新人教A版必修2第二章点、直线、平面之间的位置关系 章末复习导学案

章末复习
学习目标　1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.提高综合运用知识的能力和空间想象能力，在空间实现平行关系、垂直关系、垂直与平行关系之间的转化．
1．四个公理
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
2．直线与直线的位置关系

3．平行的判定与性质
(1)直线与平面平行的判定与性质
判定
性质
定义
定理
图形
条件
a∩α＝?
a?α，b?α，a∥b
a∥α
a∥α，a?β，α∩β＝b
结论
a∥α
b∥α
a∩α＝?
a∥b
(2)面面平行的判定与性质
判定
性质
定义
定理
图形
条件
α∩β＝?
a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α
α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b
α∥β，a?β
结论
α∥β
α∥β
a∥b
a∥α
(3)空间中的平行关系的内在联系
4．垂直的判定与性质
(1)直线与平面垂直的判定与性质
图形
条件
结论
判定
a⊥b，b?α(b为α内的任意直线)
a⊥α
a⊥m，a⊥n，m，n?α，m∩n＝O
a⊥α
a∥b，a⊥α
b⊥α
性质
a⊥α，b?α
a⊥b
a⊥α，b⊥α
a∥b
(2)平面与平面垂直的判定与性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直
?α⊥β
性质定理
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面
?l⊥α
(3)空间中的垂直关系的内在联系
5．空间角
(1)异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a，b所成的角(或夹角)．
②范围：设两异面直线所成角为θ，则0°<θ≤90°.
(2)直线和平面所成的角
①平面的一条斜线与它在平面内的射影所成的锐角叫做这条直线与这个平面所成的角．
②当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为90°和0°.
(3)二面角的有关概念
①二面角：从一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．
②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．
类型一　空间中的平行关系
例1　如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由．
解　当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD，证明如下：如图连接AC和BD交于点O，连接FO，则PF＝PB.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是BD的中点，∴OF∥PD.
又OF?平面PMD，PD?平面PMD，
∴OF∥平面PMD.又MA∥PB且MA＝PB，
∴PF∥MA且PF＝MA，
∴四边形AFPM是平行四边形，
∴AF∥PM.又AF?平面PMD，PM?平面PMD，
∴AF∥平面PMD.
又AF∩OF＝F，AF?平面AFC，OF?平面AFC，
∴平面AFC∥平面PMD.
反思与感悟　(1)判断线面平行的两种常用方法
面面平行判定的落脚点是线面平行，因此掌握线面平行的判定方法是必要的，判定线面平行的两种方法：
①利用线面平行的判定定理．
②利用面面平行的性质，即当两平面平行时，其中一平面内的任一直线平行于另一平面．
(2)判断面面平行的常用方法
①利用面面平行的判定定理．
②面面平行的传递性(α∥β，β∥γ?α∥γ)．
③利用线面垂直的性质(l⊥α，l⊥β?α∥β)．
跟踪训练1　如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.
(1)证明：GH∥EF；
(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积．
(1)证明　因为BC∥平面GEFH，BC?平面PBC，
且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥BC.
同理可证EF∥BC，
因此GH∥EF.
(2)解　连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.
因为PA＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC，
同理可得PO⊥BD.
又BD∩AC＝O，且AC，BD?平面ABCD，
所以PO⊥平面ABCD.
又因为平面GEFH⊥平面ABCD，
且PO?平面GEFH，所以PO∥平面GEFH.
又因为平面PBD∩平面GEFH＝GK，PO?平面PBD，
所以PO∥GK，所以GK⊥平面ABCD.
又EF?平面ABCD，所以GK⊥EF，
所以GK是梯形GEFH的高．
由AB＝8，EB＝2得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4，
从而KB＝BD＝OB，即K是OB的中点．
再由PO∥GK得GK＝PO，
所以G是PB的中点，且GH＝BC＝4.
由已知可得OB＝4，PO＝＝＝6，
所以GK＝3，
故四边形GEFH的面积S＝·GK＝×3＝18.
类型二　空间中的垂直关系
例2　如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：
(1)PA⊥底面ABCD；
(2)BE∥平面PAD；
(3)平面BEF⊥平面PCD.
证明　(1)因为平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，PA?平面PAD，PA⊥AD，所以PA⊥底面ABCD.
(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，
所以AB∥DE，且AB＝DE.
所以四边形ABED为平行四边形，
所以BE∥AD.
又因为BE?平面PAD，AD?平面PAD，
所以BE∥平面PAD.
(3)因为AB⊥AD，而且四边形ABED为平行四边形，
所以BE⊥CD，AD⊥CD.
由(1)知PA⊥底面ABCD，所以AP⊥CD.
又因为AP∩AD＝A，AP，AD?平面PAD，
所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD.
因为E和F分别是CD和PC的中点，
所以PD∥EF，所以CD⊥EF.
又因为CD⊥BE，EF∩BE＝E，EF，BE?平面BEF，
所以CD⊥平面BEF.又CD?平面PCD，
所以平面BEF⊥平面PCD.
反思与感悟　(1)判定线面垂直的方法
①线面垂直定义(一般不易验证任意性)．
②线面垂直的判定定理(a⊥b，a⊥c，b?α，c?α，b∩c＝M?a⊥α)．
③平行线垂直平面的传递性质(a∥b，b⊥α?a⊥α)．
④面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝l，a?β，a⊥l?a⊥α)．
⑤面面平行的性质(a⊥α，α∥β?a⊥β)．
⑥面面垂直的性质(α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ?l⊥γ)．
(2)判定面面垂直的方法
①面面垂直的定义．
②面面垂直的判定定理．
跟踪训练2　如图所示，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．
证明：(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面ABE.
证明　(1)在四棱锥P—ABCD中，
∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD.
∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，
∴CD⊥平面PAC.
而AE?平面PAC，∴CD⊥AE.
(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.
由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，PC，CD?平面PCD，
∴AE⊥平面PCD.
而PD?平面PCD，∴AE⊥PD.
∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB.
又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，PA，AD?平面PAD，
∴AB⊥平面PAD，而PD?平面PAD，
∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，AB，AE?平面ABE，
∴PD⊥平面ABE.
类型三　空间角的求解
例3　如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA＝BD＝，AD＝2，PA＝PD＝，E，F分别是棱AD，PC的中点．
(1)证明：EF∥平面PAB；
(2)若二面角P－AD－B为60°.
①证明：平面PBC⊥平面ABCD；
②求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．
(1)证明　如图所示，取PB的中点M，连接MF，AM.
因为F为PC的中点，所以MF∥BC，且MF＝BC.
由已知得BC∥AD，BC＝AD，
又由于E为AD的中点，
因而MF∥AE且MF＝AE，
故四边形AMFE为平行四边形，所以EF∥AM.
又AM?平面PAB，EF?平面PAB，
所以EF∥平面PAB.
(2)①证明　连接PE，BE.
因为PA＝PD，BA＝BD，而E为AD的中点，
所以PE⊥AD，BE⊥AD，
所以∠PEB为二面角P－AD－B的平面角．
在△PAD中，由PA＝PD＝，AD＝2，可解得PE＝2.
在△ABD中，由BA＝BD＝，AD＝2，可解得BE＝1.
在△PEB中，PE＝2，BE＝1，∠PEB＝60°，
故可得∠PBE＝90°，即BE⊥PB.
又BC∥AD，BE⊥AD，从而BE⊥BC，
又BC∩PB＝B，BC，PB?平面PBC，
因此BE⊥平面PBC.
又BE?平面ABCD，所以平面PBC⊥平面ABCD.
②解　连接BF，由①知，BE⊥平面PBC，所以∠EFB为直线EF与平面PBC所成的角．由PB＝及已知，得∠ABP为直角，而MB＝PB＝，可得AM＝，又由(1)可知EF＝AM，故EF＝.又BE＝1，
故在Rt△EBF中，
sin∠EFB＝＝.所以直线EF与平面PBC所成角的正弦值为.
反思与感悟　(1)求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角)．
(2)求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影)．
(3)二面角的平面角的作法常有三种：①定义法；②垂线法；③垂面法．
跟踪训练3　如图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：
(1)AO与A′C′所成角的大小；
(2)AO与平面ABCD所成角的正切值；
(3)平面AOB与平面AOC所成角的大小．
解　(1)∵A′C′∥AC，
∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC.
∵AB⊥平面BC′，OC?平面BC′，
∴OC⊥AB，又OC⊥BO，AB∩BO＝B，
AB，BO?平面ABO，
∴OC⊥平面ABO.
又OA?平面ABO，∴OC⊥OA.
在Rt△AOC中，OC＝，AC＝，
sin∠OAC＝＝，
∴∠OAC＝30°.
即AO与A′C′所成角为30°.
(2)如图，作OE⊥BC于E，连接AE.
∵平面BC′⊥平面ABCD，平面BC′∩平面ABCD＝BC，OE?平面BC′，
∴OE⊥平面ABCD，
∴∠OAE为OA与平面ABCD所成的角．
在Rt△OAE中，OE＝，AE＝＝，
∴tan∠OAE＝＝.
即AO与平面ABCD所成角的正切值为.
(3)由(1)可知OC⊥平面AOB.
又∵OC?平面AOC，
∴平面AOB⊥平面AOC.
即平面AOB与平面AOC所成的角为90°.
1．在空间中，下列命题正确的是(　　)
A．若平面α内有无数条直线与直线l平行，则l∥α
B．若平面α内有无数条直线与平面β平行，则α∥β
C．若平面α内有无数条直线与直线l垂直，则l⊥α
D．若平面α内有无数条直线与平面β垂直，则α⊥β
答案　D
解析　对于A，若平面α内有无数条直线与直线l平行，则l可能在平面α内，故错；
对于B，若平面α内有无数条直线与平面β平行，则α与β可能相交，故错；
对于C，若平面α内有无数条直线与直线l垂直，则l与α可能斜交，故错；
对于D，若平面α内有无数条直线与平面β垂直，则平面α经过平面β的垂线，则α⊥β，故正确．故选D.
2．在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF，HG交于一点P，则(　　)
A．点P一定在直线BD上
B．点P一定在直线AC上
C．点P一定在直线AC或BD上
D．点P既不在直线AC上，也不在直线BD上
答案　B
解析　如图，
∵P∈HG，HG?平面ACD，∴P∈平面ACD.
同理，P∈平面BAC.
∵平面BAC∩平面ACD＝AC，∴P∈AC.故选B.
3．在如图所示的正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱B1B，AD的中点，直线BF与平面AD1E的位置关系是(　　)
A．平行 B．相交但不垂直
C．垂直 D．异面
答案　A
解析　取AD1的中点O，连接OE，OF，则OF平行且等于BE，
∴四边形BFOE是平行四边形，
∴BF∥OE，
∵BF?平面AD1E，OE?平面AD1E，
∴BF∥平面AD1E，故选A.
4．空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，且AB＝AD，则AC与平面BCD所成的角是________．
答案　45°
解析　如图所示，取BD的中点O，连接AO，CO.
因为AB＝AD，所以AO⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AO?平面ABD，所以AO⊥平面BCD.
因此，∠ACO即为AC与平面BCD所成的角．
由于∠BAD＝90°＝∠BCD，
所以AO＝OC＝BD，
又AO⊥OC，所以∠ACO＝45°.
5．如图，在棱锥P－ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.
求证：(1)直线PA∥平面DEF；
(2)平面BDE⊥平面ABC.
证明　(1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，
所以DE∥PA.
又因为PA?平面DEF，DE?平面DEF，
所以直线PA∥平面DEF.
(2)因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA＝6，BC＝8，所以DE∥PA，DE＝PA＝3，EF＝BC＝4.
又因为DF＝5，故DF2＝DE2＋EF2，
所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF.
又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC.
因为AC∩EF＝E，AC?平面ABC，EF?平面ABC，
所以DE⊥平面ABC.
又DE?平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC.
1．平行关系
(1)平行问题的转化关系
(2)直线与平面平行的主要判定方法
①定义法；②判定定理；③面与面平行的性质．
(3)平面与平面平行的主要判定方法
①定义法；②判定定理；③推论；④a⊥α，a⊥β?α∥β.
2．垂直关系
(1)空间中垂直关系的相互转化
(2)判定线面垂直的常用方法
①利用线面垂直的判定定理．
②利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”．
③利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个也垂直”．
④利用面面垂直的性质．
(3)判定线线垂直的方法
①平面几何中证明线线垂直的方法．
②线面垂直的性质：a⊥α，b?α?a⊥b.
③线面垂直的性质：a⊥α，b∥α?a⊥b.
(4)判断面面垂直的方法
①利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角．
②判定定理：a?α，a⊥β?α⊥β.
3．空间角的求法
(1)找异面直线所成角的三种方法
①利用图中已有的平行线平移．
②利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移．
③补形平移．
(2)线面角：求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，即确定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足．通常是解由斜线段、垂线段、斜线在平面内的射影所组成的直角三角形．
一、选择题
1．下列说法正确的是(　　)
A．经过空间内的三个点有且只有一个平面
B．如果直线l上有一个点不在平面α内，那么直线上所有点都不在平面α内
C．四棱锥的四个侧面可能都是直角三角形
D．用一个平面截棱锥，得到的几何体一定是一个棱锥和一个棱台
答案　C
解析　在A中，经过空间内的不共线的三个点有且只有一个平面，故A错误；在B中，如果直线l上有一个点不在平面α内，那么直线与平面相交或平行，则直线上最多有一个点在平面α内，故B错误；在C中，如图的四棱锥，底面是矩形，一条侧棱垂直底面，那么它的四个侧面都是直角三角形，故C正确；在D中，用一个平行于底面的平面去截棱锥，得到两个几何体，一个是棱锥，一个是棱台，故D错误．故选C.
2．α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m?α，n?α，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系不可能是(　　)
A．垂直 B．相交
C．异面 D．平行
答案　D
解析　∵α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，m?α，n?α，
∴n在平面α内，m与平面α相交，
∵A∈m，A∈α，
∴A是m和平面α相交的点，
∴m和n异面或相交，一定不平行．
3．在空间中，α表示平面，m，n表示两条直线，则下列命题中错误的是(　　)
A．若m∥α，m，n不平行，则n与α不平行
B．若m∥α，m，n不垂直，则n与α不垂直
C．若m⊥α，m，n不平行，则n与α不垂直
D．若m⊥α，m，n不垂直，则n与α不平行
答案　A
解析　对于A，若m∥α，m，n不平行，则n与α可能平行、相交或n?α，故不正确．故选A.
4．设直线m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中一定正确的是(　　)
A．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β
B．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥β
C．若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β
D．若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β
答案　D
解析　若m∥α，n∥β，m⊥n，则α，β位置关系不确定，故A不正确；
若m∥α，则α中存在直线c与m平行，m∥n，n⊥β，则c⊥β，
∵c?α，
∴α⊥β，B不正确；
若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α，β可以相交，C不正确；
若m⊥α，m∥n，则n⊥α，又n⊥β，
∴α∥β，故选D.
5．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是(　　)
A．MN∥AB B．MN⊥AC
C．MN⊥CC1 D．MN∥平面ABCD
答案　A
解析　如图，连接C1D，BD，
∵AB与BD相交，MN∥BD，
∴MN与AB不可能平行，A错误；
∵AC⊥BD，MN∥BD，
∴MN与AC垂直，B正确；
∵CC1⊥平面ABCD，
∴CC1⊥BD，
∴MN⊥CC1，C正确；
在△C1DB中，MN∥BD，MN?平面ABCD，
∴MN∥平面ABCD，D正确．故选A.
6．如图，四边形ABCD是圆柱的轴截面，E是底面圆周上异于A，B的一点，则下面结论中错误的是(　　)
A．AE⊥CE
B．BE⊥DE
C．DE⊥平面CEB
D．平面ADE⊥平面BCE
答案　C
解析　由AB是底面圆的直径，则∠AEB＝90°，
即AE⊥EB.
∵四边形ABCD是圆柱的轴截面，
∴AD⊥底面AEB，BC⊥底面AEB.
∴BE⊥AD，又AD∩AE＝A，AD，AE?平面ADE，
∴BE⊥平面ADE.
同理可得：AE⊥CE，平面BCE⊥平面ADE.
可得A，B，D正确．
而DE⊥平面CEB不正确．
故选C.
7．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法错误的是(　　)
A．在棱AD上存在点M，使AD⊥平面PMB
B．异面直线AD与PB所成的角为90°
C．二面角P－BC－A的大小为45°
D．BD⊥平面PAC
答案　D
解析　对于A，取AD的中点M，连PM，BM，∵侧面PAD为正三角形，
∴PM⊥AD，又底面ABCD是菱形，∠DAB＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD⊥BM，又PM∩BM＝M，PM，BM?平面PMB，
∴AD⊥平面PBM，故A正确．
对于B，∵AD⊥平面PBM，
∴AD⊥PB，即异面直线AD与PB所成的角为90°，故B正确．
对于C，∵平面PBC∩平面ABCD＝BC，BC∥AD，
∴BC⊥平面PBM，
∴BC⊥PB，BC⊥BM，
∴∠PBM是二面角P－BC－A的平面角，
设AB＝1，则BM＝，PM＝，
在Rt△PBM中，tan∠PBM＝＝1，
即∠PBM＝45°，
故二面角P－BC－A的大小为45°，故C正确．故选D.
二、填空题
8．在三棱锥A－BCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝2∶5，则直线AC与平面DEF的位置关系是________．
答案　平行
9．如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在平面互相垂直，则cos α∶cos β＝________.
答案　∶2
解析　由题意，两个矩形的对角线长分别为5,2，
所以cos α＝＝，
cos β＝，
所以cos α∶cos β＝∶2.
10．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.
答案　a或2a
解析　由已知得B1D⊥平面AC1，
又CF?平面AC1，
∴B1D⊥CF，
故若CF⊥平面B1DF，则必有CF⊥DF.
设AF＝x(0＜x＜3a)，则CF2＝x2＋4a2，
DF2＝a2＋(3a－x)2，
又CD2＝a2＋9a2＝10a2，
∴10a2＝x2＋4a2＋a2＋(3a－x)2，
解得x＝a或2a.故答案为a或2a.
11．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，有下面结论：
①AC∥平面CB1D1；
②AC1⊥平面CB1D1；
③AC1与底面ABCD所成角的正切值是；
④AD1与BD为异面直线．
其中正确的结论的序号是________．
答案　②③④
解析　①因为AC∩平面CB1D1＝C，所以AC∥平面CB1D1错误，所以①错误．②连接BC1，A1C1，则AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，因为B1D1∩B1C＝B1，所以AC1⊥平面CB1D1，所以②正确．③因为AC1在底面ABCD的射影为AC，所以∠C1AC是AC1与底面ABCD所成的角，所以tan∠C1AC＝＝＝，所以③正确．
④由异面直线的定义可知，AD1与BD为异面直线，所以④正确．故答案为②③④.
三、解答题
12．如图所示，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC.求证：
(1)BC∥平面PDA；
(2)BC⊥PD.
证明　(1)∵在长方形ABCD中，BC∥AD，
BC?平面PDA，AD?平面PDA，
∴BC∥平面PDA.
(2)取CD的中点H，连接PH.
∵PD＝PC，∴PH⊥CD.
又平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，PH?平面PDC，
∴PH⊥平面ABCD.
又BC?平面ABCD，
∴PH⊥BC.
∵在长方形ABCD中，BC⊥CD，PH∩CD＝H，
∴BC⊥平面PDC.
又PD?平面PDC，
∴BC⊥PD.
13．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB＝AC＝2，BC＝2，M，N分别为BC，AB的中点．
(1)求证：MN∥平面PAC；
(2)求证：平面PBC⊥平面PAM；
(3)在AC上是否存在点E，使得ME⊥平面PAC？若存在，求出ME的长，若不存在，请说明理由．
(1)证明　因为M，N分别为BC，AB的中点，
所以MN∥AC.
因为MN?平面PAC，AC?平面PAC，
所以MN∥平面PAC.
(2)证明　因为PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
所以PA⊥BC，
因为AB＝AC＝2，M为BC的中点，所以AM⊥BC.
因为AM∩PA＝A，AM，PA?平面PAM，所以BC⊥平面PAM.
因为BC?平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAM.
(3)解　存在．
过点M作ME⊥AC交AC于点E，因为PA⊥平面ABC，ME?平面ABC，所以PA⊥ME.
因为ME⊥AC，AC∩PA＝A，
AC，PA?平面PAC，
所以ME⊥平面PAC.
因为在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，M为BC的中点，所以ME＝.
四、探究与拓展
14．如图所示，在直角梯形BCEF中，∠CBF＝∠BCE＝90°，A，D分别是BF，CE上的点，AD∥BC，且AB＝DE＝2BC＝2AF(如图①)．将四边形ADEF沿AD折起，连接BE，BF，CE(如图②)．在折起的过程中，下列说法中错误的个数是(　　)
①AC∥平面BEF；
②B，C，E，F四点不可能共面；
③若EF⊥CF，则平面ADEF⊥平面ABCD；
④平面BCE与平面BEF可能垂直．
A．0 B．1 C．2 D．3
答案　B
解析　对于①，在图中记AC与BD交点(中点)为O，
取BE的中点为M，连接MO，MF，
易证得四边形AOMF为平行四边形，即AC∥FM，
又∵FM?平面BEF，AC?平面BEF，
∴AC∥平面BEF，故①正确；
假设②中B，C，E，F四点共面，因为BC∥AD，BC?平面ADEF，所以BC∥平面ADEF，
可推出BC∥EF，
所以AD∥EF，这与已知相矛盾，
故B，C，E，F四点不可能共面，所以②正确；
③在梯形ADEF中，易得FD⊥EF，
又EF⊥CF，FD∩CF＝F，
所以EF⊥平面CDF，
即CD⊥EF，又CD⊥AD，AD，EF为平面ADEF内的相交直线，
所以CD⊥平面ADEF，
则平面ADEF⊥平面ABCD，所以③正确；
④延长AF至G使得AF＝FG，连接BG，EG，易得平面BCE⊥平面ABF，过F作FN⊥BG于N，
又平面BCE∩平面ABF＝BG，FN?平面ABF，
则FN⊥平面BCE，若平面BCE⊥平面BEF，
则过F作直线与平面BCE垂直，其垂足在BE上，前后矛盾，故④错误．故选B.
15．如图，在△ABC中，O是BC的中点，AB＝AC，AO＝2OC＝2.将△BAO沿AO折起，使B点与图中B′点重合．
(1)求证：AO⊥平面B′OC；
(2)当三棱锥B′－AOC的体积取最大时，求二面角A－B′C－O的余弦值；
(3)在(2)的条件下，试问在线段B′A是否存在一点P，使CP与平面B′OA所成的角的正弦值为？证明你的结论，并求AP的长．
(1)证明　∵AB＝AC且O是BC的中点，
∴AO⊥BC，
即AO⊥OB′，AO⊥OC，
又∵OB′∩OC＝O，OB′，OC?平面B′OC，
∴AO⊥平面B′OC.
(2)解　在平面B′OC内，作B′D⊥OC于点D，
则由(1)可知B′D⊥OA，
又OC∩OA＝O，OC，OA?平面OAC，
∴B′D⊥平面OAC，
即B′D是三棱锥B′－AOC的高，
又B′D≤B′O，
∴当D与O重合时，三棱锥B′－AOC的体积最大，
过O作OH⊥B′C于点H，连接AH，如图．
由(1)知AO⊥平面B′OC，
又B′C?平面B′OC，
∴B′C⊥AO，
∵AO∩OH＝O，AO，OH?平面AOH，
∴B′C⊥平面AOH，
∴B′C⊥AH，
∴∠AHO即为二面角A－B′C－O的平面角．
在Rt△AOH中，AO＝2，OH＝，
∴AH＝，
∴cos∠AHO＝＝，
故二面角A－B′C－O的余弦值为.
(3)解　如图，连接OP，在(2)的条件下，易证OC⊥平面B′OA，
∴CP与平面B′OA所成的角为∠CPO，
∴sin∠CPO＝＝，
∴CP＝.
又在△ACB′中，S△ACB′＝B′C·AH＝，
又AB′·CP＝，
∴CP为边AB′上的高．
∴CP⊥AB′，
∴B′P＝＝，
∴AP＝.