2020届人教A版（文科数学） 等差数列与等比数列 单元测试

2020届人教A版（文科数学） 等差数列与等比数列 单元测试
1．(2017·全国Ⅰ改编)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为________．
答案　4
解析　设{an}的公差为d，
由得
解得d＝4.
2．(2017·浙江改编)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d>0”是“S4＋S6>2S5”的________条件．
答案　充要
解析　方法一　∵数列{an}是公差为d的等差数列，
∴S4＝4a1＋6d，S5＝5a1＋10d，S6＝6a1＋15d，
∴S4＋S6＝10a1＋21d,2S5＝10a1＋20d.
若d>0，则21d>20d,10a1＋21d>10a1＋20d，
即S4＋S6>2S5.
若S4＋S6>2S5，则10a1＋21d>10a1＋20d，
即21d>20d，
∴d>0.∴“d>0”是“S4＋S6>2S5”的充要条件．
方法二　∵S4＋S6>2S5?S4＋S4＋a5＋a6>2(S4＋a5)?a6>a5?a5＋d>a5?d>0.
∴“d>0”是“S4＋S6>2S5”的充要条件．
3．(2017·北京)若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则＝________.
答案　1
解析　设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，
则由a4＝a1＋3d，
得d＝＝＝3，
由b4＝b1q3，得q3＝＝＝－8，
∴q＝－2.
∴＝＝＝1.
4．(2017·江苏)等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知S3＝，S6＝，则a8＝________.
答案　32
解析　设{an}的首项为a1，公比为q，
则解得
所以a8＝×27＝25＝32.
押题预测
1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1>0，a3＋a10>0，a6a7<0，则满足Sn>0的最大自然数n的值为(　　)
A．6 B．7 C．12 D．13
押题依据　等差数列的性质和前n项和是数列最基本的知识点，也是高考的热点，可以考查学生灵活变换的能力．
答案　C
解析　∵a1>0，a6a7<0，∴a6>0，a7<0，等差数列的公差小于零，又a3＋a10＝a1＋a12>0，a1＋a13＝2a7<0，
∴S12>0，S13<0，
∴满足Sn>0的最大自然数n的值为12.
2．在等比数列{an}中，a3－3a2＝2，且5a4为12a3和2a5的等差中项，则{an}的公比等于(　　)
A．3 B．2或3
C．2 D．6
押题依据　等差数列、等比数列的综合问题可反映知识运用的综合性和灵活性，是高考出题的重点．
答案　C
解析　设公比为q,5a4为12a3和2a5的等差中项，可得10a4＝12a3＋2a5,10a3q＝12a3＋2a3q2，得10q＝12＋2q2，解得q＝2或3.又a3－3a2＝2，所以a2q－3a2＝2，即a2(q－3)＝2，所以q＝2.
3．已知各项都为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，存在两项am，an使得 ＝4a1，则＋的最小值为(　　)
A. B.
C. D.
押题依据　本题在数列、方程、不等式的交汇处命题，综合考查学生应用数学的能力，是高考命题的方向．
答案　A
解析　由a7＝a6＋2a5，得a1q6＝a1q5＋2a1q4，
整理得q2－q－2＝0，
解得q＝2或q＝－1(不合题意，舍去)，
又由＝4a1，得aman＝16a，
即a2m＋n－2＝16a，即有m＋n－2＝4，
亦即m＋n＝6，那么＋＝(m＋n)
＝≥＝，
当且仅当＝，即n＝2m＝4时取等号．
4．定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列{an}，{f(an)}仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：
①f(x)＝x2；②f(x)＝2x；③f(x)＝；④f(x)＝ln|x|.
则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为(　　)
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
押题依据　先定义一个新数列，然后要求根据定义的条件推断这个新数列的一些性质或者判断一个数列是否属于这类数列的问题是近年来高考中逐渐兴起的一类问题，这类问题一般形式新颖，难度不大，常给人耳目一新的感觉．
答案　C
解析　由等比数列的性质得，anan＋2＝a.
①f(an)f(an＋2)＝aa＝(a)2＝[f(an＋1)]2；
②f(an)f(an＋2)＝＝≠＝[f(an＋1)]2；
③f(an)f(an＋2)＝＝＝[f(an＋1)]2；
④f(an)f(an＋2)＝ln|an|ln|an＋2|≠(ln|an＋1|)2＝[f(an＋1)]2.
A组　专题通关
1．(2018·大庆质检)已知等差数列{an}中，a4＝9，S4＝24，则a7等于(　　)
A．3 B．7 C．13 D．15
答案　D
解析　由于数列为等差数列，依题意得
解得d＝2，所以a7＝a4＋3d＝9＋6＝15.
2．(2018·淮北模拟)已知等比数列{an}中，a5＝2，a6a8＝8，则等于(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
答案　A
解析　∵数列{an}是等比数列，∴a6a8＝a＝8，a7＝2(与a5同号)，∴q2＝＝，
从而＝q4＝()2＝2.
3．(2018·株洲质检)已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，Sn是{an}的前n项和，则S9等于(　　)
A．－8 B．－6 C．0 D．10
答案　C
解析　∵a1，a3，a4成等比数列，
∴a＝a1a4，
∴(a1＋2×2)2＝a1·(a1＋3×2)，化为2a1＝－16，
解得a1＝－8，则S9＝－8×9＋×2＝0.
4．一个等比数列的前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列的项数是(　　)
A．13 B．12
C．11 D．10
答案　B
解析　设等比数列为{an}，其前n项积为Tn，由已知得a1a2a3＝2，anan－1an－2＝4，可得(a1an)3＝2×4，a1an＝2，
∵Tn＝a1a2…an，∴T＝(a1a2…an)2
＝(a1an)(a2an－1)…(ana1)＝(a1an)n＝2n＝642＝212，
∴n＝12.
5．(2018·荆州质检)已知数列{an}满足5＝25·，且a2＋a4＋a6＝9，则(a5＋a7＋a9)等于(　　)
A．－3 B．3 C．－ D.
答案　A
解析　∵＝25·＝，
∴an＋1＝an＋2，
∴数列{an}是等差数列，且公差为2.
∵a2＋a4＋a6＝9，
∴3a4＝9，a4＝3.
∴log(a5＋a7＋a9)＝log3a7＝log3(a4＋6)＝log27＝－3.
6．(2018·资阳模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝9，a5＝1，则使得Sn>0成立的最大的自然数n为________．
答案　9
解析　因为a1＝9，a5＝1，所以d＝＝－2，
所以Sn＝9n＋n(n－1)(－2)>0，即n<10，
因此使得Sn>0成立的最大的自然数n为9.
7．(2018·石嘴山模拟)在正项等比数列{an}中，若a1，a3，2a2成等差数列，则＝________.
答案　3＋2
解析　由于a1，a3，2a2成等差数列，
所以a3＝a1＋2a2，
即a1q2＝a1＋2a1q，q2－2q－1＝0，
解得q＝＋1或q＝1－(舍去)．
故＝q2＝3＋2.
8．已知数列{an}满足a1＝2，且an＝(n≥2，n∈N*)，则an＝________.
答案　
解析　由an＝，得＝＋，
于是－1＝(n≥2，n∈N*)．
又－1＝－，
∴数列是以－为首项，为公比的等比数列，故－1＝－，
∴an＝(n∈N*)．
9．意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，…，即F(1)＝F(2)＝1，F(n)＝F(n－1)＋F(n－2)(n≥3，n∈N*)，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，若此数列被3整除后的余数构成一个新数列，则b2 017＝________.
答案　1
解析　由题意得引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，…，
此数列被3 整除后的余数构成一个新数列为1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0，…，
构成以8项为周期的周期数列，所以b2 017＝b1＝1.
10．(2018·天津)设{an}是等差数列，其前n项和为Sn(n∈N*)；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn(n∈N*)，已知b1＝1，b3＝b2＋2，b4＝a3＋a5，b5＝a4＋2a6.
(1)求Sn和Tn；
(2)若Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn，求正整数n的值．
解　(1)设等比数列{bn}的公比为q(q>0)．
由b1＝1，b3＝b2＋2，可得q2－q－2＝0.
因为q>0，可得q＝2，故bn＝2n－1.
所以Tn＝＝2n－1(n∈N*)．
设等差数列{an}的公差为d.
由b4＝a3＋a5，可得a1＋3d＝4.
由b5＝a4＋2a6，可得3a1＋13d＝16，从而a1＝1，d＝1，
故an＝n，所以Sn＝(n∈N*)．
(2)由(1)，有
T1＋T2＋…＋Tn＝(21＋22＋…＋2n)－n＝－n＝2n＋1－n－2.
由Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn，可得
＋2n＋1－n－2＝n＋2n＋1，
整理得n2－3n－4＝0，
解得n＝－1(舍去)或n＝4.
所以n的值为4.
B组　能力提高
11．数列{an}是以a为首项，b为公比的等比数列，数列{bn}满足bn＝1＋a1＋a2＋…＋an(n＝1,2，…)，数列满足cn＝2＋b1＋b2＋…＋bn(n＝1,2，…)，若为等比数列，则a＋b等于(　　)
A. B．3 C. D．6
答案　B
解析　由题意知，当b＝1时，{cn}不是等比数列，
所以b≠1.由an＝abn－1，
得bn＝1＋＝1＋－，
则cn＝2＋n－·
＝2－＋n＋，
要使为等比数列，必有
得a＋b＝3.
12．艾萨克·牛顿(1643年1月4日－1727年3月31日)是英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数f(x)的零点时给出一个数列满足xn＋1＝xn－，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)有两个零点1,2，数列为牛顿数列，设an＝ln ，已知a1＝2，xn>2，则{an}的通项公式an＝________.
答案　2n
解析　∵ 函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)有两个零点1,2，
∴ 解得
∴f(x)＝ax2－3ax＋2a，
则f′(x)＝2ax－3a.
则xn＋1＝xn－
＝xn－＝，
∴＝
＝＝2，
则数列{an}是以2为公比的等比数列，
又∵a1＝2，
∴数列{an}是以2为首项，以2为公比的等比数列，
则an＝2·2n－1＝2n.
13．(2018·攀枝花统考)记m＝，若是等差数列，则称m为数列{an}的“dn等差均值”；若是等比数列，则称m为数列{an}的“dn等比均值”．已知数列{an}的“2n－1等差均值”为2，数列{bn}的“3n－1等比均值”为3.记cn＝＋klog3bn，数列的前n项和为Sn，若对任意的正整数n都有Sn≤S6，则实数k的取值范围是________．
答案　
解析　由题意得2＝，
所以a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，
所以a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2n－2(n≥2，n∈N*)，
两式相减得an＝(n≥2，n∈N*)．
当n＝1时，a1＝2，符合上式，
所以an＝(n∈N*)．
又由题意得3＝，
所以b1＋3b2＋…＋3n－1bn＝3n，
所以b1＋3b2＋…＋3n－2bn－1＝3n－3(n≥2，n∈N*)，
两式相减得bn＝32－n(n≥2，n∈N*)．
当n＝1时，b1＝3，符合上式，
所以bn＝32－n(n∈N*)．
所以cn＝(2－k)n＋2k－1.
因为对任意的正整数n都有Sn≤S6，
所以解得≤k≤.
14．设等差数列{an}的前n项和为Sn，a＝(a1,1)，b＝(1，a10)，若a·b＝24，且S11＝143，数列{bn}的前n项和为Tn，且满足＝λTn－(a1－1)(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式及数列的前n项和Mn；
(2)是否存在非零实数λ，使得数列{bn}为等比数列？并说明理由．
解　(1)设数列{an}的公差为d，
由a＝(a1,1)，b＝(1，a10)，a·b＝24，
得a1＋a10＝24，又S11＝143，解得a1＝3，d＝2，
因此数列{an}的通项公式是an＝2n＋1(n∈N*)，
所以＝＝，
所以Mn＝
＝(n∈N*)．
(2)因为＝λTn－(a1－1)(n∈N*)，且a1＝3，
所以Tn＝＋，
当n＝1时，b1＝；
当n≥2时，bn＝Tn－Tn－1＝，
此时有＝4，若{bn}是等比数列，
则有＝4，而b1＝，b2＝，彼此相矛盾，
故不存在非零实数λ使数列{bn}为等比数列．