2020届人教A版（文科数学） 函数的应用 单元测试

2020届人教A版（文科数学） 函数的应用 单元测试
1．(2016·天津改编)已知函数f(x)＝sin2＋sin ωx－(ω>0，x∈R)．若f(x)在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是______________．
答案　∪
解析　f(x)＝＋sin ωx－
＝(sin ωx－cos ωx)＝sin.
因为函数f(x)在区间(π，2π)内没有零点，
所以>2π－π，所以>π，所以0<ω<1.
当x∈(π，2π)时，ωx－∈，若函数f(x)在区间(π，2π)内有零点，
则ωπ－当k＝0时，<ω<；当k＝1时，<ω<.
所以函数f(x)在区间(π，2π)内没有零点时，
0<ω≤或≤ω≤.
2．(2017·山东改编)已知当x∈[0,1]时，函数y＝(mx－1)2的图象与y＝＋m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是______________．
答案　(0,1]∪[3，＋∞)
解析　设f(x)＝(mx－1)2，g(x)＝＋m，在同一直角坐标系中，分别作出函数f(x)＝(mx－1)2
＝m22与g(x)＝＋m的大致图象．
分两种情形：
(1)当0(2)当m>1时，0<<1，如图②，要使f(x)与g(x)的图象在[0,1]上只有一个交点，只需g(1)≤f(1)，即1＋m≤(m－1)2，解得m≥3或m≤0(舍去)．
综上所述，m∈(0,1]∪[3，＋∞)．
3．(2017·江苏)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，f(x)＝其中集合D＝，则方程f(x)－lg x＝0的解的个数是________．
答案　8
解析　由于f(x)∈[0,1)，则只需考虑1≤x<10的情况，在此范围内，当x∈Q，且x?Z时，设x＝，p，q∈N*，p≥2且p，q互质．若lg x∈Q，则由lg x∈(0,1)，可设lg x＝，m，n∈N*，m≥2且m，n互质．因此＝，
则10n＝m，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾．因此lg x?Q，因此lg x不可能与每个周期内x∈D对应的部分相等，只需考虑lg x与每个周期内x?D部分的交点，画出函数草图．图中交点除(1,0)外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期内x?D部分，且x＝1处(lg x)′＝＝<1，则在x＝1附近仅有1个交点，因此方程解的个数为8.
押题预测
1．f(x)＝2sin πx－x＋1的零点个数为(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
押题依据　函数的零点是高考的一个热点，利用函数图象的交点确定零点个数是一种常用方法．
答案　B
解析　令2sin πx－x＋1＝0，则2sin πx＝x－1，令h(x)＝2sin πx，g(x)＝x－1，则f(x)＝2sin πx－x＋1的零点个数问题就转化为两个函数h(x)与g(x)图象的交点个数问题．h(x)＝2sin πx的最小正周期为T＝＝2，画出两个函数的图象，如图所示，因为h(1)＝g(1)，h>g，g(4)＝3>2，g(－1)＝－2，所以两个函数图象的交点一共有5个，所以f(x)＝2sin πx－x＋1的零点个数为5.
2．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－1,1) B．[0,2]
C．(－2,2] D．[－1,2)
押题依据　利用函数零点个数可以得到函数图象的交点个数，进而确定参数范围，较好地体现了数形结合思想．
答案　D
解析　g(x)＝f(x)－2x＝要使函数g(x)恰有三个不同的零点，只需g(x)＝0恰有三个不同的实数根，
所以或
所以g(x)＝0的三个不同的实数根为x＝2(x>a)，
x＝－1(x≤a)，x＝－2(x≤a)．
再借助数轴，可得－1≤a<2.
所以实数a的取值范围是[－1,2)，故选D.
3．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m.
押题依据　函数的实际应用是高考的必考点，函数的最值问题是应用问题考查的热点．
答案　20
解析　如图，
过A作AH⊥BC交BC于点H，交DE于点F，
易知＝＝＝，∴AF＝x，
∴FH＝40－x(0则矩形花园的面积S＝x(40－x)≤2，
当且仅当40－x＝x，
即x＝20时取等号，所以满足题意的边长x为20 m.
A组　专题通关
1．如图是函数f(x)＝x2＋ax＋b的部分图象，则函数g(x)＝ln x＋f′(x)的零点所在的区间是(　　)
A. B.
C．(1,2) D．(2,3)
答案　B
解析　由函数图象可知
即
函数g(x)＝ln x＋2x＋a＝ln x＋2x－1－b，
g＝ln ＋1－1－b＝－ln 2－b<0，
g(1)＝ln 1＋2－1－b＝1－b>0，
所以零点所在的一个区间为，故选B.
2．某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产，第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加3万元，该设备每年生产的收入均为21万元，设该设备使用了n(n∈N*)年后，盈利总额达到最大值(盈利额等于收入减去成本)，则n等于(　　)
A．6 B．7 C．8 D．7或8
答案　B
解析　盈利总额为21n－9－
＝－n2＋n－9，
由于对称轴为n＝，所以当n＝7时，取最大值，故选B.
3．(2018·湖南十四校联考)已知定义在R上的奇函数f(x)满足当x>0时，f(x)＝2x＋2x－4，则f(x)的零点个数是(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
答案　B
解析　由于函数f(x)是定义在R上的奇函数，
故f(0)＝0.
由于f·f(2)<0，
而函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
故当x>0时有1个零点，根据奇函数的对称性可知，
当x<0时，也有1个零点．故一共有3个零点．
4．(2018·乌鲁木齐模拟)已知函数f(x)＝x2＋2x－(x<0)与g(x)＝x2＋log2(x＋a)的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－) B．(－∞，)
C. D.
答案　B
解析　f(x)＝x2＋2x－(x<0)，
当x>0时，－x<0，
f(－x)＝x2＋2－x－(x>0)，
所以f(x)关于y轴对称的函数为h(x)＝f(－x)＝x2＋2－x－(x>0)，
由题意得x2＋2－x－＝x2＋log2(x＋a)在x>0时有解，作出函数的图象如图所示，
当a≤0时，函数y＝2－x－与y＝log2(x＋a)的图象在(0，＋∞)上必有交点，符合题意，
若a>0，若两函数在(0，＋∞)上有交点，则log2a<，
解得0综上可知，实数a的取值范围是(－∞，)．
5．将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t min后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aent.假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min甲桶中的水只有升，则m的值为(　　)
A．5 B．6 C．8 D．10
答案　A
解析　根据题意知，因为5 min后甲桶和乙桶的水量相等，所以函数f(x)＝aent满足f(5)＝ae5n＝a，可得n＝ln ，因为当k min后甲桶中的水只有升，所以f(k)＝，即ln ·k＝ln ，所以ln ·k＝2ln ，
解得k＝10，k－5＝5，即m＝5，故选A.
6．(2018·湖南省三湘名校教育联盟联考)已知函数f(x)＝则方程f(f(x))－2＝0的实根个数为(　　)
A．6 B．5 C．4 D．3
答案　C
解析　令t＝f(x)，则方程f(f(x))－2＝0等价于f(t)－2t－＝0，在同一平面直角坐标系中作出f(x)与直线y＝2x＋的图象，
由图象可得有两个交点，且f(t)－2t－＝0的两根分别为t1＝0和17．定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f(x＋5)＝16，当x∈(－1,4]时，f(x)＝x2－2x，则函数f(x)在区间[0，2 019]上的零点个数是________．
答案　605
解析　因为f(x)＋f(x＋5)＝16，
所以f(x＋5)＋f(x＋10)＝16，
所以f(x)＝f(x＋10)，
所以该函数的周期是T＝10.
由于函数y＝f(x)在(－1,4]上有3个零点，
因此在区间(－1,9]上只有3个零点，
且在(－1,0)上有1个零点，在[0,9]上有2个零点且不在区间端点处．
而2 019＝201×10＋9，
故在区间[0,2 019]上共有201×3＋2＝605(个)零点．
8．设函数f(x)＝(其中e为自然对数的底数)有三个不同的零点，则实数m的取值范围是________．
答案　(1，＋∞)
解析　当x>0时，存在一个零点，故当x≤0时有两个零点，f(x)＝x3－3mx－2(x≤0)，
f′(x)＝3x2－3m(x≤0)，
若m≤0，则f′(x)≥0，函数f(x)在(－∞，0]上单调递增，不会有两个零点，故舍去；
当m>0时，函数f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，
又f(0)＝－2<0，
所以f>0时有两个零点，解得m>1，
故m的取值范围是(1，＋∞)．
9．对于函数f(x)与g(x)，若存在λ∈{x∈R|f(x)＝0}，μ∈{x∈R|g(x)＝0}，使得|λ－μ|≤1，则称函数f(x)与g(x)互为“零点密切函数”，现已知函数f(x)＝ex－2＋x－3与g(x)＝x2－ax－x＋4互为“零点密切函数”，则实数a的取值范围是________．
答案　[3,4]
解析　由题意知，函数f(x)的零点为x＝2，
设g(x)满足|2－μ|≤1的零点为μ，
因为|2－μ|≤1，解得1≤μ≤3.
因为函数g(x)的图象开口向上，
所以要使g(x)的一个零点落在区间[1,3]上，
则需满足g(1)g(3)≤0或
解得≤a≤4或3≤a<，得3≤a≤4.
故实数a的取值范围为[3,4]．
10．(2018·江西抚州七校联考)食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收益P、种黄瓜的年收益Q与投入a(单位：万元)满足P＝80＋4，Q＝a＋120.设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f(x)(单位：万元)．
(1)求f(50)的值；
(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f(x)最大？
解　(1)因为甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元，
所以f(50)＝80＋4＋×150＋120＝277.5.
(2)f(x)＝80＋4＋(200－x)＋120
＝－x＋4＋250，
依题意得解得20≤x≤180，
故f(x)＝－x＋4＋250(20≤x≤180)．
令t＝∈[2，6]，
则y＝－t2＋4t＋250＝－(t－8)2＋282，
当t＝8，即x＝128时，f(x)max＝282，
所以当甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大，且最大收益为282万元．
B组　能力提高
11．定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝若关于x的方程f(x)－a＝0(0A. B. C. D.
答案　B
解析　因为函数f(x)为奇函数，
所以当x∈(－1,0]时，f(x)＝－f(－x)＝－log(－x＋1)＝log2(1－x)；
当x∈(－∞，－1]时，f(x)＝－f(－x)＝－(1－|－x－3|)＝|x＋3|－1，所以函数f(x)的图象如图所示，令g(x)＝f(x)－a，函数g(x)的零点即为函数y＝f(x)与y＝a的交点，如图所示，共5个．当x∈(－∞，－1]时，令|x＋3|－1＝a，解得x1＝－4－a，x2＝a－2，当x∈(－1,0)时，
令log2(1－x)＝a，解得x3＝1－2a；当x∈[1，＋∞)时，令1－|x－3|＝a，解得x4＝4－a，x5＝a＋2，所以所有零点之和为x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝－4－a＋a－2＋1－2a＋4－a＋a＋2＝1－2a＝1－，∴a＝.
12．(2018·山东、湖北部分重点中学模拟)若函数f(x)＝ax＋ln x－有3个不同的零点，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　函数f(x)＝ax＋ln x－有3个不同的零点，
等价于a＝－，x∈(0，＋∞)有3个不同解，
令g(x)＝－，x∈(0，＋∞)，
则g′(x)＝－
＝，
当x∈(0，＋∞)时，令y＝2x－ln x，
则y′＝2－＝，
当x∈时，y′<0，y单调递减；
当x∈时，y′>0，y单调递增，
则ymin＝1－ln＝1＋ln 2>0，
则当x∈(0，＋∞)时，恒有2x－ln x>0，
令g′(x)＝0，得x＝1或x＝e，
且x∈(0,1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减；
x∈时，g′(x)>0，g(x)单调递增；
x∈时，g′(x)<0，g(x)单调递减，
则g(x)的极小值为g(1)＝1，
g(x)的极大值为g(e)＝－，
当x→0时，g(x)→＋∞，当x→＋∞时，g(x)→1.
结合函数图象(图略)可得，
当1y＝a 与g(x)＝－的图象有3个不同的交点，
即方程a＝－，x∈(0，＋∞)有3个不同解，
即函数f(x)＝ax＋ln x－有3个不同的零点，
所以a的取值范围是.
13．已知函数f(x)＝|x|(2－x)，关于x的方程f(x)＝m(m∈R)有三个不同的实数解x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围为________．
答案　(1－，0)
解析　f(x)＝|x|(2－x)＝
如图所示，关于x的方程f(x)＝m恰有三个互不相等的实根x1，x2，x3，
即函数y＝f(x)的图象与直线y＝m有三个不同的交点，则0当x>0时，由对称性知，
x2＋x3＝2,0当x<0时，由x2－2x＝1，得x＝1－，
所以1－所以0<－x1x2x3<－1，即1－14．已知函数f(x)＝(a>0且a≠1)在R上单调递减，且关于x的方程|f(x)|＝2－x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是________．
答案　∪
解析　画出函数y＝|f(x)|的图象如图，由函数y＝f(x)是单调递减函数可知，0＋3a≥loga(0＋1)＋1，即a≥，由loga(x0＋1)＋1＝0得，x0＝－1≤2，所以当x≥0时，y＝2－x与y＝|f(x)|图象有且仅且一个交点．所以当2≥3a，即≤a≤时，函数y＝|f(x)|与函数y＝2－x图象恰有两个不同的交点，即方程|f(x)|＝2－x恰好有两个不相等的实数解，结合图象可知当直线y＝2－x与函数y＝x2＋3a相切时，得x2＋x＋3a－2＝0.由Δ＝1－4(3a－2)＝0，解得a＝，此时也满足题意．
综上，所求实数a的取值范围是∪.