人教新课标A版必修二第一章空间几何体 章末复习 导学案

章末复习
学习目标　1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.能熟练画出几何体的直观图，能熟练地计算空间几何体的表面积和体积，体会通过展开图、截面图化空间为平面的方法．
1．几何体的概念、侧面积与体积
名称
定义
图形
侧面积
体积
多面体
棱柱
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行
S侧＝ch，c为底面的周长，h为高
V＝Sh
棱锥
有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形
S正棱锥侧＝ch′，c为底面的周长，h′为斜高
V＝Sh，h为高
棱台
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分
S正棱台侧＝(c＋c′)h′，c′，c为上、下底面的周长，h′为斜高
V＝(S上＋S下＋)h，h为高
旋转体
圆柱
以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体
S侧＝2πrh，r为底面半径，h为高
V＝Sh＝πr2h
圆锥
以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体
S侧＝πrl，r为底面半径，h为高，l为母线
V＝Sh＝πr2h
圆台
用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分
S侧＝π(r1＋r2)l，r1，r2为底面半径，l为母线
V＝(S上＋S下＋)h＝π(r＋r＋r1r2)h
球
以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体
S球面＝4πR2，R为球的半径
V＝πR3
2．空间几何体的直观图
(1)斜二测画法：主要用于水平放置的平面图形或立体图形的画法．它的主要步骤：
①画轴；②画平行于x，y，z轴的线段分别为平行于x′，y′，z′轴的线段；③截线段：平行于x，z轴的线段的长度不变，平行于y轴的线段的长度变为原来的一半．
(2)转化思想在本章应用较多，主要体现在以下几个方面
①曲面化平面，如几何体的侧面展开，把曲线(折线)化为线段．
②等积变换，如三棱锥转移顶点等．
③复杂化简单，把不规则几何体通过分割，补体化为规则的几何体等．
1．菱形的直观图仍是菱形．(　×　)
2．多面体的表面积等于各个面的面积之和．(　√　)
3．简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差．(　√　)
类型一　几何体的结构特征
例1　下列说法正确的是________．(填序号)
①棱柱的侧棱长都相等；
②棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面；
③夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体；
④棱台的侧面是等腰梯形．
答案　①
解析　②不正确，例如六棱柱的相对侧面；
③不正确，如图；
④不正确，侧棱长可能不相等．
反思与感悟　与空间几何体结构特征有关问题的解题技巧
(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．
(2)通过举反例对结构特征进行辨析，要说明一个说法是错误的，只要举出一个反例即可．
跟踪训练1　根据下列对几何体结构特征的描述，说出几何体的名称．
(1)由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其他各面都是矩形的是________________________________________________________________________；
(2)等腰梯形沿着过两底边中点的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形是________________________________________________________________________；
(3)一个直角梯形绕较长的底边所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体是________________________________________________________________________．
答案　(1)正六棱柱　(2)圆台　(3)一个圆锥和一个圆柱的组合体
类型二　空间几何体的表面积和体积
例2　如图所示，在边长为4的正三角形ABC中，E，F依次是AB，AC的中点，AD⊥BC，EH⊥BC，FG⊥BC，D，H，G为垂足，若将△ABC绕AD旋转180°，求阴影部分形成的几何体的表面积与体积．
解　所得几何体是一个圆锥挖去一个圆柱后形成的，
∵S锥表＝πR2＋πRl1＝4π＋8π＝12π，
S柱侧＝2πrl2＝2π·DG·FG＝2π，
∴所求几何体的表面积S＝S锥表＋S柱侧＝12π＋2π＝2(6＋)π.
由V圆锥＝π·BD2×AD＝π×22×2＝π，
V圆柱＝π·HD2×EH＝π×12×＝π，
∴所求几何体的体积为V圆锥－V圆柱＝π－π＝π.
反思与感悟　1.空间几何体表面积的求法
(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．
(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．
2．空间几何体体积问题的常见类型及解题策略
(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．
(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．
跟踪训练2　如图所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1－ABC1的体积为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　＝－－＝.
1．关于几何体的结构特征，下列说法不正确的是(　　)
A．棱锥的侧棱长都相等
B．三棱台的上、下底面是相似三角形
C．有的棱台的侧棱长都相等
D．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线
答案　A
解析　根据棱锥的结构特征知，棱锥的侧棱长不一定都相等．
2．下列说法正确的有________个．
①球的半径是球面上任意一点与球心的连线；
②球的直径是球面上任意两点间的线段；
③用一个平面截一个球，得到的是一个圆；
④用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面．
答案　2
解析　①是正确的；②是错误的，只有两点的连线经过球心时才为直径；③是错误的；④是正确的．
3．可以通过旋转得到下图的平面图形的序号为________．
答案　④
4．如图，在三棱柱A1B1C1－ABC中，已知D，E，F分别为AB，AC，AA1的中点，设三棱锥A－FED的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，则V1∶V2的值为______．
答案　
解析　设三棱柱的高为h，
∵F是AA1的中点，∴三棱锥F－ADE的高为，
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴S△ADE＝S△ABC，
∵V1＝S△ADE·，V2＝S△ABC·h，
∴＝＝.
5.如图所示，直角梯形ABCD中，AB⊥BC，绕着CD所在直线l旋转，试画出立体图并指出几何体的结构特征．
解　如图①，过A，B分别作AO1⊥CD，BO2⊥CD，垂足分别为O1，O2，
则Rt△CBO2绕l旋转一周所形成的曲面围成的几何体是圆锥，直角梯形O1ABO2绕l旋转一周所形成的曲面围成的几何体是圆台，Rt△ADO1绕l旋转一周所形成的曲面围成的几何体是圆锥．
综上，所得几何体下面是一个圆锥，上面是一个圆台挖去了一个以圆台上底面为底面的圆锥(如图②所示)．
圆柱、圆锥、圆台的表面积公式，我们都是通过展开图化空间为平面的方法得到的，求球的切接问题通常是通过截面把空间问题转化为平面问题解决．
一、选择题
1．下列说法正确的是(　　)
A．棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱
B．底面是矩形的平行六面体是长方体
C．棱柱的底面一定是平行四边形
D．棱锥的底面一定是三角形
答案　A
解析　平行于棱柱底面的平面可以把棱柱分成两个棱柱，故A正确；底面是矩形的平行六面体的侧面不一定是矩形，故它也不一定是长方体，故B错误；三棱柱的底面是三角形，故C错误；四棱锥的底面是四边形，故D错误．故选A.
2．下列说法不正确的是(　　)
A．圆柱的侧面展开图是一个矩形
B．圆锥中过圆锥轴的截面是一个等腰三角形
C．四棱锥有五个顶点
D．用一个平面截一个圆柱，所得截面可能是矩形
答案　C
解析　由棱锥顶点定义可知，四棱锥只有一个顶点，故选C.
3．以长为8 cm，宽为6 cm的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的底面面积为(　　)
A．64π cm2 B．36π cm2
C．64π cm2或36π cm2 D．48π cm2
答案　C
解析　分别以长为8 cm，宽为6 cm的边所在的直线为旋转轴，即可得到两种不同大小的圆柱，显然C选项正确．
4．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“禾盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　设圆锥的底面半径为r，则圆锥的底面周长L＝2πr，∴r＝，∴V＝πr2h＝.令＝L2h，得π＝，故选D.
5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，三棱锥D1－AB1C的表面积与正方体的表面积的比为(　　)
A．1∶1 B．1∶ C．1∶ D．1∶2
答案　C
解析　设正方体棱长为1，则其表面积为6，三棱锥D1—AB1C为正四面体，每个面都是边长为的正三角形，其表面积为4×××＝2，所以三棱锥D1—AB1C的表面积与正方体的表面积的比为1∶.
6．关于斜二测画法所得直观图，以下说法正确的是(　　)
A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形
B．正方形的直观图为平行四边形
C．梯形的直观图不是梯形
D．正三角形的直观图一定为等腰三角形
答案　B
解析　由直观图的性质知B正确．
7．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为(　　)
A．7 B．6 C．5 D．3
答案　A
解析　设上、下底面半径分别为r，R(R＞r)．则2πR＝3×2πr，所以R＝3r.又因为π(R＋r)l＝S侧，所以S侧＝π(3r＋r)×3＝84π，所以r＝7.
8．若长方体的长、宽、高分别为5,4,3，则它的外接球的表面积为(　　)
A.π B．50π C.π D.π
答案　B
解析　因为长方体的体对角线为外接球的直径，所以外接球的半径r＝×＝，所以它的外接球的表面积S＝4πr2＝50π.
二、填空题
9.如图，正方形ABCD的边长为1，所对的圆心角∠CDE＝90°，将图形ABCE绕AE所在直线旋转一周，形成的几何体的表面积为________．
答案　5π
解析　由题意知，形成的几何体是组合体：上面是半球、下面是圆柱，
∵正方形ABCD的边长为1，∠CDE＝90°，
∴球的半径是1，圆柱的底面半径是1，母线长是1，
∴形成的几何体的表面积S＝π×12＋2π×1×1＋×4π×12＝5π.
10.一个水平放置的圆柱形储油桶(如图所示)，桶内有油部分所在圆弧占底面圆周长的，则油桶直立时，油的高度与桶的高度的比值是________．
答案　－
解析　设圆柱桶的底面半径为R，
高为h，油桶直立时油面的高度为x，
由题意知，油部分所在圆弧对应的扇形的圆心角为90°，
则h＝πR2x，所以＝－.
11．如图，在上、下底面对应边的比为1∶2的三棱台中，过上底面一边作一个平行于棱CC1的平面A1B1EF，这个平面分三棱台成两部分，这两部分的体积之比为________．
答案　3∶4(或4∶3)
解析　设三棱台的上底面面积为S0，则下底面面积为4S0，高为h，则
＝(S0＋4S0＋2S0)h＝S0h，＝S0h.
设剩余的几何体的体积为V，则V＝S0h－S0h＝S0h，
所以体积之比为3∶4或4∶3.
12．用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是________．
答案　8
解析　如图①是棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展开成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图②所示，由图知正方形的边长为2，其面积为8.
三、解答题
13. 如图所示，有一块扇形铁皮OAB，∠AOB＝60°，OA＝72 cm，要剪下来一个扇形环ABCD，作圆台形容器的侧面，并且在余下的扇形OCD内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面(大底面)．
求：(1)AD的长；
(2)容器的容积．
解　(1)设圆台上、下底面半径分别为r、R，AD＝x，
则OD＝72－x，由题意得
，∴即AD应取36 cm.
(2)∵2πr＝·OD＝·36，∴r＝6 cm，
圆台的高h＝＝＝6.
∴V＝πh(R2＋Rr＋r2)＝π·6·(122＋12×6＋62)＝504π(cm3)．
即容器的容积为504π cm3.
四、探究与拓展
14．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为(　　)
A．36π B．64π
C．144π D．256π
答案　C
解析　如图所示，设球的半径为R，
∵∠AOB＝90°，
∴S△AOB＝R2.
∵V三棱锥O－ABC＝V三棱锥C－AOB，
而△AOB的面积为定值，
∴当点C到平面AOB的距离最大时，三棱锥O－ABC的体积最大，
∴当动点C为与球的大圆面AOB垂直的直径的端点时，三棱锥O－ABC的体积最大，
此时V三棱锥O－ABC＝V三棱锥C－AOB＝×R2×R＝R3＝36，
解得R＝6，
则球O的表面积为S＝4πR2＝144π.
故选C.
15．如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分当以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积和体积．(其中∠BAC＝30°)
解　过C作CO1⊥AB于点O1，由已知得∠BCA＝90°，
∵∠BAC＝30°，AB＝2R，
∴AC＝R，BC＝R，CO1＝R.
∴S球＝4πR2，＝π×R×R＝πR2，
＝π×R×R＝πR2，
∴S几何体表＝S球＋＋
＝4πR2＋πR2＋πR2＝πR2.
又∵V球＝πR3，
＝·AO1·π·CO＝πR2·AO1，
＝·BO1·π·CO＝πR2·BO1，
∴V几何体＝V球－＝πR3.