2018-2019学年北师大版选修2-1 圆锥曲线与方程 单元测试

阶段质量检测(三)　圆锥曲线与方程
[考试时间：90分钟　试卷总分：120分]
题　号
一
二
三
总　分
15
16
17
18
得　分
第Ⅰ卷　(选择题)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．抛物线y2＝－8x的焦点坐标是(　　)
A．(2,0)　　　　　　 B．(－2,0)　　　　　　
C．(4,0)　　　　　　 D．(－4,0)
2．已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则椭圆的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
3．以椭圆＋＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线的标准方程为(　　)
A.－＝1　　　　　　　　　　　　　　B.－＝1
C.－＝1或－＝1　　　　　　　　 D．以上都不对
4．直线l：x－2y＋2＝0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B，该椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
5．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为(　　)
A. B．1
C．2 D．4
6．一动圆P与圆O：x2＋y2＝1外切，而与圆C：x2＋y2－6x＋8＝0内切，那么动圆的圆心P的轨迹是(　　)
A．双曲线的一支 B．椭圆
C．抛物线 D．圆
7．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是(　　)
A．(0,1) B.
C. D.
8．两个正数a，b的等差中项是，一个等比中项是2，且a>b，则双曲线－＝1的离心率为(　　)
A.　　　　　　 B.　　　　　　
C.　　　　　　 D.
9.(浙江高考)如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是(　　)
A．3 B．2
C. D.
10.(浙江高考)如图F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是(　　)
A. B.
C. D.
答　题　栏
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
第Ⅱ卷　(非选择题)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上)
11．若椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线－＝1的顶点和焦点，则椭圆C的方程是________________________________________________________________________．
12．若曲线＋＝1的焦距与k无关，则它的焦点坐标是________．
13．抛物线y2＝4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，其面积为________．
14．以下是关于圆锥曲线的命题：
①设A，B为两个定点，k为非零常数，||PA―→|－|PB―→||＝k，则动点P的轨迹为双曲线；②过定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若OP―→＝(OA―→＋OB―→)，则动点P的轨迹为椭圆；③方程2x2－5x＋2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线－＝1与椭圆＋y2＝1有相同的焦点．
其中，真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号)
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)已知点A(0,4)，B(0，－2)，动点P(x，y)满足·－y2＋8＝0.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)设(1)中所求轨迹与直线y＝x＋2交于C ，D两点，求证：OC⊥OD(O为原点)．
16．(本小题满分12分)已知直线y＝x与椭圆在第一象限内交于M点，又MF2⊥x轴，F2是椭圆的右焦点，另一个焦点为F1，若·＝2，求椭圆的标准方程．
17．(本小题满分12分)(陕西高考)设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点(0,4)，离心率为.
(1)求C的方程；
(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．
18.(本小题满分14分)如图，点P(0，－1)是椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2＋y2＝4的直径．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D.
(1)求椭圆C1的方程；
(2)求△ABD面积取最大值时直线l1的方程．
答 案
1.选B　抛物线焦点位于x轴负半轴上，为(－2,0)．
2．选B　因为椭圆的长轴长2a是短轴长2b的倍，所以a＝b，则c＝＝b，所以椭圆的离心率e＝＝＝.
3．选C　当顶点为(±4,0)时， 对于双曲线，a＝4，c＝8，b＝4，则双曲线的标准方程为－＝1；当顶点为(0，±3)时，对于双曲线，a＝3，c＝6，b＝3，则双曲线的标准方程为－＝1.
4．选D　直线l与x轴交于(－2,0)，与y轴交于(0,1)．由题意知c＝2，b＝1，
∴a＝，∴e＝＝.
5．选C　由题意知，圆的圆心为(3,0)，半径为4；抛物线的准线为x＝－.
∴3－＝4，∴p＝2.
6．选A　圆C的方程即(x－3)2＋y2＝1，圆C与圆O相离，设动圆P的半径为R.
∵圆P与圆O外切而与圆C内切，
∴R>1，且|PO|＝R＋1，|PC|＝R－1，又|OC|＝3，
∴|PO|－|PC|＝2<|OC|，即点P在以O，C为焦点的双曲线的右支上．
7．选C　由题意知，点M的轨迹为以焦距为直径的圆，
则c8．选D　由题意知解得a＝5，b＝4，
∴c＝＝＝.
∴双曲线的离心率e＝＝.
9．选B　设焦点F(±c,0)，双曲线的实半轴长为a，则双曲线的离心率e1＝，椭圆的离心率e2＝，所以＝2.
10．选D　由椭圆可知|AF1|＋|AF2|＝4，|F1F2|＝2.
因为四边形AF1BF2为矩形，
所以|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝12，
所以2|AF1||AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)2－(|AF1|2＋|AF2|2)＝16－12＝4，
所以(|AF2|－|AF1|)2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|＝12－4＝8，所以|AF2|－|AF1|＝2，
因此对于双曲线有a＝，c＝，
所以C2的离心率e＝＝.
11．解析：由题意可知，双曲线－＝1的一个焦点和一个顶点的坐标分别为(3,0)，(，0)，设椭圆C的方程是＋＝1(a>b>0)，则a＝3，c＝，b＝2，所以椭圆C的方程为＋＝1.
答案：＋＝1
12．解析：∵k＋5>k－2，∴当k＋5>k－2>0时，方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆．此时c2＝(k＋5)－(k－2)＝7，焦点坐标为(0，±)．
当k＋5>0>k－2时，方程－＝1表示焦点在y轴上的双曲线．此时c2＝(k＋5)＋(2－k)＝7焦点坐标为(0，±)．
答案：(0，±)
13．解析：据题意知，△FPM为等边三角形，|PF|＝|PM|＝|FM|，∴PM⊥抛物线的准线．设P，
则M(－1，m)，等边三角形边长为1＋，又由F(1,0)，|PM|＝|FM|，得1＋＝，得m＝2，
∴等边三角形的边长为4，其面积为4.
答案：4
14．解析：对于①，其中的常数k与A，B间的距离大小关系不定，所以动点P的轨迹未必是双曲线；对于②，动点P为AB的中点，其轨迹为以AC为直径的圆；对于③④，显然成立．
答案：③④
15．解：(1)由题意可知，＝(－x,4－y)，＝(－x，－2－y)，
∴x2＋(4－y)(－2－y)－y2＋8＝0，∴x2＝2y为所求动点P的轨迹方程．
(2)证明：设C(x1，y1)，D(x2，y2)．由整理得x2－2x－4＝0，
∴x1＋x2＝2，x1x2＝－4，
∵kOC·kOD＝·＝＝＝＝－1，
∴OC⊥OD.
16．解：由已知设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，F1(－c,0)，F2(c，0)，
则M点的横坐标为c.
∴M点的坐标为.∴＝，＝.
∴·＝c2.
由已知得c2＝2，∴c＝2.
又在Rt△MF1F2中，|F1F2|＝4，|MF2|＝，
∴|MF1|＝＝3.
∴2a＝|MF1|＋|MF2|＝4.∴a＝2.∴b2＝4.
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
17．解：(1)将(0,4)代入C的方程得＝1，∴b＝4，
又e＝＝，得＝，
即1－＝，∴a＝5，
∴C的方程为＋＝1.
(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)，
设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，
得＋＝1，即x2－3x－8＝0，
解得x1＝，x2＝，
设AB的中点坐标＝＝，
＝＝(x1＋x2－6)＝－，
即中点坐标为.
注：用韦达定理正确求得结果，同样给分．
18．解：(1)由题意得所以椭圆C1的方程为＋y2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)．由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，则直线l1的方程为y＝kx－1.
又圆C2：x2＋y2＝4，故点O到直线l1的距离d＝，
所以|AB|＝2＝2 .
又l2⊥l1，故直线l2的方程为x＋ky＋k＝0.
由消去y，整理得(4＋k2)x2＋8kx＝0，故x0＝－，
所以|PD|＝.
设△ABD的面积为S，则S＝|AB|·|PD|＝，
所以S＝≤＝，
当且仅当k＝±时取等号．
所以所求直线l1的方程为y＝±x－1.