新人教A版必修二第三章 直线与方程章末复习导学案

章末复习
学习目标　1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.培养综合运用知识解决问题的能力，能灵活选择直线方程的形式并熟练运用待定系数法求解，渗透数形结合、分类讨论的数学思想．
1．直线的倾斜角与斜率
(1)直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α<180°.
(2)k＝
(3)斜率的求法
①依据倾斜角；
②依据直线方程；
③依据两点的坐标．
2．直线方程的几种形式的转化
3．两条直线的位置关系
设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则
(1)平行?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0；
(2)相交?A1B2－A2B1≠0；
(3)重合?A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝λC2(λ≠0)或＝＝(A2B2C2≠0)．
4．距离公式
(1)两点间的距离公式
已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，
则|P1P2|＝.
(2)点到直线的距离公式
①点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝；
②两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0的距离d＝ .
类型一　待定系数法的应用
例1　直线l被两条直线l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得的线段的中点为P(－1,2)，求直线l的方程．
解　方法一　设直线l与l1的交点为A(x0，y0)，由已知条件，得直线l与l2的交点为B(－2－x0,4－y0)，
并且满足
即
解得所以A(－2,5)．
因此直线l的方程为＝，
即3x＋y＋1＝0.
方法二　由题意知，直线l的斜率显然存在，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，
即kx－y＋k＋2＝0.
由
得x＝.
由
得x＝.
则＋＝－2，解得k＝－3.
因此所求直线方程为y－2＝－3(x＋1)，
即3x＋y＋1＝0.
方法三　两直线l1和l2的方程为
(4x＋y＋3)(3x－5y－5)＝0，①
将上述方程中(x，y)换成(－2－x,4－y)，
整理可得l1与l2关于(－1,2)对称图形的方程为
(4x＋y＋1)(3x－5y＋31)＝0.②
①－②整理得3x＋y＋1＝0，即为所求直线方程．
反思与感悟　待定系数法，就是所研究的式子(方程)的结构是确定的，但它的全部或部分系数是待定的，然后根据题中条件来确定这些系数的方法．直线的方程常用待定系数法求解．选择合适的直线方程的形式是很重要的，一般情况下，与截距有关的，可设直线的斜截式方程或截距式方程；与斜率有关的，可设直线的斜截式或点斜式方程等．
跟踪训练1　过点P(6,8)作两条互相垂直的射线PA，PB，分别交x轴，y轴正方向于点A，B.若S△AOB＝S△APB，求PA与PB所在直线的方程．
解　设A(a,0)，B(0，b)(a>0，b>0)，
则直线AB的方程为＋＝1，
即bx＋ay－ab＝0.
因为S△AOB＝S△APB，
所以O，P两点到直线AB的距离相等，
由点到直线的距离公式得＝，
解得ab＝4a＋3b①或4a＋3b＝0(与a>0，b>0矛盾，舍去)．
由PA⊥PB，得·＝－1，即3a＋4b＝50②，
联立①②，解得或所以直线PA：x＝6，直线PB：y＝8或直线PA：24x＋7y－200＝0，直线PB：7x－24y＋150＝0.
类型二　分类讨论思想的应用
例2　过点P(－1,0)，Q(0,2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线的方程．
解　当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x＝－1，x＝0，它们在x轴上截距之差的绝对值为1，符合题意．
当直线的斜率存在时，设其斜率为k，则两条直线的方程分别为y＝k(x＋1)，y－2＝kx.
令y＝0，得x＝－1与x＝－.
由题意得＝1，即k＝1.
∴两条直线的方程分别为y＝x＋1，y＝x＋2，
即x－y＋1＝0，x－y＋2＝0.
综上可知，所求的两条直线的方程分别为x＝－1，x＝0或x－y＋1＝0，x－y＋2＝0.
反思与感悟　本章涉及直线方程的形式时，常遇到斜率的存在性问题的讨论，如两直线平行(或垂直)时，斜率是否存在；已知直线过定点时，选择点斜式方程，要考虑斜率是否存在．
跟踪训练2　求在两坐标轴上截距相等，且到点A(3,1)的距离为的直线的方程．
解　当直线过原点时，设直线的方程为y＝kx，
即kx－y＝0.
由题意知＝，
解得k＝1或k＝－.
所以所求直线的方程为x－y＝0或x＋7y＝0.
当直线不经过原点时，
设所求直线的方程为＋＝1，
即x＋y－a＝0.
由题意知＝，
解得a＝2或a＝6.
所以所求直线的方程为x＋y－2＝0或x＋y－6＝0.
综上可知，所求直线的方程为x－y＝0或x＋7y＝0或x＋y－2＝0或x＋y－6＝0.
类型三　最值问题

例3　在直线y＝x＋2上求一点P，使得点P到直线l1：3x－4y＋8＝0和直线l2：3x－y－1＝0的距离的平方和最小．
解　设P(x0，x0＋2)，
设点P到直线l1的距离为d1，
点P到直线l2的距离为d2，
令y＝d1＋d2＝2＋2，
整理得y＝，
∴当x0＝＝时，y最小，
此时y0＝x0＋2＝，
∴P.
反思与感悟　将几何问题转化为函数求最值，是一种常用的求最值的方法．
跟踪训练3　在平面直角坐标系中，动点P到两条直线3x－y＝0与x＋3y＝0的距离之和等于2，则点P到坐标原点的距离的最小值为________．
答案　
解析　∵3x－y＝0与x＋3y＝0互相垂直，且交点为原点，
∴设P到直线的距离分别为a，b，则a≥0，b≥0，
则a＋b＝2，即b＝2－a≥0，
得0≤a≤2.
由勾股定理可知，|OP|＝＝＝，
∵0≤a≤2，
∴当a＝1时，OP的距离最小为.

例4　已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2，－4)．
(1)在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|最小；
(2)在直线l上求一点P，使||PB|－|PA||最大．
解　(1)设A关于直线l的对称点为A′(m，n)，
则
解得故A′(－2,8)．
因为P为直线l上的一点，
则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，
当且仅当B，P，A′三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值，为|A′B|，点P即是直线A′B与直线l的交点，
解得
故所求的点P的坐标为(－2,3)．
(2)A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，
则||PB|－|PA||≤|AB|，
当且仅当A，B，P三点共线时，||PB|－|PA||取得最大值，为|AB|，点P即是直线AB与直线l的交点，又直线AB的方程为y＝x－2，
解得
故所求的点P的坐标为(12,10)．
反思与感悟　(1)在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|取得最小值时，若点A，B在直线l的同侧，则作点A(或点B)关于l的对称点A′(或点B′)，连接A′B(或AB′)交l于点P，则点P即为所求；若点A，B位于直线l的异侧，直接连接AB交l于点P，则点P即为所求．可简记为“同侧对称异侧连．”
(2)在直线l上求一点P，使||PA|－|PB||取得最大值时，方法与(1)恰好相反，即“异侧对称同侧连”．
跟踪训练4　已知定点A(3,1)，动点M和点N分别在直线y＝x和y＝0上运动，则△AMN的周长取最小值时点M的坐标为________．
答案　
解析　如图所示，分别作出点A关于直线y＝x与x轴的对称点A1(1,3)，A2(3，－1)．
连接A1A2与直线y＝x相交于点M，与x轴相交于点N，则满足条件．
直线A1A2的方程为y－3＝(x－1)，
化为2x＋y－5＝0，
联立解得x＝y＝.
∴M.
1．若方程(6a2－a－2)x＋(3a2－5a＋2)y＋a－1＝0表示平行于x轴的直线，则a的值是(　　)
A. B.
C.，－ D．－
答案　D
解析　因为平行于x轴的直线的斜率为零，所以由直线的一般式方程Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)得k＝－＝0?A＝0，B≠0，即
解得a＝－.本题易错在忽视B≠0这一条件而导致多解．
2．已知直线l不经过第三象限，若其斜率为k，在y轴上的截距为b(b≠0)，则(　　)
A．kb<0 B．k≤0，b>0
C．k<0，b>0 D．kb≥0
答案　B
解析　由题意得直线l的方程为y＝kx＋b(b≠0)，
∵直线l不经过第三象限，
∴k≤0，b>0.
3．和直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为(　　)
A．3x＋4y＋5＝0
B．3x＋4y－5＝0
C．－3x＋4y－5＝0
D．－3x＋4y＋5＝0
答案　A
解析　设所求直线上任意一点(x，y)，
则此点关于x轴对称的点的坐标为(x，－y)，
因为点(x，－y)在直线3x－4y＋5＝0上，
所以3x＋4y＋5＝0.
4．已知直线kx－y＋1－k＝0恒过定点A，且点A在直线mx＋ny－1＝0(m>0，n>0)上，则mn的最大值为(　　)
A. B.
C．2 D．4
答案　B
解析　直线kx－y＋1－k＝0，
可化为k(x－1)＋1－y＝0，
可知A(1,1)，
∴m＋n＝1，即n＝1－m.
∴mn＝m(1－m)＝－m2＋m＝－2＋，
即当m＝时，mn取得最大值.
5．在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(0,1)，B(3,2)．
(1)若C点坐标为(1,0)，求AB边上的高所在的直线方程；
(2)若点M(1,1)为边AC的中点，求边BC所在的直线方程．
解　(1)∵A(0,1)，B(3,2)，
∴kAB＝＝，
由垂直关系可得AB边上的高所在的直线的斜率k＝－3，
∴AB边上的高所在直线方程为y－0＝－3(x－1)，
化为一般式可得3x＋y－3＝0.
(2)∵M为AC的中点，
∴C(2,1)，
∴kBC＝＝1，
∴BC所在直线方程为y－1＝x－2，
化为一般式可得x－y－1＝0.
1．一般地，与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)；与之垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋n＝0.
2．过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
3．点到直线与两平行线间的距离的使用条件
(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．
(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．
一．选择题
1．已知直线PQ的斜率为－，则将直线绕点P沿顺时针方向旋转60°所得的直线的斜率是(　　)
A．－ B．0
C. D.
答案　C
解析　由直线PQ的斜率为－得直线的倾斜角为120°，故绕点P沿顺时针方向旋转60°所得的直线的倾斜角为60°，斜率为.
2．已知过点M(－2，a)，N(a,4)的直线的斜率为－，则|MN|等于(　　)
A．10 B．180
C．6 D．6
答案　D
解析　kMN＝＝－，解得a＝10，即M(－2,10)，N(10,4)，所以|MN|＝＝6，故选D.
3．过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距为(　　)
A．－ B．－
C. D．2
答案　A
解析　由两点式＝，得y＝2x＋3，
令y＝0，得x＝－，即为在x轴上的截距．
4．若直线mx＋ny＋2＝0平行于直线x－2y＋5＝0，且在y轴上的截距为1，则m，n的值分别为(　　)
A．1和2 B．－1和2
C．1和－2 D．－1和－2
答案　C
解析　由已知得直线mx＋ny＋2＝0过点(0,1)，则n＝－2，又因为两直线平行，所以－＝，解得m＝1.
5．如图，A，B，C，D是平面直角坐标系上的四个点，将这四个点的坐标分别代入x－y＝k，若在某点处k取得最大值，则该点是(　　)
A．点A B．点B
C．点C D．点D
答案　D
解析　因为y＝x－k，所以要使k取得最大值，则－k取得最小值，即直线y＝x－k在y轴上的截距最小，易知当直线y＝x－k经过D点时，k取得最大值，故选D.
6．已知点M(a，b)在直线4x－3y＋c＝0上，若(a－1)2＋(b－1)2的最小值为4，则实数c的值为(　　)
A．－21或19 B．－11或9
C．－21或9 D．－11或19
答案　B
解析　∵点M(a，b)在直线4x－3y＋c＝0上，
∴点(1,1)到此直线的最小距离d＝＝2，
得c＝9或－11.
7．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2过定点(　　)
A．(0,4) B．(0,2)
C．(－2,4) D．(4，－2)
答案　B
解析　∵l1：y＝k(x－4)过定点M(4,0)，
而点M关于点(2,1)的对称点为N(0,2)，
故直线l2过定点(0,2)．
8．已知点A(1,1)，B(3,5)到经过点(2,1)的直线l的距离相等，则l的方程为(　　)
A．2x－y－3＝0
B．x＝2
C．2x－y－3＝0或x＝2
D．以上都不对
答案　C
解析　当A，B都在l的同侧时，
设l的方程为y－1＝k(x－2)，
此时，AB∥l，所以k＝kAB＝＝2，
l的方程为2x－y－3＝0.
当A，B在l的两侧时，A，B到x＝2的距离相等，因此，l的方程为x＝2，故选C.
二、填空题
9．若点A(4，－1)在直线l1：ax－y＋1＝0上，则l1与l2：2x－y－3＝0的位置关系是_____．
答案　l1⊥l2
解析　将点A(4，－1)的坐标代入ax－y＋1＝0，
得a＝－，则·＝－×2＝－1，
∴l1⊥l2.
10．直线3x＋my－1＝0与4x＋3y－n＝0的交点为(2，－1)，则坐标原点到直线mx＋ny＝5的距离为________．
答案　
解析　将x＝2，y＝－1代入直线方程，可得解得
∴直线mx＋ny＝5可化为x＋y－1＝0.
则坐标原点到直线x＋y－1＝0的距离为＝.
11．已知A(2,4)，B(3,3)，点P(a，b)是线段AB(包括端点)上的动点，则的取值范围为________．
答案　[1,3]
解析　设k＝，则k可以看成点P(a，b)与定点Q(1,1)连线的斜率，如图所示，当P在线段AB上由B点运动到A点时，PQ的斜率由kBQ增大到kAQ，
∵kBQ＝＝1，kAQ＝＝3，
∴1≤k≤3，即的取值范围是[1,3]．
三、解答题
12．设直线l经过点(－1,1)，此直线被两平行直线l1：x＋2y－1＝0和l2：x＋2y－3＝0所截得线段的中点在直线x－y－1＝0上，求直线l的方程．
解　设直线x－y－1＝0与l1，l2的交点分别为C(xC，yC)，D(xD，yD)，
则解得∴C(1,0)．
解得∴D.
则C，D的中点坐标为，
即直线l经过点.
又直线l经过点(－1,1)，由两点式得直线l的方程为＝，即2x＋7y－5＝0.
四、探究与拓展
13．已知A，B，C三点在曲线y＝上，其横坐标依次为1，m(1A．3 B.
C. D.
答案　B
解析　易得A(1,1)，B(m，)，C(4,2)，直线AC的方程为x－3y＋2＝0.设点B到直线AC的距离为d，
则S△ABC＝|AC|·d＝××＝|m－3＋2|＝.
∵1∴1<<2，当＝，即当m＝时，
S△ABC取得最大值，故选B.
14．已知点P(2，－1)．
(1)求过点P且与原点的距离为2的直线方程；
(2)求过点P且与原点的距离最大的直线方程，并求出最大值；
(3)是否存在过点P且与原点的距离为3的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．
解　(1)当斜率不存在时，方程x＝2符合题意；
当直线的斜率存在时，设为k，
则直线方程应为y＋1＝k(x－2)，
即kx－y－2k－1＝0.
由题意，得＝2.解得k＝.
所以直线方程为3x－4y－10＝0.
所以适合题意的直线方程为x－2＝0或3x－4y－10＝0.
(2)过点P，且与原点的距离最大的直线应为过点P且与OP垂直的直线，易求其方程为2x－y－5＝0，且最大距离d＝.
(3)由于原点到过点P(2，－1)的直线的最大距离为，而3＞，故不存在这样的直线．