滚动训练一(2.2.1～2.2.4)
一、选择题
1．一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是( )
A．异面 B．平行
C．相交 D．不能确定
答案 B
解析 设α∩β＝l，a∥α，a∥β，
则过直线a作与平面α，β都相交的平面γ，
记α∩γ＝b，β∩γ＝c，
则a∥b且a∥c，
∴b∥c.又b?β，c?β，
∴b∥β.
又b?α，α∩β＝l，
∴b∥l，
∴a∥l.
2．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定( )
A．与a，b都相交
B．只能与a，b中的一条相交
C．至少与a，b中的一条相交
D．与a，b都平行
答案 C
解析 由图可知直线c至少与a，b中的一条直线相交．
3．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列说法正确的是( )
A．若l1⊥l2，l2⊥l3，则l1∥l3
B．若l1⊥l2，l2∥l3，则l1⊥l3
C．若l1∥l2∥l3，则l1，l2，l3共面
D．若l1，l2，l3共点，则l1，l2，l3共面
答案 B
解析 A中，l1⊥l2，l2⊥l3，
则l1与l3可以平行，也可以相交或异面，借助正方体的棱很容易理解；
B中，l1⊥l2，l2∥l3，则l1⊥l3；
C中，l1∥l2∥l3，
则三直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱互相平行但不共面；
D中，共点的三条直线不一定共面，如三棱锥中共顶点的三条棱不共面．
4．点E，F，G，H分别为空间四边形ABCD中AB，BC，CD，AD的中点，若AC＝BD，且AC与BD所成角的大小为90°，则四边形EFGH是( )
A．菱形 B．梯形
C．正方形 D．空间四边形
答案 C
解析 由题意得EH∥BD且EH＝BD，FG∥BD且FG＝BD，
∴EH∥FG且EH＝FG，
∴四边形EFGH为平行四边形，
又EF＝AC，AC＝BD，
∴EF＝EH，
∴四边形EFGH为菱形．
又∵AC与BD所成角的大小为90°，
∴EF⊥EH，即四边形EFGH为正方形．
5．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是( )
答案 A
解析 A中，作如图①所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QD∥AB.
∵QD∩平面MNQ＝Q，∴QD与平面MNQ相交，
∴直线AB与平面MNQ相交；
B中，作如图②所示的辅助线，
则AB∥CD，CD∥MQ，
∴AB∥MQ，又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，
∴AB∥平面MNQ；
C中，作如图③所示的辅助线，
则AB∥CD，CD∥MQ，
∴AB∥MQ，又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，
∴AB∥平面MNQ；
D中，作如图④所示的辅助线，
则AB∥CD，CD∥NQ，
∴AB∥NQ，又AB?平面MNQ，NQ?平面MNQ，
∴AB∥平面MNQ.
故选A.
6．若不在同一直线上的三点A，B，C到平面α的距离相等，且A?α，则( )
A．α∥平面ABC
B．△ABC中至少有一边平行于α
C．△ABC中至多有两边平行于α
D．△ABC中只可能有一边与α相交
答案 B
解析 若三点在平面α的同侧，则α∥平面ABC，有三边平行于α.若一点在平面α的一侧，另两点在平面α的另一侧，则有两边与平面α相交，有一边平行于α，故△ABC中至少有一边平行于α.
7．如图所示，三棱锥A－BCD的棱长都相等，点E，F分别是棱AB，CD的中点，则EF与BC所成的角是( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
答案 B
解析 设G是AC的中点，连接EG，GF，
则EG∥BC，GF∥AD，
∴∠GEF的大小就等于EF与BC所成的角的大小．
又∵三棱锥A－BCD是棱长都相等的正三棱锥，
∴BC⊥AD.
∵EG∥BC，GF∥AD，
∴∠EGF＝90°.又EG＝BC，GF＝AD，BC＝AD，
∴EG＝GF，
∴△EGF是等腰直角三角形，
∴∠GEF＝45°，
∴EF与BC所成的角为45°.
8．如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，AC交BD于点O，E为AD的中点，F在PA上，AP＝λAF，PC∥平面BEF，则λ的值为( )
A．1 B.
C．3 D．2
答案 C
解析 设AO交BE于点G，连接FG.
∵O，E分别是BD，AD的中点，
∴＝，＝.
∵PC∥平面BEF，平面PAC∩平面BEF＝GF，
PC?平面PAC，
∴GF∥PC，
∴＝＝，
则AP＝3AF，
∴λ＝3.
二、填空题
9．已知l，m，n是互不相同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命题：
①若l与m为异面直线，l?α，m?β，则α∥β；
②若α∥β，l?α，m?β，则l∥m；
③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.
其中所有真命题的序号为________．
答案 ③
解析 ①中α可能与β相交；②中直线l与m可能异面；③中根据线面平行的性质定理可以证明m∥n.
10．如图所示，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m＋n＝______.
答案 8
解析 直线CE在下底面内，且与上底面平行，与其他四个平面相交，直线EF与左、右两个平面平行，与其他四个平面相交，所以m＝4，n＝4，故m＋n＝8.
11．已知平面α∥平面β，P?α且P?β，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为________．
答案 或24
解析 如图①所示，∵AC∩BD＝P，
∴经过直线AC与BD可确定平面PCD.
∵α∥β，α∩平面PCD＝AB，
β∩平面PCD＝CD，
∴AB∥CD.
∴＝，
即＝，
∴BD＝.
如图②所示，同理可证AB∥CD，
∴＝，
即＝，
∴BD＝24.
综上所述，BD的长为或24.
12．一个正四面体木块如图所示，点P是棱VA的中点．过点P将木块锯开，使截面PDEF平行于棱VB和AC，若木块的棱长为a，则截面面积为________．
答案
解析 由于平面PDEF与VB和AC都平行，所以PF∥DE，PF＝VB，PD∥EF，PD＝AC，所以四边形PDEF为平行四边形．又四面体为正四面体，所以VB⊥AC，且VB＝AC，所以PF⊥EF，且PF＝FE，则四边形PDEF是边长为a的正方形，故其面积为.
三、解答题
13．如图所示，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝.
(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；
(2)求三棱柱ABD－A1B1D1的体积．
(1)证明 由题意知，BB1∥DD1且BB1＝DD1，
∴四边形BB1D1D是平行四边形，
∴BD∥B1D1，
又BD?平面CD1B1，B1D1?平面CD1B1，
∴BD∥平面CD1B1.
∵A1D1∥BC且A1D1＝BC，
∴四边形A1BCD1是平行四边形，
∴A1B∥D1C，
又A1B?平面CD1B1，D1C?平面CD1B1，
∴A1B∥平面CD1B1.
又∵BD∩A1B＝B，BD，A1B?平面A1BD，
∴平面A1BD∥平面CD1B1.
(2)解 ∵A1O⊥平面ABCD，
∴A1O是三棱柱ABD－A1B1D1的高．
∵四边形ABCD为正方形，且AB＝，∴AC＝2，
∴AO＝AC＝1，又AA1＝，
∴A1O＝＝1.
又∵S△ABD＝××＝1，
∴＝S△ABD·A1O＝1.
四、探究与拓展
14．如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，AB∥CD，∠DCB＝90°，AB＝AD＝AA1＝2DC，Q为棱CC1上一动点，过直线AQ的平面分别与棱BB1，DD1交于点P，R，则下列结论错误的是( )
A．对于任意的点Q，都有AP∥QR
B．对于任意的点Q，四边形APQR不可能为平行四边形
C．存在点Q，使得△ARP为等腰直角三角形
D．存在点Q，使得直线BC∥平面APQR
答案 C
解析 ∵AB∥CD，AA1∥DD1，AB∩AA1＝A，
CD∩DD1＝D，
∴平面ABB1A1∥平面CDD1C1.
又∵平面APQR∩平面ABB1A1＝AP，
平面APQR∩平面CDD1C1＝QR，∴AP∥QR.
故A正确；
∵四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，
∴平面BCC1B1与平面ADD1A1不平行．
由AP∥QR可知，
AP≠QR，即四边形APQR不可能为平行四边形，故B正确；
延长CD至M，使得DM＝CD，
则四边形ABCM是矩形，
∴BC∥AM.
当R，Q，M三点共线时，AM?平面APQR，
∴BC∥平面APQR，故D正确；
易得C不正确．
15．如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，M是棱AB的中点，点N在侧面AA1D1D上运动，点N满足什么条件时，MN∥平面BB1D1D?
解 如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，分别取棱A1B1，A1D1，AD的中点E，F，G，连接ME，EF，FG，GM.
因为M是AB的中点，
所以ME∥AA1∥FG，
且ME＝AA1＝FG，
所以四边形MEFG是平行四边形．
因为ME∥BB1，BB1?平面BB1D1D，ME?平面BB1D1D，
所以ME∥平面BB1D1D.
在△A1B1D1中，因为EF∥B1D1，B1D1?平面BB1D1D，EF?平面BB1D1D，
所以EF∥平面BB1D1D.
又因为ME∩EF＝E，且ME?平面MEFG，EF?平面MEFG，
所以平面MEFG∥平面BB1D1D.
在FG上任取一点N，连接MN，
所以MN?平面MEFG.
所以MN与平面BB1D1D无公共点．
所以MN∥平面BB1D1D.
总之，当点N在平面AA1D1D内的直线FG上(任意位置)时，都有MN∥BB1D1D，
即当点N在矩形AA1D1D中过A1D1与AD的中点的直线上运动时，都有MN∥平面BB1D1D.
滚动训练三(§2.2～§2.3)
一、选择题
1．下列命题正确的是( )
A．两两相交的三条直线可确定一个平面
B．两个平面与第三个平面所成的角都相等，则这两个平面一定平行
C．过平面外一点的直线与这个平面只能相交或平行
D．和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线
答案 C
解析 对于A，两两相交的三条直线可确定一个平面或三个平面，故A错误；对于B，两个平面与第三个平面所成的角都相等，则这两个平面平行或相交，故B错误；对于C，过平面外一点的直线一定在平面外，且直线与这个平面相交或平行，故C正确；对于D，和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线或共面直线，故D错误．
故选C.
2．设X，Y，Z是空间不同的直线或平面，对下面四种情形，使“X⊥Z且Y⊥Z?X∥Y”为真命题的是( )
①X，Y，Z是直线；
②X，Y是直线，Z是平面；
③Z是直线，X，Y是平面；
④X，Y，Z是平面．
A．①② B．①③
C．③④ D．②③
答案 D
解析 对于①X，Y，Z是直线，“X⊥Z且Y⊥Z?X∥Y”是假命题，如正方体共顶点的三条棱：
对于②X，Y是直线，Z是平面，“X⊥Z且Y⊥Z?X∥Y”是真命题，根据线面垂直的性质定理可知正确；
③Z是直线，X，Y是平面，“X⊥Z且Y⊥Z?X∥Y”是真命题，根据垂直于同一直线的两个平面平行，故正确；
④X，Y，Z是平面，“X⊥Z且Y⊥Z?X∥Y”是假命题，如正方体共顶点的三个面．故选D.
3．已知m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列说法正确的是( )
A．若m?α，α⊥β，则m⊥β
B．若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β
C．若α⊥β，m⊥β，则m∥α
D．若m⊥α，m∥β，则α⊥β
答案 D
解析 由m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，知在A中，若m?α，α⊥β，则m与β相交、平行或m?β，故A错误；
在B中，若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α与β相交或平行，故B错；在C中，若α⊥β，m⊥β，则m∥α或m?α，故C错误；
在D中，若m⊥α，m∥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确．
4．正四棱锥P－ABCD的底面积为3，体积为，E为侧棱PC的中点，则PA与BE所成的角为( )
A．30° B．60°
C．45° D．90°
答案 B
解析 过顶点作垂线，交底面于正方形对角线交点O，连接OE，
∵正四棱锥P－ABCD的底面积为3，体积为，
∴PO＝，AB＝，AC＝，PA＝，OB＝，
∵OE与PA在同一平面，是△PAC的中位线，
∴OE∥PA且OE＝PA，
∴∠OEB即为PA与BE所成的角，OE＝，
在Rt△OEB中，tan∠OEB＝＝，
∴∠OEB＝60°.
故选B.
5．如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论：
①BD∥平面CB1D1；
②AC1⊥BD；
③AC1⊥平面CB1D1；
④直线B1D1与BC所成的角为45°.
其中正确结论的个数为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
答案 A
解析 在①中，由正方体的性质得，BD∥B1D1，
∴BD∥平面CB1D1，故①正确；
在②中，由正方体的性质得AC⊥BD，CC1⊥BD，
又AC∩CC1＝C，
∴BD⊥平面ACC1，
∴AC1⊥BD，故②正确；
在③中，由正方体的性质得BD∥B1D1，
由②知，AC1⊥BD，∴AC1⊥B1D1，
同理可证AC1⊥CB1，
故AC1⊥平面CB1D1内的两条相交直线，
∴AC1⊥平面CB1D1，故③正确；
在④中，异面直线B1D1与BC所成的角就是直线BC与BD所成的角，
故∠CBD为异面直线B1D1与BC所成的角，
在等腰直角△BCD中，∠CBD＝45°，
故直线B1D1与BC所成的角为45°，故④正确．
故选A.
6．三棱锥P－ABC的四个顶点均在半径为2的球面上，且AB＝BC＝CA＝2，平面PAB⊥平面ABC，且三棱锥P－ABC的体积的最大值为( )
A．4 B．3
C．4 D．3
答案 B
解析 根据题意半径为2的球面上，
且AB＝BC＝CA＝2，
△ABC是截面为大圆上的三角形，
设圆心为O，AB的中点为N，ON＝＝1，
∵平面PAB⊥平面ABC，
∴三棱锥P－ABC的体积最大时，
PN⊥AB，PN⊥平面ABC，
PN＝＝，
∴三棱锥P－ABC的体积的最大值为
××(2)2×＝3，
故选B.
7．在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，AB＝2BC，E是CD上一点，若AE⊥平面PBD，则的值为( )
A. B.
C．3 D．4
答案 C
解析 ∵PD⊥底面ABCD，AE?底面ABCD，
∴PD⊥AE，
当AE⊥BD时，AE⊥平面PBD，此时△ABD∽△DAE，
则＝，
∵AB＝2BC，
∴DE＝AB＝DC，
∴＝3.
故选C.
8．如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论中正确的是( )
A．PB⊥AD
B．平面PAB⊥平面PBC
C．直线BC∥平面PAE
D．直线PD与平面ABC所成的角为45°
答案 D
解析 ∵PA⊥平面ABC，
∴∠ADP是直线PD与平面ABC所成的角．
∵六边形ABCDEF是正六边形，∴AD＝2AB，
∴tan∠ADP＝＝＝1，
∴直线PD与平面ABC所成的角为45°.
二、填空题
9．二面角α－l－β为60°，异面直线a，b分别垂直于α，β，则a与b所成角的大小是_____．
答案 60°
解析 过直线a上一点作b的平行线b′，则根据二面角的定义和线面垂直的性质可知，
a与b′的夹角为60°，所以a与b所成角的大小是60°.
10．如图，两个正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直，设M，N分别是BD和AE的中点，那么①AD⊥MN；②MN∥平面CDE；③MN∥CE；④MN，CE异面，其中正确结论的序号是________．
答案 ①②③
解析 ∵两个正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直，
设M，N分别是BD和AE的中点，取AD的中点G，连接MG，NG，易得AD⊥平面MNG，
进而得到AD⊥MN，故①正确；
连接AC，CE，根据三角形中位线定理，
可得MN∥CE，由线面平行的判定定理，
可得②MN∥平面CDE及③MN∥CE正确，④MN，CE异面错误；
故答案为①②③.
11．我们将一个四面体四个角中直角三角形的个数定义为此四面体的直度，在四面体ABCD中，AD⊥平面ABC，AC⊥BC，则四面体ABCD的直度为________．
答案 4
解析 ∵在四面体ABCD中，AD⊥平面ABC，
∴AD⊥AB，AD⊥AC，AD⊥BC，
∵AC⊥BC，AC∩AD＝A，
∴BC⊥平面ACD，∴BC⊥CD，
∴四面体ABCD的四个面均为直角三角形，
∴四面体ABCD的直度为4.
三、解答题
12．如图，已知△ABC是正三角形，EA，CD都垂直于平面ABC，且EA＝AB＝2a，DC＝a，F是BE的中点，求证：
(1)FD∥平面ABC；
(2)AF⊥平面EDB.
证明 (1)取AB的中点M，连接FM，MC.
∵F，M分别是BE，BA的中点，
∴FM∥EA，FM＝EA＝a.
∵EA，CD都垂直于平面ABC，
∴CD∥EA，
∴CD∥FM.
又∵DC＝a，∴FM＝DC，
∴四边形FMCD是平行四边形，
∴FD∥MC.
∵FD?平面ABC，MC?平面ABC，
∴FD∥平面ABC.
(2)∵M是AB的中点，△ABC是正三角形，
∴CM⊥AB.
又∵AE⊥平面ABC，CM?平面ABC，∴CM⊥AE，
又∵AB∩AE＝A，AB，AE?平面EAB，
∴CM⊥平面EAB，
又AF?平面EAB，
∵CM⊥AF.
又∵CM∥FD，
∴FD⊥AF.
∵F是BE的中点，EA＝AB，
∴AF⊥BE.
又∵FD∩BE＝F，FD，BE?平面EDB，
∴AF⊥平面EDB.
13．如图，四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面BCE，BE⊥EC.
(1)求证：平面AEC⊥平面ABE；
(2)已知点F在BE上，若DE∥平面ACF，DC＝CE＝BC＝3，求三棱锥A－BCF的体积．
(1)证明 ∵ABCD为矩形，
∴AB⊥BC.
∵平面ABCD⊥平面BCE，平面ABCD∩平面BCE＝BC，AB?平面ABCD，
∴AB⊥平面BCE.
∵CE?平面BCE，
∴CE⊥AB.
∵CE⊥BE，AB?平面ABE，BE?平面ABE，AB∩BE＝B，
∴CE⊥平面ABE.
∵CE?平面AEC，
∴平面AEC⊥平面ABE.
(2)解 连接BD交AC于点O，连接OF.
∵DE∥平面ACF，DE?平面BDE，平面ACF∩平面BDE＝OF，
∴DE∥OF.
又∵矩形ABCD中，O为BD中点，
∴F为BE中点，即BF＝FE.
在Rt△BEC中，
∵BC＝6，EC＝3，
∴BE＝＝3.
∴S△BFC＝××3×3＝.
又AB＝DC＝3，∴VA－BCF＝××3＝.
四、探究与拓展
14．已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 如图所示，作PO⊥平面ABC，则O为△ABC的中心，连接AP，AO.
S△ABC＝×××sin 60°＝.
∴＝S△ABC×OP＝×OP＝，
∴OP＝.
又OA＝××＝1，
∴tan∠OAP＝＝，
又0<∠OAP<，
∴∠OAP＝.
15．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝2，PA＝1，PA⊥平面ABCD，点E是PC的中点，F是AB的中点．
(1)求证：BE∥平面PDF；
(2)求直线BE与平面PAD所成角的正弦值．
(1)证明 取PD的中点为M，连接ME，MF.
∵E是PC的中点，
∴ME是△PCD的中位线，
∴ME∥CD且ME＝CD.
∵F是AB的中点且ABCD是菱形，AB∥CD且AB＝CD，
∴ME∥AB且ME＝AB.
∴ME∥FB且ME＝FB.
∴四边形MEBF是平行四边形，∴BE∥MF.
又BE?平面PDF，MF?平面PDF，
∴BE∥平面PDF.
(2)解 由(1)得BE∥MF，
∴直线BE与平面PAD所成角就是直线MF与平面PAD所成角．
取AD的中点G，连接BD，BG.
∵底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，
∴△ABD是正三角形，
∴BG⊥AD，
∵PA⊥平面ABCD，PA?平面PAD，
∴平面PAD⊥平面ABCD，
且平面PAD∩平面ABCD＝AD，BG⊥AD，BG?平面ABCD，
∴BG⊥平面PAD，
过F作FH∥BG，交AD于H，则FH⊥平面PAD，连接MH，则∠FMH就是MF与平面PAD所成的角．
又F是AB的中点，
∴H是AG的中点．
连接MG，又M是PD的中点，
∴MG∥PA且MG＝PA.
在Rt△MGH中，MG＝PA＝，GH＝AD＝，
∴MH＝.
在正三角形ABD中，BG＝，
∴FH＝BG＝.
在Rt△MHF中，
MF＝＝，
∴sin∠FMH＝＝＝，
∴直线BE与平面PAD所成角的正弦值为.
滚动训练二(2.3.1～2.3.4)
一、选择题
1．在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的是( )
答案 A
2．关于直线m，n与平面α，β，有下列四个命题：
①若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n；
②若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n；
③若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n；
④若m∥α，n⊥β，且α⊥β，则m∥n.
其中真命题的序号是( )
A．①②
B．③④
C．①④
D．②③
答案 D
解析 ①m，n可能异面、相交或平行，④m，n可能平行、异面或相交，所以①④错误．
3．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出如下命题：
①若α⊥β，α∩β＝m，n?α，n⊥m，则n⊥β；
②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
③若α⊥β，m⊥β，m?α，则m∥α；
④若α⊥β，m∥α，则m⊥β；
其中正确命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 B
解析 根据平面与平面垂直的性质知①正确；②中，α，β可能平行，也可能相交，不正确；③中，α⊥β，m⊥β，m?α时，只可能有m∥α，正确；④中，m与β的位置关系可能是m∥β或m?β或m与β相交，不正确．综上，可知正确命题的个数为2，故选B.
4．如图所示，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点，PA⊥平面ABC，则四面体P－ABC的四个面中，直角三角形的个数为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
答案 A
解析 ∵AB是圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC，
∴△ABC是直角三角形．
又∵PA⊥平面ABC，
∴△PAC，△PAB是直角三角形．
又BC?平面ABC，
∴PA⊥BC，又PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，
∴BC⊥平面PAC，
∴BC⊥PC，
∴△PBC是直角三角形．从而△PAB，△PAC，△ABC，△PBC都是直角三角形，故选A.
5．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BC＝AC，AC1⊥A1B，M，N分别是A1B1，AB的中点，给出下列结论：①C1M⊥平面A1ABB1；②A1B⊥NB1；③平面AMC1∥平面CNB1.其中正确结论的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 D
解析 由侧棱AA1⊥平面A1B1C1，可得AA1⊥C1M.由A1C1＝B1C1及M为A1B1的中点可得C1M⊥A1B1，
∵AA1∩A1B1＝A1，
∴C1M⊥平面A1ABB1，∴①正确；
由C1M⊥平面A1ABB1可得C1M⊥A1B，又已知AC1⊥A1B，C1M∩AC1＝C1，
∴A1B⊥平面AMC1，从而可得A1B⊥AM，
又易证得AM∥NB1，
∴A1B⊥NB1，∴②正确；
易证得AM∥NB1，MC1∥CN，从而根据面面平行的判定定理可证得平面AMC1∥平面CNB1，
∴③正确，故选D.
6．如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，现在沿SE，SF，EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3重合，重合后的点记为G.给出下列关系：①SG⊥平面EFG；②SE⊥平面EFG；③GF⊥SE；④EF⊥平面SEG.其中成立的有( )
A．①与② B．①与③
C．②与③ D．③与④
答案 B
解析 由SG⊥GE，SG⊥GF，得SG⊥平面EFG，同理GF⊥SEG；若SE⊥平面EFG，则SG∥SE，这与SG∩SE＝S矛盾，排除A、C，同理排除D，故选B.
7．如图所示，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′－BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是( )
A．A′C⊥BD
B．∠BA′C＝90°
C．CA′与平面A′BD所成的角为30°
D．四面体A′－BCD的体积为
答案 B
解析 因为平面A′BD⊥平面BCD，BD⊥CD，所以CD⊥平面A′BD，所以CD⊥BA′.由勾股定理，得A′D⊥BA′.又因为CD∩A′D＝D，所以BA′⊥平面A′CD，所以∠BA′C＝90°.
8．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BB1，A1B1的中点，点P在正方体的表面上运动，则总能使MP⊥BN的点P所形成图形的周长是( )
A．4 B．2＋
C．3＋ D．2＋
答案 D
解析 如图，取CC1的中点G，连接DG，MG，则MG∥BC.设BN交AM于点E.
∵BC⊥平面ABB1A1，NB?平面ABB1A1，
∴NB⊥MG.
∵正方体的棱长为1，M，N分别是BB1，A1B1的中点，
∴在△BEM中，∠MBE＝30°，∠BME＝60°，
∴∠MEB＝90°，即BN⊥AM，又MG∩AM＝M，
∴NB⊥平面ADGM，
∴使NB与MP垂直的点P所构成的轨迹为矩形ADGM(不包括M点)．∵正方体的棱长为1，
∴矩形ADGM的周长等于2＋.故选D.
二、填空题
9．下列四个命题中，真命题的个数为________．
①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；
②两条直线可以确定一个平面；
③若点M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l；
④空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内．
答案 1
解析 只有③正确．
10．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC.若AB＝AC＝AA1＝1，BC＝，则异面直线A1C与B1C1所成的角为________．
答案 60°
解析 因为几何体是棱柱，BC∥B1C1，则直线A1C与BC所成的角就是异面直线A1C与B1C1所成的角，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，AB＝AC＝AA1＝1，BC＝，BA1＝＝，则CA1＝＝，所以△BCA1是正三角形，故异面直线所成角为60°.
11.如图，已知点E，F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值为________．
答案
解析 在平面BC1内延长FE，CB，相交于点G，连接AG，过点B作BH垂直AG于点H，连接EH.
∵BE⊥平面ABCD，AG?平面ABCD，
∴BE⊥AG.
∵BH⊥AG，BH∩EB＝B，
∴AG⊥平面BEH，
∴AG⊥EH.故∠BHE是平面AEF与平面ABC所成二面角的平面角．
设正方体的棱长为a，
则BE＝，CF＝a，
∴GB∶GC＝BE∶CF＝1∶2，
∴BG＝a，∴BH＝a，
故tan∠BHE＝＝＝.
三、解答题
12．已知△ABC是边长为1的等边三角形，D，E分别是AB，AC边上的点，AD＝AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到三棱锥A－BCF，其中BC＝.
(1)证明：DE∥平面BCF；
(2)证明：CF⊥平面ABF.
证明 (1)在等边三角形ABC中，AD＝AE，
∴＝，
在折叠后的三棱锥A－BCF中也成立，∴DE∥BC.
∵DE?平面BCF，BC?平面BCF，
∴DE∥平面BCF.
(2)在等边三角形ABC中，F是BC的中点，
∴AF⊥BC，折叠后，AF⊥CF.
∵在△BFC中，BC＝，BF＝CF＝，
∴BC2＝BF2＋CF2，因此CF⊥BF.
又AF∩BF＝F，AF，BF?平面ABF，
∴CF⊥平面ABF.
13．如图，在三棱锥ABCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.
求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)AD⊥AC.
证明 (1)在平面ABD内，
因为AB⊥AD，EF⊥AD，
则AB∥EF.
又因为EF?平面ABC，AB?平面ABC，
所以EF∥平面ABC.
(2)因为平面ABD⊥平面BCD，
平面ABD∩平面BCD＝BD，BC?平面BCD，BC⊥BD，
所以BC⊥平面ABD.
因为AD?平面ABD，所以BC⊥AD.
又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB?平面ABC，
BC?平面ABC，
所以AD⊥平面ABC.
又因为AC?平面ABC，
所以AD⊥AC.
四、探究与拓展
14．已知二面角α－l－β为60°，动点P，Q分别在平面α，β内，P到β的距离为，Q到α的距离为2，则P，Q两点之间距离的最小值为( )
A. B．2 C．2 D．4
答案 C
解析 如图，分别作QA⊥α于点A，AC⊥l于点C，PB⊥β于点B，PD⊥l于点D，连接CQ，BD，则∠ACQ＝∠PDB＝60°，AQ＝2，BP＝，∴AC＝PD＝2.又∵PQ＝＝≥2，当且仅当AP＝0，即点A与点P重合时取最小值．故选C.
15．在如图所示的四棱锥P－ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA＝AB＝BC＝1，AD＝2，E为PD的中点．
(1)求证：CE∥平面PAB；
(2)求证：平面PAC⊥平面PDC；
(3)求直线EC与平面PAC所成角的正切值．
(1)证明 取PA的中点M，连接BM，ME，则ME∥AD且ME＝AD，
又因为BC∥AD且BC＝AD，
所以ME∥BC且ME＝BC，
所以四边形MECB为平行四边形，
所以BM∥CE，又CE?平面PAB，BM?平面PAB，
所以CE∥平面PAB.
(2)证明 因为PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
所以PA⊥DC，
又因为AC2＋CD2＝2＋2＝AD2，
所以DC⊥AC，
因为AC∩PA＝A，AC，PA?平面PAC，
所以DC⊥平面PAC.
又因为DC?平面PDC，
所以平面PAC⊥平面PDC.
(3)解 取PC的中点F，连接EF，则EF∥DC，
由(2)知DC⊥平面PAC，则EF⊥平面PAC，
所以∠ECF为直线EC与平面PAC所成的角．
因为CF＝PC＝，EF＝CD＝，
所以tan∠ECF＝＝，
即直线EC与平面PAC所成角的正切值为.
章末检测试卷(二)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．垂直于同一条直线的两条直线一定( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．以上都有可能
答案 D
解析 两条直线同时垂直于同一条直线，这两条直线可能平行、相交、异面．
2.如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝2BB1＝2，AC＝2，则异面直线BD与AC所成的角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
答案 C
解析 如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE，
则AC∥A1C1∥DE，
则∠BDE即为异面直线BD与AC所成的角．
由条件可知BD＝DE＝EB＝，
所以∠BDE＝60°.
3．若直线a⊥直线b，且a⊥平面α，则( )
A．b⊥α
B．b?α
C．b∥α
D．b∥α或b?α
答案 D
解析 当b?α时，a⊥α，则a⊥b；当b∥α时，a⊥α，则a⊥b；当b⊥α时，a⊥α，则a∥b.所以直线a⊥b，且a⊥α时，b∥α或b?α，故选D.
4．如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与平面AB1C平行的直线是( )
A．DD1 B．A1D1
C．C1D1 D．A1D
答案 D
解析 ∵A1B1∥DC，A1B1＝DC，
∴四边形A1B1CD是平行四边形，
∴A1D∥B1C，∵A1D?平面AB1C，B1C?平面AB1C，
∴A1D∥平面AB1C，故选D.
5．已知PA⊥矩形ABCD，则下列结论中不正确的是( )
A．PB⊥BC B．PD⊥CD
C．PD⊥BD D．PA⊥BD
答案 C
解析 如图所示，由于PA⊥平面ABCD，且底面ABCD为矩形，所以PA⊥BD(即D正确)，BC⊥PA，BC⊥BA，而PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB(即A正确)．同理PD⊥CD(即B正确)，PD与BD不垂直，所以C不正确．
6．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中正确的是( )
A．若m?β，α⊥β，则m⊥α
B．若m∥α，m⊥β，则α⊥β
C．若α⊥β，α⊥γ，则β⊥γ
D．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β
答案 B
解析 若m?β，α⊥β，则m与α的关系不确定，故A错误；若m∥α，则存在直线n?α，使m∥n，又由m⊥β，可得n⊥β，进而由面面垂直的判定定理得到α⊥β，故B正确；若α⊥β，α⊥γ，则β与γ关系不确定，故C错误；若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α与β可能平行，也可能相交(此时交线与m，n均平行)，故D错误．故选B.
7．已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“若α∥β，且α⊥γ，则β⊥γ”是真命题．若把α，β，γ中的任意两个平面换成直线，另一个保持不变，则在所得到的所有新命题中，真命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 若α，β换为直线a，b，则命题化为“若a∥b，且a⊥γ”，则b⊥γ，此命题为真命题；若α，γ换为直线a，b，则命题化为“若a∥β，且a⊥b，则b⊥β”，此命题为假命题；若β，γ换为直线a，b，则命题化为“若a∥α，且b⊥α，则a⊥b”，此命题为真命题．故真命题有2个．
8．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是( )
A．CC1与B1E是异面直线
B．AC⊥平面ABB1A1
C．AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1
D．A1C1∥平面AB1E
答案 C
解析 由已知AC＝AB，E为BC的中点，得AE⊥BC.
又∵BC∥B1C1，
∴AE⊥B1C1，C正确．
9．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A?l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )
A．AB∥m B．AC⊥m
C．AB∥β D．AC⊥β
答案 D
解析 ∵m∥α，m∥β，α∩β＝l，∴m∥l.
∵AB∥l，∴AB∥m.故A一定正确．
∵AC⊥l，m∥l，
∴AC⊥m.故B一定正确．
∵A∈α，AB∥l，l?α，∴B∈α.
∴AB?β，l?β，∴AB∥β.故C也正确．
∵AC⊥l，当点C在平面α内时，AC⊥β成立，
当点C不在平面α内时，AC⊥β不成立．
故D不一定成立．
10．如图所示，空间四边形PABC的各边都相等，D，E，F，G分别是AB，BC，CA，AP的中点，下列四个结论中正确的个数为( )
①DF∥平面PBC；
②AB⊥平面PDC；
③平面PEF⊥平面ABC；
④平面PAE⊥平面PBC.
A．3 B．2
C．1 D．0
答案 A
解析 ∵BC∥DF，DF?平面PBC，BC?平面PBC，
∴DF∥平面PBC，故①正确；
∵PD⊥AB，CD⊥AB，PD∩CD＝D，
∴AB⊥平面PDC，故②正确；
∵PE⊥BC，AE⊥BC，PE∩AE＝E，
∴BC⊥平面PAE，
∵BC?平面PBC，
∴平面PAE⊥平面PBC，故④正确．
只有③错误，故选A.
11．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若AB＝BC，E，F分别是AB1，BC1的中点，则下列结论中成立的是( )
①EF与BB1垂直；
②EF⊥平面BCC1B1；
③EF与C1D所成的角为45°；
④EF∥平面A1B1C1D1.
A．②③ B．①④
C．③ D．①②④
答案 B
解析 显然①④正确，②③错误．
12．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为( )
A．90° B．60°
C．45° D．30°
答案 C
解析 当三棱锥D－ABC体积最大时，平面DAC⊥平面ABC，取AC的中点O，则△DBO是等腰直角三角形，即∠DBO＝45°.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m?α；④α∥β.当满足条件________时，有m⊥β.
答案 ②④
14．已知在△ABC中，∠BAC＝90°，P为平面ABC外一点，且PA＝PB＝PC，则平面PBC与平面ABC的位置关系是________．
答案 垂直
15．如图所示，直线a∥平面α，点A在α另一侧，点B，C，D∈a，线段AB，AC，AD分别交α于点E，F，G.若BD＝4，CF＝4，AF＝5，则EG＝________.
答案
解析 A?a，则点A与直线a确定一个平面，即平面ABD.因为a∥α，且α∩平面ABD＝EG，所以a∥EG，即BD∥EG，所以＝.
又＝，所以＝.于是EG＝＝＝.
16.如图所示，已知在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝a，若PA⊥平面AC，在BC边上取点E，使PE⊥DE，则满足条件的E点有两个时，a的取值范围是________．
答案 (6，＋∞)
解析 由题意知：PA⊥DE，
又PE⊥DE，PA∩PE＝P，
∴DE⊥平面PAE，又AE?平面PAE，
∴DE⊥AE.
易证△ABE∽△ECD.
设BE＝x，则＝，即＝.
∴x2－ax＋9＝0，由Δ>0，a>0，解得a>6.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)(1)如图(1)，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，E，F分别是PB，PC的中点．证明：EF∥平面PAD；
(2)如图(2)，已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别是PA，BD，PD的中点，求证：平面MNQ∥平面PBC.
证明 (1)E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC.
∵底面ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴EF∥AD.
又AD?平面PAD，EF?平面PAD，
∴EF∥平面PAD.
(2)∵点M，N，Q分别是PA，BD，PD的中点，
∴MQ∥AD，QN∥PB.
∵底面ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∴MQ∥BC.
∵MQ∩QN＝Q，PB∩BC＝B，MQ，QN?平面MNQ，PB，BC?平面PBC，
∴平面MNQ∥平面PBC.
18．(12分)如图所示，在五面体ABCDEF中，四边形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC∥AD，CD＝1，AD＝2，∠BAD＝∠CDA＝45°.
(1)求异面直线CE与AF所成角的余弦值；
(2)证明：CD⊥平面ABF.
(1)解 因为四边形ADEF是正方形，所以FA∥ED，
故∠CED为异面直线CE与AF所成的角．
因为FA⊥平面ABCD，所以FA⊥CD，故ED⊥CD.
在Rt△CDE中，因为CD＝1，ED＝2，
所以CE＝＝3，
所以cos∠CED＝＝.
故异面直线CE与AF所成角的余弦值为.
(2)证明 如图，过点B作BG∥CD交AD于点G，则∠BGA＝∠CDA＝45°.
由∠BAD＝45°可得BG⊥AB，从而CD⊥AB.
又因为CD⊥FA，FA∩AB＝A，FA，AB?平面ABF，
所以CD⊥平面ABF.
19.(12分)如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，∠BCA＝90°，点D，E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC.
(1)求证：BC⊥平面PAC.
(2)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由．
(1)证明 ∵PA⊥底面ABC，BC?底面ABC，
∴PA⊥BC.又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC.
又∵AC∩PA＝A，AC，PA?平面PAC，∴BC⊥平面PAC.
(2)解 ∵DE∥BC，又由(1)知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC.
又∵AE?平面PAC，PE?平面PAC，
∴DE⊥AE，DE⊥PE.
∴∠AEP为二面角A—DE—P的平面角．
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90°.
∴在棱PC上存在一点E，
使得AE⊥PC.这时∠AEP＝90°，
故存在点E，使得二面角A—DE—P为直二面角．
20．(12分)如图所示，在△ABC中，AC＝BC＝AB，四边形ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，G，F分别是EC，BD的中点．
(1)求证：GF∥平面ABC；
(2)求证：AC⊥平面EBC；
(3)求该五面体的体积．
(1)证明 连接AE.
∵四边形ADEB为正方形，
∴AE∩BD＝F，且F是AE的中点，
∵G是EC的中点，
∴GF∥AC.
又AC?平面ABC，GF?平面ABC，
∴GF∥平面ABC.
(2)证明 ∵四边形ADEB为正方形，∴EB⊥AB.
又∵平面ABED⊥平面ABC，平面ABED∩平面ABC＝AB，BE?平面ABED，
∴BE⊥平面ABC，
∴BE⊥AC.∵CA2＋CB2＝AB2，
∴AC⊥BC.
又∵BC∩BE＝B，BC，BE?平面EBC，
∴AC⊥平面EBC.
(3)解 取AB的中点N，连接CN.
∵AC＝BC，∴CN⊥AB.
又∵平面ABED⊥平面ABC，平面ABED∩平面ABC＝AB，CN?平面ABC，
∴CN⊥平面ABED.
∵△ABC是等腰直角三角形，∴CN＝AB＝.
∵五面体C－ABED是四棱锥，
∴V四棱锥C－ABED＝S四边形ABED·CN＝×1×＝.
21．(12分)如图所示，在长方形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为CD的中点，以AE为折痕，把△DAE折起到△D′AE的位置，且平面D′AE⊥平面ABCE.
(1)求证：AD′⊥BE；
(2)求四棱锥D′－ABCE的体积；
(3)在棱ED′上是否存在一点P，使得D′B∥平面PAC，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由．
(1)证明 根据题意可知，在长方形ABCD中，△DAE和△CBE为等腰直角三角形，
∴∠DEA＝∠CEB＝45°，
∴∠AEB＝90°，即BE⊥AE.
∵平面D′AE⊥平面ABCE，且平面D′AE∩平面ABCE＝AE，BE?平面ABCE，
∴BE⊥平面D′AE，
∵AD′?平面D′AE，
∴AD′⊥BE.
(2)解 取AE的中点F，连接D′F，则D′F⊥AE.
∵平面D′AE⊥平面ABCE，
且平面D′AE∩平面ABCE＝AE，D′F?平面D′AE，
∴D′F⊥平面ABCE，
∴VD′－ABCE＝S四边形ABCE·D′F＝××(1＋2)×1×＝.
(3)解 如图所示，连接AC交BE于Q，假设在D′E上存在点P，使得D′B∥平面PAC，连接PQ.
∵D′B?平面D′BE，
平面D′BE∩平面PAC＝PQ，∴D′B∥PQ，
∴在△EBD′中，＝.
∵在梯形ABCE中，＝＝，
∴＝＝，即EP＝ED′，
∴在棱ED′上存在一点P，且EP＝ED′，使得D′B∥平面PAC.
22．(12分)如图所示，在多面体ABCDFE中，四边形ABCD是矩形，AB∥EF，AB＝2EF，∠EAB＝90°，平面ABFE⊥平面ABCD.
(1)若G点是DC的中点，求证：FG∥平面AED.
(2)求证：平面DAF⊥平面BAF.
(3)若AE＝AD＝1，AB＝2，求三棱锥D－AFC的体积．
(1)证明 ∵点G是DC的中点，AB＝CD＝2EF，
AB∥EF，四边形ABCD是矩形，
∴EF∥DG且EF＝DG，∴四边形DEFG是平行四边形，
∴FG∥DE，又FG?平面AED，ED?平面AED，
∴FG∥平面AED.
(2)证明 ∵平面ABFE⊥平面ABCD，平面ABFE∩平面ABCD＝AB，AD⊥AB，AD?平面ABCD，∴AD⊥平面BAF.
又AD?平面DAF，∴平面DAF⊥平面BAF.
(3)解 ∵平面ABFE⊥平面ABCD，平面ABFE∩平面ABCD＝AB，∠EAB＝90°，EA?平面ABFE，∴EA⊥平面ABCD.
∵EF∥AB，EF?平面ABCD，AB?平面ABCD，∴EF∥平面ABCD，
∴F到平面ABCD的距离为E到平面ABCD的距离EA，
∴VD－AFC＝VF－ADC＝·S△ADC·EA＝××1×2×1＝.
