2020届人教A版（文科数学） 概率 单元测试

2020届人教A版（文科数学） 概率 单元测试
1．(2017·全国Ⅱ改编)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为______．
答案　
解析　从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：
基本事件的总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10，
∴所求概率P＝＝.
2．(2016·全国Ⅰ改编)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是________．
答案　
解析　如图所示，画出时间轴：
小明到达的时间会随机的落在图中线段AB中，而当他的到达时间落在线段AC或DB时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型得所求概率P＝＝.
3．(2016·北京改编)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则下列说法正确的是______．
(1)乙盒中黑球不多于丙盒中黑球；
(2)乙盒中红球与丙盒中黑球一样多；
(3)乙盒中红球不多于丙盒中红球；
(4)乙盒中黑球与丙盒中红球一样多．
答案　(2)
解析　取两个球往盒子中放有4种情况：
①红＋红，则乙盒中红球数加1；
②黑＋黑，则丙盒中黑球数加1；
③红＋黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1；
④黑＋红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加1.
因为红球和黑球个数一样，所以①和②的情况一样多．③和④的情况完全随机，③和④对(2)中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数没有任何影响．①和②出现的次数是一样的，所以对(2)中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数的影响次数一样．故(2)正确．
4．(2017·江苏)记函数f(x)＝的定义域为D.在区间[－4,5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是________．
答案　
解析　设事件“在区间[－4,5]上随机取一个数x，则x∈D”为事件A，
由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，
∴D＝[－2,3]．
如图，区间[－4,5]的长度为9，定义域D的长度为5，
∴P(A)＝.
押题预测
1．将一颗骰子抛掷两次，所得向上的点数分别为m和n，则函数y＝mx3－nx＋1在[1，
＋∞)上为增函数的概率是(　　)
A. B. C. D.
押题依据　古典概型是高考考查概率问题的核心，考查频率很高．古典概型和函数、方程、不等式、向量等知识的交汇是高考命题的热点．
答案　B
解析　将一颗骰子抛掷两次，所得向上的点数(m，n)的所有事件为(1,1)，(1,2)，…，(6,6)，共36个．由题意可知，函数y＝mx3－nx＋1在[1，＋∞)上单调递增，所以y′＝2mx2－n≥0在[1，＋∞)上恒成立，所以2m≥n，则不满足条件的(m，n)有(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，共6种情况，所以满足条件的共有30种情况，则函数y＝mx3－nx＋1在[1，＋∞)上单调递增的概率为＝.
2．已知集合M＝{x|－1A. B. C. D.
押题依据　与长度(角度、弧度、周长等)有关的几何概型问题也是高考命题的热点，在高考中多以选择题或填空题的形式出现，题目难度不大．
答案　A
解析　因为M＝{x|－13．在一种游戏规则中规定，要将一枚质地均匀的铜板扔到一个边长为8的小方块上(铜板的直径是4)，若铜板完整地扔到小方块上即可晋级．现有一人把铜板扔在小方块上，则晋级的概率P为(　　)
A. B. C. D.
押题依据　与面积有关的几何概型问题是高考考查的重点，常以圆、三角形、四边形等几何图形为载体，在高考中多以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏下．
答案　D
解析　由题意分析知，铜板要完整地落在小方块上，则铜板圆心到小方块各边的最短距离不小于铜板半径，
所以晋级的概率P＝＝.
A组　专题通关
1．(2018·全国Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为(　　)
A．0.3 B．0.4
C．0.6 D．0.7
答案　B
解析　由题意可知不用现金支付的概率为1－0.45－0.15＝0.4.
2．(2018·安庆模拟)中国人民银行发行了2018中国戊戌(狗)年金银纪念币一套，如图所示是一枚3克圆形金质纪念币，直径18 mm，小米同学为了计算图中装饰狗的面积，他用1枚针向纪念币上投掷500次，其中针尖恰有150次落在装饰狗的身体上，据此可估计装饰狗的面积大约是
A. mm2 B. mm2
C. mm2 D. mm2
答案　B
解析　由古典概型概率公式，
得落在装饰狗的身体上的概率为，
由几何概型概率公式，
得落在装饰狗的身体上的概率为，
所以＝，
所以S＝ mm2.
3．(2018·全国Ⅲ)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为(　　)
A．0.6 B．0.5
C．0.4 D．0.3
答案　D
解析　设2名男同学为a，b,3名女同学为A，B，C，从中选出两人的情形有(a，b)，(a，A)，(a，B)，(a，C)，(b，A)，(b，B)，(b，C)，(A，B)，(A，C)，(B，C)，共10种，而都是女同学的情形有(A，B)，(A，C)，(B，C)，共3种，故所求概率为＝0.3.
4．(2018·大庆质检)在古代，直角三角形中较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”．三国时期吴国数学家赵爽用“弦图”(如图)证明了勾股定理，证明方法叙述为：“按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实．”这里的“实”可以理解为面积．这个证明过程体现的是这样一个等量关系：“两条直角边的乘积是两个全等直角三角形的面积的和(朱实二)，四个全等的直角三角形的面积的和(朱实四)加上中间小正方形的面积(黄实)等于大正方形的面积(弦实)”．若弦图中“弦实”为16，“朱实一”为2，现随机向弦图内投入一粒黄豆(大小忽略不计)，则其落入小正方形内的概率为(　　)
A．1－ B.
C. D．1－
答案　D
解析　∵弦图中“弦实”为16，“朱实一”为2，
∴大正方形的面积为16，一个直角三角形的面积为2.
设“勾”为x，“股”为y，则
解得x2＝4或x2＝12.
∵x∴x2＝4，即x＝2，
∴y＝2，
∴小正方形的边长为y－x＝2－2，
∴随机向弦图内投入一粒黄豆(大小忽略不计)，则其落入小正方形内的概率为P＝＝1－.
5．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为X，Y，X，Y相互独立，由题意可知如图所示．两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒，即|X－Y|≤2，表示的区域如图阴影部分所示，
所以所求的概率为
P(|X－Y|≤2)＝
＝
＝＝.
6．(2018·湖南省长沙市雅礼中学、河南省实验中学联考)某景区在开放时间内，每个整点时会有一趟观光车从景区入口发车，某人上午到达景区入口，准备乘坐观光车，则他等待时间不多于10分钟的概率为________．
答案　
解析　由题意可知，此人在50分到整点之间的10分钟内到达，等待时间不多于10分钟，所以概率P＝＝.
7．(2016·江苏)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．
答案　
解析　由题意可知，基本事件共有36个，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，其中满足点数之和小于10的有30个．
故所求概率为P＝＝.
8．(2018·咸阳模拟)一只蚊子在一个正方体容器中随机飞行，当蚊子在该正方体的内切球中飞行时属于安全飞行，则这只蚊子安全飞行的概率是________．
答案　
解析　设正方体的棱长为2a，其体积V1＝3＝8a3，
内切球直径为2a，故半径R＝a，
其体积V2＝πR3＝πa3，
利用几何概型概率公式并结合题意可知，这只蚊子安全飞行的概率是P＝＝＝.
9．(2018·天津)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．
(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．
解　(1)由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．
(2)①从抽取的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．
②由①，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．
所以事件M发生的概率P(M)＝.
10．(2018·北京海淀区模拟)某中学为了解高二年级中华传统文化经典阅读的整体情况，从高二年级随机抽取10名学生进行了两轮测试，并把两轮测试成绩的平均分作为该名学生的考核成绩(单位：分)．记录的数据如下：
1号
2号
3号
4号
5号
6号
7号
8号
9号
10号
第一轮测试成绩
96
89
88
88
92
90
87
90
92
90
第二轮测试成绩
90
90
90
88
88
87
96
92
89
92
(1)从该校高二年级随机选取一名学生，试估计这名学生考核成绩大于等于90分的概率；
(2)从考核成绩大于等于90分的学生中再随机抽取两名同学，求这两名同学两轮测试成绩均大于等于90分的概率；
(3)记抽取的10名学生第一轮测试的平均数和方差分别为1，s，考核成绩的平均数和方差分别为2，s，试比较1与2，s与s的大小．(只需写出结论)
解　(1)这10名学生的考核成绩(单位：分)分别为
93,89.5,89,88,90,88.5,91.5,91,90.5,91.
其中大于等于90分的有1号、5号、7号、8号、9号、10号，共6人．
所以样本中学生考核成绩大于等于90分的频率是＝.
所以从该校高二年级随机选取一名学生，估计这名学生考核成绩大于等于90分的概率为0.6.
(2)设事件A为“从考核成绩大于等于90分的学生中任取2名同学，这2名同学两轮测试成绩均大于等于90分”，
由(1)知，考核成绩大于等于90分的学生共6人，其中两轮测试成绩均大于等于90分的学生有1号，8号，10号，共3人．
因此，从考核成绩大于等于90分的学生中任取2名同学，
包含(1号，5号)、(1号，7号)、(1号，8号)、(1号，9号)、(1号，10号)、(5号，7号)、(5号，8号)、(5号，9号)、(5号，10号)、(7号，8号)、(7号，9号)、(7号，10号)、(8号，9号)、(8号，10号)、(9号，10号)，共15个基本事件，
而事件A包含(1号，8号)、(1号，10号)、(8号，10号)，共3个基本事件，
所以P(A)＝＝.
(3)1＝2，s>s.
B组　能力提高
11．在掷一个骰子的试验中，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A∪发生的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　掷一个骰子的试验有6种可能结果，依题意有P(A)＝＝，P(B)＝＝，
∴P()＝1－P(B)＝1－＝.
∵表示“出现5点或6点”的事件，因此事件A与互斥，从而P(A∪)＝P(A)＋P()＝＋＝.
12．某同学用“随机模拟方法”计算曲线y＝ln x与直线x＝e，y＝0所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间[1，e]上的均匀随机数xi和10个在区间[0,1]上的均匀随机数yi(i∈N*,1≤i≤10)，其数据如下表的前两行.
x
2.50
1.01
1.90
1.22
2.52
2.17
1.89
1.96
1.36
2.22
y
0.84
0.25
0.98
0.15
0.01
0.60
0.59
0.88
0.84
0.10
ln x
0.92
0.01
0.64
0.20
0.92
0.77
0.64
0.67
0.31
0.80
由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值是(　　)
A.(e－1) B.(e－1)
C.(e＋1) D.(e＋1)
答案　A
解析　由表可知，向矩形区域内随机抛掷10个点，其中有6个点在曲边三角形内，其频率为＝.
∵矩形区域的面积为e－1，
∴曲边三角形面积的近似值为(e－1)．
13．连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量a＝(m，n)与向量b＝(1，－1)的夹角为θ，则θ为锐角的概率是________．
答案　
解析　由题意得，连掷两次骰子分别得到点数m，n，
所组成的向量(m，n)的个数为36，
由于向量(m，n)与向量(1，－1)的夹角θ为锐角，
所以(m，n)·(1，－1)>0，
即m>n，满足题意的情况如下：
当m＝2时，n＝1；
当m＝3时，n＝1,2；
当m＝4时，n＝1,2,3；
当m＝5时，n＝1,2,3,4；
当m＝6时，n＝1,2,3,4,5，共15种，
故所求事件的概率为＝.
14．(2018·山东、湖北部分重点中学模拟)为了解中学生课余观看热门综艺节目“爸爸去哪儿”是否与性别有关，某中学一研究性学习小组从该校学生中随机抽取了n人进行问卷调查．调查结果表明：女生中喜欢观看该节目的占女生总人数的，男生喜欢看该节目的占男生总人数的.随后，该小组采用分层抽样的方法从这n份问卷中继续抽取了5份进行重点分析，知道其中喜欢看该节目的有3人．
(1)现从重点分析的5人中随机抽取了2人进行现场调查，求这两人都喜欢看该节目的概率；
(2)若有99%的把握认为“喜欢看该节目与性别有关”，则参与调查的总人数n至少为多少．
参考数据：
P(K2≥k0)
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
解　(1)记重点分析的5人中喜欢看该节目的为a，b，c，不喜欢看该节目的为d，e，从5人中随机抽取2人，所有可能的结果有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，共10种，则这两人都喜欢看该节目的有3种，
∴P＝，即这两人都喜欢看该节目的概率为.
(2)∵进行重点分析的5人中，喜欢看该节目的有3人，故喜欢看该节目的总人数为n，不喜欢看该节目的总人数为n.设这次调查问卷中女生总人数为a，男生总人数为b，a，b∈N*，则由题意可得2×2列联表如下：
喜欢看该节目的人数
不喜欢看该节目的人数
总计
女生
a
a
a
男生
b
b
b
总计
n
n
n
解得a＝n，b＝n，
∴正整数n是25的倍数，设n＝25k，k∈N*，
则a＝12k，a＝4k，b＝3k，b＝6k，则K2＝＝k.
由题意得k≥6.635，解得k≥1.59，
∵k∈N*，∴kmin＝2，故nmin＝50.