§2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1 平 面
学习目标 1.了解平面的表示法，点、直线与平面的位置关系.2.掌握关于平面基本性质的三个公理.3.会用符号表示图形中点、直线、平面之间的位置关系．
知识点一 平 面
思考 几何里的“平面”有边界吗？用什么图形表示平面？
答案 没有．平行四边形．
梳理 (1)平面的概念
①平面是最基本的几何概念，对它加以描述而不定义．
②几何中的平面的特征：
(2)平面的画法
常常把水平的平面画成一个平行四边形，并且其锐角画成45°，且横边长等于邻边长的2倍
一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用虚线画出来
(3)平面的表示方法
①用希腊字母表示，如平面α，平面β，平面γ.
②用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写字母表示，如平面ABCD.
③用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点表示，如平面AC，平面BD.
知识点二 点、直线、平面之间的关系
思考 直线和平面都是由点组成的，联系集合的观点，点和直线、平面的位置关系，如何用符号来表示？直线和平面呢？
答案 点和直线、平面的位置关系可用数字符号“∈”或“?”表示，直线和平面的位置关系，可用数学符号 “?”或“?”表示．
梳理 点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达
文字语言
符号语言
图形语言
A在l上
A∈l
A在l外
A?l
A在α内
A∈α
A在α外
A?α
l在α内
l?α
l在α外
l?α
l，m相交于A
l∩m＝A
l，α相交于A
l∩α＝A
α，β相交于l
α∩β＝l
知识点三 平面的基本性质
思考1 直线l与平面α有且仅有一个公共点P.直线l是否在平面α内？有两个公共点呢？
答案 前者不在，后者在．
思考2 观察图中的三脚架，你能得出什么结论？
答案 不共线的三点可以确定一个平面．
梳理 关于平面基本性质的三个公理
公理
文字语言
图形语言
符号语言
作用
公理1
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α
①确定直线在平面内的依据
②判定点在平面内
公理2
过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面
A，B，C三点不共线?存在唯一的平面α使A，B，C∈α
①确定平面的依据
②判定点线共面
公理3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
P∈α且P∈β?α∩β＝l，且P∈l
①判定两平面相交的依据
②判定点在直线上
1．8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚．( × )
2．空间不同三点确定一个平面．( × )
3．一条直线和一个点确定一个平面．( × )
类型一 图形语言、文字语言、符号语言的相互转换
例1 用符号表示下列语句，并画出图形．
(1)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B.
(2)点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上．
解 (1)用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图．
(2)用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C?AB，如图．
反思与感悟 (1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．
(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．
跟踪训练1 (1)若点A在直线b上，b在平面β内，则点A，直线b，平面β之间的关系可以记作( )
A．A∈b∈β B．A∈b?β
C．A?b?β D．A?b∈β
(2)如图所示，用符号语言可表述为( )
A．α∩β＝m，n?α，m∩n＝A
B．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A
C．α∩β＝m，n?α，A?m，A?n
D．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n
答案 (1)B (2)A
类型二 共面问题
例2 如图，已知a?α，b?α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ?α.
证明 因为PQ∥a，所以PQ与a确定一个平面β，所以直线a?β，点P∈β.因为P∈b，b?α，所以P∈α.又因为a?α，P?a，所以α与β重合，所以PQ?α.
引申探究
将本例中的两条平行线改为三条，即求证：和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内．
证明 已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.
求证：a，b，c和l共面．
证明：如图，∵a∥b，
∴a与b确定一个平面α.
∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α.
又∵A∈l，B∈l，∴l?α.
∵b∥c，∴b与c确定一个平面β，同理l?β.
∵平面α与β都包含l和b，且b∩l＝B，
由公理2的推论知：经过两条相交直线有且只有一个平面，
∴平面α与平面β重合，∴a，b，c和l共面．
反思与感悟 (1)公理2的推论
推论1：经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．
(2)点线共面问题是指证明一些点或直线在同一平面内的问题，主要依据是公理1、公理2及其推论．解决该类问题通常有三种方法
①纳入平面法：先由部分元素确定一个平面，再证其他元素也在该平面内．
②辅助平面法(平面重合法)：先由有关的点、线确定平面α，再由其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．
③反证法．
通常情况下采用第一种方法．
跟踪训练2 如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．
证明 方法一 (纳入平面法)
∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.
又∵l2?α，∴B∈α.同理可证C∈α.
∵B∈l3，C∈l3，∴l3?α.
∴直线l1，l2，l3在同一平面内．
方法二 (辅助平面法)
∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.
∵A∈l2，l2?α，∴A∈α.∵A∈l2，l2?β，∴A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内，
∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．
类型三 证明共点、共线问题
例3 如图所示，已知E，F，G，H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中点．
求证：FE，HG，DC三线共点．
证明 如图所示，连接C1B，GF，HE，由题意知
HC1∥EB，且HC1＝EB，
∴四边形HC1BE是平行四边形，
∴HE∥C1B.
又C1G＝GC，CF＝BF，
∴GF∥C1B，且GF＝C1B.
∴GF∥HE，且GF≠HE，
∴HG与EF相交．设交点为K，
∴K∈HG，HG?平面D1C1CD，
∴K∈平面D1C1CD.
∵K∈EF，EF?平面ABCD，
∴K∈平面ABCD，
∴K∈(平面D1C1CD∩平面ABCD＝DC)，
∴EF，HG，DC三线共点．
反思与感悟 证明三线共点问题的基本方法
先确定待证的三线中的两条相交于一点，再证明第三条直线也过该点．常结合公理3，证出该点在不重合的两个平面内，故该点在它们的交线(第三条直线)上，从而证明三线共点．
跟踪训练3 如图所示，A，B，C，D为不共面的四点，E，F，G，H分别在线段AB，BC，CD，DA上．
(1)如果EH∩FG＝P，那么点P在直线________上；
(2)如果EF∩GH＝Q，那么点Q在直线________上．
答案 (1)BD (2)AC
解析 (1)若EH∩FG＝P，
则点P∈平面ABD，P∈平面BCD，
而平面ABD∩平面BCD＝BD，
∴P∈BD.
(2)若EF∩GH＝Q，则Q∈平面ABC，Q∈平面ACD，
而平面ABC∩平面ACD＝AC，
∴Q∈AC.
例4 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线．
证明 如图，连接A1B，CD1，显然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1，
∴BD1?平面A1BCD1.
同理，BD1?平面ABC1D1，
∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1.
∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，
∴Q∈平面ABC1D1.
又∵A1C?平面A1BCD1，
∴Q∈平面A1BCD1.
∴Q在平面A1BCD1与平面ABC1D1的交线上，
即Q∈BD1，
∴B，Q，D1三点共线．
反思与感悟 点共线问题是证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是公理3，解决此类问题常用的方法
(1)首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3知，这些点都在这两个平面的交线上．
(2)选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上．
跟踪训练4 如图所示，平面α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C?l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过( )
A．点A B．点B
C．点C但不过点M D．点C和点M
答案 D
解析 ∵AB?γ，M∈AB，∴M∈γ.
又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.
根据公理3可知，M在γ与β的交线上．
同理可知，点C也在γ与β的交线上.
1．有以下结论：
①平面是处处平的面；
②平面是无限延展的；
③平面的形状是平行四边形；
④一个平面的厚度可以是0.001 cm.
其中正确的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 平面是无限延展的，但是没有大小、形状、厚薄，①②两种说法是正确的；③④两种说法是错误的．故选B.
2．若一直线a在平面α内，则正确的作图是( )
答案 A
解析 B中直线a不应超出平面α；C中直线a不在平面α内；D中直线a与平面α相交．
3．如果点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，则可以表示为( )
A．A?a，a?α，B∈α B．A∈a，a?α，B∈α
C．A?a，a∈α，B?α D．A∈a，a∈α，B∈α
答案 B
解析 点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，表示为A∈a，a?α，B∈α.
4．下面四个条件中，能确定一个平面的条件是( )
A．空间中任意三点 B．空间中两条直线 C．一条直线和一个点 D．两条平行直线
答案 D
5.如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是________．
答案 P∈直线DE
解析 因为P∈AB，AB?平面ABC，所以P∈平面ABC.
又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，所以P∈直线DE.
1.解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言．文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚．
2．在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时初步体会三个公理的作用，突出先部分再整体的思想．
一、选择题
1．下列四个选项中的图形表示两个相交平面，其中画法正确的是( )
答案 D
解析 画两个相交平面时，被遮住的部分用虚线表示．
2．下列说法中正确的是( )
A．三点确定一个平面
B．四边形一定是平面图形
C．梯形一定是平面图形
D．两个不同平面α和β有不在同一条直线上的三个公共点
答案 C
解析 不共线的三点确定一个平面，故A不正确；四边形有时指空间四边形，故B不正确；梯形的上底和下底平行，可以确定一个平面，故C正确；两个平面如果相交，一定有一条交线，所有这两个平面的公共点都在这条交线上，故D不正确．故选C.
3．如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是( )
A．A，B，C，D四点中必有三点共线
B．A，B，C，D四点中不存在三点共线
C．直线AB与CD相交
D．直线AB与CD平行
答案 B
解析 两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确定一个平面．
4．如果直线a?平面α，直线b?平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则( )
A．l?α B．l?α
C．l∩α＝M D．l∩α＝N
答案 A
解析 ∵M∈a，a?α，
∴M∈α，同理，N∈α，
又M∈l，N∈l，故l?α.
5．三条两两相交的直线最多可确定的平面的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．无数
答案 C
解析 在空间中，两两相交的三条直线最多可以确定3个平面，如图所示：
PA，PB，PC相交于一点P，则PA，PB，PC不共面，则PA，PB确定一个平面PAB，PB，PC确定一个平面PBC，PA，PC确定一个平面PAC.故选C.
6．已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理错误的是( )
A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β?a?β
B．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β?α∩β＝MN
C．A∈α，A∈β?α∩β＝A
D．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线?α，β重合
答案 C
解析 ∵A∈α，A∈β，∴A∈(α∩β)．
由公理可知α∩β为经过A的一条直线而不是点A.
故α∩β＝A的写法错误．
7．一条直线和直线外的三点所确定的平面有( )
A．1个或3个
B．1个或4个
C．1个，3个或4个
D．1个，2个或4个
答案 C
解析 若三点在同一直线上，且与已知直线平行或相交，或该直线在由该三点确定的平面内，则均确定1个平面；若三点有两点连线和已知直线平行时可确定3个平面；若三点不共线，且该直线在由该三点确定的平面外，则可确定4个平面．
8．空间中有五个点，其中有四个点在同一平面内，但没有任何三点共线，这样的五个点确定平面的个数最多可以是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
答案 D
解析 可以想象四棱锥的5个顶点，它们总共确定7个平面．
二、填空题
9．若直线l上有两个点在平面α内，则下列说法中正确的序号为________．
①直线l上至少有一个点在平面α外；
②直线l上有无穷多个点在平面α外；
③直线l上所有点都在平面α内；
④直线l上至多有两个点在平面α内
答案 ③
10．三条平行直线最多能确定的平面的个数为__________．
答案 3
解析 当三条平行直线在一个平面内时，可以确定1个平面；当三条平行直线不在同一平面上时，可以确定3个平面．综上最多可确定3个平面．
11．已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是________．
答案 1或4
解析 其中三个点可确定唯一的平面，当第四个点在此平面内时，可确定1个平面，当第四个点不在此平面内时，则可确定4个平面．
12．若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是________．
答案 三点共线
解析 ∵AC∥BD，
∴AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝直线CD.
∵l∩α＝O，∴O∈α.
又∵O∈AB?β，
∴O∈直线CD，
∴O，C，D三点共线．
三、解答题
13．如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AB的中点，F是A1A的中点，求证：
(1)E，C，D1，F四点共面；
(2)直线CE，D1F，DA三线共点．
证明 (1)如图，连接EF，D1C，A1B.
∵E为AB的中点，F为AA1的中点，
∴EF∥A1B，且EF＝A1B，
又∵A1B∥D1C，且A1B＝D1C，
∴EF∥D1C，且EF＝D1C，
∴E，F，D1，C四点共面．
(2)∵EF∥CD1，EF∴CE与D1F必相交，设交点为P，
则由P∈直线CE，CE?平面ABCD，
得P∈平面ABCD.
同理，P∈平面ADD1A1.
又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，
∴P∈直线DA.
∴CE，D1F，DA三线共点．
四、探究与拓展
14．如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，求由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”有多少个．
解 正方体的一条棱长对应着2个“正交线面对”，12条棱长共对应着24个“正交线面对”；正方体的一条面对角线对应着1个“正交线面对”，12条面对角线对应着12个“正交线面对”，共有36个．
15.如图，在直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线．
解 很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上．
由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示，
∵E∈AC，AC?平面SAC，
∴E∈平面SAC.
同理，可证E∈平面SBD.
∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，则连接SE，直线SE就是平面SBD和平面SAC的交线．
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
学习目标 1.了解空间中两条直线的位置关系.2.理解异面直线的概念、画法.3.理解并掌握公理4及等角定理.4.了解异面直线所成角的概念，会求一些较特殊的异面直线所成的角．
知识点一 空间两直线的位置关系
思考 在同一平面内，两条直线有几种位置关系？
观察下面两个图形，你能找出既不平行又不相交的两条直线吗？
答案 平行与相交．
教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线；六角螺母中直线AB与CD.
梳理 异面直线的概念
(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线．
(2)异面直线的画法(衬托平面法)
如图(1)(2)所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托．
(3)判断两直线为异面直线的方法
①定义法；②两直线既不平行也不相交．
(4)空间两条直线的三种位置关系
①从是否有公共点的角度来分：
②从是否共面的角度来分：
知识点二 平行公理(公理4)
思考 在平面内，直线a，b，c，若a∥b，b∥c则a∥c.该结论在空间中是否成立？
答案 成立．
梳理 平行公理的内容
(1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
(2)符号表示：?a∥c.
知识点三 等角定理
思考 观察图，在长方体ABCD—A′B′C′D′中，∠ADC与∠A′D′C′，∠ADC与∠D′A′B′的两边分别对应平行，
这两组角的大小关系如何？
答案 从图中可以看出，∠ADC＝∠A′D′C′，∠ADC＋∠D′A′B′＝180°.
梳理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补．
知识点四 异面直线所成的角
思考 在长方体A1B1C1D1—ABCD中，BC1∥AD1，则“直线BC1与直线BC所成的角”与“直线AD1与直线BC所成的角”是否相等？
答案 相等．
梳理
定义
前提
两条异面直线a，b
作法
经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b
结论
我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)
范围
记异面直线a与b所成的角为θ，则0°<θ≤90°
特殊情况
当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b
1．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线．( × )
2．两直线若不是异面直线，则必相交或平行．( √ )
3．若AB∥A′B′，AC∥A′C′，则∠BAC＝∠B′A′C′.( × )
类型一 空间两直线位置关系的判定
例1 如图所示，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的是( )
答案 C
解析 不能严格根据异面直线的定义对两直线的位置关系作出正确判断，仅凭主观臆测和对图形的模糊认识作出选择．A，B中，PQ∥RS，D中，PQ和RS相交．故选C.
反思与感悟 (1)判断空间中两条直线位置关系的关键点
①建立空间观念，全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系，特别关注异面直线．
②重视正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系．
(2)判定两条直线是异面直线的方法
①证明两条直线既不平行又不相交．
②重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A?α，B∈α，B?l，l?α，则AB与l是异面直线(如图)．
跟踪训练1 (1)若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是( )
A．平行 B．异面
C．相交 D．平行、相交或异面
答案 D
解析 可借助长方体来判断．
如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，A′D′所在直线为a，AB所在直线为b，已知a和b是异面直线，b和c是异面直线，则c可以是长方体ABCD－A′B′C′D′中的B′C′，CC′，DD′.故a和c可以平行、相交或异面．
(2)如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 还原的正方体如图所示．是异面直线的共三对，分别为AB与CD，AB与GH，EF与GH.
类型二 平行公理和等角定理的应用
例2 在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F，E′，F′分别是AB，BC，A′B′，B′C′的中点，求证：EE′∥FF′.
证明 因为E，E′分别是AB，A′B′的中点，
所以BE∥B′E′，且BE＝B′E′.
所以四边形EBB′E′是平行四边形，
所以EE′∥BB′，同理可证FF′∥BB′.
所以EE′∥FF′.
引申探究
1．在本例中，若M，N分别是A′D′，C′D′的中点，求证：四边形ACNM是梯形．
证明 在正方体中，MN∥A′C′，且MN＝A′C′，
因为A′C′∥AC，且A′C′＝AC，
所以MN∥AC，且MN＝AC.
又AM与CN不平行，
故四边形ACNM是梯形．
2．若将本例变为已知E，E′分别是正方体ABCD－A′B′C′D′的棱AD，A′D′的中点．求证：∠BEC＝∠B′E′C′.
证明 (1)如图所示，连接EE′.
因为E，E′分别是AD，A′D′的中点，
所以AE∥A′E′，且AE＝A′E′.
所以四边形AEE′A′是平行四边形．
所以AA′∥EE′，且AA′＝EE′.
又因为AA′∥BB′，且AA′＝BB′，
所以EE′∥BB′，且EE′＝BB′，
所以四边形BEE′B′是平行四边形，
所以BE∥B′E′.
同理可证CE∥C′E′.
又∠BEC与∠B′E′C′的两边方向相同，
所以∠BEC＝∠B′E′C′.
反思与感悟 (1)空间两直线平行的证明方法
证明空间两条直线平行的方法有两个：一是利用平面几何知识(三角形、梯形的中位线，平行四边形性质，平行线分线段成比例定理等)证明；二是利用公理4，就是需要找到第三条直线c，使a∥c，b∥c，由公理4得到a∥b.
(2)空间角相等的证明方法
①等角定理是较常用的方法．
②转化为平面图形中的三角形全等或相似来证明．
跟踪训练2 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BB1，BC的中点．求证：△EFG∽△C1DA1.
证明 如图，连接B1C.
因为G，F分别为BC，BB1的中点，
所以GF∥B1C且GF＝B1C.
又ABCD—A1B1C1D1为正方体，
所以CD∥AB且CD＝AB，
A1B1∥AB且A1B1＝AB，
由公理4知CD∥A1B1且CD＝A1B1，
所以四边形A1B1CD为平行四边形，
所以A1D∥B1C且A1D＝B1C.又B1C∥FG，
由公理4知A1D∥FG.
同理可证：A1C1∥EG，DC1∥EF.
又∠DA1C1与∠EGF，∠A1DC1与∠EFG，∠DC1A1与∠GEF的两边分别对应平行且均为锐角，所以∠DA1C1＝∠EGF，∠A1DC1＝∠EFG，∠DC1A1＝∠GEF.
所以△EFG∽△C1DA1.
类型三 求异面直线所成的角
例3 在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成锐角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小．
解 如图所示，取AC的中点G，连接EG，FG，
则EG∥AB且EG＝AB，
GF∥CD且GF＝CD，
由AB＝CD知EG＝FG，
从而可知∠GEF为EF与AB所成角，∠EGF或其补角为AB与CD所成角．
∵AB与CD所成角为30°，
∴∠EGF＝30°或150°，
由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，
当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°，
当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°，
故EF与AB所成角的大小为15°或75°.
反思与感悟 求两条异面直线所成的角的一般步骤
(1)构造角：根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线夹角的相关角.
(2)计算角：求角度，常利用三角形．
(3)确定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求
异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角．
跟踪训练3 在正方体AC1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小．
解 如图①，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G.
则OG∥B1D，EF∥A1C1.
∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角．
∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，
∴GO⊥A1C1.
∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.
1．若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是( )
A．共面 B．平行
C．异面 D．平行或异面
答案 D
解析 若直线a和b共面，则由题意可知a∥b；若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线．
2．若OA∥O′A′，OB∥O′B′，且∠AOB＝130°，则∠A′O′B′为( )
A．130° B．50°
C．130°或50° D．不能确定
答案 C
解析 根据定理，∠A′O′B′与∠AOB相等或互补，
即∠A′O′B′＝130°或∠A′O′B′＝50°.
3．一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是( )
A．平行或异面 B．相交或异面
C．异面 D．相交
答案 B
解析 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AA1与BC是异面直线，又AA1∥BB1，AA1∥DD1，显然BB1∩BC＝B，DD1与BC是异面直线，故选B.
4．对角线互相垂直的空间四边形ABCD各边中点分别为M，N，P，Q，则四边形MNPQ是________．
答案 矩形
解析 如图所示．
∵点M，N，P，Q分别是四条边的中点，
∴MN∥AC，且MN＝AC，
PQ∥AC且PQ＝AC，
即MN∥PQ且MN＝PQ，
∴四边形MNPQ是平行四边形．
又∵BD∥MQ，AC⊥BD，
∴MN⊥MQ，
∴平行四边形MNPQ是矩形．
5．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中．
(1)求A1C1与B1C所成角的大小；
(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．
解 (1)如图所示，连接AC，AB1.
由六面体ABCD－A1B1C1D1是正方体知，
四边形AA1C1C为平行四边形，
∴AC∥A1C1，从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角．
在△AB1C中，由AB1＝AC＝B1C，
可知∠B1CA＝60°，
即A1C1与B1C所成的角为60°.
(2)如图所示，连接BD.
由(1)知AC∥A1C1，
∴AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角．
∵EF是△ABD的中位线，∴EF∥BD.
又∵AC⊥BD，∴AC⊥EF，∴EF⊥A1C1，
即A1C1与EF所成的角为90°.
1．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．
2．在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径．需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为(0°，90°]，解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小．
一、选择题
1．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c( )
A．一定平行 B．一定垂直
C．一定是异面直线 D．一定相交
答案 B
解析 ∵a⊥b，b∥c，∴a⊥c.
2．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( )
A．一定平行 B．一定相交
C．一定异面 D．相交或异面
答案 D
解析 可能相交也可能异面，但一定不平行(否则与条件矛盾)．
3．两等角的一组对应边平行，则( )
A．另一组对应边平行
B．另一组对应边不平行
C．另一组对应边不可能垂直
D．以上都不对
答案 D
解析 另一组对应边可能平行，也可能不平行，也可能垂直．注意和等角定理(若两个角的对应边平行，则这两个角相等或互补)的区别．
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是侧面AA1D1D，侧面CC1D1D的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是( )
A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直
答案 C
解析 如图，连接AD1，CD1，AC，则E，F分别为AD1，CD1的中点．由三角形的中位线定理，知EF∥AC，GH∥AC，所以EF∥GH，故选C.
5．长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有( )
A．2对 B．3对
C．6对 D．12对
答案 C
解析 如图所示，在长方体中没有与体对角线平行的棱，要求与长方体体对角线AC1异面的棱所在的直线，只要去掉与AC1相交的六条棱，其余的都与体对角线异面，∴与AC1异面的棱有BB1，A1D1，A1B1，BC，CD，DD1，∴长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有6对，故选C.
6．已知直线a，b，c，下列三个命题：
①若a与b异面，b与c异面，则a与c异面；
②若a∥b，a和c相交，则b和c也相交；
③若a⊥b，a⊥c，则b∥c.
其中，正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 A
解析 ①不正确，如图；②不正确，有可能相交，也有可能异面；③不正确，可能平行，可能相交，也可能异面．
7．已知在空间四边形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，且AC＝4，BD＝6，则( )
A．1＜MN＜5 B．2＜MN＜10
C．1≤MN≤5 D．2＜MN＜5
答案 A
解析 取AD的中点H，连接MH，NH，则MH∥BD，且MH＝BD，NH∥AC，且NH＝AC，且M，N，H三点构成三角形，由三角形中三边关系，可得MH－NH8．如图，点P，Q分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线AD1，BD的中点，则异面直线PQ和BC1所成的角为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
答案 C
解析 连接AC，D1C.
由P，Q分别为AD1，BD的中点，
得PQ∥CD1.
又BC1∥AD1，
∴∠AD1C为异面直线PQ和BC1所成的角．
∵△ACD1为等边三角形，
∴∠AD1C＝60°.
即异面直线PQ和BC1所成的角为60°.
二、填空题
9．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：
①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线AM与DD1是异面直线．
其中正确的结论为________．(填序号)
答案 ③④
解析 直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故①②错误；③④正确．
10．如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝________.
答案 5
解析 取AD的中点P，连接PM，PN，
则BD∥PM，AC∥PN，
∴∠MPN即为异面直线AC与BD所成的角，
∴∠MPN＝90°，
PN＝AC＝4，PM＝BD＝3，
∴MN＝5.
11．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
①AB⊥EF；
②AB与CM所成的角为60°；
③EF与MN是异面直线；
④MN∥CD.
以上结论正确的为________．(填序号)
答案 ①③
解析 把正方体的平面展开图还原成原来的正方体可知，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．
三、解答题
12．如图所示，E，F分别是长方体A1B1C1D1－ABCD的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF是平行四边形．
证明 设Q是DD1的中点，连接EQ，QC1.
∵E是AA1的中点，
∴EQ∥A1D1且EQ＝A1D1.
又在矩形A1B1C1D1中，
A1D1∥B1C1且A1D1＝B1C1，
∴EQ∥B1C1且EQ＝B1C1.
∴四边形EQC1B1为平行四边形，
∴B1E∥C1Q且B1E＝C1Q.
又∵Q，F是DD1，C1C两边的中点，
∴QD∥C1F且QD＝C1F，
∴四边形QDFC1为平行四边形．
∴C1Q∥DF且C1Q＝DF，
∴B1E∥DF且B1E＝DF，
∴四边形B1EDF为平行四边形．
13．如图，平面SAB为圆锥的轴截面，O为底面圆的圆心，M为母线SB的中点，N为底面圆周上的一点，AB＝4，SO＝6.
(1)求该圆锥的侧面积；
(2)若直线SO与MN所成的角为30°，求MN的长．
解 (1)由题意知SO⊥底面ABN，
在Rt△SOB中，OB＝AB＝2，SO＝6，
所以SB＝＝2.
所以该圆锥的侧面积S＝π·OB·SB＝4π.
(2)取OB的中点C，连接MC，NC，
因为M为SB的中点，
所以MC为△SOB的中位线，
所以MC∥SO，
MC＝SO＝3.
又因为SO⊥底面ABN，
所以MC⊥底面ABN，
因为NC?底面ABN，所以MC⊥NC.
因为直线SO与MN所成的角为30°，
所以∠NMC＝30°，
在Rt△MCN中，＝cos 30°，
所以MN＝＝＝2.
四、探究与拓展
14．设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线( )
A．有无数条 B．有两条
C．至多有两条 D．有一条
答案 A
解析 如图所示，过点P作直线l′∥l，以l′为轴，与l′成30°角的圆锥面的所有母线都与l成30°角．
15.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1与AC，AB所成的角均为60°，∠BAC＝90°，且AB＝AC＝AA1，求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值．
解 如图所示，把三棱柱补为四棱柱ABDC－A1B1D1C1，
连接BD1，A1D1，AD，
由四棱柱的性质知BD1∥AC1，
则∠A1BD1就是异面直线A1B与AC1所成的角．
设AB＝a，
∵AA1与AC，AB所成的角均为60°，
且AB＝AC＝AA1，
∴A1B＝a，BD1＝AC1＝2AA1·cos 30°＝a.
又∠BAC＝90°，
∴在矩形ABDC中，AD＝a，
∴A1D1＝a，
∴A1D＋A1B2＝BD，
∴∠BA1D1＝90°，
∴在Rt△BA1D1中，cos∠A1BD1＝＝＝.
2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系
2.1.4 平面与平面之间的位置关系
学习目标 1.掌握直线与平面的三种位置关系，会判断直线与平面的位置关系.2.学会用图形语言、符号语言表示三种位置关系.3.掌握空间中平面与平面的位置关系．
知识点一 直线和平面的位置关系
思考 如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中线段BC1所在的直线与长方体的六个面所在的平面有几种位置关系？
答案 三种位置关系：(1)直线在平面内；(2)直线与平面相交；(3)直线与平面平行．
梳理 直线l与平面α的位置关系
(1)直线l在平面α内(l?α)．
(2)直线l在平面α外?l?α?
知识点二 两个平面的位置关系
思考 观察前面问题中的长方体，平面A1C1与长方体的其余各个面，两两之间有几种位置关系？
答案 两种位置关系：两个平面相交或两个平面平行．
梳理 平面α与平面β的位置关系
位置关系
图示
表示法
公共点个数
两平面平行
α∥β
0个
两平面相交
α∩β＝l
无数个点(共线)
1．若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α.( × )
2．若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行．( × )
3．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行．( × )
类型一 直线与平面的位置关系
例1 (1)若直线上有一点在平面外，则下列结论正确的是( )
A．直线上所有的点都在平面外
B．直线上有无数多个点都在平面外
C．直线上有无数多个点都在平面内
D．直线上至少有一个点在平面内
(2)下列四个命题中正确命题的个数是( )
①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；
②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；
③如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b?α，那么b∥α；
④如果a与平面α上的无数条直线平行，那么直线a必平行于平面α.
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 (1)B (2)B
解析 (1)直线上有一点在平面外，则直线不在平面内，故直线上有无数多个点在平面外．
(2)如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′在过BB′的平面ABB′A′内，故命题①不正确；AA′∥平面BCC′B′，BC?平面BCC′B′，但AA′不平行于BC，故命题②不正确；③中，假设b与α相交，因为a∥b，所以a与α相交，这与a∥α矛盾，故b∥α，即③正确；④显然不正确，故选B.
反思与感悟 在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏，另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断．
跟踪训练1 (1)若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是( )
A．α内的所有直线都与直线a异面
B．α内不存在与a平行的直线
C．α内的直线都与a相交
D．直线a与平面α有公共点
答案 D
解析 直线a不平行于平面α，则a与平面α相交或a?α，故选D.
(2)一条直线l上有相异的三个点A，B，C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是( )
A．l∥α B．l⊥α
C．l与α相交但不垂直 D．l∥α或l?α
答案 D
解析 当l∥α时，直线l上任意点到α的距离都相等；当l?α时，直线l上所有的点到α的距离都是0；当l⊥α时，直线l上到α的距离相等且不为0的点有两个；当l与α斜交时，直线l上到α的距离相等且不为0的点有两个．
类型二 平面与平面的位置关系
例2 在以下三个命题中，正确的命题是( )
①平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；②平面α内有无数条直线和平面β平行，则α与β平行；③在平面α，β内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面平行或相交．
A．①② B．②③ C．③ D．①③
答案 C
解析 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对于①，平面AA1D1D中，AD∥平面A1B1C1D1，分别取AA1，DD1的中点E，F，连接EF，则EF∥平面A1B1C1D1，但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1是相交的，交线为A1D1，故命题①错；对于②，平面AA1D1D中，与平面A1B1C1D1平行的直线有无数条，但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1不平行，而是相交于直线A1D1，故命题②错．命题③是正确的，故选C.
反思与感悟 利用正方体(或长方体)这个“百宝箱”能有效地判定与两个平面的位置关系有关命题的真假，另外先假设所给定的结论成立，看是否能推出矛盾，也是一种判断两平面位置关系的有效方法．
跟踪训练2 (1)一个平面内不共线的三点到另一个平面的距离相等且不为零，则这两个平面( )
A．平行 B．相交
C．平行或重合 D．平行或相交
答案 D
解析 当三点在平面α的同侧时，如图1所示，由点A，B，C到平面α的距离相等，设到α的点为D，E，F，则有构成三个长方形ABED，BCFE，CADF，于是就有AB∥DE，BC∥EF，因为两相交直线平行，所以α∥β.当三点在平面β的异侧时，如图2所示也成立．
(2)已知两平面α，β平行，且a?α，下列四个命题：
①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；
③直线a与β内任何一条直线都不垂直；④a与β无公共点．
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 ①中a不能与β内的所有直线平行而是与无数条直线平行，有一些是异面；②正确；③中直线a与β内的无数条直线垂直；④根据定义a与β无公共点，正确．
例3 (1)画出两平行平面；
(2)画出两相交平面．
解 两个平行平面的画法：画两个平行平面时，要注意把表示平面的平行四边形画成对应边平行，如图a所示．
两个相交平面的画法：第一步，先画表示平面的平行四边形的相交两边，如图b所示；第二步，再画出表示两个平面交线的线段，如图c所示；第三步，过b中线段的端点分别引线段，使它们平行且等于图c中表示交线的线段，如图d所示；第四步，画出表示平面的平行四边形的第四边(被遮住部分线段可画成虚线，也可不画)，如图e所示．
引申探究
在图中画出一个平面与两个平行平面相交．
解
跟踪训练3 试画出相交于一点的三个平面．
解 如图所示(不唯一)．
1．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的( )
A．一条直线不相交 B．两条直线不相交
C．无数条直线不相交 D．任意一条直线不相交
答案 D
解析 直线a∥平面α，则a与α无公共点，与α内的直线当然均无公共点．
2．下列说法中正确的是( )
A．两个平面可以只有一个交点
B．一条直线与一个平面最多有一个公共点
C．两个平面有一个公共点，则它们相交或重合
D．两个平面有三个公共点，它们一定重合
答案 C
解析 两平面有公共点，包括两平面重合或相交．
3．如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系为( )
A．平行
B．直线在平面内
C．相交或直线在平面内
D．平行或直线在平面内
答案 D
4．两条相交直线a，b都在平面α内且都不在平面β内，且平面α与β相交，则a和b( )
A．一定与平面β都相交
B．至少一条与平面β相交
C．至多一条与平面β相交
D．可能与平面β都不相交
答案 B
解析 设α∩β＝c，
若直线a，b都不与β相交，
则a∥c，b∥c，
∴a∥b，这与直线a，b相交矛盾，
故直线a，b中至少一条与β相交．
5．若三个平面两两相交，则它们交线的条数为________．
答案 1或3
解析 若三个平面两两相交，有可能交于一条直线，也有可能出现3条不同的交线．
1．弄清直线与平面各种位置关系的特征，利用其定义作出判断，要有画图意识，并借助于空间想象能力进行细致的分析．
2．长方体是一个特殊的图形，当点、线、面关系比较复杂时，可以寻找长方体作为载体，将它们置于其中，立体几何中的直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映．因而人们给它以“百宝箱”之称．
一、选择题
1．直线在平面外是指( )
A．直线与平面没有公共点 B．直线与平面相交
C．直线与平面平行 D．直线与平面最多只有一个公共点
答案 D
解析 直线与平面的位置关系为：平行、相交、在平面内，其中平行和相交通称为直线在平面外，所以直线与平面最多只有一个公共点．
2．三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面之间的关系是( )
A．相交 B．平行
C．直线在平面内 D．平行或直线在平面内
答案 A
解析 延长各侧棱可恢复成棱锥的形状，所以三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面相交．
3．下列说法正确的是( )
A．如果一条直线与一个平面内的无数条直线平行，则这条直线与这个平面平行
B．两个平面相交于唯一的公共点
C．如果一条直线与一个平面有两个不同的公共点，则它们必有无数个公共点
D．平面外的一条直线必与该平面内无数条直线平行
答案 C
解析 在A中，如果一条直线与一个平面内的无数条直线平行，则这条直线与这个平面平行或这条直线在这个平面内，故A错误；在B中，两个平面相交于一条直线，故B错误；在C中，如果一条直线与一个平面有两个不同的公共点，则这条直线在平面内，它们必有无数个公共点，故C正确；在D中，当平面外的一条直线与平面相交时，则平面外的这条直线必与该平面内的直线不平行，故D错误．故选C.
4．若平面α∥平面β，l?α，则l与β的位置关系是( )
A．l与β相交 B．l与β平行
C．l在β内 D．无法判定
答案 B
解析 ∵α∥β，∴α与β无公共点．
∵l?α，∴l与β无公共点，∴l∥β.
5．若平面α与β的公共点多于两个，则( )
A．α，β可能只有三个公共点
B．α，β可能有无数个公共点，但这无数个公共点不在一条直线上
C．α，β一定有无数个公共点
D．以上均不正确
答案 C
解析 若平面α与β的公共点多于两个，则平面α与β相交或重合，故选C.
6．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是( )
A．b?α
B．b∥α
C．b?α或b∥α
D．b与α相交或b?α或b∥α
答案 D
解析 通过观察正方体，可知b与α相交或b?α或b∥α.故选D.
7．下列命题中，正确的有( )
①平行于同一直线的两条直线平行；
②平行于同一个平面的两条直线平行；
③平行于同一条直线的两个平面平行；
④平行于同一个平面的两个平面平行．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案 B
解析 ②中，也有可能是相交或异面，故②错误；③中，存在平行于两个相交平面的交线，且不在两个平面内的直线，故③错误．
8．下列说法中正确的个数是( )
①平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面有2条或3条交线；
②两个平面平行，各任取两平面的一条直线，它们不相交；
③直线a不平行于平面α，则a不平行于α内任何一条直线；
④如果α∥β，a∥α，那么a∥β.
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 ①错误，平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面有可能有2条或3条交线，还有可能只有1条交线．
②正确，两平行平面无公共点，任取的直线也无公共点，即不相交．
③错误，直线a不平行于平面α，则a有可能在平面α内，此时可以与平面内无数条直线平行．
④错误，如果α∥β，a∥α，那么a∥β或a?β.
二、填空题
9．已知下列说法：
①若两个平面α∥β，a?α，b?β，则a∥b；
②若两个平面α∥β，a?α，b?β，则a与b是异面直线；
③若两个平面α∥β，a?α，b?β，则a与b平行或异面；
④若两个平面α∩β＝b，a?α，则a与β一定相交．
其中正确的序号是____________．
答案 ③
解析 ①错，a与b也可能异面；
②错，a与b也可能平行；
③对，∵α∥β，∴α与β无公共点，又∵a?α，b?β，∴a与b无公共点，那么a∥b或a与b异面；
④错，a与β也可能平行．
10．若点A∈α，B?α，C?α，则平面ABC与平面α的位置关系是________．
答案 相交
解析 ∵点A∈α，B?α，C?α，
∴平面ABC与平面α有公共点，且不重合，
∴平面ABC与平面α的位置关系是相交．
11．下列说法中正确的是________．(填序号)
①若直线a不在平面α内，则a∥α；
②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；
③若直线l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点；
④平行于同一平面的两条直线可以相交．
答案 ③④
解析 当a∩α＝A时，a?α，故①错；当直线l与α相交时，l上有无数个点不在α内，故②错；若l∥α，则l与α无公共点，则l与α内任何一条直线都无公共点，故③正确；在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C1与B1D1相交，且都与平面ABCD平行，故④正确．故答案为③④.
12．互不重合的三个平面最多可以把空间分成________个部分．
答案 8
解析 互不重合的三个平面将空间分成五种情形：当三个平面互相平行时，将空间分成四部分；当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成六部分；当三个平面相交于同一条直线时，将空间分成六部分；当三个平面相交于三条直线时，且三条交线交于同一点时，将空间分成八个部分；当三个平面相交于三条直线，且三条交线互相平行时，将空间分成七部分．即不重合的三个平面可以将空间分成四部分或六部分或七部分或八部分．所以最多将空间分成8部分．
三、解答题
13.如图，已知平面α和β相交于直线l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A?l，B?l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论．
解 平面ABC与平面β的交线与l相交．
证明如下：
∵AB与l不平行，且AB?α，l?α，
∴AB与l是相交直线．
设AB∩l＝P，则点P∈AB，点P∈l.
又∵AB?平面ABC，l?β，
∴P∈平面ABC且P∈平面β，
即点P是平面ABC与平面β的一个公共点，
而点C也是平面ABC与平面β的一个公共点，
又∵P，C不重合，∴直线PC就是平面ABC与平面β的交线，
即平面ABC∩平面β＝直线PC，而直线PC∩l＝P，
∴平面ABC与平面β的交线与l相交．
四、探究与拓展
14．若a，b是两条异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是________．
答案 b?α，b∥α或b与α相交
解析 b与α有如下情况：
15．如图所示，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是AA1，D1C1的中点，过D，M，N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l.
(1)画出l的位置；
(2)设l∩A1B1＝P，求PB1的长．
解 (1)如图所示，连接DM并延长交D1A1的延长线于点Q，连接QN，直线QN即为直线l.
(2)QN∩A1B1＝P，由已知得△MA1Q≌△MAD，
∴A1Q＝AD＝a＝A1D1，∴A1是QD1的中点．
又A1P∥D1N，∴A1P＝D1N＝C1D1＝a，
∴PB1＝A1B1－A1P＝a－a＝a.
