2020届 人教A版- 数列- -单元测试

数列
一、单选题
1．在各项均不为零的等差数列{
??
??
}中，若
??
??
2
?
??
??+1
=
??
???1
(n≥2，n∈N * )， 则
??
2014
的值为(　　)
A．2013 B．2014
C．4026 D．4028
【答案】D
【解析】
【分析】
在等差数列中，
??
???1
+
??
??+1
=2
??
??
,代入
??
??
2
?
??
??+1
=
??
???1
，化简可得
??
??
为各项为2的常数列，从而可得结果.
【详解】
∵
??
??
2
?
??
??+1
=
??
???1
,
∴
??
??
2
?
??
???1
?
??
??+1
=0,又等差数列中，
??
???1
+
??
??+1
=2
??
??
,
∴
??
??
2
=2
??
??
,∵
??
??
≠0,∴
??
??
=2,
即
??
??
为各项为2的常数列，
∴
??
2014
=2×2014=4028，故选D.
【点睛】
本题主要考查等差数列的基本概念与性质，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于中档题.
2．（12分）已知数列是等差数列，成等比数列．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）数列为等差数列，因此将已知条件成等比数列转化为用表示，解方程组求得基本量后得到通项公式；（Ⅱ）数列的通项公式为，依据特点求和时采用错位相减法求和
试题解析：（1）设等差数列的公差为，依题意，得
解得，，
6分
（2）
．．7分
两式相减，得．
．
．
所以， ．
考点：1．等差数列通项公式；2．错位相减法数列求和
【方法点睛】在等差等比数列中由各项满足的条件求通项公式时，一般将已知条件转化为基本量，首项和公差公比表示，通过解方程组得到基本量的值，从而确定通项公式，解决非等差等比数列求和问题，主要有两种思路：其一，转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解（即分组求和）或错位相减来完成，其二，不能转化为等差等比数列的，往往通过裂项相消法，倒序相加法来求和
3．已知数列中的，且（），则数列中的（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：对取倒数，得，即，由此可知数列是以为首项，为公差的等差数列，从而，因此，故选择C，有些数列本身并不是等差或等比数列，但可通过取倒数，取对数，加常数，作差，作商等方式，使产生的新数列成等差或等比数列，通过新数列相应问题的解决，达到解决原数列相关问题的目的.
考点：数列中递推关系式的处理.
4．已知正偶数数列按照蛇形排列，形成如图所示矩形数表，在数表中位于第??行，第??列的数记为
??
??,??
，比如
??
1,3
=8，
??
2,2
=10，
??
3,3
=26，若
??
??,??
=2018，则??+??=（ ）
/
A．41 B．42 C．45 D．46
【答案】D
【解析】
【分析】
由正偶数数列an=2n=2018，得n=1009，按照蛇形排列，第1斜链到第i斜链末共有1+2+…+i=
??(1+??)
2
个正偶数，从而求出2018位于第45行，第45行是从右上到左下依次递增，且共有45个偶数，由此求出2018位于第45行，从从右上到左下第19个数，从而能求出i+j．
【详解】
记第1斜链为数2，第2斜链为数4,6，第3斜链为数8,10,12，第4斜链为数14,16,18,20，
以此类推，正偶数列
??
??
=2n=2018，解得n=1009，即2018为第1009个偶正数，按照蛇形排列，第1斜链到第i斜链末共有1+2+?+i=
1+??
??
2
个正偶数，第1斜链到第44斜链末共有990个正偶数，第1斜链到第45斜链末共有1035个正偶数，则2018位于第45斜链，而第45斜链是从右上到左下依次递增，且共有45个正偶数，故2018位于第45斜链，从右上到左下第19个数，则i=19，j=45-19+1=27,得到??+??==46
故选：D
【点睛】
本题考查数列的行与列的和的求法，考查简单的合情推理等基础知识，考查归纳总结能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．
5．已知数列是等差数列，若，则数列的公差等于
A．1 B．3 C．5 D．6
【答案】B
【解析】
试题分析：，所以，所以，所以.
考点：等差数列的性质
点评：熟练掌握等差数列的基本性质，是快速解决本题的关键.
6．已知数列中，，则的前60项的和（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：由题意，得，所以．又，代入，得，所以，，，，…，，将上式相加，得＝，所以＝＝＝，所以＝，故选C．
考点：递推数列求和．
7．等比数列{
??
??
}中
??
1
=2，公比??=?2，记
??
=
??
1
×
??
2
×?×
??
??
（即
??
表示数列{
??
??
}的前n项之积），则
8
,?
9
,?
10
,?
11
中值最大的是（ ）
A．
8
B．
9
C．
10
D．
11
【答案】B
【解析】
试题分析：等比数列{
??
??
}中
??
1
＞0，公比q＜0，故奇数项为正数，偶数项为负数，
∴
11
＜0，
10
＜0，
9
＞0，
8
＞0，
∵
9

8
=
??
9
＞1，
∴
9
＞
8
．所以最大值为
9
考点：等比数列的性质
8．设数列的前项和，若，且，则等于（ ）
A．5048 B．5050 C．10098 D．10100
【答案】D
【解析】试题分析：由，则，两式相减，可得，又因为，所以，所以
，故选C．
考点：数列求和．
【方法点晴】本题主要考查了数列的求和问题，其中解答中涉及到数列的递推关系的应用、等差数列的通项公式、得出数列的前项和公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定的思维量，属于中档试题，本题的解答中根据数列的递推关系式，求解是解得的关键．
9．数列0，?
7
5
，
13
5
，?
63
17
，…的一个通项公式是(　　)
A．
(?1)
??+1
??
3
?1
??
2
+1
B．
(?1)
??
??
3
?1
??
2
+1
C．
(?1)
???1
??
3
?1
??
2
?1
D．
(?1)
??
??
3
?1
??
2
?1
【答案】A
【解析】在四个选项中代n=2,选项B,D是正数，不符，A选项值为?
7
5
，符合,C选项值为?
7
3
，不符。所以选A.
【点睛】
对于选择题的选项是关于n的关系式，可以考虑通过赋特殊值检验法，来减少运算，或排除选项。
10．数列
??
??
中，
??
1
=15，
3??
??+1
=3
??
??
?2
??∈
??
?
，则该数列中相邻两项的乘积是负数的是（ ）
A．
??
21
?
??
22
B．
??
22
?
??
23
C．
??
23
?
??
24
D．
??
24
?
??
25
【答案】C
【解析】
试题分析：解:/，/．
/
∴n=23．则该数列中相邻两项的乘积为负数的项是
??
23
和
??
24
，选C
考点：数列的概念
点评：考查数列的项的符号问题，关键是对于数列的通项公式的求解，属于基础题。
11．以q为公比的等比数列/中，/，则“/”是“/”的
A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
试题分析：等比数列中，若/，则由/可得，/，即/或/；
若/，则有/，所以，/，即/.
所以，“/”是“/”的必要而不充分条件．
故选/.
考点：充要条件，等比数列的通项公式.
二、填空题
12．已知数列的前项和，那么它的通项公式
【答案】
【解析】解：因为数列的前项和，可知数列公差为2，首项为1，则通项公式为
13．在一个数列中，如果对任意的??∈???，都有
??
??
?
??
??+1
?
??
??+2
=??（??为常数）,那么这个数列叫做等积数列，??叫做这个数列的公积.已知数列
??
??
是等积数列，且
??
1
=1,
??
2
=2，公积为8，则
??
1
+
??
2
+
??
3
+?+
??
12
=___.
【答案】28.
【解析】分析：先根据数列
??
??
是等积为8的等积数列可求得数列的项
??
3
,
??
4
,
??
5
,
??
6
，由此可得数列为周期数列，然后根据周期性求得
??
1
+
??
2
+
??
3
+?+
??
12
．
详解：由题意得，数列
??
??
是等积为8的等积数列，且
??
1
=1，
??
2
=2，
∴
??
1
??
2
??
3
=8，即2
??
3
=8，
∴
??
3
=4．
同理可得
??
4
=1,
??
5
=2,
??
6
=4，……
∴数列
??
??
是周期为3的数列，
∴
??
1
+
??
2
+
??
3
+?+
??
12
=4(
??
1
+
??
2
+
??
3
)=4×7=28．
点睛：由于数列是一种特殊的函数，故数列具有函数的性质．数列的周期性往往要在求得数列的一些特殊项后通过观察才能得到，利用周期性可简化数列求和中的计算，使得求解变得简单．
14．设为等差数列的前项和，若，则正整数= ．
【答案】5
【解析】试题分析：因为，所以，因此公差，由，所以.
考点：等差数列前项和与等差数列通项关系
15．已知数列的前项和为，若对于任意，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________ .
【答案】
【解析】
试题分析：，，两式相减得又，因此为以2首项，3 为公比的等比数列，即，叠加法得，从而，因此对恒成立，即解得
考点：和项求通项，等比数列定义，不等式恒成立
【方法点睛】给出Sn与an的递推关系求an，常用思路是：一是利用Sn－Sn－1＝an（n≥2）转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an. 应用关系式an＝时，一定要注意分n＝1，n≥2两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.
三、解答题
16．已知数列
??
??
满足
??
1
=4,
??
??
=4?
4
??
???1
??≥2
,令
??
??
=
1
??
??
?2
。
（1）求证：数列
??
??
是等差数列；
（2）求数列
??
??
的通项公式.
【答案】（1）证明见解析；（2）
??
??
=
2
??+1
??
.
【解析】
【分析】
（1）由题设知，
a
n
?2=2?
4
??
???1
于是有
1
??
??
?2
=
1
2
+
1
??
???1
?2
，bn﹣bn﹣1=
1
2
，由此可知数列{bn}为等差数列．（2）由题设知bn=
??
2
，于是有
1
??
??
?2
=
??
2
，两边同时取倒数后能够得到an=
2
??
+2．
【详解】
(1)证明：∵an＝4－/ (n≥2)，
∴an＋1－2＝2－/＝/ (n≥1)．
∴/＝/＝/＋/ (n≥1)，
即bn＋1－bn＝/ (n≥1)．
∴{bn}为等差数列．
(2)解：∵/为等差数列，
∴/＝/＋(n－1)·/＝/.
∴an＝2＋/.
∴{an}的通项公式为an＝2＋/
【点睛】
本题考查判定数列是等差数列的方法，定义法的应用，注意数列n的取值，解题时要注意等差数列的性质的应用和判断．
17．（2015新课标全国Ⅰ理科）Sn为数列{an}的前n项和，已知an>0，
??
??
2
＋2
??
??
=4
??
??
＋3.
（1）求{an}的通项公式；
（2）设
??
??
=
1
??
??
??
??+1
，求数列{bn}的前n项和.
【答案】（1）an=2n+1；（2）
??
3(2??+3)
.
【解析】（1）由
??
??
2
+2an=4Sn+3，可知
??
??+1
2
+2an+1=4Sn+1+3.
可得
??
??+1
2
?
??
??
2
+2(an+1?an)=4an+1，即2(an+1+an)=
??
??+1
2
?
??
??
2
=(an+1+an)(an+1?an).
由于an>0，可得an+1?an=2.
又
??
1
2
+2a1=4a1+3，解得a1=?1(舍去)或a1=3.
所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an=2n+1.
（2）由an=2n+1可知
bn=
1
??
??
??
??+1
=
1
(2??+1)(2??+3)
=
1
2
(
1
2??+1
?
1
2??+3
).
设数列{bn}的前n项和为Tn，则
Tn=b1+b2+…+bn
=
1
2
[(
1
3
?
1
5
)+(
1
5
?
1
7
)+…+(
1
2??+1
?
1
2??+3
)]
=
??
3(2??+3)
.
【名师点睛】本题考查了利用an与Sn的关系求数列的通项公式以及裂项相消法求和，考查考生解决问题以及探究问题的能力.首先利用an与Sn的关系an=Sn?Sn?1(n≥2)推导出数列{an}的通项公式，然后利用裂项相消法求数列{bn}的前n项和即可.
求解有关数列的综合题，首先要善于从宏观上整体把握问题，能透过给定信息的表象，揭示问题的本质，然后从微观上明确解题方向，化难为易，化繁为简，注意解题的严谨性.数列问题对能力的要求较高，特别是运算能力、归纳猜想能力、转化能力、逻辑推理能力.近几年高考加强了对数列推理能力的考查，应引起重视.
18．已知数列{
??
??
}是等差数列，且
??
2??+1
=6??+
??
1
，
??
4
+
??
5
+
??
6
+
??
7
+
??
8
=85.
（1）求{
??
??
}的通项公式；
（2）设
??
??
?
??
??
=
1
??(??+1)
，求数列{
??
??
}的前??项和
??
??
.
【答案】（1）
??
??
=3???1；（2）
??(3??+1)
2
+
??
??+1
【解析】
【分析】
（1）利用等差数列通项公式将已知条件用a1，d来表示，求出a1＝2，d＝3，由此能求出数列{
??
??
}的通项an．
（2）由bn=3???1+
1
??
?
1
??+1
，利用分组求和及裂项求和法能求出数列{bn}的前n项和．
【详解】
（1）设{an}的首项为a1，公差为d．
∵
??
2??+1
=6??+
??
1
，∴
??
3
=
??
1
+6，又
??
4
+
??
5
+
??
6
+
??
7
+
??
8
=5
??
6
=85，
∴
2??=6,
??
1
+5??=17,
解得
??
1
=2,
??=3,
∴
??
??
=2+3(???1)=3???1.
（2）∵
??
??
?
??
??
=
1
??
?
1
??+1
，
∴
??
??
=3???1+
1
??
?
1
??+1
，
∴
??
??
=
(2+3???1)??
2
+?
1
2
+
1
2
?
1
3
+?+
1
??
?
1
??+1
=
??(3??+1)
2
+1?
1
??+1
=
??(3??+1)
2
+
??
??+1
【点睛】
本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，注意分组求和及裂项求和法的合理运用．
19．己知数列的前项和， .
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】(1) ;(2) .
【解析】试题分析：（1）由与的关系，可求出数列的通项公式；（2）根据通项公式的特点，采用分组求和的方法，分别求等差和等比数列的和即可．
试题解析：
（1）当时， ；当时， ， 也满足，故数列的通项公式为
（2）由（Ⅰ）可知，故，所以，记， ，则
，故数列的前项和
20．（本小题满分13分）已知数列满足，且其前项和．
（Ⅰ）求的值和数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列为等比数列，公比为，且其前项和满足，求的取值范围．
【答案】（Ⅰ）; ，；（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据数列的递推公式，以及，即可求出，进而求出，利用，即可求出数列的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ），得.
因为 ，所以 ，解得 ． 又因为，即可求出的取值范围．
试题解析：（Ⅰ）解：由题意，得，，
因为 ，，
所以 ，
解得 . 3分
所以 ．
当时，由， 5分
得 . 7分
验证知时，符合上式，
所以，. 8分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ），得. 10分
因为 ，
所以 ，
解得 ． 12分
又因为，
所以的取值范围是． 13分.
考点：1.数列的递推公式；2.等差数列的性质；3.等比数列的性质.
21．（本小题满分12分）已知等比数列的公比，，是方程的两根．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和．
【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由方程的两根分别为1,2，依题意得，， 可得
公比，进而求出数列的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）知， 所以，利用错位相减法即可求出结果.
试题解析：解：（Ⅰ）方程的两根分别为1,2， 1分
依题意得，． 2分
所以， 3分
所以数列的通项公式为． 4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， 5分
所以， ①
， ②
由①－②得
， 8分
即 ， 11分
所以． 12分
考点：1.等比数列的通项公式；2.错位相减法求和.