滚动训练四(§3.1～§3.3)
一、选择题
1．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则点(m，n)可能是( )
A．(1，－3) B．(3，－1)
C．(－3,1) D．(－1,3)
答案 A
解析 由已知可得直线y＝2x，x＋y＝3的交点为(1,2)，
此点也在直线mx＋ny＋5＝0上，
∴m＋2n＋5＝0，再将四个选项代入，只有A满足此式．
2．与直线l：x－y＋1＝0关于y轴对称的直线的方程为( )
A．x＋y－1＝0 B．x－y＋1＝0
C．x＋y＋1＝0 D．x－y－1＝0
答案 A
解析 直线l：x－y＋1＝0与两坐标轴的交点分别为(－1,0)和(0,1)，
因为这两点关于y轴的对称点分别为(1,0)和(0,1)，
所以直线l：x－y＋1＝0关于y轴对称的直线方程为x＋y－1＝0.
3．已知等边△ABC的两个顶点A(0,0)，B(4,0)，且第三个顶点在第四象限，则BC边所在的直线方程是( )
A．y＝－x B．y＝－(x－4)
C．y＝(x－4) D．y＝(x＋4)
答案 C
解析 由题意知∠A＝∠B＝60°，
故直线BC的倾斜角为60°，
∴kBC＝tan 60°＝，
则BC边所在的直线方程为y＝(x－4)．
4．已知直线l1：y＝－x＋与直线l2：y＝x＋垂直，垂足为H(1，p)，则过点H且斜率为的直线方程为( )
A．y＝－2x＋2 B．y＝4x－2
C．y＝－4x＋2 D．y＝－2x－2
答案 C
解析 由题意可得解得
∴＝＝－4，
则所求直线方程为y＋2＝－4(x－1)，
即y＝－4x＋2.
5．如果AB>0，BC>0，则直线Ax－By－C＝0不经过的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 B
解析 直线Ax－By－C＝0化成斜截式方程y＝x－，
∵AB>0，BC>0，
∴斜率大于0，纵截距小于0，
∴直线不经过第二象限．
6．已知点P(2，－3)，Q(3,2)，直线ax－y＋2＝0与线段PQ相交，则a的取值范围是( )
A．a≥ B．a≤－
C．－≤a≤0 D．a≤－或a≥
答案 C
解析 直线ax－y＋2＝0可化为y＝ax＋2，斜率k＝a，恒过定点A(0,2)，如图，直线与线段PQ相交，则0≥k≥kAP，即－≤a≤0，故选C.
7．已知平面上一点M(5,0)，若直线上存在点P使|PM|＝4，则称该直线为“切割型直线”．下列直线中是“切割型直线”的是( )
①y＝x＋1；②y＝2；③y＝x；④y＝2x＋1.
A．①③ B．①④
C．②③ D．③④
答案 C
解析 对于①，d1＝＝3>4；
对于②，d2＝2<4；对于③，d3＝＝4；
对于④，d4＝＝>4，
所以符合条件的有②③.
8．若点A(1,0)和点B(4,0)到直线l的距离分别为1和2，则这样的直线l共有( )
A．3条 B．2条 C．1条 D．4条
答案 A
解析 ①若直线l的斜率不存在，取直线l：x＝2，满足条件．
②若直线l的斜率存在，
当A，B两点在直线l的两侧时，易知直线l不存在．
当A，B两点在直线l的同侧时，设直线l的方程为y＝kx＋b，
由题意可得解得或
可得直线l：y＝x＋或y＝－x－.
综上，满足条件的直线l共有3条．故选A.
二、填空题
9．已知一个矩形的两边所在直线的方程分别为(m＋1)x＋y－2＝0和4m2x＋(m＋1)y－4＝0，则实数m的值为________．
答案 －或－1
解析 由题意可知，两直线平行或垂直，则(m＋1)(m＋1)－4m2＝0，≠或(m＋1)·4m2＋1·(m＋1)＝0，解得m＝－或－1或1(舍去)．
10．在直线方程y＝kx＋b中，当x∈[－3,4]时，恰好y∈[－8,13]，则此直线方程为________________________．
答案 y＝3x＋1或y＝－3x＋4
解析 当k>0时，解得
∴y＝3x＋1；
当k<0时，解得
∴y＝－3x＋4.
此方程为y＝3x＋1或y＝－3x＋4.
11．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P，若AB的中点为C，则|PC|＝________.
答案
解析 由题意x＋my＝0过定点A(0,0)，
动直线mx－y－m＋3＝0，
即m(x－1)－y＋3＝0过定点B(1,3)．
又直线x＋my＝0与mx－y－m＋3＝0始终垂直，
又P为其交点，
则PA⊥PB，∴|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10.
∴|PC|＝.
12．若直线l被直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0截得的线段长为2，则直线l的倾斜角θ(0°<θ<90°)的值为________．
答案 15°或75°
解析 易求得平行线l1，l2之间的距离为＝.
画示意图(图略)可知，要使直线l被l1，l2截得的线段长为2，必须使直线l与直线l1，l2成30°的夹角．
∵直线l1，l2的倾斜角为45°，
∴直线l的倾斜角为45°－30°＝15°或45°＋30°＝75°.
三、解答题
13．在平面直角坐标系中，已知A(－1,2)，B(2,1)，C(1,0)．
(1)判定△ABC的形状；
(2)求过点A且在x轴和y轴上的截距互为倒数的直线方程；
(3)已知l是过点A的直线，点C到直线l的距离为2，求直线l的方程．
解 (1)kAC＝－1，kBC＝1，
kAC·kBC＝－1，
∴△ABC为直角三角形．
(2)设所求直线方程为＋ay＝1(a≠0)，
则－＋2a＝1，即a＝－或a＝1，
∴－2x－y＝1或x＋y＝1，
∴所求直线方程为－2x－y＝1或x＋y＝1，即4x＋y＋2＝0或x＋y－1＝0.
(3)①当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝－1，
此时点C到直线l的距离为2，符合题意；
②当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0，
则点C到直线l的距离d＝＝2，解得k＝0，
∴直线l的方程为y－2＝0.
综上可知，直线l的方程为x＋1＝0或y－2＝0.
四、探究与拓展
14．如图，直线l过点P(0,1)，且分别与直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0交于B，A两点，线段AB恰被点P平分．
(1)求直线l的方程；
(2)设点D(0，m)，且AD∥l1，求△ABD的面积．
解 (1)∵点B在直线l1上，
∴可设B(a,8－2a)．
又P(0,1)是AB的中点，
∴A(－a,2a－6)．
∵点A在直线l2上，
∴－a－3(2a－6)＋10＝0，
解得a＝4，即B(4,0)，
故直线l的方程为x＋4y－4＝0.
(2)由(1)知A(－4,2)，
又AD∥l1，则kAD＝＝－2，
∴m＝－6，则D(0，－6)，
∴点A到直线l1的距离为d＝＝，
|AD|＝＝4，
∴S△ABD＝|AD|·d＝×4×＝28.
15．已知一束光线经过直线l1：3x－y＋7＝0和l2：2x＋y＋3＝0的交点M，且射到x轴上一点N(1,0)后被x轴反射．
(1)求点M关于x轴的对称点P的坐标；
(2)求反射光线所在的直线l3的方程；
(3)求与直线l3的距离为的直线方程．
解 (1)由得∴M(－2,1)．
∴点M关于x轴的对称点P的坐标为(－2，－1)．
(2)易知l3经过点P与点N，
∴l3的方程为＝，
即x－3y－1＝0.
(3)设与l3平行的直线为y＝x＋b.
根据两平行线之间的距离公式，得＝，
解得b＝3或b＝－，
∴与直线l3的距离为的直线方程为y＝x－或y＝x＋3，
即x－3y－11＝0或x－3y＋9＝0.
章末检测试卷(三)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．若直线x＝2 017的倾斜角为α，则α( )
A．等于0° B．等于180°
C．等于90° D．不存在
答案 C
2．点F(，0)到直线x－y＝0的距离为( )
A. B.m
C．3 D．3m
答案 A
解析 由点到直线的距离公式，得点F(，0)到直线x－y＝0的距离为＝.
3．设点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线过P(1,1)且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是( )
A．k≥或k≤－4 B．－4≤k≤
C．－≤k≤4 D．以上都不对
答案 A
解析 建立如图所示的直角坐标系．由图可得k≥kPB或k≤kPA.∵kPB＝，kPA＝－4，∴k≥或k≤－4.
4．若光线从点P(－3,3)射到y轴上，经y轴反射后经过点Q(－1，－5)，则光线从点P到点Q走过的路程为( )
A．10 B．5＋
C．4 D．2
答案 C
解析 Q(－1，－5)关于y轴的对称点为Q1(1，－5)，易知光线从点P到点Q走过的路程为|PQ1|＝＝4.
5．若直线l经过点A(1,2)，在y轴上的截距的取值范围是(－2,3)，则其斜率的取值范围是( )
A.
B.
C．(－∞，－1)∪(4，＋∞)
D．(－1,4)
答案 D
解析 直线l的斜率存在，
设直线方程为y－2＝k(x－1)，
令x＝0，可得y＝2－k，
∵直线l在y轴上的截距的取值范围是(－2,3)，
∴－2<2－k<3，∴－16．直线y＝ax＋的图象可能是( )
答案 B
解析 根据斜截式方程知，斜率与直线在y轴上的纵截距同正负．
7．已知?ABCD的三个顶点的坐标分别是A(0,1)，B(1,0)，C(4,3)，则顶点D的坐标为( )
A．(3,4) B．(4,3)
C．(3,1) D．(3,8)
答案 A
解析 设D(m，n)，由题意得AB∥DC，AD∥BC，
则有kAB＝kDC，kAD＝kBC，
∴解得
∴点D的坐标为(3,4)．
8．若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m等于( )
A．－1 B．1 C. D．－
答案 B
解析 由两直线垂直，得×＝－1，解得m＝1.
9．已知直线x－2y＋m＝0(m>0)与直线x＋ny－3＝0互相平行，且两者之间的距离是，则m＋n等于( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
答案 B
解析 由题意知，所给两条直线平行，∴n＝－2.
由两条平行直线间的距离公式，得d＝＝＝，解得m＝2或m＝－8(舍去)，∴m＋n＝0.
10．点P(－2，－1)到直线l：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ的距离为d，则d的取值范围是( )
A．0≤d＜ B．d≥0
C．d＞ D．d≥
答案 A
解析 直线l：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ可化为(x＋y－2)＋λ(3x＋2y－5)＝0，
∴∴
∴直线l恒过定点A(1,1)(不包括直线3x＋2y－5＝0)，
∴|PA|＝＝.
∵PA与直线3x＋2y－5＝0垂直，点P(－2，－1)到直线的距离为，
∴点P(－2，－1)到直线l：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ的距离为0≤d＜，故选A.
11．直线l过点A(3,4)且与点B(－3,2)的距离最远，那么直线l的方程为( )
A．3x－y－13＝0 B．3x－y＋13＝0
C．3x＋y－13＝0 D．3x＋y＋13＝0
答案 C
解析 由已知可得，l是过A且与AB垂直的直线，
∵kAB＝＝，∴kl＝－3，
由点斜式得y－4＝－3(x－3)，
即3x＋y－13＝0.
12．已知△ABC的三个顶点分别是A(0,3)，B(3,3)，C(2,0)，若直线l：x＝a将△ABC分割成面积相等的两部分，则a的值是( )
A. B．1＋ C．1＋ D.
答案 A
解析 只有当直线x＝a与线段AC相交时，x＝a才可将△ABC分成面积相等的两部分．S△ABC＝×3×3＝，设x＝a与AB，AC分别相交于D，E，则S△ADE＝×a×a＝×，解得a＝(负值舍去)．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．过点(－2，－3)且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为____________．
答案 x＋y＋5＝0或3x－2y＝0
解析 当直线过原点时，所求直线的方程为3x－2y＝0；当直线不过原点时，所求直线的方程为x＋y＋5＝0.
14．已知直线l与直线y＝1，x－y－7＝0分别相交于P，Q两点，线段PQ的中点坐标为(1，－1)，那么直线l的斜率为________．
答案 －
解析 设P(x,1)，则Q(2－x，－3)，
将点Q的坐标代入x－y－7＝0，得2－x＋3－7＝0.
∴x＝－2，∴P(－2,1)，∴kl＝－.
15．点M到x轴和到点N(－4,2)的距离都等于10，则点M的坐标为_____________．
答案 (2,10)或(－10,10)
解析 设M(x，y)，则|y|＝＝10，
解得或
16．已知点A(1，－1)，点B(3,5)，点P是直线y＝x上的动点，当|PA|＋|PB|的值最小时，点P的坐标是________．
答案 (2,2)
解析 易知当点P为直线AB与直线y＝x的交点时，
|PA|＋|PB|的值最小，直线AB的方程为y－5＝(x－3)，即3x－y－4＝0.
解方程组得
所以当|PA|＋|PB|的值最小时，点P的坐标为(2,2)．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知点M是直线l：x－y＋3＝0与x轴的交点，将直线l绕点M旋转30°，求所得直线l′的方程．
解 在x－y＋3＝0中，令y＝0，得x＝－，
即M(－，0)．
∵直线l的斜率k＝，∴其倾斜角θ＝60°.
若直线l绕点M逆时针方向旋转30°，
则直线l′的倾斜角为60°＋30°＝90°，
此时斜率不存在，故其方程为x＝－.
若直线l绕点M顺时针方向旋转30°，则直线l′的倾斜角为60°－30°＝30°，此时斜率为tan 30°＝，
故其方程为y＝(x＋)，即x－y＋＝0.
综上所述，所求直线方程为x＋＝0或x－y＋＝0.
18．(12分)已知直线l1：y＝－k(x－a)和直线l2在x轴上的截距相等，且它们的倾斜角互补，又知直线l1过点P(－3,3)．如果点Q(2,2)到直线l2的距离为1，求l2的方程．
解 由题意，可设直线l2的方程为y＝k(x－a)，即kx－y－ak＝0，
∵点Q(2,2)到直线l2的距离为1，∴＝1，①
又∵直线l1的方程为y＝－k(x－a)，
且直线l1过点P(－3,3)，∴ak＝3－3k.②
由①②得＝1，两边平方整理得12k2－25k＋12＝0，
解得k＝或k＝.
∴当k＝时，代入②得a＝－，此时直线l2的方程为4x－3y＋3＝0；
当k＝时，代入②得a＝1，此时直线l2的方程为3x－4y－3＝0.
综上所述，直线l2的方程为4x－3y＋3＝0或3x－4y－3＝0.
19．(12分)已知点A(5,1)关于x轴的对称点为B(x1，y1)，关于原点的对称点为C(x2，y2)．
(1)求△ABC中过AB，BC边上中点的直线方程；
(2)求△ABC的面积．
解 (1)∵点A(5,1)关于x轴的对称点为B(x1，y1)，∴B(5，－1)，
又∵点A(5,1)关于原点的对称点为C(x2，y2)，
∴C(－5，－1)，
∴AB的中点坐标是(5,0)，BC的中点坐标是(0，－1)．
过(5,0)，(0，－1)的直线方程是＝，
整理得x－5y－5＝0.
(2)易知|AB|＝|－1－1|＝2，|BC|＝|－5－5|＝10，AB⊥BC，
∴△ABC的面积S＝|AB|·|BC|＝×2×10＝10.
20．(12分)已知直线l平行于直线x＋y－4＝0，且实数x，y满足直线l的方程，又知(x－1)2＋(y－1)2的最小值为2，求直线l的方程．
解 依题意，设l的方程为x＋y＋m＝0(m≠－4)，
因为x，y满足该方程，所以y＝－x－m.
则(x－1)2＋(y－1)2＝(x－1)2＋(－x－m－1)2＝2x2＋2mx＋2m＋2＋m2＝22＋m2＋2m＋2，
所以当x＝－时，上式取得最小值m2＋2m＋2，
由题意知，m2＋2m＋2＝2，解得m＝0或m＝－4(舍)，
所以直线l的方程为x＋y＝0.
21．(12分)已知直线l：y＝4x和点P(6,4)，点A为第一象限内的点且在直线l上，直线PA交x轴的正半轴于点B，
(1)当OP⊥AB时，求AB所在直线的方程；
(2)求△OAB面积的最小值，并求当△OAB面积取最小值时点B的坐标．
解 (1)∵点P(6,4)，∴kOP＝.
又∵OP⊥AB，∴kAB＝－.
∵AB过点P(6,4)，∴直线AB的方程为y－4＝－(x－6)，化为一般式可得3x＋2y－26＝0.
(2)设点A(a,4a)，a>0，点B的坐标为(b,0)，b>0，当直线AB的斜率不存在时，a＝b＝6，此时△OAB的面积S＝×6×24＝72.当直线AB的斜率存在时，
有＝，解得b＝，
故点B的坐标为，故△OAB的面积S＝··4a＝，即10a2－Sa＋S＝0.①
由题意可得方程10a2－Sa＋S＝0有解，
故判别式Δ＝S2－40S≥0，∴S≥40，
故S的最小值为40，此时①为a2－4a＋4＝0，解得a＝2.
综上可得，△OAB面积的最小值为40，
当△OAB面积取最小值时，点B的坐标为(10,0)．
22．(12分)已知直线l1：2x－y＋a＝0(a>0)，直线l2：－4x＋2y＋1＝0和直线l3：x＋y－1＝0，且l1与l2的距离是.
(1)求a的值；
(2)能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到l1的距离是P点到l2的距离的；③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是∶.若能，求出P点坐标；若不能，请说明理由．
解 (1)l2可化为2x－y－＝0，
∴l1与l2的距离为d＝＝.
又∵a>0，∴a＝3.
(2)设点P(x0，y0)满足②，则P点在与l1，l2平行的直线l′：2x－y＋c＝0上且＝·，
即c＝或c＝，
∴2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0.
若P点满足条件③，由点到直线的距离公式，得＝·，
即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|，
∴x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0.
∵P点在第一象限，∴3x0＋2＝0不满足题意．
联立方程解得(舍去)
由得
∴P即为同时满足三个条件的点．
