2020届人教A版（文科数学） 空间向量解立体几何（含综合题习题） 单元测试

2020届人教A版（文科数学） 空间向量解立体几何（含综合题习题） 单元测试
1、如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面，垂直于和，是棱的中点.
（1）求证：∥平面
（2）求平面与平面所成的二面角的余弦值
（3）设点是直线上的动点，与平面所成的角为，求的最大值
2、（2015，北京）如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，∥为的中点
（1）求证：
（2）求二面角的余弦值
（3）若平面，求的值
3、（2015，山东）如图，在三棱台中，分别为的中点.
（1）求证：平面；
（2）若平面,求平面与平面所成角（锐角）的大小.
4、（北京）如图，正方形的边长为2，分别为的中点，在五棱锥中，为棱的中点，平面与棱分别交于点
（1）求证：
（2）若底面，且，求直线与平面所成角的大小，并求线段的长
5、（江西）如图，四棱锥中，为矩形，平面平面
（1）求证：
（2）若，问为何值时，四棱锥的体积最大？并求此时平面与平面夹角的余弦值
习题答案：
1、解析：（1）以点为坐标原点，如图建系：
则
设平面的法向量为
，可得：

∥平面
（2）可知平面的法向量为，
设平面与平面所成的二面角为，可得
所成的二面角余弦值为
（3）设，则，平面的法向量为
当即时，取得最大值，即
2、解析：（1） 为等边三角形且为的中点

平面平面
平面
（2）取中点，连结，分别以为轴如图建系
可得：
设平面的法向量为
由可得：
，可得：
平面的法向量

由二面角为钝二面角可知
（3），设平面的法向量为

解得
平面 ，因为
，解得：（舍），
3、解析：（1）证明：连结，设交于点
在三棱台中，由可得
为中点
，即且
四边形是平行四边形 为中点且
在中，可得为中位线
又平面，平面，故平面；
（2）由平面,可得平面而
则,于是两两垂直，
以点G为坐标原点，所在的直线
分别为轴建立空间直角坐标系，
设,则,
，
则平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，则,即，
取，则，，
，故平面与平面所成角（锐角）的大小为.
4、解析：（1）证明：在正方形中，可知
平面
平面
平面，且平面平面
（2）因为底面，所以
如图建立空间直角坐标系，则
设平面的法向量为
解得

设直线与平面所成角为，则
设点，由在棱上可得：
由为平面的法向量可得：
解得

5、解析：（1）证明：因为为矩形，所以
又平面平面，且平面平面
平面
（2）过作的垂线，垂足为，过作的垂线
垂足为，连结
平面，平面
在中，
设，则
，当时，最大
此时
如图建系，可得：
设平面的一个法向量为
则解得
设平面的一个法向量为
则解得
设平面与平面夹角为，可得