§2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1 直线与平面垂直的判定
学习目标 1.了解直线与平面垂直的定义；了解直线与平面所成角的概念.2.掌握直线与平面垂直的判定定理.3.会用直线与平面垂直的判定定理解决问题．
知识点一 直线与平面垂直的定义
定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直
记法
l⊥α
有关概念
直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们唯一的公共点P叫做垂足
图示
画法
画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
知识点二 直线和平面垂直的判定定理
将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触)．如图，观察折痕AD与桌面的位置关系．
思考1 折痕AD与桌面一定垂直吗？
答案 不一定．
思考2 当折痕AD满足什么条件时，AD与桌面垂直？
答案 当AD⊥BD且AD⊥CD时，折痕AD与桌面垂直．
梳理
文字语言
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
符号语言
l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，a∩b＝P?l⊥α
图形语言
知识点三 直线与平面所成的角
有关概念
对应图形
斜线
与平面α相交，但不和平面α垂直，图中直线PA
斜足
斜线和平面的交点，图中点A
射影
过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO
直线与平面所成的角
定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，图中∠PAO
规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°
取值范围
设直线与平面所成的角为θ，0°≤θ≤90°
1．若直线l⊥平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行．( × )
2．若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α.( × )
3．若a⊥b，b⊥α，则a∥α.( × )
类型一 线面垂直的定义及判定定理的理解
例1 下列命题中，正确的序号是________．
①若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；
②若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；
③若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；
④若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；
⑤过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条．
答案 ④⑤
解析 当直线l与平面α内的无数条直线垂直时，l与α不一定垂直，所以①不正确；当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以②不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以③不正确，④正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以⑤正确．
反思与感悟 (1)对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交．
(2)判定定理中要注意必须是平面内两相交直线．
跟踪训练1 (1)若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于( )
A．平面OAB B．平面OAC C．平面OBC D．平面ABC
(2)如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边．能保证该直线与平面垂直的是________．(填序号)
答案 (1)C (2)①③④
解析 (1)∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB，OC?平面OBC，
∴OA⊥平面OBC.
(2)根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，①③④中给定的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直，而②梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件．
类型二 线面垂直的判定
例2 如图，在三棱锥S－ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC.
(1)求证：SD⊥平面ABC；
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
证明 (1)因为SA＝SC，D是AC的中点，
所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，
由已知SA＝SB，
所以△ADS≌△BDS，
所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，AC，BD?平面ABC，
所以SD⊥平面ABC.
(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，
所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD.
又因为SD∩AC＝D，SD，AC?平面SAC，
所以BD⊥平面SAC.
反思与感悟 (1)利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤
①在这个平面内找两条直线，使它们和这条直线垂直；
②确定这个平面内的两条直线是相交的直线；
③根据判定定理得出结论．
(2)平行转化法(利用推论)：
①a∥b，a⊥α?b⊥α；②α∥β，a⊥α?a⊥β.
跟踪训练2 如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，C点到AB1的距离为CE，D为AB的中点．
求证：(1)CD⊥AA1；
(2)AB1⊥平面CED.
证明 (1)由题意知AA1⊥平面ABC，CD?平面ABC，
所以CD⊥AA1.
(2)因为D是AB的中点，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，
所以CD⊥AB.又CD⊥AA1，AB∩A1A＝A，
AB，A1A?平面A1B1BA，
所以CD⊥平面A1B1BA.
因为AB1?平面A1B1BA，
所以CD⊥AB1.
又CE⊥AB1，CD∩CE＝C，
CD，CE?平面CED，
所以AB1⊥平面CED.
类型三 直线与平面所成的角
例3 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
(1)求A1B与平面AA1D1D所成的角；
(2)求A1B与平面BB1D1D所成的角．
解 (1)∵AB⊥平面AA1D1D，
∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角，
在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1，
∴∠AA1B＝45°，
∴A1B与平面AA1D1D所成的角是45°.
(2)连接A1C1交B1D1于点O，连接BO.
∵A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O，BB1∩B1D1＝B1，BB1，B1D1?平面BB1D1D，
∴A1O⊥平面BB1D1D，
∴∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角．
设正方体的棱长为1，则A1B＝，A1O＝.
又∵∠A1OB＝90°，
∴sin∠A1BO＝＝，又∠A1BO∈[0°，90°]，
∴∠A1BO＝30°，
∴A1B与平面BB1D1D所成的角是30°.
反思与感悟 求直线与平面所成角的步骤：
(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线．
(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角．
(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．
跟踪训练3 如图所示，AB是圆柱的母线，BD是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上一点，且AB＝BC＝2，∠CBD＝45°，求直线BD与平面ACD所成角的大小．
解 取AC的中点E，连接BE，DE.由题意知AB⊥平面BCD，故AB⊥CD.又BD是底面圆的直径，
∴∠BCD＝90°，即CD⊥BC.
∵AB∩BC＝B，AB，BC?平面ABC，
∴CD⊥平面ABC，又∵BE?平面ABC，∴CD⊥BE.
∵AB＝BC＝2，AB⊥BC，
∴BE⊥AC且BE＝，
又AC∩CD＝C，AC，CD?平面ACD，
∴BE⊥平面ACD，
∴∠BDE即为BD与平面ACD所成的角，
又BD＝BC＝2，
∴sin∠BDE＝＝＝，
∴∠BDE＝30°，即BD与平面ACD所成的角为30°.
1．空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是( )
A．平行 B．垂直 C．相交 D．不确定
答案 B
解析 由于直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，而这两边相交于点C，所以直线l和三角形所在的平面垂直，又因三角形的第三边AB在这个平面内，所以l⊥AB.
2．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是( )
A．α∥β，且m?α B．m∥n，且n⊥β
C．m⊥n，且n?β D．m⊥n，且n∥β
答案 B
解析 A中，由α∥β，且m?α，知m∥β；B中，由n⊥β，知n垂直于平面β内的任意直线，再由m∥n，知m也垂直于β内的任意直线，所以m⊥β，符合题意；C，D中，m?β或m∥β或m与β相交，不符合题意，故选B.
3．如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是( )
A．60° B．45°
C．30° D．120°
答案 A
解析 ∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos∠ABO＝，即∠ABO＝60°.故选A.
4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线BD1与A1D所成的角为________．
答案 90°
解析 连接AD1，
∵AB⊥A1D，AD1⊥A1D，AB∩AD1＝A，AB，AD1?平面ABD1，
∴A1D⊥平面ABD1，∴A1D⊥BD1.
5．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2，E，F分别是AD，PC的中点．证明：PC⊥平面BEF.
证明 如图，连接PE，EC，在Rt△PAE和Rt△CDE中，PA＝AB＝CD，AE＝DE，
所以PE＝CE，
即△PEC是等腰三角形．
又F是PC的中点，所以EF⊥PC.
又BP＝＝2＝BC，
F是PC的中点，所以BF⊥PC.
又BF∩EF＝F，BF，EF?平面BEF，
所以PC⊥平面BEF.
1．直线和平面垂直的判定方法：
(1)利用线面垂直的定义．
(2)利用线面垂直的判定定理．
(3)利用下面两个结论：
①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β.
2．线线垂直的判定方法：
(1)异面直线所成的角是90°.
(2)线面垂直，则线线垂直．
3．求线面角的常用方法：
(1)直接法(一作(或找)二证(或说)三计算)．
(2)转移法(找过点与面平行的线或面)．
(3)等积法(三棱锥变换顶点，属间接求法)．
一、选择题
1．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有( )
A．AG⊥△EFH所在平面
B．AH⊥△EFH所在平面
C．HF⊥△AEF所在平面
D．HG⊥△AEF所在平面
答案 B
解析 根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变，
∴AH⊥平面EFH，B正确；
2．正方体ABCD－A1B1C1D1中与AD1垂直的平面是( )
A．平面DD1C1C B．平面A1DB
C．平面A1B1C1D1 D．平面A1DB1
答案 D
解析 ∵AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，A1D∩A1B1＝A1，
∴AD1⊥平面A1DB1.
故选D.
3．如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是( )
A．平行 B．垂直相交
C．垂直但不相交 D．相交但不垂直
答案 C
解析 连接AC.因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC.又MA?平面AMC，所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交．
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下面结论错误的是( )
A．BD∥平面CB1D1
B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D
D．异面直线AD与CB1所成的角为45°
答案 C
解析 由正方体的性质得BD∥B1D1，且BD?平面CB1D1，所以BD∥平面CB1D1，故A正确；因为BD⊥平面ACC1A1，所以AC1⊥BD，故B正确；异面直线AD与CB1所成的角即为AD与DA1所成的角，故为45°，所以D正确．
5．下列说法中，正确的有( )
①如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直；
②过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l垂直；
③如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面；
④垂直于角的两边的直线必垂直角所在的平面；
⑤过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
答案 B
解析 ①④不正确，其他三项均正确．
6．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB，D为PB的中点，则下列结论正确的有( )
①BC⊥平面PAB；
②AD⊥PC；
③AD⊥平面PBC；
④PB⊥平面ADC.
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
答案 D
解析 ∵PA⊥平面ABC，
∴PA⊥BC，
又BC⊥AB，PA∩AB＝A，
∴BC⊥平面PAB，
故①正确；
由BC⊥平面PAB，
得BC⊥AD，
又PA＝AB，D是PB的中点，
∴AD⊥PB，又PB∩BC＝B，PB，BC?平面PBC，
∴AD⊥平面PBC，
∴AD⊥PC，故②正确；
由AD⊥平面PBC，
∴③正确．故选D.
7．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为( )
A．90° B．60°
C．45° D．30°
答案 C
解析 如图，当DO⊥平面ABC时，三棱锥D－ABC的体积最大．
∴∠DBO为直线BD和平面ABC所成的角，
∵在Rt△DOB中，OD＝OB，
∴直线BD和平面ABC所成的角大小为45°.
二、填空题
8．如图，已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，
则图中共有直角三角形的个数为________．
答案 4
解析 ∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BC，
又BC⊥AB，
∴BC⊥平面PAB.
∴BC⊥PB，
同理得CD⊥PD，
故共有4个直角三角形．
9．如图所示，AB是⊙O的直径，PA⊥⊙O所在的平面，C是圆上一点，且∠ABC＝30°，PA＝AB，则直线PC与平面ABC所成角的正切值为________．
答案 2
解析 因为PA⊥平面ABC，所以AC为斜线PC在平面ABC上的射影，所以∠PCA即为PC与平面ABC所成的角．在Rt△PAC中，AC＝AB＝PA，所以tan∠PCA＝＝2.
10．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)
答案 ∠A1C1B1＝90°
解析 如图所示，连接B1C，由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C，因此，要证AB1⊥BC1，则只要证明BC1⊥平面AB1C，即只要证AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC即可．因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证A1C1⊥B1C1即可．(或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1＝90°等)
11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝________.
答案 90°
三、解答题
12．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AD＝2，PA＝2，PD＝2，求证：AD⊥平面PAB.
证明 在△PAD中，由PA＝2，AD＝2，PD＝2，
可得PA2＋AD2＝PD2，即AD⊥PA.
又AD⊥AB，PA∩AB＝A，PA，AB?平面PAB，
所以AD⊥平面PAB.
13．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2.
(1)求证：AC⊥B1D；
(2)求三棱锥C－BDB1的体积．
(1)证明 ∵ABCD－A1B1C1D1为正方体，
∴BB1⊥平面ABCD.
∵又AC?平面ABCD，∴BB1⊥AC.
又∵底面ABCD为正方形，
∴AC⊥BD.
∵BB1∩BD＝B，BB1，BD?平面BB1D，
∴AC⊥平面BB1D.
∵B1D?平面BDB1，∴AC⊥B1D.
(2)解 ＝.
∵B1B⊥平面ABCD，
∴B1B是三棱锥B1－BDC的高．
∵＝S△BDC·BB1＝××2×2×2＝，
∴三棱锥C－BDB1的体积为.
四、探究与拓展
14．如图所示，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是( )
A．AC⊥SB
B．AB∥平面SCD
C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
答案 D
解析 对于选项A，由题意得SD⊥AC，AC⊥BD，SD∩BD＝D，∴AC⊥平面SBD，故AC⊥SB，故A正确；对于选项B，∵AB∥CD，AB?平面SCD，∴AB∥平面SCD，故B正确；对于选项C，由对称性知SA与平面SBD所成的角与SC与平面SBD所成的角相等，故C正确．
15.如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点．
(1)求证：MN∥平面PAD；
(2)若PD与平面ABCD所成的角为45°，求证：MN⊥平面PCD.
证明 (1)取PD的中点E，连接NE，AE，如图．
又∵N是PC的中点，
∴NE∥DC且NE＝DC.
又∵DC∥AB且DC＝AB，
AM＝AB，
∴AM∥CD且AM＝CD，∴NE∥AM，且NE＝AM，
∴四边形AMNE是平行四边形，∴MN∥AE.
∵AE?平面PAD，MN?平面PAD，
∴MN∥平面PAD.
(2)∵PA⊥平面ABCD，
∴∠PDA即为PD与平面ABCD所成的角，
∴∠PDA＝45°，
∴AP＝AD，∴AE⊥PD.
又∵MN∥AE，∴MN⊥PD.
∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD.
又∵CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD?平面PAD，
∴CD⊥平面PAD.
∵AE?平面PAD，∴CD⊥AE，
∴CD⊥MN.又CD∩PD＝D，CD，PD?平面PCD，
∴MN⊥平面PCD.
2.3.2 平面与平面垂直的判定
学习目标 1.理解二面角及其平面角的概念，能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角.2.掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角.3.掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直．
知识点一 二面角的概念
(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．
(2)相关概念：①这条直线叫做二面角的棱，②两个半平面叫做二面角的面．
(3)画法：
(4)记法：二面角α－l－β或α－AB－β或P－l－Q或P－AB－Q.
(5)二面角的平面角：若有①O∈l；②OA?α，OB?β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB.
知识点二 平面与平面垂直
思考 若直线l垂直于平面α，是否经过直线l的任意一个平面都垂直于平面α？
答案 是．
梳理 两面垂直的定义及判定
(1)平面与平面垂直
①定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
②画法：
③记作：α⊥β.
(2)判定定理
文字语言
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
图形语言
符号语言
l⊥α，l?β?α⊥β
1．若l⊥α，则过l有无数个平面与α垂直．( √ )
2．两垂直平面的二面角的平面角大小为90°.( √ )
类型一 证明面面垂直
例1 如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝AD.
(1)在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由．
(2)证明：平面PAB⊥平面PBD.
(1)解 取棱AD的中点M(M∈平面PAD)，点M即为所求的一个点，理由如下：
因为AD∥BC，BC＝AD，
所以BC∥AM，且BC＝AM.
所以四边形AMCB是平行四边形，
从而CM∥AB.
又AB?平面PAB，CM?平面PAB，
所以CM∥平面PAB.
(说明：取棱PD的中点N，则所找的点可以是直线MN上任意一点)
(2)证明 由已知，PA⊥AB，PA⊥CD.
因为AD∥BC，BC＝AD，所以直线AB与CD相交，
所以PA⊥平面ABCD.
从而PA⊥BD.
又BC∥MD，且BC＝MD，
所以四边形BCDM是平行四边形，
所以BM＝CD＝AD，所以BD⊥AB.
又AB∩AP＝A，AB，AP?平面PAB，
所以BD⊥平面PAB.
又BD?平面PBD，
所以平面PAB⊥平面PBD.
引申探究
1．若将本例条件改为“PA垂直于矩形ABCD所在的平面”，试证明：平面PCD⊥平面PAD.
证明 因为PA⊥平面ABCD，
所以PA⊥CD，因为四边形ABCD为矩形，
所以CD⊥AD，又AD∩PA＝A，AD，PA?平面PAD，
所以CD⊥平面PAD，又CD?平面PCD，
所以平面PCD⊥平面PAD.
2．若将本例条件改为“PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，PB＝BC，M是PC中点”，试证明：平面MBD⊥平面PCD.
证明 连接AC，则BD⊥AC.
由PA⊥底面ABCD，可知BD⊥PA，又AC∩PA＝A，AC，PA?平面PAC，
所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥PC，
因为PB＝BC，M是PC中点，
所以BM⊥PC，又BD∩BM＝B，BM，BD?平面BMD，
所以PC⊥平面MBD.
而PC?平面PCD，
所以平面MBD⊥平面PCD.
反思与感悟 证明面面垂直常用的方法
(1)定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角．
(2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为线面垂直．
(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面．
跟踪训练1 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∠ACB＝90°，AC＝AA1，D是棱AA1的中点．
证明：平面BDC1⊥平面BDC.
证明 由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，
所以BC⊥平面ACC1A1.
又DC1?平面ACC1A1，
所以DC1⊥BC.
由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，所以∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC.
又DC∩BC＝C，所以DC1⊥平面BDC.又DC1?平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC.
类型二 求二面角的大小
例2 (1)有下列结论：
①两个相交平面组成的图形叫作二面角；
②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；
③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角；
④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．其中正确的是( )
A．①③ B．②④ C．③④ D．①②
答案 B
解析 由二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角，所以①错误，易知②正确；③中所作的射线不一定垂直于二面角的棱，故③错误；由定义知④正确．故选B.
(2)如图，已知Rt△ABC，斜边BC?α，点A?α，AO⊥α，O为垂足，∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，求二面角A－BC－O的大小．
解 如图，在平面α内，
过O作OD⊥BC，垂足为点D，连接AD，
设CO＝a.
∵AO⊥α，BC?α，∴AO⊥BC.
又AO∩DO＝O，∴BC⊥平面AOD.
而AD?平面AOD，∴BC⊥AD，
∴∠ADO即为二面角A－BC－O的平面角，
由AO⊥α，OB?α，OC?α，得AO⊥OB，AO⊥OC，
又∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，
∴AO＝a，则AC＝a，AB＝2a，
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，
∴BC＝＝a，
∴AD＝＝＝a.
在Rt△AOD中，sin∠ADO＝＝＝，
∴∠ADO＝60°，即二面角A－BC－O的大小为60°.
反思与感悟 (1)定义法：在二面角的棱上找一点，在两个半平面内过该点分别作垂直于棱的射线．
(2)垂面法：过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面形成交线，这两条射线(交线)所成的角，即为二面角的平面角．
(3)垂线法：利用线面垂直的性质来寻找二面角的平面角，这是最常用也是最有效的一种方法．
跟踪训练2 如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小．
解 由已知PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC.
∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，∴AC⊥BC.
又∵PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，
∴BC⊥平面PAC.
又PC?平面PAC，∴PC⊥BC.
又∵BC是二面角P－BC－A的棱，
∴∠PCA是二面角P－BC－A的平面角．
由PA＝AC知△PAC是等腰直角三角形，
∴∠PCA＝45°，即二面角P－BC－A的大小是45°.
1．直线l⊥平面α，l?平面β，则α与β的位置关系是( )
A．平行 B．可能重合
C．相交且垂直 D．相交不垂直
答案 C
解析 由面面垂直的判定定理，得α与β垂直，故选C.
2．下列命题中正确的是( )
A．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β
B．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥β
C．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β
D．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β
答案 C
解析 当平面α和β分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面α和β有可能平行，故A错；由直线与平面垂直的判定定理知，B、D错，C正确．
3．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，△ABD的面积是△ACD的面积的2倍，沿AD将△ABC翻折，使翻折后BC⊥平面ACD，此时二面角B－AD－C的大小为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
答案 C
解析 由已知BD＝2CD，翻折后，
在Rt△BCD中，∠BDC＝60°，
而AD⊥BD，CD⊥AD，
故∠BDC是二面角B－AD－C的平面角，其大小为60°.
4．如图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平面有( )
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
答案 D
解析 ∵PA⊥平面ABCD，
∴平面PAD⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面ABCD，
又CD⊥平面PAD，AB⊥平面PAD，BC⊥平面PAB，
∴平面PCD⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PAD，
平面PBC⊥平面PAB，
∴共有5对互相垂直的平面．
5．如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，SC⊥平面ABCD，E为SA的中点．
求证：平面EBD⊥平面ABCD.
证明 连接AC与BD交于O点，连接OE.
∵O为AC的中点，E为SA的中点，
∴EO∥SC.
∵SC⊥平面ABCD，
∴EO⊥平面ABCD.
又∵EO?平面EBD，
∴平面EBD⊥平面ABCD.
1．求二面角大小的步骤
简称为“一作二证三求”．
2．平面与平面垂直的判定定理的应用思路
(1)本质：通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂直?面面垂直．
(2)证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题来解决．
一、选择题
1．下列不能确定两个平面垂直的是( )
A．两个平面相交，所成二面角是直二面角
B．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线
C．一个平面经过另一个平面的一条垂线
D．平面α内的直线a垂直于平面β内的直线b
答案 D
解析 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面A1B1CD内的直线A1B1垂直于平面ABCD内的一条直线BC，但平面A1B1CD与平面ABCD显然不垂直．
2．已知直线m，n与平面α，β，给出下列三个结论：
①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，n⊥α，则m⊥n；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β.
其中正确结论的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 ①若m∥α，n∥α，则m与n可能平行、相交或异面，故①错误；易知②③正确．所以正确结论的个数是2.
3.如图所示，在四面体D－ABC中，若AB＝BC，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是( )
A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面ABD⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE
D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE
答案 C
解析 因为AB＝BC，且E是AC的中点，所以BE⊥AC.同理，DE⊥AC.又BE∩DE＝E，所以AC⊥平面BDE.
因为AC?平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.
因为AC?平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.
4．过两点与一个已知平面垂直的平面( )
A．有且只有一个 B．有无数个
C．有且只有一个或无数个 D．可能不存在
答案 C
解析 若过两点的直线与已知平面垂直时，此时过这两点有无数个平面与已知平面垂直，若过两点的直线与已知平面不垂直时，则有且只有一个过这两点的平面与已知平面垂直．
5．在四面体A－BCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，A－BD－C为直二面角，E是CD的中点，则∠AED等于( )
A．90° B．45° C．60° D．30°
答案 A
解析 如图，设AB＝BC＝CD＝AD＝a，取BD中点F，连接AF，CF.
由题意可得AF＝CF＝a，∠AFC＝90°.
在Rt△AFC中，可得AC＝a，
∴△ACD为正三角形．
∵E是CD的中点，
∴AE⊥CD，
∴∠AED＝90°，故选A.
6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正切值为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 如图所示，连接AC交BD于点O，连接A1O，O为BD中点，
∵A1D＝A1B，
∴在△A1BD中，A1O⊥BD.
又∵在正方形ABCD中，AC⊥BD.
∴∠A1OA为二面角A1－BD－A的平面角．
设AA1＝1，则AO＝.
∴tan∠A1OA＝＝.
7．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，E，F分别是AB，CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折．给出四个结论：
①DF⊥BC；②BD⊥FC；③平面DBF⊥平面BFC；④平面DCF⊥平面BFC.
在翻折的过程中，可能成立的结论是( )
A．①③ B．②③
C．②④ D．③④
答案 B
解析 对于①，因为BC∥AD，AD与DF相交不垂直，所以BC与DF不垂直，故①不可能成立；对于②，如图，设点D在平面BCF上的射影为点P，当BP⊥CF时，有BD⊥FC，而AD∶BC∶AB＝2∶3∶4可使条件满足，故②可能成立；对于③，当点P落在BF上时，DP?平面BDF，从而平面BDF⊥平面BCF，故③可能成立；对于④，因为点D的射影不可能在FC上，故④不可能成立，故选B.
8．在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是( )
A．BC∥平面PDF
B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面ABC
D．平面PAE⊥平面ABC
答案 C
解析 如图所示，∵BC∥DF，BC?平面PDF，DF?平面PDF，
∴BC∥平面PDF，∴A正确．
由BC⊥PE，BC⊥AE，PE∩AE＝E，
得BC⊥平面PAE，
∴DF⊥平面PAE，∴B正确．
∴平面ABC⊥平面PAE(BC⊥平面PAE)，
∴D正确．
二、填空题
9．α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：
①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题______．
答案 ①③④?②
解析 m⊥n，将m和n平移到一起，则确定一平面，
∵n⊥β，m⊥α，
∴该平面与平面α和平面β的交线也互相垂直，
从而平面α和平面β的二面角的平面角为90°，∴α⊥β.
故答案为①③④?②.
10．如果规定：x＝y，y＝z，则x＝z，叫作x，y，z关于相等关系具有传递性，那么空间三个平面α，β，γ关于相交、垂直、平行这三种关系中具有传递性的是________．
答案 平行
解析 由平面与平面的位置关系及两个平面平行、垂直的定义、判定定理，知平面平行具有传递性，相交、垂直都不具有传递性．
11．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)
答案 DM⊥PC(或BM⊥PC等)
解析 由题意得BD⊥AC，
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BD.
又PA∩AC＝A，
∴BD⊥平面PAC，
∴BD⊥PC.
∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，
即有PC⊥平面MBD，
而PC?平面PCD，
∴平面MBD⊥平面PCD.
三、解答题
12．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，D为棱CC1上任一点．
(1)求证：直线A1B1∥平面ABD；
(2)求证：平面ABD⊥平面BCC1B1.
证明 (1)由直三棱柱ABC－A1B1C1，得A1B1∥AB.
因为A1B1?平面ABD，AB?平面ABD，
所以直线A1B1∥平面ABD.
(2)因为三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，所以AB⊥BB1.
又因为AB⊥BC，BB1?平面BCC1B1，BC?平面BCC1B1，且BB1∩BC＝B，所以AB⊥平面BCC1B1.
又因为AB?平面ABD，所以平面ABD⊥平面BCC1B1.
13．如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AC，BD交于点E，F是PB的中点．求证：
(1)EF∥平面PCD；
(2)平面PBD⊥平面PAC.
证明 (1)∵四边形ABCD是正方形，
∴E是BD的中点．
又F是PB的中点，
∴EF∥PD.
又∵EF?平面PCD，PD?平面PCD，
∴EF∥平面PCD.
(2)∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC.
∵PA⊥平面ABC，BD?平面ABC，
∴PA⊥BD.
又PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，
∴BD⊥平面PAC.
又BD?平面PBD，
∴平面PBD⊥平面PAC.
四、探究与拓展
14．如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，E为BB1的中点，求证：截面A1CE⊥侧面ACC1A1.
证明 如图所示，取A1C的中点F，AC的中点G，连接FG，EF，BG，则FG∥AA1，且GF＝AA1.
因为BE＝EB1，A1B1＝CB，∠A1B1E＝∠CBE＝90°，
所以△A1B1E≌△CBE，所以A1E＝CE.
因为F为A1C的中点，所以EF⊥A1C.
又FG∥AA1∥BE，GF＝AA1＝BE，且BE⊥BG，
所以四边形BEFG是矩形，所以EF⊥FG.
因为A1C∩FG＝F，所以EF⊥侧面ACC1A1.
又因为EF?平面A1CE，所以截面A1CE⊥侧面ACC1A1.
15．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动．
(1)证明：D1E⊥A1D；
(2)求AE为何值时，二面角D1－EC－D的大小为45°？
(1)证明 连接D1A，D1B.
∵在长方形A1ADD1中，AD＝AA1＝1，
∴四边形A1ADD1为正方形，
∴A1D⊥AD1.
又由题意知AB⊥A1D，且AB∩AD1＝A，
∴A1D⊥平面ABD1.
∵D1E?平面ABD1，∴A1D⊥D1E.
(2)解 过D作DF⊥EC于点F，连接D1F.
∵D1D⊥平面DB，EC?平面DB，
∴D1D⊥EC.
又DF∩D1D＝D，
∴EC⊥平面D1DF.
∵D1F?平面D1DF，
∴EC⊥D1F，
∴∠DFD1为二面角D1－EC－D的平面角，
∴∠DFD1＝45°，又∠D1DF＝90°，D1D＝1，
∴DF＝1.
在Rt△DFC中，∵DC＝2，
∴∠DCF＝30°，
∴∠ECB＝60°.
在Rt△EBC中，∵BC＝1，
∴EB＝，AE＝2－.
2.3.3 直线与平面垂直的性质
2.3.4 平面与平面垂直的性质
学习目标 1.掌握空间中线面、面面垂直的性质定理.2.能够运用线面、面面垂直的性质定理证明一些简单的问题.3.理解线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理之间的相互联系．
知识点一 直线与平面垂直的性质定理
思考 在日常生活中常见到一排排和地面垂直的电线杆．一排电线杆中的每根电线杆都与地面垂直，这些电线杆之间的位置关系是什么？
答案 平行．
梳理
文字语言
垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言
?a∥b
图形语言
知识点二 平面与平面垂直的性质定理
思考 黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？
答案 容易发现墙壁与墙壁所在平面的交线与地面垂直，因此只要在黑板上画出一条与这条交线平行的直线，则所画直线必与地面垂直．
梳理
文字语言
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
符号语言
α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β
图形语言
1．若平面α⊥平面β，任取直线l?α，则必有l⊥β.( × )
2．已知两个平面垂直，过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．( × )
类型一 线面垂直性质定理的应用
例1 如图，已知正方体A1C.
(1)求证：A1C⊥B1D1；
(2)M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求证：MN∥A1C.
证明 (1)如图，连接A1C1.
∵CC1⊥平面A1B1C1D1，
B1D1?平面A1B1C1D1，
∴CC1⊥B1D1.
∵四边形A1B1C1D1是正方形，
∴A1C1⊥B1D1.
又∵CC1∩A1C1＝C1，
A1C1，CC1?平面A1C1C，
∴B1D1⊥平面A1C1C.
又∵A1C?平面A1C1C，∴B1D1⊥A1C.
(2)连接B1A，AD1.
∵B1C1∥AD，且B1C1＝AD
∴四边形ADC1B1为平行四边形，
∴C1D∥AB1.
∵MN⊥C1D，∴MN⊥AB1.
又∵MN⊥B1D1，AB1∩B1D1＝B1，
AB1，B1D1?平面AB1D1，
∴MN⊥平面AB1D1.
由(1)知A1C⊥B1D1.
同理可得A1C⊥AB1.
又∵AB1∩B1D1＝B1，AB1，B1D1?平面AB1D1，
∴A1C⊥平面AB1D1.
∴A1C∥MN.
反思与感悟 证明线线平行的常用方法
(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点．
(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线．
(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行．
(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直.
(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行．
跟踪训练1 如图，α∩β＝l，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A，B，a?α，a⊥AB.求证：a∥l.
证明 ∵PA⊥α，l?α，∴PA⊥l.同理PB⊥l.
∵PA∩PB＝P，PA，PB?平面PAB，∴l⊥平面PAB.
又∵PA⊥α，a?α，∴PA⊥a.
∵a⊥AB，PA∩AB＝A，PA，PB?平面PAB，
∴a⊥平面PAB.
∴a∥l.
类型二 面面垂直性质定理的应用
例2 如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.
求证：BC⊥AB.
证明 如图，在平面PAB内，
作AD⊥PB于点D.
∵平面PAB⊥平面PBC，
且平面PAB∩平面PBC＝PB，AD?平面PAB，
∴AD⊥平面PBC.
又BC?平面PBC，∴AD⊥BC.
又∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC，
又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB.
又AB?平面PAB，∴BC⊥AB.
反思与感悟 证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理．本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线．
跟踪训练2 如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为边AD的中点．
求证：(1)BG⊥平面PAD；
(2)AD⊥PB.
证明 (1)平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，
∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.
又BG?平面ABCD，∴BG⊥平面PAD.
(2)由(1)可知BG⊥AD，由题意知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD.
又BG∩PG＝G，PG，BG?平面PBG，
∴AD⊥平面PBG，又PB?平面PBG，∴AD⊥PB.
类型三 垂直关系的综合应用
例3 如图，在△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且＝＝λ(0<λ<1)．
(1)求证：无论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；
(2)是否存在实数λ，使得平面BEF⊥平面ACD.
(1)证明 ∵AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，
∴AB⊥CD.
∵CD⊥BC，AB∩BC＝B，
∴CD⊥平面ABC.
又∵＝＝λ(0<λ<1)，
∴无论λ为何值，恒有EF∥CD，
∴EF⊥平面ABC.
又∵EF?平面BEF，
∴无论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC.
(2)解 假设存在λ，使得平面BEF⊥平面ACD.
由(1)知BE⊥EF，
∵平面BEF⊥平面ACD，平面BEF∩平面ACD＝EF，BE?平面BEF，
∴BE⊥平面ACD.
又∵AC?平面ACD，
∴BE⊥AC.
∵BC＝CD＝1，∠BCD＝∠ABD＝90°，∠ADB＝60°，
∴BD＝，∴AB＝tan 60°＝，
∴AC＝＝.
由Rt△AEB∽Rt△ABC，
得AB2＝AE·AC，∴AE＝，∴λ＝＝.
故当λ＝时，平面BEF⊥平面ACD.
反思与感悟 立体几何中的探索性问题
(1)探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么．解答此类问题，先观察与尝试给出条件再给出证明．
(2)探索结论，即在给定的条件下命题的结论是什么．解答此类问题，常从条件出发，探索出要求的结论是什么．对于探索的结论是否存在问题．求解时，常假设结论存在，再寻找与条件相容还是矛盾的结论．
跟踪训练3 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为a的菱形，∠DAB＝60°，侧面PAD为等边三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.
(1)求证：AD⊥PB；
(2)若E为BC边上的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论．
(1)证明 设G为AD的中点，连接PG，BG，BD，如图．
因为△PAD为等边三角形，
所以PG⊥AD.
在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，所以△ABD为等边三角形，
又因为G为AD的中点，所以BG⊥AD.
又因为BG∩PG＝G，BG，PG?平面PGB，
所以AD⊥平面PGB.
因为PB?平面PGB，所以AD⊥PB.
(2)解 当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.
如图，设F为PC的中点，则在△PBC中，EF∥PB.
在菱形ABCD中，GB∥DE，而PB∩GB＝B，EF∩DE＝E，PB，GB?平面PGB，EF，DE?平面DEF，
所以平面DEF∥平面PGB，由(1)得，PG⊥AD，又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG?平面PAD，所以PG⊥平面ABCD，而PG?平面PGB，
所以平面PGB⊥平面ABCD，
所以平面DEF⊥平面ABCD.
1．从圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．异面 D．相交或平行
答案 B
2．给出下列命题：
①垂直于同一条直线的两个平面互相平行；
②垂直于同一个平面的两条直线互相平行；
③一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线垂直．
其中真命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 D
3．已知平面α⊥平面β，则下列命题中真命题的个数是( )
①α内的任意直线必垂直于β内的无数条直线；
②在β内垂直于α与β的交线的直线必垂直于α内的任意一条直线；
③α内的任意一条直线必垂直于β；
④过β内的任意一点作α与β交线的垂线，则这条直线必垂直于α.
A．4 B．3 C．2 D．1
答案 C
解析 ①设α∩β＝l，a?α，b?β，b⊥l，则a⊥b，故β内与b平行的无数条直线均垂直于α内的任意直线，为真命题；②β内垂直于α与β交线的直线垂直于平面α，则它垂直于α内的任意直线，为真命题；③α内不与交线垂直的直线不垂直于β，为假命题；④垂直于交线的直线必须在平面β内才与平面α垂直，否则不垂直，为假命题．
4．如图所示，已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝_____.
答案 6
解析 ∵AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，
∴AF∥DE.
又AF＝DE，∴四边形AFED为平行四边形，
故EF＝AD＝6.
5.如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面SDC⊥底面ABCD，求证：平面SDC⊥平面SBC.
证明 因为底面ABCD是矩形，所以BC⊥CD.
又平面SDC⊥平面ABCD，
平面SDC∩平面ABCD＝CD，BC?平面ABCD，
所以BC⊥平面SDC.
又因为BC?平面SBC，
所以平面SDC⊥平面SBC.
1.线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据．
2．面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的转化与化归思想，其转化关系如下：
一、选择题
1．设平面α⊥平面β，若平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则( )
A．直线a必垂直于平面β
B．直线b必垂直于平面α
C．直线a不一定垂直于平面β
D．过a的平面与过b的平面垂直
答案 C
解析 当两个平面垂直时，在一个平面内只有垂直于交线的直线才垂直于另一个平面．
2．已知m，n为两条不同直线，α，β为两个不同平面，给出下列命题：
①?n∥α ②?m∥n ③?α∥β ④?m∥n
其中正确命题的序号是( )
A．②③ B．③④
C．①② D．①②③④
答案 A
解析 ①中n，α可能平行或n在平面α内；②③正确；④两直线m，n平行或异面，故选A.
3．已知l⊥平面α，直线m?平面β.有下面四个命题：
①α∥β?l⊥m；②α⊥β?l∥m；③l∥m?α⊥β；④l⊥m?α∥β.
其中正确的两个命题是( )
A．①② B．③④ C．②④ D．①③
答案 D
解析 ∵l⊥α，α∥β，∴l⊥β，∵m?β，∴l⊥m，故①正确；∵l∥m，l⊥α，∴m⊥α，又∵m?β，∴α⊥β，故③正确．
4．如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是( )
A．EF⊥平面α
B．EF⊥平面β
C．PQ⊥GE
D．PQ⊥FH
答案 B
解析 因为EG⊥平面α，PQ?平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，则由PQ?平面β，得EF⊥PQ.又EG与EF为相交直线，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH，故选B.
5．如图所示，三棱锥PABC中，平面ABC⊥平面PAB，PA＝PB，AD＝DB，则( )
A．PD?平面ABC
B．PD⊥平面ABC
C．PD与平面ABC相交但不垂直
D．PD∥平面ABC
答案 B
6．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，AB＝BC，则下列结论中正确的是( )
A．BD1∥B1C
B．A1D1∥平面AB1C
C．BD1⊥AC
D．BD1⊥平面AB1C
答案 C
解析 连接BD.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC，
∴AC⊥BD.又AC⊥DD1，BD∩DD1＝D，
∴AC⊥平面BDD1.
∵BD1?平面BDD1，
∴AC⊥BD1.故选C.
7．如图所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α，β所成的角分别为45°和30°.过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A′，B′，则AB∶A′B′等于( )
A．2∶1 B．3∶1
C．3∶2 D．4∶3
答案 A
解析 如图：由已知得AA′⊥平面β，
∠ABA′＝30°，BB′⊥平面α，∠BAB′＝45°.
设AB＝a，则BA′＝a，BB′＝a，
在Rt△BA′B′中，A′B′＝a，∴＝2.
8．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四面体A－BCD，则在四面体A－BCD中，下列结论正确的是( )
A．平面ABD⊥平面ABC
B．平面ADC⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDC
D．平面ADC⊥平面ABC
答案 D
解析 由题意得，BD⊥CD，
又平面ABD⊥平面BCD，
且平面ABD∩平面BCD＝BD，CD?平面BCD，
∴CD⊥平面ABD，
则CD⊥AB，又AD⊥AB，AD∩CD＝D，AD，CD?平面ACD，
∴AB⊥平面ADC，
∴平面ABC⊥平面ADC.
二、填空题
9．a，b是异面直线，直线l⊥a，l⊥b，直线m⊥a，m⊥b，则l与m的位置关系是_____．
答案 平行
解析 由线面垂直的性质定理可得．
10．如图，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，O为AB中点，则图中直角三角形的个数为________．
答案 6
解析 ∵CA＝CB，O为AB的中点，∴CO⊥AB.
又平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，CO?平面ABC，
∴CO⊥平面ABD.
∵OD?平面ABD，∴CO⊥OD，∴△COD为直角三角形．
∴图中的直角三角形有△AOC，△COB，△ABC，△AOD，△BOD，△COD共6个．
11．如图所示，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A，B)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点．有以下四个命题：①PA∥平面MOB；②MO∥平面PAC；③OC⊥平面PAC；④平面PAC⊥平面PBC.其中正确的命题是______．(填上所有正确命题的序号)
答案 ②④
解析 因为PA?平面MOB，所以①不正确；因为MO∥PA，而且MO?平面PAC，所以②正确；OC不垂直于AC，所以③不正确；因为BC⊥AC，BC⊥PA，AC∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC，所以平面PAC⊥平面PBC，所以④正确．
三、解答题
12．如图，三棱锥P－ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，∠ACP＝30°，平面PAC⊥平面ABC，
求证：平面PAB⊥平面PBC.
证明 ∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PA⊥AC，PA?平面PAC，
∴PA⊥平面ABC.
又BC?平面ABC，
∴PA⊥BC.
又∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，AB?平面PAB，
PA?平面PAB，
∴BC⊥平面PAB.
又BC?平面PBC，
∴平面PAB⊥平面PBC.
13.如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．
求证：
(1)PA⊥底面ABCD；
(2)BE∥平面PAD；
(3)平面BEF⊥平面PCD.
证明 (1)∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，PA?平面PAD，PA⊥AD，∴PA⊥底面ABCD.
(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E是CD的中点，
∴AB∥DE，且AB＝DE，
∴四边形ABED为平行四边形．∴BE∥AD.
又∵BE?平面PAD，AD?平面PAD，∴BE∥平面PAD.
(3)∵AB⊥AD，四边形ABED为矩形，
∴BE⊥CD，AD⊥CD.
由(1)知PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD.
∵PA∩AD＝A，PA，AD?平面PAD，
∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD.
∵E和F分别是CD和PC的中点，
∴PD∥EF，∴CD⊥EF.
∵CD⊥BE，EF∩BE＝E，EF，BE?平面BEF，∴CD⊥平面BEF.
∵CD?平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD.
四、探究与拓展
14．如图，AA1，BB1为圆柱的母线，BC是底面圆的直径，D，E分别是BB1，A1C的中点．
(1)证明：DE∥平面ABC；
(2)证明：A1B1⊥平面A1AC.
证明 (1)如图，取AA1的中点F，连接DF，EF.因为D，E分别是BB1，A1C的中点，所以DF∥AB，EF∥AC.
又DF∩EF＝F，AB∩AC＝A，DF，EF?平面DEF，AB，AC?平面ABC，
所以平面DEF∥平面ABC.
又DE?平面DEF，所以DE∥平面ABC.
(2)因为AA1，BB1为圆柱的母线，所以AB∥A1B1.
因为AA1垂直于底面圆所在的平面，所以AA1⊥AB.
又BC是底面圆的直径，所以AB⊥AC.
又AC∩AA1＝A，AC，AA1?平面A1AC，所以AB⊥平面A1AC，
又A1B1∥AB，所以A1B1⊥平面A1AC.
15．如图①所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图②所示．
(1)求证：DE∥平面A1CB；
(2)求证：A1F⊥BE；
(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．
(1)证明 因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.
又DE?平面A1CB，BC?平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.
(2)证明 由已知得DC⊥BC且DE∥BC，
所以DE⊥DC.又DE⊥A1D，A1D∩CD＝D，A1D，CD?平面A1DC，
所以DE⊥平面A1DC，
而A1F?平面A1DC，
所以DE⊥A1F.
又因为A1F⊥CD，CD∩DE＝D，CD，DE?平面BCDE，所以A1F⊥平面BCDE，
所以A1F⊥BE.
(3)解 线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.
理由如下：
如图所示，分别取A1C，A1B的中点P，Q，连接DP，PQ，QE，
则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以DE∥PQ，所以平面DEQ即为平面DEP.
由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.
又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，
所以A1C⊥DP，又DE∩DP＝D，DE，DP?平面DEP，所以A1C⊥平面DEP，从而A1C⊥平面DEQ.
故线段A1B上存在点Q，且Q为A1B的中点时，A1C⊥平面DEQ.
