新人教A版必修二第一章空间几何体章末检测试卷

章末检测试卷(一)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．棱锥的侧面和底面可以都是(　　)
A．三角形 B．四边形
C．五边形 D．六边形
答案　A
解析　三棱锥的侧面和底面均为三角形．
2．如图，Rt△O′A′B′是一平面图的直观图，斜边O′B′＝2，则这个平面图形的面积是(　　)
A. B．1 C. D．2
答案　D
解析　∵Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，斜边O′B′＝2，
∴直角三角形的直角边长是，
∴直角三角形的面积是××＝1，
∴原平面图形的面积是1×2＝2.故选D.
3．如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中O′C′＝O′A′＝2O′B′，则以下说法正确的是(　　)
A．△ABC是钝角三角形
B．△ABC是等腰三角形，但不是直角三角形
C．△ABC是等腰直角三角形
D．△ABC是等边三角形
答案　C
4．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　设球的半径为R，所得的截面为圆M，圆M的半径为r.
画图可知(图略)，R2＝R2＋r2，∴R2＝r2.
∴S球＝4πR2，截面圆M的面积为πr2＝πR2，
则所得截面的面积与球的表面积的比为＝.故选A.
5．已知在△ABC中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°，若使其绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是(　　)
A.π B.π
C.π D.π
答案　A
解析　所得几何体是大圆锥挖去同底的一个小圆锥，所以所形成几何体的体积V＝V大圆锥－V小圆锥＝πr2(1＋1.5－1)＝π()2×1.5＝π.
6．如图，圆锥形容器的高为h，圆锥内水面的高为h1，且h1＝h，，若将圆锥形容器倒置，水面高为h2，则h2等于(　　)
A.h B.h
C.h D.h
答案　D
解析　设圆锥形容器的底面积为S，
则未倒置前液面的面积为S，
∴水的体积V＝Sh－×S(h－h1)＝Sh，
设倒置后液面面积为S′，则＝2，
∴S′＝.
∴水的体积V＝S′h2＝，
∴Sh＝，
解得h2＝，故选D.
7．若在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面去截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　易知V＝1－8×××××＝.
8．设长方体的长，宽，高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(　　)
A．3πa2 B．6πa2 C．12πa2 D．24πa2
答案　B
解析　由题意可知，球的直径等于长方体的体对角线的长度，故2R＝，解得R＝a，所以球的表面积S＝4πR2＝6πa2.
9．一个圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则该圆锥的母线与轴所成的角为(　　)
A．30° B．45° C．60° D．75°
答案　A
解析　设圆锥的母线长为L，底面圆的半径为r，则由题意得πrL＝2πr2，
∴L＝2r，∴圆锥的母线与轴所成的角为30°.
10．如图，B′C′∥x′轴，A′C′∥y′轴，则下面直观图所表示的平面图形是(　　)
A．正三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．直角三角形
答案　D
解析　因为B′C′∥x′轴，A′C′∥y轴，所以直观图中BC∥x轴，AC∥y轴，所以三角形是直角三角形．故选D.
11．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为1，，，则此三棱锥的外接球的表面积为(　　)
A．3π B．6π
C．18π D．24π
答案　B
解析　将三棱锥补成边长分别为1，，的长方体，则长方体的体对角线是外接球的直径，所以2R＝，解得R＝，故S＝4πR2＝6π.
12．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有(　　)
A．14斛 B．22斛 C．36斛 D．66斛
答案　B
解析　米堆的体积即为四分之一的圆锥的体积，
设圆锥底面半径为r，则×2πr＝8，
得r＝，
所以米堆的体积为×πr2×5≈(立方尺)，
÷1.62≈22(斛)．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．一块正方形薄铁皮的边长为4，以它的一个顶点为圆心，剪下一个最大的扇形，用这块扇形铁皮围成一个圆锥，则这个圆锥的容积为________．(铁皮厚度忽略不计)
答案　
解析　如图所示，剪下最大的扇形的半径即圆锥的母线长l等于正方形的边长4，扇形的弧长＝×(2π×4)＝2π，即为圆锥的底面周长，设圆锥的底面半径为r，高为h，则2πr＝2π，所以r＝1，所以h＝＝，所以圆锥的容积为πr2h＝.
14．直角梯形的一个内角为45°，下底长为上底长的倍，这个梯形绕下底所在直线旋转一周所成的旋转体的表面积为(5＋)π，则旋转体的体积为________．
答案　
解析　如图所示的是旋转体的半轴截面，设直角梯形的上底长为r，则下底长为r，∠C＝45°，
所以DE＝，DC＝r，所以旋转体的表面积为S表＝π·＋2π··r＋π··r＝r2(5＋)．
又因为S表＝(5＋)π，所以r2＝4，所以r＝2，
所以V＝π·2·r＋π·2·＝.
15．湖面上浮着一个球，湖水结冰后将球取出，冰上留下一个冰面直径为24 cm，深为8 cm的空穴，则这个球的半径为________ cm.
答案　13
解析　冰面空穴是球的一部分，截面图如图所示，设球心为O，冰面圆的圆心为O1，球半径为R，
由图知OB＝R，O1B＝AB＝12，OO1＝OC－O1C＝R－8，
在Rt△OO1B中，由勾股定理R2＝(R－8)2＋122，
解得R＝13(cm)．
16．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，且这个球的体积是π，那么这个三棱柱的体积是________．
答案　48
解析　设球的半径为r，则πr3＝π，
得r＝2，柱体的高为2r＝4.
又正三棱柱的底面三角形的内切圆半径与球的半径相等，
所以底面正三角形的边长为4，
所以正三棱柱的体积V＝×(4)2×4＝48.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．
(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；
(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．
解　(1)交线围成的正方形EHGF如图所示．
(2)如图，作EM⊥AB，垂足为M，
则AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8.
因为四边形EHGF为正方形，
所以EH＝EF＝BC＝10.
于是MH＝＝6，AH＝10，HB＝6.
故＝×(4＋10)×8＝56，
＝×(12＋6)×8＝72.
因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，
所以其体积的比值为(也正确)．
18．(12分)有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．
解　由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面．
根据切线性质知，当球在容器内时，水深为3r，水面的半径为r，则容器内水的体积为V＝V圆锥－V球＝π·(r)2·3r－πr3＝πr3，而将球取出后，设容器内水的深度为h，则水面圆的半径为h，从而容器内水的体积是V′＝π·2·h＝πh3，
由V＝V′，得h＝r.即容器中水的深度为r.
19．(12分)如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝3，AA1＝4，M为AA1的中点，P是BC上的一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线为.设这条最短路线与CC1的交点为N，求：
(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线的长；
(2)PC和NC的长．
解　(1)该三棱柱的侧面展开图是宽为4，长为9的矩形，
所以对角线的长为＝.
(2)将该三棱柱的侧面沿棱BB1展开，如图所示．
设PC的长为x，则MP2＝MA2＋(AC＋x)2.
因为MP＝，MA＝2，AC＝3，所以x＝2(负值舍去)，即PC的长为2.
又因为NC∥AM，所以＝，即＝，所以NC＝.
20．(12分)如图所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由．
解　由题图可知半球的半径为4 cm，
所以V半球＝×πR3＝×π×43＝π(cm3)，
V圆锥＝πr2h＝π×42×12＝64π(cm3)．
因为V半球21．(12分)如图，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，连接A′C′，A′D，A′B，BD，BC′，C′D，得到一个三棱锥A′－BC′D，求：
(1)三棱锥A′－BC′D的表面积与正方体表面积的比值；
(2)三棱锥A′－BC′D的体积．
解　(1)∵ABCD－A′B′C′D′是正方体，
∴A′B＝A′C′＝A′D＝BC′＝BD＝C′D＝a，
∴三棱锥A′－BC′D的表面积为4××a××a＝2a2.
而正方体的表面积为6a2，故三棱锥A′－BC′D的表面积与正方体表面积的比值为＝.
(2)三棱锥A′－ABD，C′－BCD，D－A′D′C′，B－A′B′C′是完全一样的．
故V三棱锥A′－BC′D＝V正方体－4V三棱锥A′－ABD＝a3－4××a2×a＝.
22．(12分)如图所示，四边形ABCD是直角梯形(单位：cm)，求图中阴影部分绕AB所在直线旋转一周所成几何体的表面积和体积．
解　由题意知，所成几何体的表面积等于圆台下底面面积＋圆台的侧面积＋半球面面积．
因为S半球面＝×4π×22＝8π(cm2)，S圆台侧＝π(2＋5) ＝35π(cm2)，
S圆台下底＝π×52＝25π(cm2)，
所以表面积为8π＋35π＋25π＝68π(cm2)．
又因为V圆台＝×(22＋2×5＋52)×4＝52π(cm3)，
V半球＝××23＝(cm3)，所以该几何体的体积为V圆台－V半球＝(cm3)．