§2.2 直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1 直线与平面平行的判定
学习目标 1.通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面平行的判定定理.2.掌握直线与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题．
知识点 直线与平面平行的判定定理
思考1 如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块木板绕AB转动，在转动过程中，AB的对边CD(不落在α内)和平面α有何位置关系？
答案 平行．
思考2 如图，平面α外的直线a平行于平面α内的直线b.这两条直线共面吗？直线a与平面α相交吗？
答案 由于直线a∥b，所以两条直线共面．直线a与平面α不相交．
梳理 线面平行的判定定理
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直线与平面平行的判定定理
平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行
?a∥α
1．若直线l上有两点到平面α的距离相等，则l∥平面α.( × )
2．若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线平行．( × )
3．两条平行线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行．( × )
类型一 线面平行判定定理的理解
例1 如果两直线a∥b，且a∥α，则b与α的位置关系是( )
A．相交 B．b∥α C．b?α D．b∥α或b?α
答案 D
解析 由a∥b，且a∥α，知b∥α或b?α.
反思与感悟 用判定定理判定直线a和平面α平行时，必须具备三个条件
(1)直线a在平面α外，即a?α；
(2)直线b在平面α内，即b?α；
(3)两直线a，b平行，即a∥b，这三个条件缺一不可．
跟踪训练1 下列说法正确的是( )
A．若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α
B．若直线a在平面α外，则a∥α
C．若直线a∩b＝?，直线b?α，则a∥α
D．若直线a∥b，b?α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线
答案 D
解析 A错误，直线l还可以在平面α内；B错误，直线a在平面α外，包括平行和相交；C错误，a还可以与平面α相交或在平面α内．故选D.
类型二 直线与平面平行的证明
例2 如图，S是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且＝.
求证：MN∥平面SBC.
证明 连接AN并延长交BC于P，连接SP.
因为AD∥BC，所以＝，
又因为＝，所以＝，所以MN∥SP，
又MN?平面SBC，SP?平面SBC，
所以MN∥平面SBC.
引申探究
本例中若M，N分别是SA，BD的中点，试证明MN∥平面SBC.
证明 连接AC，由平行四边形的性质可知AC必过BD的中点N，在△SAC中，M，N分别为SA，AC的中点，所以MN∥SC，又因为SC?平面SBC，MN?平面SBC，所以MN∥平面SBC.
反思与感悟 利用直线与平面平行的判定定理证线面平行的步骤
上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：利用三角形、梯形中位线的性质；利用平行四边形的性质；利用平行线分线段成比例定理．
跟踪训练2 如图，四边形ABCD是平行四边形，P是平面ABCD外一点，M，N分别是AB，PC的中点．求证：MN∥平面PAD.
证明 如图，取PD的中点G，连接GA，GN.
∵G，N分别是△PDC的边PD，PC的中点，
∴GN∥DC，GN＝DC.
∵M为平行四边形ABCD的边AB的中点，
∴AM＝DC，AM∥DC，
∴AM∥GN，AM＝GN，
∴四边形AMNG为平行四边形，∴MN∥AG.
又∵MN?平面PAD，AG?平面PAD，
∴MN∥平面PAD.
例3 在三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是棱BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．
解 如图，取线段AB的中点为M，连接A1M，MC，A1C，AC1，
设O为A1C，AC1的交点．
由已知得，O为AC1的中点，连接MD，OE，
则MD，OE分别为△ABC，△ACC1的中位线，
所以MD∥AC且MD＝AC，OE∥AC且OE＝AC，
因此MD∥OE且MD＝OE.
连接OM，从而四边形MDEO为平行四边形，则DE∥MO.
因为直线DE?平面A1MC，MO?平面A1MC，
所以直线DE∥平面A1MC.
即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，
使直线DE∥平面A1MC.
引申探究
将本例改为在三棱柱ABC－A1B1C1中，若M为AB的中点，求证：BC1∥平面A1CM.
证明 如图，连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点．
又因为M是AB的中点，连接MF，
所以BC1∥MF.
因为MF?平面A1CM，BC1?平面A1CM，
所以BC1∥平面A1CM.
反思与感悟 证明以柱体为背景包装的线面平行证明题，常用线面平行的判定定理，遇到题目中含有线段中点，常利用取中点去寻找平行线．
跟踪训练3 如图，O是长方体ABCD－A1B1C1D1底面对角线AC与BD的交点，求证：B1O∥平面A1C1D.
证明 如图，连接B1D1交A1C1于点O1，连接DO1，
∵B1B∥D1D，B1B＝D1D，
∴四边形B1BDD1为平行四边形，
∴O1B1∥DO，O1B1＝DO，
∴O1B1OD为平行四边形，
∴B1O∥O1D，
∵B1O?平面A1C1D，O1D?平面A1C1D，
∴B1O∥平面A1C1D.
1．有以下四个说法，其中正确的说法是( )
①若直线与平面没有公共点，则直线与平面平行；
②若直线与平面内的任意一条直线不相交，则直线与平面平行；
③若直线与平面内的无数条直线不相交，则直线与平面平行；
④若平面外的直线与平面内的一条直线平行，则直线与平面不相交．
A．①② B．①②③
C．①③④ D．①②④
答案 D
解析 ③中若直线在平面内，虽与平面内的无数条直线平行，但直线与平面不平行，故③不正确，①②④正确．
2．若M，N分别是△ABC边AB，AC的中点，则MN与过直线BC的平面β的位置关系是( )
A．MN∥β
B．MN与β相交或MN?β
C．MN∥β或MN?β
D．MN∥β或MN与β相交或MN?β
答案 C
解析 若平面β是△ABC所在的平面，
则MN?β.
若MN?β，则MN∥β.
故选C.
3．如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别为底面ABCD和底面A′B′C′D′的中心，则正方体的六个面中与EF平行的平面有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
答案 D
解析 由直线与平面平行的判定定理知，EF与平面AB′，平面BC′，平面CD′，平面AD′均平行．故与EF平行的平面有4个．
4．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则A1C1与平面ACE的位置关系为________．
答案 平行
解析 ∵A1C1∥AC，A1C1?平面ACE，AC?平面ACE，∴A1C1∥平面ACE.
5．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AB＝2，BC＝1，AA1＝.若D是棱CC1的中点，E是棱AB的中点，证明：DE∥平面AB1C1.
证明 取AB1的中点H，连接EH，HC1.
∵E为棱AB的中点，
∴EH∥BB1且EH＝BB1.
又∵D为棱CC1的中点，
∴DC1＝CC1，
又BB1∥CC1且BB1＝CC1，
∴EH∥DC1且EH＝DC1，
∴四边形EHC1D为平行四边形，
∴DE∥HC1.
又∵HC1?平面AB1C1，DE?平面AB1C1，
∴DE∥平面AB1C1.
1．判断或证明线面平行的常用方法
(1)定义法：证明直线与平面无公共点(不易操作)．
(2)判定定理法：a?α，b?α，a∥b?a∥α.
(3)排除法：证明直线与平面不相交，直线也不在平面内．
2．证明线线平行的常用方法
(1)利用三角形、梯形中位线的性质．
(2)利用平行四边形的性质．
(3)利用平行线分线段成比例定理．
一、选择题
1．下列条件中能得出直线m与平面α平行的是( )
A．直线m与平面α内所有直线平行
B．直线m与平面α内无数条直线平行
C．直线m与平面α没有公共点
D．直线m与平面α内的一条直线平行
答案 C
解析 A，本身说法错误；B，当直线m在平面α内时，m与α不平行；C，能推出m与α平行；D，当直线m在平面α内时，m与α不平行．故选C.
2．若直线l不平行于平面α，且l?α，则( )
A．α内的所有直线与l异面
B．α内不存在与l平行的直线
C．α内存在唯一的直线与l平行
D．α内的直线与l都相交
答案 B
解析 若在平面α内存在与直线l平行的直线，因l?α，故l∥α，这与题意矛盾．
3．过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面( )
A．不可能作出 B．只能作出一个
C．能作出无数个 D．上述三种情况都存在
答案 D
解析 设直线外两点为A，B，若直线AB∥l，则过A，B可作无数个平面与l平行；若直线AB与l异面，则只能作一个平面与l平行；若直线AB与l相交，则过A，B没有平面与l平行．
4.如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出五个结论：
①OM∥PD；
②OM∥平面PCD；
③OM∥平面PDA；
④OM∥平面PBA；
⑤OM∥平面PBC.
其中正确的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 由题意知，OM是△BPD的中位线，∴OM∥PD，故①正确；PD?平面PCD，OM?平面PCD，∴OM∥平面PCD，故②正确；同理可得：OM∥平面PDA，故③正确；OM与平面PBA和平面PBC都相交，故④，⑤不正确．故共有3个结论正确．
5．直线a，b为异面直线，过直线a与直线b平行的平面( )
A．有且只有一个
B．有无数多个
C．有且只有一个或不存在
D．不存在
答案 A
解析 在a上任取一点A，则过A与b平行的直线有且只有一条，设为b′，又∵a∩b′＝A，∴a与b′确定一个平面α，即为过a与b平行的平面，可知它是唯一的．
6．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的是( )
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
答案 B
解析 对于①，如图，连接BC交PN于点D，连接MD.
由MD∥AB，AB?平面MNP，MD?平面MNP，
得AB∥平面MNP.
对于④，由AB∥NP，AB?平面MNP，NP?平面MNP，
可得AB∥平面MNP.
7．如图所示，四边形EFGH为四面体ABCD的一个截面，若＝＝，则与平面EFGH平行的直线有( )
A．0条 B．1条
C．2条 D．3条
答案 C
解析 ∵＝，∴EF∥AB.
又EF?平面EFGH，AB?平面EFGH，
∴AB∥平面EFGH.
同理，由＝，
可证CD∥平面EFGH.
∴与平面EFGH平行的直线有2条．
8．如图，已知三棱柱ABC—A1B1C1中，E是BC的中点，D是AA1上的动点，且＝m，若AE∥平面DB1C，则m的值为( )
A. B．1 C. D．2
答案 B
解析 如图，取CB1的中点G，连接GE，DG，当m＝1时，AD＝GE＝BB1且AD∥GE，∴四边形ADGE为平行四边形，则AE∥DG，又AE?平面DB1C，DG?平面DB1C，可得AE∥平面DB1C.
二、填空题
9．已知l，m是两条直线，α是平面，若要得到“l∥α”，则需要在条件“m?α，l∥m”中另外添加的一个条件是________．
答案 l?α
10．三棱锥SABC中，G为△ABC的重心，E在棱SA上，且AE＝2ES，则EG与平面SBC的关系为________．
答案 平行
解析 如图，延长AG交BC于F，连接SF，则由G为△ABC的重心知AG∶GF＝2，又AE∶ES＝2，∴EG∥SF，又SF?平面SBC，EG?平面SBC，
∴EG∥平面SBC.
11．如图，在五面体FE－ABCD中，四边形CDEF为矩形，M，N分别是BF，BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是________．
答案 平行
解析 ∵M，N分别是BF，BC的中点，∴MN∥CF.
又四边形CDEF为矩形，
∴CF∥DE，
∴MN∥DE.
又MN?平面ADE，DE?平面ADE，∴MN∥平面ADE.
三、解答题
12．如图，O是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，C为底面圆周上一点．
(1)若弧BC的中点为D.求证：AC∥平面POD；
(2)如果△PAB的面积是9，求此圆锥的表面积．
(1)证明 设BC∩OD＝E，
∵D是弧BC的中点，
∴E是BC的中点，
又∵O是AB的中点，
∴AC∥OE，
又∵AC?平面POD，OE?平面POD，
∴AC∥平面POD.
(2)解 设圆锥底面半径为r，高为h，母线长为l，
∵圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，
∴h＝r，l＝r，
∵S△PAB＝×2r×h＝r2＝9，
∴r＝3，
∴S表＝πrl＋πr2＝πr×r＋πr2＝9(1＋)π.
13.如图，在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．
求证：BD∥平面FGH.
证明 如图，连接DG，CD，设CD∩GF＝O，连接OH.
在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC且DF＝GC，
所以四边形DFCG为平行四边形，则O为CD的中点，
又H为BC的中点，所以OH∥BD.
又OH?平面FGH，BD?平面FGH，
所以BD∥平面FGH.
四、探究与拓展
14．如图，在四面体ABCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．
答案 平面ABC，平面ABD
解析 连接BN，AM，并延长交CD于点E.
由题意易得MN∥AB，MN?平面ABC，AB?平面ABC，AB?平面ABD，
∴MN∥平面ABC，MN∥平面ABD.
15.如图，四边形ABCD为正方形，△ABE为等腰直角三角形，AB＝AE，P是线段CD的中点，在直线AE上是否存在一点M，使得PM∥平面BCE.若存在，指出点M的位置，并证明你的结论．
解 如图，存在点M，当点M是线段AE的中点时，
PM∥平面BCE.
取BE的中点N，连接CN，MN，
MN∥AB且MN＝AB，
又PC∥AB且PC＝AB，
所以四边形MNCP为平行四边形，所以PM∥CN.
因为PM?平面BCE，CN?平面BCE，
所以PM∥平面BCE.
2.2.2 平面与平面平行的判定
学习目标 1.通过直观感知、操作确认，归纳出平面与平面平行的判定定理.2.掌握平面与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题．
知识点 平面与平面平行的判定定理
思考1 三角板的两条边所在直线分别与平面α平行，这个三角板所在平面与平面α平行吗？
答案 平行．
思考2 如图，平面BCC1B1内有多少条直线与平面ABCD平行？这两个平面平行吗？
答案 无数条．不平行．
梳理 面面平行的判定定理
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平面与平面平行的判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行
?β∥α
1．若一个平面内的两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行．( × )
2．若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行．( √ )
类型一 面面平行判定定理的理解
例1 α，β是两个不重合的平面，在下列条件下，可判定α∥β的是( )
A．α，β都平行于直线l，m
B．α内有三个不共线的点到β的距离相等
C．l，m是α内的两条直线且l∥β，m∥β
D．l，m是异面直线且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β
答案 D
解析 对A，当α∩β＝a，l∥m∥a时，
不能推出α∥β；
对B，当α∩β＝a，且在平面α内同侧有两点，另一侧有一个点，三点到平面β的距离相等时，不能推出α∥β；
对C，当l∥m时，不能推出α∥β；
对D，∵l，m是两条异面直线，
且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β，
∴α内存在两条相交直线与平面β平行，故可得α∥β.
反思与感悟 (1)在判定两个平面是否平行时，一定要强调一个平面内的“两条相交直线”这个条件，线不在多，相交就行．
(2)借助于常见几何体(如正方体)进行分析．
跟踪训练1 如果一个锐角的两边与另一个角的两边分别平行，下列结论一定成立的是( )
A．这两个角相等
B．这两个角互补
C．这两个角所在的两个平面平行
D．这两个角所在的两个平面平行或重合
答案 D
类型二 平面与平面平行的证明
例2 如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是平行四边形，点G和点H分别是CE和CF的中点．
求证：平面BDGH∥平面AEF.
证明 在△CEF中，因为G，H分别是CE，CF的中点，
所以GH∥EF，
又因为GH?平面AEF，EF?平面AEF，
所以GH∥平面AEF.
设AC∩BD＝O，连接OH，在△ACF中，
因为OA＝OC，CH＝HF，
所以OH∥AF，
又因为OH?平面AEF，AF?平面AEF，
所以OH∥平面AEF.
又因为OH∩GH＝H，OH，GH?平面BDGH，
所以平面BDGH∥平面AEF.
反思与感悟 平面与平面平行的判定方法
(1)定义法：两个平面没有公共点．
(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．
(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β.
(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
跟踪训练2 如图，在四棱锥P－ABCD中，点E为PA的中点，点F为BC的中点，底面ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O.
求证：平面EFO∥平面PCD.
证明 因为四边形ABCD是平行四边形，AC∩BD＝O，
所以点O为BD的中点．
又因为点F为BC的中点，所以OF∥CD.
又OF?平面PCD，CD?平面PCD，
所以OF∥平面PCD，
因为点O，E分别是AC，PA的中点，所以OE∥PC，
又OE?平面PCD，PC?平面PCD，
所以OE∥平面PCD.
又OE?平面EFO，OF?平面EFO，且OE∩OF＝O，
所以平面EFO∥平面PCD.
类型三 线面平行与面面平行的综合应用
例3 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点S是B1D1的中点，点E，F，G分别是BC，DC和SC的中点，求证：
(1)直线EG∥平面BDD1B1；
(2)平面EFG∥平面BDD1B1.
证明 (1)如图，连接SB.
∵点E，G分别是BC，SC的中点，
∴EG∥SB.
又∵SB?平面BDD1B1，EG?平面BDD1B1，
∴EG∥平面BDD1B1.
(2)连接SD.
∵点F，G分别是DC，SC的中点，
∴FG∥SD.
又∵SD?平面BDD1B1，FG?平面BDD1B1，
∴FG∥平面BDD1B1.
又EG∥平面BDD1B1，
且EG?平面EFG，FG?平面EFG，EG∩FG＝G，
∴平面EFG∥平面BDD1B1.
反思与感悟 解决线面平行与面面平行的综合问题的策略
(1)立体几何中常见的平行关系是线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立的，而是相互联系、相互转化的．
(2)判定,判定,
所以平行关系的综合问题的解决必须灵活运用三种平行关系的判定定理．
跟踪训练3 如图所示，P是△ABC所在平面外的一点，点A′，B′，C′分别是△PBC，△PCA，△PAB的重心．
(1)求证：平面ABC∥平面A′B′C′；
(2)求△A′B′C′与△ABC的面积之比．
(1)证明 分别连接PA′，PB′，PC′并延长交BC，AC，AB于点D，E，F，连接DE，EF，DF.
∵点A′，C′分别是△PBC，△PAB的重心，
∴PA′＝PD，PC′＝PF，
∴A′C′∥DF.
∵A′C′?平面ABC，DF?平面ABC，
∴A′C′∥平面ABC.
同理，A′B′∥平面ABC.
又A′C′∩A′B′＝A′，A′C′，A′B′?平面A′B′C′，
∴平面ABC∥平面A′B′C′.
(2)解 由(1)知A′C′∥DF且A′C′＝DF，
又DF∥AC且DF＝AC，
∴A′C′∥AC且A′C′＝AC.
同理，A′B′∥AB且A′B′＝AB，
B′C′∥BC且B′C′＝BC，
∴△A′B′C′∽△ABC，
∴S△A′B′C′∶S△ABC＝1∶9.
1．下列命题中正确的是( )
A．一个平面内两条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行
B．如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
C．平行于同一直线的两个平面一定相互平行
D．如果一个平面内的无数多条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行
答案 B
解析 如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，即两个平面没有公共点，则两平面平行，故选B.
2．在正方体中，相互平行的面不会是( )
A．前后相对侧面 B．上下相对底面
C．左右相对侧面 D．相邻的侧面
答案 D
解析 由正方体的模型知前后面、上下面、左右面都相互平行，故选D.
3．在正方体EFGH－E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是( )
A．平面E1FG1与平面EGH1
B．平面FHG1与平面F1H1G
C．平面F1H1H与平面FHE1
D．平面E1HG1与平面EH1G
答案 A
解析 如图，∵EG∥E1G1，EG?平面E1FG1，E1G1?平面E1FG1，
∴EG∥平面E1FG1.
又G1F∥H1E，同理可证H1E∥平面E1FG1，
又H1E∩EG＝E，H1E，EG?平面EGH1，
∴平面E1FG1∥EGH1.
4.如图，已知在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是棱PA，PB，PC的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是________．
答案 平行
解析 在△PAB中，因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB.
又DE?平面ABC，AB?平面ABC，
所以DE∥平面ABC.
同理可证EF∥平面ABC.
又DE∩EF＝E，DE，EF?平面DEF，
所以平面DEF∥平面ABC.
5．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1中点．能否同时过D1，B两点作平面α，使平面α∥平面PAC？证明你的结论．
解 能作出满足条件的平面α，其作法如下：
如图，连接BD1，取AA1的中点M，连接D1M，
则BD1与D1M所确定的平面即为满足条件的平面α.
证明如下：连接BD交AC于O，连接PO，则PO∥D1B，又D1B?平面PAC，OP?平面PAC，故D1B∥平面PAC.
又因为M为AA1的中点，
所以D1M∥PA，又D1M?平面PAC，PA?平面PAC，
所以D1M∥平面PAC.
又因为D1M∩D1B＝D1，D1M?平面α，D1B?平面α，
所以平面α∥平面PAC.
证明面面平行的方法
(1)面面平行的定义．
(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．
(3)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．
一、选择题
1．下列四个说法中正确的是( )
A．平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥β
B．α∩γ＝a，α∩β＝b，且a∥b(α，β，γ分别表示平面，a，b表示直线)，则γ∥β
C．平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥β
D．平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则α∥β
答案 C
解析 由面面平行的判定定理知C正确．
2．如图所示，设E，F，E1，F1分别是长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，CD，A1B1，C1D1的中点，则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．不确定
答案 A
解析 ∵A1E∥BE1，A1E?平面BCF1E1，BE1?平面BCF1E1，
∴A1E∥平面BCF1E1.
同理，A1D1∥平面BCF1E1.
又A1E∩A1D1＝A1，A1E，A1D1?平面EFD1A1，
∴平面EFD1A1∥平面BCF1E1.
3．六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的底面是正六边形，则此六棱柱的面中互相平行的有( )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
答案 D
解析 由图知平面ABB1A1∥平面EDD1E1，平面BCC1B1∥平面FEE1F1，平面AFF1A1∥平面CDD1C1，平面ABCDEF∥平面A1B1C1D1E1F1，
∴此六棱柱的面中互相平行的有4对．
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为棱A1D1的动点，O为底面ABCD的中心，点E，F分别是A1B1，C1D1的中点，下列平面中与OM扫过的平面平行的是( )
A．平面ABB1A1 B．平面BCC1B1
C．平面BCFE D．平面DCC1D1
答案 C
解析 取AB，DC的中点分别为点E1和点F1，连接E1F1，则E1F1过点O，OM扫过的平面即为平面A1E1F1D1(如图)，
故平面A1E1F1D1∥平面BCFE.
5．经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作( )
A．1个或2个 B．0个或1个
C．1个 D．0个
答案 B
解析 ①当经过两点的直线与平面α平行时，可作出一个平面β使β∥α.
②当经过两点的直线与平面α相交时，由于作出的平面与平面α至少有一个公共点，故经过两点的平面都与平面α相交，不能作出与平面α平行的平面．故满足条件的平面有0个或1个．
6．已知立方体ABCD－A′B′C′D′，点E，F，G，H分别是棱AD，BB′，B′C′，DD′的中点，从中任取两点确定的直线中，与平面AB′D′平行的条数是( )
A．0 B．2 C．4 D．6
答案 D
解析 连接EG，EH，EF，FG，GH，
∵EH∥FG且EH＝FG，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∴E，F，G，H四点共面．
由EG∥AB′，EH∥AD′，EG∩EH＝E，AB′∩AD′＝A，EG，EH?平面EFGH，AB′，AD′?平面AB′D′，
可得平面EFGH∥平面AB′D′.
故平面EFGH内的每条直线都符合条件．
故选D.
7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F，G分别是棱A1B1，B1C1，BB1的中点，给出下列四个推断：
①FG∥平面AA1D1D；②EF∥平面BC1D1；③FG∥平面BC1D1；④平面EFG∥平面BC1D1.
其中推断正确的序号是( )
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
答案 A
解析 ∵在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F，G分别是棱A1B1，B1C1，BB1的中点，∴FG∥BC1.
∵BC1∥AD1，∴FG∥AD1，
又∵FG?平面AA1D1D，AD1?平面AA1D1D，
∴FG∥平面AA1D1D，故①正确；
∵EF∥A1C1，A1C1与平面BC1D1相交，
∴EF与平面BC1D1相交，故②错误；
∵FG∥BC1，FG?平面BC1D1，BC1?平面BC1D1，
∴FG∥平面BC1D1，故③正确；
∵EF与平面BC1D1相交，∴平面EFG与平面BC1D1相交，故④错误．故选A.
8．如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，点E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：
①平面EFGH∥平面ABCD；
②BC∥平面PAD；
③AB∥平面PCD；
④平面PAD∥平面PAB.
其中正确的有( )
A．①③ B．①④
C．①②③ D．②③
答案 C
解析 把平面展开图还原为四棱锥如图所示，则EH∥AB，又EH?平面ABCD，AB?平面ABCD，所以EH∥平面ABCD.同理可证EF∥平面ABCD，又EF∩EH＝E，EF，EH?平面EFGH，所以平面EFGH∥平面ABCD；平面PAD，平面PBC，平面PAB，平面PDC均是四棱锥的四个侧面，则它们两两相交．
∵AB∥CD，AB?平面PCD，CD?平面PCD，
∴AB∥平面PCD.
同理BC∥平面PAD.
二、填空题
9．已知平面α，β和直线a，b，c，且a∥b∥c，a?α，b，c?β，则α与β的关系是_____．
答案 相交或平行
解析 b，c?β，a?α，a∥b∥c，若α∥β，满足要求；若α与β相交，交线为l，b∥c∥l，a∥l，满足要求，故答案为相交或平行．
10．已知平面α和β，在平面α内任取一条直线a，在β内总存在直线b∥a，则α与β的位置关系是________．(填“平行”或“相交”)
答案 平行
解析 若α∩β＝l，则在平面α内，与l相交的直线a，
设a∩l＝A，对于β内的任意直线b，
若b过点A，则a与b相交，若b不过点A，则a与b异面，即β内不存在直线b∥a，矛盾．
故α∥β.
11．如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，
①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.
以上四个命题中，正确命题的序号是________．
答案 ①②③④
解析 以ABCD为下底面还原正方体，如图：
则易判定四个命题都是正确的．
三、解答题
12.如图，已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC.
解 ∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，
∴MQ∥AD，NQ∥BP，
而BP?平面PBC，NQ?平面PBC，
∴NQ∥平面PBC.
又∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC∥AD，
∴MQ∥BC，而BC?平面PBC，MQ?平面PBC，∴MQ∥平面PBC.
又MQ∩NQ＝Q，MQ，NQ?平面MNQ，
∴平面MNQ∥平面PBC.
13．如图，在四棱锥C－ABED中，四边形ABED是正方形，点G，F分别是线段EC，BD的中点．
(1)求证：GF∥平面ABC；
(2)若点P为线段CD的中点，平面GFP与平面ABC有怎样的位置关系？并证明．
(1)证明 如图，连接AE，由F是线段BD的中点，四边形ABED为正方形得F为AE的中点，
∴GF为△AEC的中位线，
∴GF∥AC.
又∵AC?平面ABC，GF?平面ABC，
∴GF∥平面ABC.
(2)解 平面GFP∥平面ABC，
证明如下：
连接FP，GP.
∵点F，P分别为BD，CD的中点，
∴FP为△BCD的中位线，∴FP∥BC.
又∵BC?平面ABC，FP?平面ABC，∴FP∥平面ABC，
又GF∥平面ABC，FP∩GF＝F，FP?平面GFP，
GF?平面GFP，
∴平面GFP∥平面ABC.
四、探究与拓展
14．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH上及其内部运动，则M满足______时，有MN∥平面B1BDD1.
答案 M在线段FH上
解析 连接HN，FH，FN.
∵HN∥DB，FH∥D1D，
HN∩HF＝H，BD∩DD1＝D，
HN，HF?平面FHN，DB，DD1?平面B1BDD1，
∴平面FHN∥平面B1BDD1.
∵点M在四边形EFGH上及其内部运动，∴M∈FH.
15．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F，M分别是棱B1C1，BB1，C1D1的中点，是否存在过点E，M且与平面A1FC平行的平面？若存在，请作出并证明；若不存在，请说明理由．
解 如图，设N是棱C1C上的一点，且C1N＝C1C，则平面EMN为符合要求的平面．
证明如下：设H为棱C1C的中点，连接B1H，D1H.
因为C1N＝C1C，所以C1N＝C1H.
又点E为B1C1的中点，所以EN∥B1H.
又CF∥B1H，所以EN∥CF.
又EN?平面A1FC，CF?平面A1FC，
所以EN∥平面A1FC.
同理MN∥D1H，D1H∥A1F，所以MN∥A1F，
又MN?平面A1FC，A1F?平面A1FC，
所以MN∥平面A1FC.
又EN∩MN＝N，EN，MN?平面EMN，
所以平面EMN∥平面A1FC.
2.2.3 直线与平面平行的性质
学习目标 1.掌握直线与平面平行的性质定理，明确由线面平行可推出线线平行.2.结合具体问题体会转化与化归的数学思想．
知识点 直线与平面平行的性质
思考1 如图，直线l∥平面α，直线a?平面α，直线l与直线a一定平行吗？为什么？
答案 不一定，因为还可能是异面直线．
思考2 如图，直线a∥平面α，直线a?平面β，平面α∩平面β＝b，满足以上条件的平面β有多少个？直线a，b有什么位置关系？
答案 无数个．a∥b.
梳理 线面平行的性质
文字语言
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行
符号语言
a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b
图形语言
1．若直线l∥平面α，且b?α，则l∥b.( × )
2．若直线l不平行于平面α，则直线l就不平行于平面α内的任意一条直线．( × )
3．若直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，则a∥b.( × )
类型一 有关线面平行性质定理的证明
例1 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.
证明 连接MO.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点．
又∵M是PC的中点，∴AP∥OM.
又∵AP?平面BDM，
OM?平面BDM，
∴AP∥平面BDM.
又∵AP?平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，∴AP∥GH.
引申探究
本例条件不变，求证：GH∥平面PAD.
证明 由例1证得AP∥GH.又AP?平面PAD，GH?平面PAD，
∴GH∥平面PAD.
反思与感悟 (1)利用线面平行的性质定理解题的步骤
(2)运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线，然后确定线线平行．
跟踪训练1 如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体，求证：截面MNPQ是平行四边形．
证明 因为AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB?平面ABC，
所以由线面平行的性质定理，知AB∥MN.
同理AB∥PQ，
所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.
所以截面MNPQ是平行四边形．
类型二 与线面平行性质定理有关的计算
例2 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且PA＝3，点F在棱PA上，且AF＝1，点E在棱PD上，若CE∥平面BDF，求PE∶ED的值．
解 过点E作EG∥FD交AP于点G，连接CG，
连接AC交BD于点O，连接FO.
因为EG∥FD，EG?平面BDF，
FD?平面BDF，
所以EG∥平面BDF，
又EG∩CE＝E，CE∥平面BDF，EG?平面CGE，CE?平面CGE，
所以平面CGE∥平面BDF，
又CG?平面CGE，所以CG∥平面BDF，
又平面BDF∩平面PAC＝FO，CG?平面PAC，
所以FO∥CG，又O为AC的中点，
所以F为AG的中点，所以FG＝GP＝1，
所以E为PD的中点，PE∶ED＝1∶1.
引申探究
若本例中增加条件“M是PB的中点”，试作出平面ADM与四棱锥P－ABCD的侧面PBC和PCD的交线，并说明理由．
解 取PC的中点N，连接MN，ND，即为所求．
理由如下：
设平面ADM与PC相交于点N，连接MN，DN，
因为AD∥BC，AD?平面PBC，BC?平面PBC，
所以AD∥平面PBC，
又AD?平面ADM，平面ADM∩平面PBC＝MN，
所以AD∥MN，所以MN∥BC，又M为PB的中点，
所以N为PC的中点，交线即MN，ND.
反思与感悟 利用线面平行的性质定理计算有关问题的三个关键点
(1)根据已知线面平行关系推出线线平行关系．
(2)在三角形内利用三角形中位线性质、平行线分线段成比例定理推出有关线段的关系．
(3)利用所得关系计算求值．
跟踪训练2 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，求线段FE的长度．
解 ∵EF∥平面AB1C，
又平面ADC∩平面AB1C＝AC，EF?平面ADC，
∴EF∥AC，
∵E是AD的中点，
∴EF＝AC＝×2＝.
1．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB?平面α，CD?平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是( )
A．平行 B．平行或异面
C．平行或相交 D．异面或相交
答案 B
解析 由AB∥CD，AB?平面α，CD?平面α，得CD∥α，
所以直线CD与平面α内的直线的位置关系是平行或异面．
2．若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a，b，c，…，那么这些交线的位置关系为( )
A．都平行
B．都相交且一定交于同一点
C．都相交但不一定交于同一点
D．都平行或交于同一点
答案 A
解析 因为直线l∥平面α，所以根据直线与平面平行的性质知l∥a，l∥b，l∥c，…，所以a∥b∥c∥…，故选A.
3．如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，F分别为边AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又点H，G分别为BC，CD的中点，则( )
A．BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形
B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形
C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形
D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形
答案 B
解析 由AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4知，
EF∥BD，且EF＝BD，
又∵EF?平面BCD，BD?平面BCD，
∴EF∥平面BCD，又点H，G分别为BC，CD的中点，
∴HG∥BD且HG＝BD，
∴EF∥HG且EF≠HG，故选B.
4．如图所示，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，AD，BC与平面α分别交于点M，N，且点M是AD的中点，AB＝4，CD＝6，则MN＝______.
答案 5
解析 因为AB∥平面α，AB?平面ABCD，平面ABCD∩平面α＝MN，所以AB∥MN，又点M是AD的中点，所以MN是梯形ABCD的中位线，故MN＝5.
5．如图所示，过正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1，求证：BB1∥EE1.
证明 ∵BB1∥CC1，BB1?平面CDD1C1，CC1?平面CDD1C1，
∴BB1∥平面CDD1C1.
又BB1?平面BEE1B1，
且平面BEE1B1∩平面CDD1C1＝EE1，
∴BB1∥EE1.
1．在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质．
2．要灵活应用线线平行、线面平行的相互联系、相互转化．在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法．
一、选择题
1．如图，已知S为四边形ABCD外一点，点G，H分别为SB，BD上的点，若GH∥平面SCD，则( )
A．GH∥SA
B．GH∥SD
C．GH∥SC
D．以上均有可能
答案 B
解析 因为GH∥平面SCD，GH?平面SBD，平面SBD∩平面SCD＝SD，所以GH∥SD，显然GH与SA，SC均不平行，故选B.
2．直线a∥平面α，P∈α，过点P平行于a的直线( )
A．只有一条，不在平面α内
B．有无数条，不一定在α内
C．只有一条，且在平面α内
D．有无数条，一定在α内
答案 C
解析 由线面平行性质定理知过点P平行于a的直线只有一条，且在平面α内，故选C.
3．对于直线m，n和平面α，下列命题中正确的是( )
A．如果m?α，n?α，m，n是异面直线，那么n∥α
B．如果m?α，n?α，m，n是异面直线，那么n与α相交
C．如果m?α，n∥α，m，n共面，那么m∥n
D．如果m∥α，n∥α，m，n共面，那么m∥n
答案 C
解析 由线面平行的性质定理知C正确．
4．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G，H，则GH与AB的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．平行或异面
答案 A
解析 由长方体性质知：EF∥平面ABCD，∵EF?平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，∴EF∥GH.
又∵EF∥AB，∴GH∥AB.
5．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下面结论正确的是( )
A．E，F，G，H一定是各边的中点
B．G，H一定是CD，DA的中点
C．BE∶EA＝BF∶FC，且DH∶HA＝DG∶GC
D．AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC
答案 D
解析 由于BD∥平面EFGH，所以有BD∥EH，BD∥FG，则AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC.
6．已知正方体AC1的棱长为1，点P是面AA1D1D的中心，点Q是面A1B1C1D1的对角线B1D1上一点，且PQ∥平面AA1B1B，则线段PQ的长为( )
A. B.
C．1 D.
答案 A
解析 如图，连接AD1，AB1，
∵PQ∥平面AA1B1B，
平面AB1D1∩平面AA1B1B＝AB1，
PQ?平面AB1D1，∴PQ∥AB1，
∴PQ＝AB1＝＝.
7．如图，四棱锥S－ABCD的所有的棱长都等于2，点E是SA的中点，过C，D，E三点的平面与SB交于点F，则四边形DEFC的周长为( )
A．2＋ B．3＋
C．3＋2 D．2＋2
答案 C
解析 ∵CD∥AB，CD?平面SAB，AB?平面SAB，
∴CD∥平面SAB.
又平面CDEF∩平面SAB＝EF，∴CD∥EF，
又CD∥AB，∴AB∥EF.
∵SE＝EA，∴EF为△ABS的中位线，
∴EF＝AB＝1，又DE＝CF＝，
∴四边形DEFC的周长为3＋2.
二、填空题
8.如图所示，ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.
答案 a
解析 ∵MN∥平面AC，平面PMN∩平面AC＝PQ，
∴MN∥PQ，易知DP＝DQ＝，
故PQ＝＝DP＝.
9．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有__条．
答案 0或1
解析 过直线a与交点作平面β，设平面β与α交于直线b，则a∥b，若所给n条直线中有1条是与b重合的，则此直线与直线a平行，若没有与b重合的，则与直线a平行的直线有0条．
10.如图，已知A，B，C，D四点不共面，且AB∥α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形EFHG的形状是______．
答案 平行四边形
解析 ∵AB∥α，
平面ABC∩α＝EG，
∴EG∥AB.同理FH∥AB，
∴EG∥FH.又CD∥α，平面BCD∩α＝GH，
∴GH∥CD.同理EF∥CD，
∴GH∥EF，
∴四边形EFHG是平行四边形．
11．如图所示的正方体的棱长为4，点E，F分别为A1D1，AA1的中点，则过C1，E，F的截面的周长为________．
答案 4＋6
解析 由EF∥平面BCC1B1可知平面BCC1B1与平面EFC1的交线为BC1，平面EFC1与平面ABB1A1的交线为BF，所以截面周长为EF＋FB＋BC1＋C1E＝4＋6.
三、解答题
12．如图，四边形ABCD是矩形，P?平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F，求证：四边形BCFE是梯形．
证明 ∵四边形ABCD为矩形，
∴BC∥AD.
∵AD?平面PAD，BC?平面PAD，
∴BC∥平面PAD.
∵平面BCFE∩平面PAD＝EF，
∴BC∥EF.
∵AD＝BC，AD≠EF，
∴BC≠EF，
∴四边形BCEF是梯形．
13.如图，已知E，F分别是菱形ABCD中边BC，CD的中点，EF与AC交于点O，点P在平面ABCD之外，M是线段PA上一动点，若PC∥平面MEF，试求PM∶MA的值．
解 如图，连接BD交AC于点O1，连接OM.
因为PC∥平面MEF，平面PAC∩平面MEF＝OM，PC?平面PAC，
所以PC∥OM，所以＝.
在菱形ABCD中，
因为E，F分别是边BC，CD的中点，所以＝.
又AO1＝CO1，所以＝＝，
故PM∶MA＝1∶3.
四、探究与拓展
14.如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则下列命题中错误的是( )
A．AC⊥BD B．AC∥截面PQMN
C．AC＝BD D．异面直线PM与BD所成的角为45°
答案 C
解析 由题意知PQ∥AC，QM∥BD，PQ⊥QM，则AC⊥BD，故A正确；由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故B正确；异面直线PM与BD所成的角等于PM与PN所成的角，故D正确；C是错误的，故选C.
15．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，若MB∥平面AEF，试判断点M在何位置．
解 若MB∥平面AEF，过F，B，M作平面FBMN交AE于点N，连接MN，NF.
因为BF∥平面AA1C1C，
BF?平面FBMN，
平面FBMN∩平面AA1C1C＝MN，
所以BF∥MN.
又MB∥平面AEF，MB?平面FBMN，
平面FBMN∩平面AEF＝FN，
所以MB∥FN，
所以BFNM是平行四边形，
所以MN∥BF，MN＝BF＝1.
而EC∥FB，EC＝2FB＝2，
所以MN∥EC，MN＝EC＝1，
故MN是△ACE的中位线．
所以当M是AC的中点时，
MB∥平面AEF.
2.2.4 平面与平面平行的性质
学习目标 1.掌握平面与平面平行的性质，并会应用性质解决问题.2.知道直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的平行关系可以相互转化．
知识点 平面与平面平行的性质
观察长方体ABCD—A1B1C1D1的两个面：平面ABCD及平面A1B1C1D1.
思考1 平面A1B1C1D1中的所有直线都平行于平面ABCD吗？
答案 是的．
思考2 若m?平面ABCD，n?平面A1B1C1D1，则m∥n吗？
答案 不一定，也可能异面．
思考3 过BC的平面交平面A1B1C1D1于B1C1，B1C1与BC是什么关系？
答案 平行．
梳理 两平面平行的性质定理
文字语言
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
符号语言
α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b
图形语言
1．若平面α∥平面β，l?平面β，m?平面α，则l∥m.( × )
2．夹在两平行平面的平行线段相等．( √ )
类型一 面面平行的性质定理的应用
例1 如图，平面α∥β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且AS＝3，BS＝9，CD＝34，求CS的长．
证明 设AB，CD共面γ，因为γ∩α＝AC，γ∩β＝BD，且α∥β，
所以AC∥BD，
所以△SAC∽△SBD，所以＝，
即＝，所以SC＝17.
反思与感悟 应用平面与平面平行性质定理的基本步骤
跟踪训练1 将例1改为：如图，平面α∥平面β∥平面γ，两条直线a，b分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和点D，E，F.已知AC＝15 cm，DE＝5 cm，AB∶BC＝1∶3，求AB，BC，EF的长．
解 如图所示．
连接AF，交β于点G，
则点A，B，C，G共面．
∵β∥α，平面ACF∩β＝BG，平面ACF∩γ＝CF，
∴BG∥CF，
∴△ABG ∽△ACF，
∴＝，
同理，有AD∥GE，
＝，
∴＝.
又＝，
∴AB＝AC＝ cm，
BC＝AC＝ cm.
∴EF＝3DE＝3×5＝15 cm.
例2 如图所示，平面四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D均在平行四边形A′B′C′D′外，且AA′，BB′，CC′，DD′互相平行，求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明 ∵四边形A′B′C′D′是平行四边形，
∴A′D′∥B′C′.
∵A′D′?平面BB′C′C，B′C′?平面BB′C′C，
∴A′D′∥平面BB′C′C.
同理AA′∥平面BB′C′C.
∵A′D′?平面AA′D′D，AA′?平面AA′D′D，
且A′D′∩AA′＝A′，
∴平面AA′D′D∥平面BB′C′C.
又∵平面ABCD∩平面AA′D′D＝AD，
平面ABCD∩平面BB′C′C＝BC，
∴AD∥BC.
同理可证AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形．
反思与感悟 (1)利用面面平行的性质定理证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线，往往需要有三个平面，即有两平面平行，再构造第三个面与两平行平面都相交．
(2)面面平行?线线平行，体现了转化思想与判定定理的交替使用，可实现线线、线面及面面平行的相互转化．
跟踪训练2 如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM.
证明 因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB.
又DE?平面ABC，AB?平面ABC，
所以DE∥平面ABC，
同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，
DE，DF?平面DEF，
所以平面DEF∥平面ABC.
又平面PCM∩平面DEF＝NF，
平面PCM∩平面ABC＝CM，
所以NF∥CM.
类型二 平行关系的综合应用
例3 如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点．
(1)求证：PQ∥平面DCC1D1；
(2)求PQ的长；
(3)求证：EF∥平面BB1D1D.
(1)证明 如图，连接AC，CD1.因为ABCD是正方形，且Q是BD的中点，所以Q是AC的中点，又P是AD1的中点，
所以PQ∥CD1.
又PQ?平面DCC1D1，
CD1?平面DCC1D1，
所以PQ∥平面DCC1D1.
(2)解 由(1)易知PQ＝D1C＝a.
(3)证明 方法一 取B1D1的中点O1，连接FO1，BO1，
则有FO1∥B1C1且FO1＝B1C1.
又BE∥B1C1且BE＝B1C1，
所以BE∥FO1，BE＝FO1.
所以四边形BEFO1为平行四边形，
所以EF∥BO1，
又EF?平面BB1D1D，BO1?平面BB1D1D，
所以EF∥平面BB1D1D.
方法二 取B1C1的中点E1，连接EE1，FE1，
则有FE1∥B1D1，EE1∥BB1，
且FE1∩EE1＝E1，FE1，EE1?平面EE1F，
B1D1，BB1?平面BB1D1D，
所以平面EE1F∥平面BB1D1D.
又EF?平面EE1F，
所以EF∥平面BB1D1D.
反思与感悟 线线平行、线面平行、面面平行是一个有机的整体，平行关系的判定定理、性质定理是转化平行关系的关键，其内在联系如图所示：
跟踪训练3 如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积．
解 能．分别取AB，C1D1的中点M，N，连接A1M，MC，CN，NA1.
∵平面A1B1C1D1∥平面ABCD，平面A1MCN∩平面A1B1C1D1＝A1N，平面ABCD∩平面A1MCN＝MC，
∴A1N∥MC.
同理A1M∥NC.
∴四边形A1MCN是平行四边形．
∵C1N＝C1D1＝A1B1＝A1P，C1N∥A1P，
∴四边形A1PC1N是平行四边形，
∴A1N∥PC1.同理A1M∥BP.
又∵A1N∩A1M＝A1，C1P∩PB＝P，A1N，A1M?平面A1MCN，C1P，PB?平面PBC1，
∴平面A1MCN∥平面PBC1.
故过点A1与截面PBC1平行的截面是平面A1MCN.
连接MN，作A1H⊥MN于点H.
由题意，
易得A1M＝A1N＝，MN＝2.
∴四边形A1MCN是菱形，MH＝NH＝，
∴A1H＝.
故＝2＝2××2×＝2.
1．已知长方体ABCD－A′B′C′D′，平面α∩平面ABCD＝EF，平面α∩平面A′B′C′D′＝E′F′，则EF与E′F′的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．不确定
答案 A
解析 由面面平行的性质定理易得．
2．若平面α∥平面β，直线a?α，点M∈β，过点M的所有直线中( )
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线
D．有且只有一条与a平行的直线
答案 D
解析 由于α∥β，a?α，M∈β，过M有且只有一条直线与α平行，故D项正确．
3．如图，不同在一个平面内的三条平行直线和两个平行平面相交，每个平面内以交点为顶点的两个三角形是( )
A．相似但不全等的三角形
B．全等三角形
C．面积相等的不全等三角形
D．以上结论都不对
答案 B
解析 由面面平行的性质定理，得AC∥A′C′，
则四边形ACC′A′为平行四边形，
∴AC＝A′C′.
同理BC＝B′C′，AB＝A′B′，
∴△ABC≌△A′B′C′.
4．若一平面截平行六面体，与两组相对的面相交，则截面四边形的形状一定是______________．
答案 平行四边形
解析 由面面平行的性质定理可得．
1．常用的面面平行的其他几个性质
(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．
(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．
(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
(5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．
2．空间中各种平行关系相互转化关系的示意图
一、选择题
1．两个平行平面与另两个平行平面相交所得四条直线的位置关系是( )
A．两两相互平行
B．两两相交于同一点
C．两两相交但不一定交于同一点
D．两两相互平行或交于同一点
答案 A
解析 可以想象四棱柱．由面面平行的性质定理可得．
2．下列命题：
①一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，必与另外一个平面相交；
②如果一个平面平行于两个平行平面中的一个平面，必平行于另一个平面；
③夹在两个平行平面间的平行线段相等．
其中正确的命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．0
答案 C
解析 根据面面平行的性质知①②③正确，故选C.
3．平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是( )
A．AB∥CD B．AD∥CB
C．AB与CD相交 D．A，B，C，D四点共面
答案 D
解析 充分性：A，B，C，D四点共面，由平面与平面平行的性质知AC∥BD.必要性显然成立．
4.如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC等于( )
A．2∶25 B．4∶25
C．2∶5 D．4∶5
答案 B
解析 ∵平面α∥平面ABC，平面PAB与它们的交线分别为A′B′，AB，∴AB∥A′B′，
同理B′C′∥BC，易得△ABC∽△A′B′C′，
S△A′B′C′∶S△ABC＝2＝2＝.
5．α，β，γ为三个不重合的平面，a，b，c为三条不同的直线，则下列命题中不正确的是( )
①?a∥b; ②?a∥b；
③?α∥β； ④?α∥β；
⑤?α∥a; ⑥?a∥α.
A．④⑥ B．②③⑥
C．②③⑤⑥ D．②③
答案 C
解析 由公理4及平行平面的传递性知①④正确．举反例知②③⑤⑥不正确．②中a，b可以相交，还可以异面；③中α，β可以相交；⑤中a可以在α内；⑥中a可以在α内．
6．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱A1D1的中点，过C1，B，M作正方体的截面，则这个截面的面积为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 取AA1的中点N，连接MN，NB，MC1，BC1，
由于截面被平行平面所截，所以截面为梯形，
且MN＝BC1＝，MC1＝BN＝，
∴梯形的高为，
∴梯形的面积为(＋2)×＝.
7．设α∥β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A，B分别在平面α，β内运动时，得到无数个AB的中点C，那么所有的动点C( )
A．不共面
B．当且仅当A，B分别在两条直线上移动时才共面
C．当且仅当A，B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面
D．不论A，B如何移动，都共面
答案 D
解析 如图所示，A′，B′分别是A，B两点在α，β上运动后的两点，此时AB的中点C变成A′B′的中点C′，连接A′B，取A′B的中点E.连接CE，C′E，AA′，BB′，CC′，则CE∥AA′，
又CE?α，AA′?α，∴CE∥α.
又C′E∥BB′，C′E?β，BB′?β，∴C′E∥β.
又∵α∥β，C′E?α，∴C′E∥α.
∵C′E∩CE＝E，C′E，CE?平面CC′E，
∴平面CC′E∥平面α，
∴CC′∥平面α.
∴不论A，B如何移动，所有的动点C都在过C点且与α，β平行的平面上．
8．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线( )
A．不存在 B．有1条
C．有2条 D．有无数条
答案 D
解析 显然平面D1EF与平面ADD1A1相交，则在平面ADD1A1内与这两个平面的交线平行且不重合的直线有无数条，这些直线都与平面D1EF平行．
二、填空题
9.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于M，交BC于N，则＝________.
答案
解析 ∵平面MNE∥平面ACB1，
由面面平行的性质定理可得EN∥B1C，EM∥B1A，
又∵E为BB1的中点，∴M，N分别为BA，BC的中点，
∴MN＝AC，即＝.
10.如图所示，平面α∥平面β，△ABC，△A′B′C′分别在α，β内，线段AA′，BB′，CC′共点于O，O在平面α和平面β之间，若AB＝2，AC＝2，∠BAC＝60°，OA∶OA′＝3∶2，则△A′B′C′的面积为________．
答案
解析 AA′，BB′相交于O，所以AA′，BB′确定的平面与平面α，平面β的交线分别为AB，A′B′，有AB∥A′B′，
且＝＝，同理可得＝＝，＝＝，所以△ABC，△A′B′C′面积的比为9∶4，又△ABC的面积为，所以△A′B′C′的面积为.
11．如图，在多面体ABC－DEFG中，平面ABC∥平面DEFG，AD∥BE，AC∥DG∥EF，且AB＝DE，DG＝2EF，则下列说法中正确的是____________．(填序号)
①BF∥平面ACGD；
②CF∥平面ABED；
③BC∥FG；
④平面ABED∥平面CGF.
答案 ①
解析 ∵EF∥DG，BE∥AD，BE∩EF＝E，
AD∩DG＝D，
∴平面BEF∥平面ADGC.
∵BF?平面BEF，∴BF∥平面ACGD，故①正确；
由于DG＝2EF，则四边形EFGD是梯形，
GF的延长线必与直线DE相交，
故④不正确；
选项②③不能推出．
12．如图，四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，PA＝PB＝AB＝2，E，F分别是AB，CD的中点，平面AGF∥平面PEC，PD∩平面AGF＝G，ED与AF相交于点H，则GH＝_____.
答案
解析 由ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，且AB＝CD，
又E，F分别是AB，CD的中点，
∴AE＝FD，
又∠EAH＝∠DFH，
∠AEH＝∠FDH，
∴△AEH≌△FDH，
∴EH＝DH.
∵平面AGF∥平面PEC，
又平面PED∩平面AGF＝GH，
平面PED∩平面PEC＝PE，
∴GH∥PE，
则G是PD的中点．
∵PA＝PB＝AB＝2，
∴PE＝2×sin 60°＝，
∴GH＝PE＝.
三、解答题
13．如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：EC∥A1D.
证明 因为BE∥AA1，
AA1?平面AA1D，BE?平面AA1D，
所以BE∥平面AA1D.
因为BC∥AD，AD?平面AA1D，
BC?平面AA1D，所以BC∥平面AA1D.
又BE∩BC＝B，BE?平面BCE，BC?平面BCE，
所以平面BCE∥平面AA1D.
又平面A1DCE∩平面BCE＝EC，
平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，
所以EC∥A1D.
四、探究与拓展
14．在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC.
证明 设FC的中点为I，连接GI，HI，
在△CEF中，因为G是CE的中点，所以GI∥EF，
又EF∥OB，所以GI∥OB，
在△CFB中，因为H是FB的中点，
所以HI∥BC，又HI∩GI＝I，OB∩BC＝B，
HI，GI?平面GHI，OB，BC?平面ABC，
所以平面GHI∥平面ABC，
因为GH?平面GHI，
所以GH∥平面ABC.
15.如图，已知在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点．若平面BC1D∥平面AB1D1，求的值．
解 如图，连接A1B交AB1于点O，连接OD1.
由棱柱的性质，知四边形A1ABB1为平行四边形，所以点O为A1B的中点．
因为平面BC1D∥平面AB1D1，
且平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，所以BC1∥D1O，
所以D1为线段A1C1的中点，所以D1C1＝A1C1.
因为平面BC1D∥平面AB1D1，
且平面AA1C1C∩平面BDC1＝DC1，平面AA1C1C∩平面AB1D1＝AD1，
所以AD1∥DC1.又因为AD∥D1C1，所以四边形ADC1D1是平行四边形，
所以AD＝C1D1＝A1C1＝AC，所以＝1.
