2018-2019学年人教B版必修二 立体几何初步 单元测试

2018-2019学年人教B版必修二 立体几何初步 单元测试
1如果直线l,m与平面α,β,γ满足l=β∩γ,l∥α,m?α,m⊥γ,那么必有(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.α⊥γ和l⊥m
B.α∥γ和m∥β
C.m∥β和l⊥m
D.α∥β和α⊥γ
解析：由m⊥γ,l?γ,可得m⊥l.由m?α,m⊥γ,可得α⊥γ.
答案：A
2已知直线l和平面α,β,且l?α,l?β,给出以下3个论断:①l⊥α;②l∥β;③α⊥β.从中任取两个作为条件,剩下的一个作为结论,则(　　)
A.一共可以写出6个命题,其中有2个命题正确
B.一共可以写出3个命题,其中有2个命题正确
C.一共可以写出6个命题,这6个命题都正确
D.一共可以写出3个命题,这3个命题都正确
解析：(1)①②?③;(2)②③?①;(3)①③?②,其中(1)(3)为真命题.
答案：B
3如图,在四面体D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列结论正确的是 (　　)
A.平面ABC⊥平面ABD
B.平面ABD⊥平面BDC
C.平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDE
D.平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDE
解析：因为AB=CB,且E是AC的中点,所以BE⊥AC.同理得DE⊥AC,而BE∩DE=E,所以AC⊥平面BDE.因为AC?平面ABC,所以平面ABC⊥平面BDE.又因为AC?平面ADC,所以平面ADC⊥平面BDE.故选C.
答案：C
4下列命题正确的是(　　)
①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直;
②如果一条直线和两个垂直平面中的一个垂直,它必和另一个平面平行;
③过不在平面内的一条直线可作无数个平面与已知平面垂直;
④如果两个平面互相垂直,经过一个平面内一点与另一平面垂直的直线在第一个平面内.
A.①③ B.②③ C.②③④ D.④
解析：过平面外一点可作一条直线与平面垂直,过该直线的任何一个平面都与已知平面垂直,所以①不对;若α⊥β,a⊥α,则a?β或a∥β,所以②不对;当平面外的直线是平面的垂线时,能作无数个平面与已知平面垂直,否则只能作一个,所以③也不对.
答案：D
5如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成四面体ABCD,则在四面体ABCD中,下列命题正确的是(　　)
A.平面ABD⊥平面ABC
B.平面ADC⊥平面BDC
C.平面ABC⊥平面BDC
D.平面ADC⊥平面ABC
解析：在题图①中,因为∠BAD=90°,AD=AB,
所以∠ADB=∠ABD=45°.
因为AD∥BC,所以∠DBC=45°.
又因为∠BCD=45°,
所以∠BDC=90°,即BD⊥CD.
在题图②中,此关系仍成立.
因为平面ABD⊥平面BCD,所以CD⊥平面ABD.
因为BA?平面ADB,所以CD⊥AB.
因为BA⊥AD,所以BA⊥平面ACD.
因为BA?平面ABC,所以平面ABC⊥平面ACD.
答案：D
6三个平面两两垂直,它们的交线交于一点O,且一点P到这三个平面的距离分别为3,4,5,则OP的长为　　　　　.?
解析：OP可看作以3,4,5为棱长的长方体的体对角线.
答案：5
7如图,PA垂直于圆O所在平面,AB是圆O的直径,C是圆周上一点,则图中互相垂直的面共有　　　　对.?
答案：3
8设α和β为不重合的两个平面,给出下列命题:
①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线,则α平行于β;
②若α外一条直线l与α内的一条直线平行,则l和α平行;
③设α和β相交于直线l,若α内有一条直线垂直于l,则α和β垂直.
其中真命题的序号是　　　　　.(写出所有真命题的序号)?
解析：①由面面平行的判定定理可得,该命题正确.
②由线面平行的判定定理可得,该命题正确.
③如图(举反例),a?α,α∩β=l,a⊥l,但α与β不垂直.
答案：①②
9已知平面α⊥平面β,在α,β的交线上取线段AB=4 cm,AC,BD分别在平面α和β内,它们都垂直于AB,并且AC=3 cm,BD=12 cm,则CD的长为　　　　　.?
解析：如图,连接AD,CD.在Rt△ABD中,AB=4 cm,BD=12 cm,
∴AD==4(cm).
又∵α⊥β,CA⊥AB,CA?α,
∴CA⊥β,CA⊥AD.
∴△CAD为直角三角形.
∴CD==13(cm).
答案：13 cm
10如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,M是棱CC1的中点.
证明:平面ABM⊥平面A1B1M.
证明在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B1⊥B1C1,A1B1⊥B1B,BB1∩C1B1=B1,
则A1B1⊥平面BCC1B1.
因为BM?平面BCC1B1,所以A1B1⊥BM. ①
由AB=AD=1,AA1=2,M是棱CC1的中点,可计算出B1M=,BM=,B1B=2,
所以B1M2+BM2=B1B2,从而B1M⊥BM. ②
又因为A1B1∩B1M=B1,所以BM⊥平面A1B1M.
而BM?平面ABM,所以平面ABM⊥平面A1B1M.
11如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,G分别是AA1,D1C,AD的中点.求证:
(1)MN∥平面ABCD;
(2)设α是过MN的任一平面,求证:α⊥平面B1BG.
证明(1)取CD的中点E,连接NE,AE.
?NE∥MA,且NE=MA,
所以四边形MAEN为平行四边形.
所以MN∥AE.
?MN∥平面ABCD.
(2)在正方形ABCD中,易证△BAG≌△ADE,
所以∠DAE+∠AGB=∠ABG+∠AGB=90°.
所以AE⊥BG.
?B1B⊥AE.
?AE⊥平面B1BG.
又因为MN∥AE,所以MN⊥平面B1BG.
?α⊥平面B1BG.
★12在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,且AB=BC,能否在侧棱BB1上找到一点E,恰使截面A1EC⊥侧面AA1C1C?若能,指出点E的位置,并说明为什么;若不能,请说明理由.
解如图,作EM⊥A1C于点M,
∵截面A1EC⊥平面AA1C1C,
∴EM⊥平面AA1C1C.
取AC的中点N,连接BN,MN.
∵AB=BC,∴BN⊥AC.
而AA1⊥平面ABC,AA1?平面AA1C1C,
∴平面ABC⊥平面AA1C1C,且交于AC,
∴BN⊥平面AA1C1C.
∴BN∥EM,BN⊥MN.
又BE∥平面AA1C1C,平面BEMN∩平面AA1C1C=MN,
∴BE∥MN∥A1A.
∴四边形BEMN为平行四边形.
∵AN=NC,
∴A1M=MC.
∴BE=MN=A1A,即当E为BB1的中点时,平面A1EC⊥平面AA1C1C.