2020届人教A版（文科数学） 函数的图像与性质

2020届人教A版（文科数学） 函数的图像与性质
1．(2018·全国Ⅲ改编)函数y＝－x4＋x2＋2的图象大致为________．(填序号)
答案　④
解析　方法一　f′(x)＝－4x3＋2x，则f′(x)>0的解集为∪，此时f(x)单调递增；f′(x)<0的解集为∪，此时f(x)单调递减．
方法二　当x＝1时，y＝2，所以排除①②.当x＝0时，y＝2，
而当x＝时，y＝－＋＋2＝2>2，
所以排除③.
2．(2017·天津改编)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为________．
答案　b解析　依题意a＝g(－log25.1)
＝(－log25.1)·f(－log25.1)
＝log25.1f(log25.1)＝g(log25.1)．
因为f(x)在R上是增函数，可设0则0从而x1f(x1)所以g(x)在(0，＋∞)上亦为增函数．
又log25.1>0,20.8>0,3>0，
且log25.1而20.8<21＝log24所以3>log25.1>20.8>0，所以c>a>b.
3．(2017·山东改编)设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f＝________.
答案　6
解析　若0得＝2(a＋1－1)，
∴a＝，∴f＝f(4)＝2×(4－1)＝6.
若a≥1，由f(a)＝f(a＋1)，
得2(a－1)＝2(a＋1－1)，无解．
综上，f＝6.
4．(2017·全国Ⅱ)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝________.
答案　12
解析　方法一　令x>0，则－x<0.
∴f(－x)＝－2x3＋x2.
∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)．
∴f(x)＝2x3－x2(x>0)．
∴f(2)＝2×23－22＝12.
方法二　f(2)＝－f(－2)
＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.
押题预测
1．在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝logax的图象可能是(　　)
押题依据　指数、对数、幂函数的图象识别问题是高考命题的热点，旨在考查其基本性质的灵活运用，题目难度一般不大，位于试卷比较靠前的位置．
答案　D
解析　方法一　分a>1,0当a>1时，y＝xa与y＝logax均为增函数，但y＝xa递增较快，排除C；
当0方法二　幂函数f(x)＝xa的图象不过(0,1)点，排除A；B项中由对数函数g(x)＝logax的图象知01，而此时幂函数g(x)＝xa的图象应是增长越来越快的变化趋势，故C错．
2．设函数y＝f(x)(x∈R)为偶函数，且?x∈R，满足f＝f，当x∈[2,3]时，f(x)＝x，则当x∈[－2,0]时，f(x)等于(　　)
A．|x＋4| B．|2－x|
C．2＋|x＋1| D．3－|x＋1|
押题依据　利用函数的周期性、奇偶性求函数值是高考的传统题型，考查学生思维的灵活性．
答案　D
解析　由f＝f，
可得f(x＋2)＝f(x)，则当x∈[－2，－1]时，
x＋4∈[2,3]，f(x)＝f(x＋4)＝x＋4＝x＋1＋3；
当x∈[－1,0]时，－x∈[0,1]，2－x∈[2,3]，
f(x)＝f(－x)＝f(2－x)＝2－x＝3－x－1，
故选D.
3．已知函数f(x)＝，则y＝f(x)的图象大致为(　　)
押题依据　图象的识别和变换是高考的热点，此类问题既考查了基础知识，又考查了学生的灵活变换能力．
答案　B
解析　取特殊值，用排除法求解，
f(2)＝<0，排除A.
f＝＝<0，
排除C，D，故选B.
4．已知函数h(x)(x≠0)为偶函数，且当x>0时，h(x)＝若h(t)>h(2)，则实数t的取值范围为________．
押题依据　分段函数是高考的必考内容，利用函数的单调性求解参数的范围，是一类重要题型，是高考考查的热点．本题恰当地应用了函数的单调性，同时考查了函数的奇偶性的性质．
答案　(－2,0)∪(0,2)
解析　因为当x>0时，h(x)＝
所以函数h(x)在(0，＋∞)上单调递减，
因为函数h(x)(x≠0)为偶函数，且h(t)>h(2)，
所以h(|t|)>h(2)，所以0<|t|<2，
所以即
解得－2综上，所求实数t的取值范围为(－2,0)∪(0,2)．
A组　专题通关
1．(2018·北京石景山区模拟)下列函数中既是奇函数，又在区间(0，＋∞)上是减函数的为(　　)
A．y＝ B．y＝－x3
C．y＝ D．y＝x＋
答案　B
解析　由题意得，对于函数y＝和函数y＝都是非奇非偶函数，排除A，C.
又函数y＝x＋在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，排除D，故选B.
2．(2018·合肥质检)已知函数f(x)＝是奇函数，则f(a)的值等于(　　)
A．－ B．3
C．－或3 D.或3
答案　C
解析　函数f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，
即＝－在定义域内恒成立，
整理可得＝，
即a2＝1恒成立，∴a＝±1，
当a＝1时，函数f(x)的解析式为
f(x)＝，f＝f＝＝－，
当a＝－1时，函数f(x)的解析式为
f(x)＝，f＝f＝＝3.
综上可得f的值为－或3.
3．(2018·安庆模拟)函数f(x)＝loga(0答案　C
解析　f(x)＝loga
＝故选C.
4．(2018·济南模拟)设函数f(x)＝(1＋x2)＋，则使得f(x)≤f(2x－1)成立的x的取值范围是(　　)
A．(－∞，1] B．[1，＋∞)
C. D.∪
答案　C
解析　当x>0时，f(x)＝(1＋x2)＋，
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
∵f(x)是偶函数，
∴f(x)在(－∞，0)上单调递增，
又f(x)的定义域为R，
∴f(x)≤f(2x－1)等价于|x|≥|2x－1|，
两边平方，化为3x2－4x＋1≤0，解得≤x≤1，
故x的取值范围是，故选C.
5．已知函数f(x)＝x＋sin x，若a＝f(3)，b＝f(2)，c＝f，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．aC．b答案　D
解析　由于f(－x)＝－f(x)，且定义域为R，
故函数f(x)为奇函数，
由于f′(x)＝1＋cos x≥0，
故函数f(x)为定义域上的增函数，
而26．若函数f(x)＝在R上是增函数，则a的取值范围为(　　)
A．[2,3] B．[2，＋∞)
C．[1,3] D．[1，＋∞)
答案　A
解析　由题意得
∴a∈[2,3]，故选A.
7．(2018·上饶模拟)函数y＝的图象大致为(　　)
答案　B
解析　令y＝0，可得x＝2，即函数y＝有唯一的零点x＝2，四个选项中，只有选项B符合题意，故选B.
8．(2018·德阳二诊)已知log2x＝log3y＝log5z<0，则，，的大小排序为(　　)
A.<< B.<<
C.<< D.<<
答案　A
解析　x，y，z 为正实数，且log2x＝log3y＝log5z<0，
令log2x＝log3y＝log5z＝k(k<0)，
∴＝2k－1，＝3k－1，＝5k－1，
可得＝21－k，＝31－k，＝51－k，
又1－k>0，
∴函数f(x)＝x1－k在(0，＋∞)上单调递增，
∴<<.故选A.
9．(2017·全国Ⅲ)设函数f(x)＝则满足f(x)＋f>1的x的取值范围是______________．
答案　
解析　由题意知，对不等式分x≤0,0三段讨论．
当x≤0时，原不等式为x＋1＋x＋>1，
解得x>－，
∴－当01，显然成立．
当x>时，原不等式为2x＋2x－>1，显然成立．
综上可知，x的取值范围是.
10．已知定义在R上的函数f(x)满足：①函数f(x)的图象的对称中心为(1,0)，且对称轴为x＝－1；②当x∈[－1,1]时，f(x)＝则f＝________.
答案　－
解析　由题意作出f(x)的部分图象如图所示，
则f＝－＝－.
11．(2018·全国Ⅲ)已知函数f(x)＝ln(－x)＋1，f(a)＝4，则f(－a)＝________.
答案　－2
解析　∵f(x)＋f(－x)＝ln(－x)＋1＋ln(＋x)＋1＝ln(1＋x2－x2)＋2＝2，
∴f(a)＋f(－a)＝2，∴f(－a)＝－2.
12．已知函数f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝－x2＋x.若不等式f(x)－x≤2logax(a>0且a≠1)对?x∈恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案　
解析　由已知得当x>0时，f(x)＝x2＋x，
故x2≤2logax对?x∈恒成立，
即当x∈时，
函数y＝x2的图象不在y＝2logax图象的上方，
由图(图略)知0解得≤a<1.
B组　能力提高
13．(2018·郑州模拟)已知y＝f(x)满足f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，则以下四个选项一定正确的是(　　)
A．f(x－1)＋1是偶函数
B．f(－x＋1)－1是奇函数
C．f(x＋1)＋1是偶函数
D．f(x＋1)－1是奇函数
答案　D
解析　方法一　根据题干条件可知函数f(x)关于点(1,1)中心对称，故f(x＋1)关于点(0,1)中心对称，则f(x＋1)－1关于点(0,0)中心对称，是奇函数．
方法二　∵f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，
∴f(－x＋1)－1＝－f(x＋1)＋1＝－[f(x＋1)－1]，
∴f(x＋1)－1是奇函数．
14．(2018·江西省分宜中学、玉山一中、临川一中等九校联考)若函数y＝f(x)，x∈M对于给定的非零实数a，总存在非零常数T，使得定义域M内的任意实数，都有af(x)＝f(x＋T)恒成立，此时T为f(x)的类周期，函数y＝f(x)是M上的a级类周期函数，若函数y＝f(x)是定义在区间[0，＋∞)内的3级类周期函数且T＝2，当x∈[0,2)，f(x)＝ 函数g(x)＝－2ln x＋x2＋x＋m，若?x1∈[6,8]，?x2∈(0，＋∞)使g(x2)－f(x1)≤0成立，则实数m的取值范围是(　　)
A. B．(－∞，12]
C．(－∞，39] D．[12，＋∞)
答案　C
解析　根据题意，对于函数f(x)，当x∈[0,2)时，
f(x)＝
分析可得：当0≤x≤1时，f(x)＝－2x2，
此时f(x)的最大值f(0)＝，最小值f(1)＝－，
当1则此时有－又由函数y＝f(x)是定义在区间[0，＋∞)内的3级类周期函数，且T＝2，
则在x∈[6,8)上，f(x)＝33·f(x－6)，
则有－≤f(x)≤，
则f(8)＝27f(2)＝81f(0)＝，
则函数f(x)在区间[6,8]上的最大值为，
最小值为－；
对于函数g(x)＝－2ln x＋x2＋x＋m，
g′(x)＝.
分析可得：在(0,1)上，g′(x)<0，函数g(x)为减函数，
在(1，＋∞)上，g′(x)>0，函数g(x)为增函数，
则函数g(x)在(0，＋∞)上有最小值g(1)＝＋m，
若?x1∈[6,8]，?x2∈(0，＋∞)，
使g(x2)－f(x1)≤0成立，
必有g(x)min≤f(x)max，即＋m≤，
得m的取值范围为(－∞，39]．
15．(2018·安阳二模)已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)－g(x)＝，若g(x＋5)＋g答案　{x|x>－2且x≠0且x≠1}
解析　因为f(x)－g(x)＝，
所以f(－x)－g(－x)＝，
即－f(x)－g(x)＝，
因此g(x)＝.
因为g(x)＋g ＝＋＝1，
所以由g(x＋5)＋g得＋<1，
即<，解得x>－2，
结合分母不为零得x的取值范围是
{x|x>－2且x≠0且x≠1}．
16．(2018·天津)已知a∈R，函数f(x)＝若对任意x∈[－3，＋∞)，f(x)≤|x|恒成立，则a的取值范围是________．
答案　
解析　如图所示，
若对任意x∈[－3，＋∞)，要使函数y＝f(x)的图象恒在y＝|x|图象的下方，
则必有
且在(0，＋∞)内直线y＝x与y＝－x2＋2x－2a相切或相离，所以x＝－x2＋2x－2a有两个相等实根或无实根，即对于方程x2－x＋2a＝0，
Δ＝(－1)2－4×2a≤0，解得a≥.
由①②得9－6＋a－2≤3且a－2≤0，所以a≤2.
综上，≤a≤2.