2018-2019学年苏教版必修2 第二章平面解析几何初步 单元测试

本章检测 (时间90分钟，满分100分)
一、选择题(每小题4分，共40分)
1.如果ac<0，bc>0，那么直线ax+by+c=0不经过?( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
解析：由ac<0，bc>0知ab<0，所以该直线的斜率>0，而截距<0，故不经过第二象限.
答案：B
2.直线l过点P(-1,2)，且与以A(-2,-3)、B(4,0)为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围是( )
A.［,5) B.［,0)∪(0,5］
C.(-∞,］∪［5,+∞) D.［,5］
解析：借助图形可知kl≤kPB或kl≥kPA，而kPB=，kPA==5,故kl≤或kl≥5.
答案：C
3.过点P(1,2)且与A(2,3)和B(4,-5)的距离相等的直线方程是( )
A.4x+y-6=0 B.3x+2y-7=0或4x+y-6=0
C.x+4y-6=0 D.2x+3y-7=0或x+4y-6=0
解析：满足条件的一条直线是过点P(1,2)且和直线AB平行的，其方程是y-2=，即4x+y-6=0；另一条直线是过点P(1,2)且过线段AB的中点，其方程是3x+2y-7=0.
答案：B
4.如果直线l将圆x2+y2+2x-4y=0平分，且不通过第三象限，则l的斜率的取值范围是( )
A.［-2,0］ B.［0,2］ C.［0,］ D.［,0］
解析：直线把圆平分，即直线经过圆心(-1,2)，故-2≤kl≤0.
答案：A
5.直线l1：ax+(1-a)y=3，l2：(a-1)x+(2a+3)y=2互相垂直，则a的值为( )
A.-3 B.1 C.0或 D.1或-3
解析：利用两条直线垂直的条件A1A2+B1B2=0可得a(a-1)+(1-a)(2a+3)=0，解得a=-3或a=1.
答案：D
6.已知直线l1：x+my+6=0和l2：(m-2)x+3y+2m=0互相平行，则实数m只能是( )
A.-1或3 B.-1 C.3 D.1或-3
解析：当m=0时,经验证不适合题意;当m≠0时，则有，解得m=3或m=-1，但当m=3时两直线重合，应舍.
答案：B
7.直线(2m2-5m+2)x-(m2-4)y+5=0的倾斜角为45°，则m的取值集合是( )
A.｛1｝ B.{2} C.{3} D.{2,3}
解析：由条件得tan45°=，解得m=2或m=3.当m=2时直线斜率不存在，舍.
答案：C
8.若方程a2x2+(a+2)y2+2ax+a=0表示圆，则a的值是( )
A.-1 B.2 C.-1或2 D.1
解析：首先应有a2=a+2，解得a=2或a=-1.当a=2时,方程变为4x2+4y2+4x+2=0，即(x+)2+y2=-，它不表示一个圆，所以a=2应舍去.
答案：A
9.与圆x2+y2-4x+2y+4=0关于直线x-y+3=0成轴对称的圆的方程是( )
A.x2+y2-8x+10y+40=0 B.x2+y2-8x+10y+20=0
C.x2+y2+8x-10y+40=0 D.x2+y2+8x-10y+20=0
解析：圆x2+y2-4x+2y+4=0的圆心为(2,-1)，它关于直线x-y+3=0的对称点的坐标为(-4,5)，所以所求圆的圆心为(-4,5).而半径为已知圆的半径1，故所求圆的方程为(x+4)2+(y-5)2=1.
答案：C
10.设实数x、y满足(x-2)2+y2=3，那么的最大值是?( )
A. B. C. D.
解析：因，它表示原点(0,0)和圆(x-2)2+y2=3上一点(x,y)连线的斜率，设k=，即kx-y=0，该直线和圆有公共点，所以，解得，即.
答案：D
二、填空题(每小题4分，共16分)
11.设直线l经过点(-1,1)，则当点(2,-1)与直线l的距离最远时，直线l的方程为________.
解析：借助图形可知当所求直线l经过点(-1,1)且和以点(-1,1)及(2,-1)为端点的线段垂直时，点(2,-1)与直线l的距离最远，两点(-1,1)和(2,-1)所在直线的斜率为，故直线l的方程为y-1= (x+1).
答案：3x-2y+5=0
12.已知点A在直线3x+4y-7=0上运动，另一点B在圆(x+1)2+y2=1上运动，则AB的最小值是.
解析：AB的最小值应是圆心(-1,0)到直线3x+4y-7=0的距离和半径之差，而圆心(-1,0)到直线3x+4y-7=0的距离，所以AB=d-1=1.
答案：1
13.设圆x2+y2-4x-5=0的弦AB的中点为(3,1)，则直线AB的方程是___________.
解析：根据圆的几何性质知直线AB应和点(3,1)与圆心(2,0)的连线垂直，而圆心(2,0)和点(3,1)连线的斜率为，故直线AB的方程为y-1=-(x-3).
答案：x+y-4=0
14.若点(x,y)在直线3x+4y+25=0上移动，则x2+y2的最小值为__________.
解析：因为x2+y2=，它表示原点和直线3x+4y+25=0上一点(x,y)之间距离的平方，因此x2+y2的最小值应是原点到直线3x+4y+25=0的距离的平方.
答案：25
三、解答题(共44分)
15.(10分)在△ABC中，A点坐标为(1,3)，过B点的角平分线所在直线方程为x-2y=0,过C点的中线所在直线方程为x+4y+3=0.求B点坐标与BC边所在直线的方程.
解：∵过点B的角平分线为x-2y=0,则A关于x-2y=0的对称点为A′(3,-1).
设B(2y0,y0)，
∴AB中点D().
又过C点的中线x+4y+3=0，
则.
∴y0=.∴点B坐标为().
∴BC方程应是B点和A′点连线的方程，即13x-56y-95=0.
16.(10分)设实数x、y满足x2+(y-1)2=1，求以下式子的最值：
(1)3x+4y；
(2)x2+y2；
(3).
解：(1)令3x+4y=m,即3x+4y-m=0,由条件易知当该直线与圆相切时m有最值.
∴由,得m最大值为9,最小值为-1.
(2)可认为x2+y2是圆上点到原点距离的平方,数形结合易知最大值为4,最小值为0.
(3)可认为是圆上点到点(-1,-2)的连线斜率,易知有最小值.
17.(12分)已知直线l夹在两条直线l1：3x+y-2=0和l2：x+5y+10=0之间的线段被点D(2,-3)平分，求直线l的方程.
解：设直线l与直线l1的交点A(x1,y1)，l与直线l2的交点B(x2,y2).
∵D(2,-3)是AB的中点，
∴，，
即x2=4-x1，y2=-6-y1.
∵点A在直线l1上，
∴点A坐标满足l1方程.
∴3x1+y1-2=0. ①
又点B在直线l2上，
∴点B坐标满足l2方程.
∴4-x1+5(-6-y1)+10=0. ②
由①②组成关于x1、y1的方程组，解得点A坐标为().
∵直线l过A、D两点，利用两点式可得直线l的方程为4x-y-11=0.
18.(12分)过点P(-2,-3)作圆C：(x-4)2+(y-2)2=9的两条切线，切点分别为A、B.求：
(1)经过圆心C、切点A、B这三点的圆的方程；
(2)直线AB的方程；
(3)线段AB的长.
解：(1)∵CB⊥PB，CA⊥PA，
∴C、B、P、A四点共圆.
∴过C、A、B三点的圆就是过C、B、P、A四点的圆.
∴过C、A、B三点的圆就是以PC为直径的圆.
∴所求圆的方程为x2+y2-2x+y-14=0.
(2)∵直线AB是圆C和过C、A、B三点的圆的公共弦所在直线的方程，
∴直线AB的方程为6x+5y-25=0.
(3)AB=.