级品为事件，
则；，
因为事件为互斥事件，所以，
即，在这10个节能灯中随机抽取3个，至少有2个一级品的概率为
（Ⅱ）设投资A、B两种型号节能灯的利润率分别为、，
由频率分布直方图知，A型节能灯中，一级品、二级品、三级品的概率分别为、，0
B型号节能灯中一级品、二级品、三级品的概率分别为、、
所以、的分布列分别是：
则、的期望分别是：
，
所以，
因为，所以从长期看
当时，投资B型号的节能灯的平均利润率较大
时，投资A型号的节能灯的平均利润率较大
时，投资两种型号的节能灯的平均利润率相等
考点： （1）频率分布直方图及分层抽样和互斥事件概率的算法。
（2）随机变量分布列及期望的运用和函数思想。
18．2015年高中学业水平考试之后，为了调查同学们的考试成绩，随机抽查了某高中的高二一班的
10名同学的语文、数学、英语成绩，已知其考试等级分为，现在对他们的成绩进行量化：级记
为2分，级记为1分，级记为0分，用表示每位同学的语文、数学、英语的得分情况，再
用综合指标的值评定该同学的得分等级：若，则得分等级为一级；若，则
得分等级为二级；若，则得分等级为三级，得到如下结果：
人员编号
（1）在这10名同学中任取两人，求这两位同学英语得分相同的概率；
（2）从得分等级是一级的同学中任取一人，其综合指标为，从得分等级不是一级的同学中任取一人，
其综合指标为，记随机变量，求的分布列及其数学期望.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）在这名同学中任取两个人，基本事件总数，名学生中等名学生的英语成绩都是分，另外名学生的英语成绩都是一分，再求出任取得两名学生的英语成绩相同的基本事件个数，由此能求出这两位同学英语得出相同的概率，（2）由已知条件求出的可能取值为，，，，，分别求出相应的概率，从而能求出的分布列数学期望．
试题解析：（1）设事件为“从10名同学中随机抽取两人，他们的英语得分相同”.
英语得分为1的有
英语得分为2的有
从10名同学中随机抽取两人的所有可能结果数为，英语得分相同的所有可能结果数为，
所以英语得分相同的概率
（2）计算10名同学的综合指标，可得下表：
人员编号
综合指标
4
4
6
1
4
5
3
5
4
3
其中综合指标是一级的有，共7名，
综合指标不是一级的有共3名.
随机变量的所有可能取值为：1,2,3,4,5.
，
，
所以的分布列为：
1
2
3
4
5
所以.
考点：1、古典概型；2、随机变量的分布列和数学期望.
19．某校体育教研组研发了一项新的课外活动项目,为了解该项目受欢迎程度,在某班男生女生中各随机抽取名学生进行调研, 统计得到如下列联表：
喜欢
不喜欢
总计
女生
男生
总计
附：参考公式及数据
（1）在喜欢这项课外活动项目的学生中任选人，求选到男生的概率；
（2）根据题目要求，完成列联表，并判断是否有的把握认为“喜欢该活动项目与性别有关”？
【答案】（1）；（2）列联表见解析，有的把握认为“喜欢该活动项目与性别有关”。
【解析】
试题分析：（1）借助题设条件运用古典概型的计算公式求解；（2）借助题设条件先运用列联表计算卡方系数，再与参数表比对作出推断。
试题解析：
（1）依题意知,喜欢这项课外活动的男生有人，女生有人，从中选一人有种选法，其中选到男生有种，所求概率为。
喜欢
不喜欢
总计
女生
男生
总计
（2）将代入得知有的把握认为“喜欢该活动项目与性别有关”。
考点：古典概型计算公式和列联表、卡方系数等相关知识的综合运用。
20．已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m,n ,n 2）,这些球除颜色外全部相同。现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3，……，m+n的抽屉内，其中第k次取球放入编号为k的抽屉（k=1,2,3，……，m+n）.
（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p;
（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E(x)是x的数学期望，证明
【答案】（1）（2）见解析
【解析】试题分析：（1）根据条件先确定总事件数为，而编号为2的抽屉内放的是黑球的事件数为，最后根据古典概型的概率公式即可求概率；（2）先确定最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数为，所对应的概率，再根据数学期望公式得，利用性质，进行放缩变形： ，最后利用组合数性质化简，可得结论．
试题解析：解:(1)?编号为2的抽屉内放的是黑球的概率为: .?
(2)?随机变量?X?的概率分布为:
X
…
…
P
…
…
随机变量?X?的期望为：
.
所以
.
点睛:求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：
（1）“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；
（2）“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；
（3）“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；
（4）“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度．
21．长时间用手机上网严重影响着学生的身体健康，某中学为了解两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取名同学进行调查，将他们平均每周手机上网的时长作为样本，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）.
（Ⅰ）分别求出图中所给两组样本数据的平均值，并据此估计，哪个班的学生平均上网时间较长；
（Ⅱ）从班的样本数据中各随机抽取一个不超过的数据分别记为，求的概率.
【答案】（Ⅰ）估计班学生每周平均上网时间较长；（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据茎叶图所给的数据计算两个班的平均值，进行比较；
（Ⅱ）首先计算两个班不超过20的数据的个数和数据，然后列举两个版各随机抽取一个数据的方法，并计算其中满足的情况，并相除计算其概率.
试题解析：（Ⅰ）班样本数据的平均值为，
由此估计班学生每周平均上网时间小时；
班样本数据的平均值为，
由此估计班学生每周平均上网时间较长.
（Ⅱ）班的样本数据中不超过的数据有4个，分别为：9，11,14,20，
班的样本数据中不超过的数据有2个，分别为：11,12.
从班和班的样本数据中各随机抽取一个共有8种不同情况，
分别为：（9,11），（9,12），（11,11），（11,12），（14,11），（14,12），（20,11），（20,12），
其中的情况有（9,11），（9,12），（11,11），（11,12），共4种，
故的概率.
考点：1.茎叶图；2.古典概型.
22．盒子里装有大小相同的个球，其中个号球，个号球，个号球.
（1）若第一次从盒子中任取一个球，放回后第二次再任取一个球，求第一次与第二次取到球的号码和是的概率；
（2）若从盒子中一次取出个球，记取到球的号码和为随机变量，求的分布列及期望.
【答案】（1）；（2）分布列见解析；.
【解析】
试题分析：（1)利用互斥事件有一个发生的概率公式和互相独立事件同时发生的概率公式进行求解；（2）写出随机变量的所有可能取值，利用超几何分布的概率公式求出概率，列表得到分布列，利用期望公式求其期望.
试题解析：（1）记“第一次与第二次取到的球上的号码的和是”为事件， 1分
则 4分
（2）可能取的值是 ， 5分
, 6分
, 7分
， 8分 . 9分
∴的分布列为：
10分
故所求的数学期望为. 12分
考点：1.独立事件同时发生的概率；2.离散型随机变量的分布列和数学期望.