§1.3 空间几何体的表面积与体积
1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
学习目标 1.了解柱体、锥体、台体的表面积与体积的计算公式.2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积．
知识点一 棱柱、棱锥、棱台的表面积
图形
表面积
多面体
多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积
特别提醒 棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积
①将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开，其侧面展开图分别是由若干个平行四边形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形，侧面展开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积．
②棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的底面积的和．
知识点二 圆柱、圆锥、圆台的表面积
图形
表面积公式
旋转体
圆柱
底面积：S底＝2πr2
侧面积：S侧＝2πrl
表面积：S＝2πr(r＋l)
旋转体
圆锥
底面积：S底＝πr2
侧面积：S侧＝πrl
表面积：S＝πr(r＋l)
圆台
上底面面积：S上底＝πr′2
下底面面积：S下底＝πr2
侧面积：S侧＝π(r′l＋rl)
表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
知识点三 柱体、锥体与台体的体积公式
几何体
体积
说明
柱体
V柱体＝Sh
S为柱体的底面积，h为柱体的高
锥体
V锥体＝Sh
S为锥体的底面积，h为锥体的高
台体
V台体＝(S′＋＋S)h
S′，S分别为台体的上、下底面面积，h为台体的高
1．锥体的体积等于底面面积与高之积．( × )
2．台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．( √ )
3．斜三棱柱的侧面积也可以用cl来求解，其中l为侧棱长，c为底面周长．( × )
类型一 柱体、锥体、台体的侧面积
例1 现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积．
解 如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O，
对角线A1C＝15，B1D＝9，
∴a2＋52＝152，b2＋52＝92，
∴a2＝200，b2＝56.
∵该直四棱柱的底面是菱形，
∴AB2＝2＋2＝＝＝64，
∴AB＝8.
∴直四棱柱的侧面积S＝4×8×5＝160.
反思与感悟 空间几何体的表面积的求法技巧：
(1)多面体的表面积是各个面的面积之和．
(2)组合体的表面积应注意重合部分的处理．
(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．
跟踪训练1 (1)已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，高为3，求它的表面积．
解 如图，设PO＝3，PE是斜高，
∵S侧＝2S底，
∴4··BC·PE＝2BC2，
∴BC＝PE.
在Rt△POE中，PO＝3，OE＝BC＝PE，
∴9＋2＝PE2，
∴PE＝2.
∴S底＝BC2＝PE2＝(2)2＝12，
S侧＝2S底＝2×12＝24，
∴S表＝S底＋S侧＝12＋24＝36.
(2)圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，求圆台的表面积．
解 如图所示，设圆台的上底面周长为c cm，由于扇环的圆心角是180°，则c＝π·SA＝2π×10，
解得SA＝20 cm.
同理可得SB＝40 cm.
所以AB＝SB－SA＝20 cm.
所以S表＝S侧＋S上＋S下＝π×(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1 100π(cm2)．
类型二 柱体、锥体、台体的体积
例2 (1)如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥C－A′DD′，求棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比．
解 设AB＝a，AD＝b，AA′＝c，
∴VC－A′D′D＝CD·S△A′D′D＝a·bc＝abc，
∴剩余部分的体积为
VABCD－A′B′C′D′－VC－A′D′D＝abc－abc＝abc，
∴棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.
(2)已知一个三棱台上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积．
解 如图，在三棱台ABC－A′B′C′中，取上、下底面的中心分别为O′，O，BC，B′C′的中点分别为D，D′，则DD′是梯形BCC′B′的高．
所以S侧＝3××(20＋30)×DD′＝75DD′.
又因为A′B′＝20 cm，AB＝30 cm，则上、下底面面积之和为S上＋S下＝×(202＋302)＝325(cm2)．
由S侧＝S上＋S下，得75DD′＝325，
所以DD′＝(cm)，
O′D′＝×20＝(cm)，
OD＝×30＝5(cm)，
所以棱台的高h＝O′O＝
＝＝4(cm)．
由棱台的体积公式，可得棱台的体积为
V＝(S上＋S下＋)
＝×
＝1 900(cm3)．
反思与感悟 求简单几何体的体积．若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解．
跟踪训练2 已知某圆台的上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这个圆台的体积是________．
答案
解析 设圆台的上、下底面半径分别为r和R，母线长为l，高为h，
则S上＝πr2＝π，S下＝πR2＝4π.
∴r＝1，R＝2，S侧＝π(r＋R)l＝6π.
∴l＝2，∴h＝，
∴V＝π(12＋22＋1×2)×＝.
类型三 几何体体积的求法
例3 如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，求三棱锥A1－D1EF的体积．
解 由，
∵＝EA1·A1D1＝a2，
又三棱锥F－A1D1E的高为CD＝a，
∴＝×a×a2＝a3，
∴＝a3.
引申探究
例3中条件改为点F为CC1的中点，其他条件不变，如图，求四棱锥A1－EBFD1的体积
解 因为EB＝BF＝FD1＝D1E＝＝a，D1F∥EB，
所以四边形EBFD1是菱形．
连接EF，则△EFB≌△FED1.
因为三棱锥A1－EFB与三棱锥A1－FED1的高相等，
所以.
又因为＝EA1·AB＝a2，
所以＝a3，
所以＝a3.
反思与感悟 四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．
跟踪训练3 如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，求点A到平面A1BD的距离d.
解 在三棱锥A1－ABD中，AA1⊥平面ABD，AB＝AD＝AA1＝a，
A1B＝BD＝A1D＝a，
∵，
∴×a2·a＝××a×·a·d.
∴d＝a.∴点A到平面A1BD的距离为a.
例4 如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积．
解 如图，连接EB，EC，AC.V四棱锥E－ABCD＝×42×3＝16.
∵AB＝2EF，EF∥AB，
∴S△EAB＝2S△BEF.
∴V三棱锥F－EBC
＝V三棱锥C－EFB
＝V三棱锥C－ABE＝V三棱锥E－ABC
＝×V四棱锥E－ABCD＝4.
∴多面体的体积V＝V四棱锥E－ABCD＋V三棱锥F－EBC＝16＋4＝20.
反思与感悟 割补法是求不规则几何体体积的常用求法，解此类题时，分割与补形的原则是分割或补形后的几何体是简单几何体，且体积易求．
跟踪训练4 如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为( )
A．5π B．6π
C．20π D．10π
答案 D
解析 用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.
1．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 设圆柱底面半径、母线长分别为r，l，由题意知l＝2πr，S侧＝l2＝4π2r2.
S表＝S侧＋2πr2＝4π2r2＋2πr2＝2πr2(2π＋1)，
＝＝.
2．圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16π，则圆锥的体积是( )
A. B.
C．64π D．128π
答案 B
解析 设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
由题意知2r＝，即l＝r，
∴S侧＝πrl＝πr2＝16π，
解得r＝4.
∴l＝4，圆锥的高h＝＝4，
∴圆锥的体积为V＝Sh＝π×42×4＝.
3．如图(1)所示，一只装了水的密封瓶子可以看成是由底面半径为1 cm和底面半径为3 cm的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图(2)水平放置时，液面高度为20 cm，当这个几何体如图(3)水平放置时，液面高度为28 cm，则这个简单几何体的总高度为_____ cm.
答案 29
解析 在图(2)和图(3)中，瓶子上部没有液体的部分容积相等，设这个简单几何体的总高度为h cm，则有π×12×(h－20)＝π×32×(h－28)，解得h＝29(cm)．
4．若圆台的高是12，母线长为13，两底面半径之比为8∶3，则该圆台的表面积为_____．
答案 216π
解析 设圆台上底与下底的半径分别为r，R，由勾股定理可得R－r＝＝5.
∵r∶R＝3∶8， ∴r＝3，R＝8.
S侧＝π(R＋r)l＝π(3＋8)×13＝143π，
则表面积为143π＋π×32＋π×82＝216π.
5．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A－DED1的体积为________．
答案
解析 ＝××1×1×1＝.
1．多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和．
2．有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解．而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解．
3．S圆柱表＝2πr(r＋l)；S圆锥表＝πr(r＋l)；S圆台表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2)．
4．对柱体、锥体、台体的体积公式的四点说明
(1)等底、等高的两个柱体的体积相同．
(2)等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍．
(3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
(4)求台体的体积转化为求锥体的体积．根据台体的定义进行“补形”，还原为锥体，采用“大锥体”减去“小锥体”的方法求台体的体积.
一、选择题
1．正方体的的表面积为96，则正方体的体积为( )
A．48 B．64
C．16 D．96
答案 B
解析 设正方体的棱长为a，则6a2＝96，
∴a＝4，故V＝a3＝43＝64.
2．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( )
A．2π B．3π
C．4π D．8π
答案 A
解析 设圆柱母线长为l，底面半径为r，
由题意得解得
∴V圆柱＝πr2l＝2π.
3．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为( )
A．2 B．2 C．4 D．8
答案 C
解析 圆台的轴截面如图所示，
设母线长为l，
由题意知，l＝(r＋R)，
S圆台侧＝π(r＋R)·l＝π·2l·l＝32π，
∴l＝4.
4．(2017·宝鸡质检)已知A，B，C三点都在以O为球心的球面上，OA，OB，OC两两垂直，三棱锥O—ABC的体积为，则球O的表面积为( )
A. B．16π C. D．32π
答案 B
解析 设球O的半径为R，以球心O为顶点的三棱锥的三条侧棱两两垂直且都等于球的半径R，另外一个侧面是边长为R的等边三角形．因此根据三棱锥的体积公式，得×R2·R＝，∴R＝2，∴S球的表面积＝4π×22＝16π，故选B.
5．如图，ABC－A′B′C′是体积为1的三棱柱，则四棱锥C－AA′B′B的体积是( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 ∵V三棱锥C－A′B′C′＝V三棱柱ABC－A′B′C′＝，
∴VC－AA′B′B＝1－＝.
6．已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( )
A．1 cm B．2 cm C．3 cm D. cm
答案 B
解析 S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，
∴r2＝4，∴r＝2.
7．(2016·全国Ⅱ)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )
A．12π B.π C．8π D．4π
答案 A
解析 由题意可知正方体的棱长为2，其体对角线2即为球的直径，所以球的表面积为4πR2＝(2R)2π＝12π，故选A.
8．将若干毫升水倒入底面半径为2 cm的圆柱形器皿中，量得水面高度为6 cm，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面高度为( )
A．6 cm B．6 cm
C．2 cm D．3 cm
答案 B
解析 设圆锥中水的底面半径为r cm，由题意知
πr2×r＝π22×6，
得r＝2，
∴水面的高度是×2＝6(cm)．
二、填空题
9．棱长都是3的三棱锥的表面积S为________．
答案 9
解析 因为三棱锥的四个面是全等的正三角形，
所以S＝4××32＝9.
10．若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是________．
答案 π
解析 圆锥的母线长l＝2，设圆锥的底面半径为r，则2πr＝×2π×2，
∴r＝1，
∴圆锥的高h＝＝，
则圆锥的体积V＝πr2h＝π.
11．现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为____________．
答案
解析 设新的底面半径为r，则有×πr2×4＋πr2×8＝×π×52×4＋π×22×8，解得r＝.
12．如图所示，在棱长为4的正方体上底面中心位置打一个直径为2、深为4的圆柱形孔，则打孔后的几何体的表面积为________．
答案 96＋6π
解析 由题意知，所打圆柱形孔穿透正方体，因此打孔后所得几何体的表面积等于正方体的表面积，再加上一个圆柱的侧面积，同时减去两个圆的面积，即S＝6×42＋4×2π－2π×12＝96＋6π.
三、解答题
13.如图所示，△ABC的三边长分别是AC＝3，BC＝4，AB＝5，作CD⊥AB，垂足为点D.以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积．
解 在△ABC中，由AC＝3，BC＝4，AB＝5知，AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC.所以CD＝，记为r＝，
那么△ABC以AB所在直线为轴旋转所得的旋转体是两个同底的圆锥，且底面半径r＝，
母线长分别是AC＝3，BC＝4，
所以S表面积＝πr·(AC＋BC)＝π××(3＋4)＝π.
所以，所求旋转体的表面积是π.
四、探究与拓展
14．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，截下一个三棱锥C－A1DD1，求三棱锥C－A1DD1的体积与剩余部分的体积之比．
解 设矩形ADD1A1的面积为S，AB＝h，
所以＝＝Sh.
而三棱锥C－A1DD1的底面积为S，高为h，
故三棱锥C－A1DD1的体积为
＝×S×h＝Sh，
余下部分体积为Sh－Sh＝Sh.
所以三棱锥C－A1DD1的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.
15．如图，一个圆锥的底面半径为1，高为3，在圆锥中有一个半径为x的内接圆柱．
(1)试用x表示圆柱的高；
(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大，最大侧面积是多少？
解 (1)设所求的圆柱的底面半径为x，它的轴截面如图，
BO＝1，PO＝3，圆柱的高为h，
由图，得＝，即h＝3－3x.
(2)∵S圆柱侧＝2πhx＝2π(3－3x)x＝6π(x－x2)，
当x＝时，圆柱的侧面积取得最大值π.
∴当圆柱的底面半径为时，它的侧面积取得最大值π.
1.3.2 球的体积和表面积
学习目标 1.掌握球的表面积和体积公式.2.能解决与球有关的组合体的计算问题．
知识点 球的表面积和体积公式
1．球的表面积公式S＝4πR2(R为球的半径)；
2．球的体积公式V＝πR3.
1．球的表面积等于它的大圆面积的2倍．( × )
2．两个球的半径之比为1∶2，则其体积之比为1∶4.( × )
3．球心与其截面圆的圆心的连线垂直于截面．( √ )
类型一 球的体积和表面积
例1 (1)已知球的表面积为64π，求它的体积；
(2)已知球的体积为π，求它的表面积．
解 (1)设球的半径为R，则4πR2＝64π，解得R＝4，
所以球的体积V＝πR3＝π·43＝π.
(2)设球的半径为R，则πR3＝π，解得R＝5，
所以球的表面积S＝4πR2＝4π×52＝100π.
反思与感悟 (1)公式是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件．
(2)两个结论：①两个球的表面积之比等于这两个球的半径比的平方；②两个球的体积之比等于这两个球的半径比的立方．
跟踪训练1 (1)两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为( )
A．2∶3 B．4∶9
C.∶ D.∶
(2)两个半径为1的铁球，熔化成一个球，则这个大球的半径为________．
答案 (1)B (2)
解析 (1)由两球的体积之比为8∶27，
可得半径之比为2∶3，
故表面积之比是4∶9.
(2)设大球的半径为R，由题意得
πR3＝2×π×13，得R＝.
类型二 球的截面及切接问题
例2 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，若不计容器的厚度，则球的体积为( )
A. cm3 B. cm3
C. cm3 D. cm3
答案 A
解析 如图，作出球的一个截面，则MC＝8－6＝2(cm)，BM＝AB＝×8＝4(cm)．
设球的半径为R cm，则R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，
∴R＝5.
∴V球＝π×53＝π(cm3)．
反思与感悟 (1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题．
(2)解题时要注意借助球半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2＝d2＋r2.
跟踪训练2 用一平面去截球所得截面的面积为2π，已知球心到该截面的距离为1，则该球的表面积为________．
答案 12π
解析 用一平面去截球所得截面的面积为2π，所以小圆的半径为，已知球心到该截面的距离为1，所以球的半径为，所以球的表面积为4π()2＝12π.
例3 (1)将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，其体积是×π×13＝.
(2)长方体的共顶点的三个侧面面积分别为，，，则它的外接球表面积为______．
答案 9π
解析 设长方体共顶点的三条棱长分别为a，b，c，
则 解得
∴外接球半径为＝，∴外接球表面积为4π×2＝9π.
反思与感悟 (1)正方体的内切球
球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1＝，过在一个平面上的四个切点作截面如图①.
(2)球与正方体的各条棱相切
球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r2＝a，如图②.
(3)长方体的外接球
长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r3＝，如图③.
(4)正方体的外接球
正方体棱长a与外接球半径R的关系为2R＝a.
(5)正四面体的外接球
正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为2R＝a.
跟踪训练3 (1)正方体的内切球与其外接球的体积之比为( )
A．1∶ B．1∶3
C．1∶3 D．1∶9
(2)表面积为的正四面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为( )
A.π B.π
C.π D.π
答案 (1)C (2)A
解析 (1)设正方体的棱长为1，则正方体内切球的半径为棱长的一半即为，外接球的直径为正方体的体对角线，
∴外接球的半径为，
∴其体积比为π×3∶π×3＝1∶3.
(2)如图所示，将正四面体补形成一个正方体．设正四面体的棱长为a.
∵正四面体的表面积为，
∴4×a2＝，
解得a＝，
∴正方体的棱长是，
又∵球的直径是正方体的体对角线，设球的半径是R，
∴2R＝×，
∴R＝，
∴球的体积为π·3＝π，
故选A.
1．若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于( )
A．3 B．2
C．1 D.
答案 A
解析 设球的半径为R，则4πR2＝πR3，所以R＝3.
2．一个球的表面积是16π，则它的体积是( )
A．64π B.
C．32π D.
答案 D
解析 设球的半径为R，则由题意可知4πR2＝16π，故R＝2.所以球的半径为2，体积V＝πR3＝π.
3．如图，圆柱形容器内盛有高度为6 cm的水，若放入3个相同的铁球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径为( )
A．4 cm B．3 cm
C．2 cm D．1 cm
答案 B
解析 由题意可得，设球的半径为r，依题意得三个球的体积和水的体积之和等于圆柱体的体积，
∴3×πr3＝πr2(6r－6)，
解得r＝3，故选B.
4．两个球的表面积之差为48π，它们的大圆周长之和为12π，则这两个球的半径之差为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 B
解析 设两球半径分别为R1，R2，且R1>R2，则4π(R－R)＝48π，2π(R1＋R2)＝12π，所以R1－R2＝2.
5．正方体的外接球的体积是其内切球的体积的______倍．
答案 3
解析 设正方体的棱长为1，则正方体内切球的半径为棱长的一半即为，外接球的直径为正方体的体对角线，
∴外接球的半径为.
∴外接球的体积为π×3，内切球的体积为π×3，
∴外接球的体积是内切球的体积的3倍．
1．球的体积和表面积公式
设球的半径为R
(1)体积公式：V＝πR3.
(2)表面积公式：S＝4πR2.
2．用一个平面截球所得截面的特征
(1)用一个平面去截球，截面是圆面．
(2)球心和截面圆心的连线垂直于截面．
(3)球心到截面的距离d与球的半径R以及截面的半径r，有下面的关系r＝.
3．常见的几何体与球的切、接问题的解决策略：
解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算．
一、选择题
1．若两球的体积之和是12π，经过两球球心的截面圆周长之和为6π，则两球的半径之差为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 A
解析 设两球的半径分别为R，r(R＞r)，
则由题意得 解得
∴R－r＝1.
2．如图所示的是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现，则圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为( )
A.， B.，1
C.，1 D.，
答案 A
解析 设球的半径为R，
则圆柱的底面半径为R，高为2R，
∴V圆柱＝πR2×2R＝2πR3，V球＝πR3，
则＝＝，
＝＝.
3．一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2 cm的球面上，如果正四棱柱的底面边长为2 cm，那么该棱柱的表面积为( )
A．(2＋4) cm2 B．(8＋16) cm2
C．(4＋8) cm2 D．(16＋32) cm2
答案 B
解析 ∵一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2 cm的球面上，正四棱柱的底面边长为2 cm，球的直径为正四棱柱的体对角线，
∴正四棱柱的体对角线为4 cm，正四棱柱的底面对角线长为2 cm，
∴正四棱柱的高为＝2 cm，
∴该棱柱的表面积为2×22＋4×2×2＝8＋16 (cm2)，故选B.
4．一平面截一球得到直径为6 cm的圆面，球心到这个圆面的距离是4 cm，则该球的体积是( )
A. cm3 B. cm3
C. cm3 D. cm3
答案 C
解析 如图，根据题意，
OO1＝4 cm，O1A＝3 cm，
∴OA＝R＝ ＝5(cm)，
故球的体积V＝πR3＝(cm3)．故选C.
5．若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为( )
A．4π(r＋R)2 B．4πr2R2
C．4πRr D．π(R＋r)2
答案 C
解析 方法一 如图，设球的半径为r1，则在Rt△CDE中，DE＝2r1，CE＝R－r，DC＝R＋r.由勾股定理得4r＝(R＋r)2－(R－r)2，解得r1＝.故球的表面积为S球＝4πr＝4πRr.
方法二 如图，设球心为O，球的半径为r1，连接OA，OB，则在Rt△AOB中，OF是斜边AB上的高．由相似三角形的性质得OF2＝BF·AF＝Rr，即r＝Rr，故r1＝，故球的表面积为S球＝4πRr.
6．等体积的球和正方体的表面积S球与S正方体的大小关系是( )
A．S正方体>S球 B．S正方体C．S正方体＝S球 D．无法确定
答案 A
解析 设正方体的棱长为a，球的半径为R，由题意，得V＝πR3＝a3，
∴a＝，R＝，
∴S正方体＝6a2＝6＝，S球＝4πR2＝<.
7．已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为( )
A. B．4π C．2π D.π
答案 D
解析 ∵正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为，∴正四棱柱的体对角线的长为＝2.又∵正四棱柱的顶点在同一球面上，∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，∴球的半径R＝1.
故球的体积为V＝πR3＝π.
二、填空题
8．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________．
答案 3∶1∶2
解析 设球的半径为R，则
V柱＝πR2·2R＝2πR3，
V锥＝πR2·2R＝πR3，
V球＝πR3，
故V柱∶V锥∶V球＝2πR3∶πR3∶πR3＝3∶1∶2.
9．圆柱形容器的内壁底半径是10 cm，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了 cm，则这个铁球的表面积为________cm2.
答案 100π
解析 设该铁球的半径为r，则由题意得πr3＝π×102×，解得r＝5，
∴这个铁球的表面积S＝4π×52＝100π(cm2)．
10．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为________．
答案
解析 由题意得，该圆柱底面圆周半径r＝＝.
∴该圆柱的体积为V＝πr2h＝π2×1＝.
11．如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积和球的表面积之比为________．
答案 3∶2
解析 如图，△ABC为圆锥的轴截面，截球面得圆O，
由题意知AD＝3OE，则OA＝2OE，
设OE＝r，则OA＝2r，AD＝3r，
在Rt△AEO中，sin∠EAO＝，
又∵0°<∠EAO<90°，∴∠EAO＝30°.
在Rt△ABD中，tan∠BAD＝＝＝，BD＝r.
则AB＝＝＝2r，
圆锥的侧面积为π×BD×AB＝6πr2，
球的表面积为4πr2，
∴所求的比值为6πr2∶4πr2＝3∶2.
12．已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上．若AC＝3，AB＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为________．
答案
解析 可将直三棱柱ABC－A1B1C1补形到长方体ABEC－A1B1E1C1中如图所示，
则BC1为直三棱柱ABC－A1B1C1的外接球的直径，
∴BC1＝＝13，
∴球O的半径为.
三、解答题
13．一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥内又有一个内切球，求：
(1)圆锥的侧面积；
(2)圆锥的内切球的体积．
解 (1)如图作轴截面，则等腰三角形CAB内接于⊙O，⊙O1内切于△ABC.
设⊙O的半径为R，由题意，
得πR3＝972π，
所以R3＝729，R＝9，所以CE＝18.
已知CD＝16，所以ED＝2.
连接AE，因为CE是直径，所以CA⊥AE，
所以CA2＝CE·CD＝18×16＝288，所以CA＝12，
因为AB⊥CD，
所以AD2＝CD·DE＝16×2＝32，
所以AD＝4，S圆锥侧＝π×4×12＝96π.
(2)设内切球O1的半径为r，
因为△ABC的周长为2×(12＋4)＝32，
所以S△ABC＝r·32＝×8×16，解得r＝4，
所以内切球O1的体积V球＝πr3＝π.
四、探究与拓展
14．已知长方体共顶点的三个侧面面积分别为，，，则它的外接球表面积为________．
答案 9π
解析 如图，是过长方体的一条体对角线AB的截面，设长方体有公共顶点的三条棱的长分别为x，y，z，则由已知，
得解得
所以球的半径R＝AB＝＝，
所以S球＝4πR2＝9π.
15．有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切，第三个球过这个正方体的各个项点，求这三个球的表面积之比．
解 设正方体棱长为a，三个球的半径依次为R1，R2，R3，则有2R1＝a，R1＝，a＝2R2，R2＝a，a＝2R3，R3＝a，所以R1∶R2∶R3＝1∶∶.
所以S1∶S2∶S3＝R∶R∶R＝1∶2∶3.
即这三个球的表面积之比为1∶2∶3.
