§3.2 直线的方程
3.2.1 直线的点斜式方程
学习目标 1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程.2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.3.会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的实际问题．
知识点一 直线的点斜式方程
思考1 如图，直线l经过点P0(x0，y0)，且斜率为k，设点P(x，y)是直线l上不同于点P0的任意一点，那么x，y应满足什么关系？
答案 由斜率公式得k＝，则x，y应满足y－y0＝k(x－x0)．
思考2 经过点P0(x0，y0)的所有直线是否都能用点斜式方程来表示？
答案 斜率不存在的直线不能用点斜式表示，过点P0斜率不存在的直线为x＝x0.
梳理
点斜式
已知条件
点P(x0，y0)和斜率k
图示
方程形式
y－y0＝k(x－x0)
适用条件
斜率存在
知识点二 直线的斜截式方程
思考1 已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，得到的直线l的方程是什么？
答案 将k及点(0，b)代入直线方程的点斜式得y＝kx＋b.
思考2 方程y＝kx＋b表示的直线在y轴上的截距b是距离吗？b可不可以为负数和零？
答案 y轴上的截距b不是距离，可以是负数和零．
梳理
斜截式
已知条件
斜率k和直线在y轴上的截距b
图示
方程式
y＝kx＋b
适用条件
斜率存在
对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2.
①l1∥l2?k1＝k2且b1≠b2，
②l1⊥l2?k1k2＝－1.
1．对直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)也可写成k＝.( × )
2．直线y－3＝k(x＋1)恒过定点(－1,3)．( √ )
3．直线y＝kx－b在y轴上的截距为b.( × )
类型一 直线的点斜式方程
例1 (1)直线y＝2x＋1绕着其上一点P(1,3)逆时针旋转90°后得到直线l，则直线l的点斜式方程是________．
答案 y－3＝－(x－1)
解析 由题意知，直线l与直线y＝2x＋1垂直，则直线l的斜率为－.
由点斜式方程可得l的方程为y－3＝－(x－1)．
(2)一直线l1过点A(－1，－2)，其倾斜角等于直线l2：y＝x的倾斜角的2倍，则l1的点斜式方程为________．
答案 y＋2＝(x＋1)
解析 ∵直线l2的方程为y＝x，
设其倾斜角为α，则tan α＝，∴α＝30°.
那么直线l1的倾斜角为2×30°＝60°，
∴l1的点斜式方程为y＋2＝tan 60°(x＋1)，
即y＋2＝(x＋1)．
反思与感悟 (1)求直线的点斜式方程
(2)点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但直线x＝x0除外．
跟踪训练1 写出下列直线的点斜式方程．
(1)经过点A(2,5)，且与直线y＝2x＋7平行；
(2)经过点C(－1，－1)，且与x轴平行；
(3)经过点D(1,2)，且与x轴垂直；
(4)经过点P(－2,3)，Q(5，－4)两点．
解 (1)由题意知，直线的斜率为2，
所以其点斜式方程为y－5＝2(x－2)．
(2)由题意知，直线的斜率k＝tan 0°＝0，
所以直线的点斜式方程为y－(－1)＝0.
(3)由题意可知直线的斜率不存在，
所以直线的方程为x＝1，该直线没有点斜式方程．
(4)kPQ＝＝－1，
所以该直线的点斜式方程为y－3＝－(x＋2)．
类型二 直线的斜截式方程
例2 (1)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3的直线的斜截式方程是________________________________________________________________________．
答案 y＝x＋3或y＝x－3
解析 ∵直线的倾斜角是60°，
∴其斜率k＝tan 60°＝，
∵直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，
∴直线在y轴上的截距是3或－3，
∴所求直线的斜截式方程是y＝x＋3或y＝x－3.
(2)已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程．
解 由斜截式方程知，直线l1的斜率k1＝－2，
又因为l∥l1，所以kl＝－2.
由题意知，l2在y轴上的截距为－2，
所以直线l在y轴上的截距b＝－2.
由斜截式可得直线l的方程为y＝－2x－2.
引申探究
本例(2)中若将“直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相等”改为“直线l与l1垂直且与l2在y轴上的截距互为相反数”，求l的方程．
解 ∵l1⊥l，直线l1：y＝－2x＋3，∴l的斜率为.
∵l与l2在y轴上的截距互为相反数，
直线l2：y＝4x－2，∴l在y轴上的截距为2.
∴直线l的方程为y＝x＋2.
反思与感悟 (1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．当b＝0时，y＝kx表示过原点的直线；当k＝0时，y＝b表示与x轴平行(或重合)的直线．
(2)截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数和零，而距离是一个非负数．
跟踪训练2 已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的斜截式方程．
解 设直线方程为y＝x＋b，则当x＝0时，y＝b；
当y＝0时，x＝－6b.由已知可得·|b|·|－6b|＝3，
即6|b|2＝6，∴b＝±1.
故所求直线l的斜截式方程为y＝x＋1或y＝x－1.
类型三 平行与垂直的应用
例3 (1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：
y＝(a2－2)x＋2平行？
(2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？
解 (1)由题意可知，＝－1，＝a2－2，
∵l1∥l2，∴解得a＝－1.
故当a＝－1时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：
y＝(a2－2)x＋2平行．
(2)由题意可知，＝2a－1，＝4，
∵l1⊥l2，
∴4(2a－1)＝－1，解得a＝.
故当a＝时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：
y＝4x－3垂直．
反思与感悟 设直线l1和l2的斜率k1，k2都存在，其方程分别为l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，那么：
(1)l1∥l2?k1＝k2，且b1≠b2；
(2)两条直线重合?k1＝k2，且b1＝b2；
(3)l1⊥l2?k1·k2＝－1.
跟踪训练3 已知直线l：y＝(a2－2)x＋2a＋9与直线y＝－x＋1垂直，且与直线y＝3x＋5在y轴上的截距相同，求a的值．
解 由题意知(a2－2)×＝－1，解得a＝±2.
∴当a＝2时，直线l：y＝2x＋13；
当a＝－2时，直线l：y＝2x＋5.
又直线l与直线y＝3x＋5在y轴上的截距相同，∴a＝－2.
1．方程y＝k(x－2)表示( )
A．通过点(－2,0)的所有直线
B．通过点(2,0)的所有直线
C．通过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线
D．通过点(2,0)且除去x轴的所有直线
答案 C
解析 易验证直线通过点(2,0)，又直线斜率存在，故直线不垂直于x轴．
2．直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有( )
A．k>0，b>0 B．k>0，b<0
C．k<0，b>0 D．k<0，b<0
答案 B
解析 ∵直线经过第一、三、四象限，
∴图形如图所示，由图知，k>0，b<0.
3．已知直线l过点P(2,1)，且直线l的斜率为直线x－4y＋3＝0的斜率的2倍，则直线l的点斜式方程为____________．
答案 y－1＝(x－2)
解析 由x－4y＋3＝0，得y＝x＋，其斜率为，
故所求直线l的斜率为，又直线l过点P(2,1)，
所以直线l的点斜式方程为y－1＝(x－2)．
4．已知直线l1：y＝2x＋3a，l2：y＝(a2＋1)x＋3，若l1∥l2，则a＝________.
答案 －1
解析 因为l1∥l2，
所以a2＋1＝2，a2＝1，所以a＝±1.
又由于l1∥l2，两直线l1与l2不能重合，
则3a≠3，即a≠1，故a＝－1.
5．已知直线l的方程为y－m＝(m－1)(x＋1)，若l在y轴上的截距为7，则m＝_____.
答案 4
解析 直线l的方程可化为y＝(m－1)x＋2m－1，
∴2m－1＝7，得m＝4.
1．求直线的点斜式方程的方法步骤
2．直线的斜截式方程的求解策略
(1)用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注意截距和距离的区别．
(2)直线的斜截式方程y＝kx＋b不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图象就一目了然．因此，在解决直线的图象问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用k，b的几何意义进行判断．
一、选择题
1．过点(4，－2)，倾斜角为150°的直线的点斜式方程为( )
A．y－2＝－(x＋4)
B．y－(－2)＝－(x－4)
C．y－(－2)＝(x－4)
D．y－2＝(x＋4)
答案 B
解析 由题意知k＝tan 150°＝－，
所以直线的点斜式方程为y－(－2)＝－(x－4)．
2．过点(－1,3)且平行于直线y＝(x＋3)的直线方程为( )
A．y＋3＝(x＋1) B．y＋3＝(x－1)
C．y－3＝(x＋1) D．y－3＝(x－1)
答案 C
解析 由直线y＝(x＋3)，得所求直线的斜率为，
其方程为y－3＝(x＋1)，故选C.
3．直线y－b＝2(x－a)在y轴上的截距为( )
A．a＋b B．2a－b
C．b－2a D．|2a－b|
答案 C
4．与直线y＝2x＋1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程为( )
A．y＝x＋4 B．y＝2x＋4
C．y＝－2x＋4 D．y＝－x＋4
答案 D
解析 由题意可设所求直线方程为y＝kx＋4，又由2k＝－1，得k＝－，∴所求直线方程为y＝－x＋4.
5．将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位长度，所得到的直线为( )
A．y＝－x＋ B．y＝－x＋1
C．y＝3x－3 D．y＝x＋1
答案 A
解析 将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，得到直线y＝－x，再向右平移1个单位长度，所得到的直线为y＝－(x－1)，即y＝－x＋.
6．如果直线y＝－x＋与直线y＝x－平行，则a等于( )
A．0 B．－
C．0或－ D．0或1
答案 B
解析 由题意知解得a＝－.
7．下列四个结论：
①方程k＝与方程y－2＝k(x＋1)可表示同一直线；
②直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为90°，则其方程是x＝x1；
③直线l过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程是y＝y1；
④所有的直线都有点斜式和斜截式方程．
其中正确的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 ①中方程：k＝中x≠－1；④中斜率不存在的直线没有点斜式和斜截式方程，①④错误，②③正确．
8．直线l1：y＝ax＋b与直线l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是( )
答案 D
解析 对于A，由l1得a>0，b<0，而由l2得a>0，b>0，矛盾；对于B，由l1得a<0，b>0，而由l2得a>0，b>0，矛盾；对于C，由l1得a>0，b<0，而由l2得a<0，b>0，矛盾；对于D，由l1得a>0，b>0，而由l2得a>0，b>0.故选D.
二、填空题
9．在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成30°角的直线的斜截式方程是____________．
答案 y＝x－6或y＝－x－6
解析 因为直线与y轴相交成30°角，
所以直线的倾斜角为60°或120°，
所以直线的斜率为或－，
又因为在y轴上的截距为－6，
所以直线的斜截式方程为y＝x－6或y＝－x－6.
10．已知直线y＝(3－2k)x－6不经过第一象限，则k的取值范围为________．
答案
解析 由题意知，需满足它在y轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，则得k≥.
11．若原点在直线l上的射影是P(－2,1)，则直线l的点斜式方程为______________．
答案 y－1＝2(x＋2)
解析 ∵直线OP的斜率为－，
又OP⊥l，
∴直线l的斜率为2，
∴直线l的点斜式方程为y－1＝2(x＋2)．
12．斜率为，且与坐标轴所围成的三角形的周长是12的直线的斜截式方程是_______．
答案 y＝x±3
解析 设所求直线的斜截式方程为y＝x＋b，
令y＝0，得x＝－，
由题意得|b|＋＋＝12，
即|b|＋|b|＋|b|＝12，
∴4|b|＝12，∴b＝±3，
∴所求直线的斜截式方程为y＝x±3.
三、解答题
13．已知直线l的斜率与直线3x－2y＝6的斜率相等，且直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，求直线l的斜截式方程．
解 由题意知，直线l的斜率为，
故设直线l的方程为y＝x＋b，
l在x轴上的截距为－b，在y轴上的截距为b，
所以－b－b＝1，b＝－，
所以直线l的斜截式方程为y＝x－.
四、探究与拓展
14．将直线y＝x＋－1绕其上面一点(1，)沿逆时针方向旋转15°，所得到的直线的点斜式方程是________________．
答案 y－＝(x－1)
解析 由y＝x＋－1得直线的斜率为1，倾斜角为45°.
∵沿逆时针方向旋转15°后，倾斜角变为60°，
∴所求直线的斜率为.
又∵直线过点(1，)，
∴由直线的点斜式方程可得y－＝(x－1)．
15．已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求l′的斜截式方程，使得：
(1)l′与l平行，且过点(－1,3)；
(2)l′与l垂直，且l′与两坐标轴围成的三角形的面积为4.
解 ∵直线l的方程为3x＋4y－12＝0，
∴直线l的斜率为－.
(1)∵l′与l平行，∴直线l′的斜率为－.
∴直线l′的方程为y－3＝－(x＋1)，
即y＝－x＋
(2)∵l′⊥l，∴kl′＝.
设l′在y轴上的截距为b，则l′在x轴上的截距为－b，
由题意可知，S＝|b|·＝4，∴b＝±，
∴直线l′的方程为y＝x＋或y＝x－.
3.2.2 直线的两点式方程
学习目标 1.掌握直线方程两点式的形式、特点及适用范围.2.了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围.3.会用中点坐标公式求两点的中点坐标．
知识点一 直线方程的两点式
思考 过点(1,3)和(1,5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2,3)，(5,3)的直线呢？
答案 不能，因为1－1＝0，而0不能做分母．过点(2,3)，(5,3)的直线也不能用两点式表示．
梳理
名称
已知条件
示意图
方程
使用范围
两点式
P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2
＝
斜率存在且不为0
知识点二 直线方程的截距式
思考 已知两点P1(a,0)，P2(0，b)，其中a≠0，b≠0，求通过这两点的直线方程．
答案 由直线方程的两点式，得＝，
即＋＝1.
梳理
名称
已知条件
示意图
方程
使用范围
截距式
在x，y轴上的截距分别为a，b且a≠0，b≠0
＋＝1
斜率存在且不为0，不过原点
知识点三 线段的中点坐标公式
若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，设P(x，y)是线段P1P2的中点，则
1．不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示．( × )
2．经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．( √ )
3．能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示．( √ )
类型一 直线的两点式方程
例1 已知A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中，
(1)求BC边的方程；
(2)求BC边上的中线所在直线的方程．
解 (1)BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)，
由两点式，得＝，即2x＋5y＋10＝0，
故BC边的方程是2x＋5y＋10＝0(0≤x≤5)．
(2)设BC的中点为M(a，b)，
则a＝＝，b＝＝－3，所以M，
又BC边的中线过点A(－3,2)，
所以＝，即10x＋11y＋8＝0，
所以BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0.
引申探究
若本例条件不变，试求BC边的垂直平分线所在的直线方程．
解 kBC＝＝－，
则BC边的垂直平分线的斜率为，
又BC的中点坐标为，
由点斜式方程可得y＋3＝，
即10x－4y－37＝0.
反思与感悟 (1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴．若满足，则考虑用两点式求方程．
(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误，在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系，即x2与y2是同一点坐标，而x1与y1是另一点坐标．
跟踪训练1 若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝________.
答案 －2
解析 由直线方程的两点式，得＝，
即＝.
∴直线AB的方程为y＋1＝－x＋2，
∵点P(3，m)在直线AB上，
∴m＋1＝－3＋2，得m＝－2.
类型二 直线的截距式方程
例2 求过点A(5,2)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程．
解 方法一 (1)当直线l在两坐标轴上的截距均为0时，方程为y＝x，即2x－5y＝0；
(2)当直线l在两坐标轴上的截距不为0时，可设方程为＋＝1，即x－y＝a，
又∵l过点A(5,2)，∴5－2＝a，解得a＝3，
∴l的方程为x－y－3＝0.
综上所述，直线l的方程是2x－5y＝0或x－y－3＝0.
方法二 由题意知直线的斜率一定存在．
设直线的点斜式方程为y－2＝k(x－5)，
当x＝0时，y＝2－5k，当y＝0时，x＝5－.
根据题意得2－5k＝－，解方程得k＝或1.
当k＝时，直线方程为y－2＝(x－5)，即2x－5y＝0；
当k＝1时，直线方程为y－2＝1×(x－5)，即x－y－3＝0.
综上，直线l的方程是2x－5y＝0或x－y－3＝0.
反思与感悟 (1)如果问题中涉及直线与两坐标轴相交，则可考虑选用直线截距式的方程，用待定系数法确定其系数即可．
(2)选用直线截距式的方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直．
跟踪训练2 过点P(2,3)且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．无数多条
答案 C
解析 当过原点时，有一条符合题意；当与坐标轴截距为正数时，有一条；当与坐标轴截距互为相反数且不为0时，有一条，共3条．
1．在x轴，y轴上的截距分别是－3,4的直线方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D.＋＝1
答案 A
2．经过M(3,2)与N(6,2)两点的直线方程为( )
A．x＝2 B．y＝2
C．x＝3 D．x＝6
答案 B
解析 由M，N两点的坐标可知，直线MN与x轴平行，所以直线方程为y＝2，故选B.
3．过点P(1,2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为________．
答案 2x－y＝0或x－y＋1＝0
解析 当直线过原点时，得直线方程为2x－y＝0；
当在坐标上的截距不为零时，
可设直线方程为－＝1，
将x＝1，y＝2代入方程可得a＝－1，
得直线方程为x－y＋1＝0.
∴直线方程为2x－y＝0或x－y＋1＝0.
4．已知点A(3,2)，B(－1,4)，则经过点C(2,5)且经过线段AB的中点的直线方程为______．
答案 2x－y＋1＝0
解析 AB的中点坐标为(1,3)，
由直线的两点式方程可得＝，
即2x－y＋1＝0.
5．直线l过点(1,2)和第一、二、四象限，若直线l的横截距与纵截距之和为6，求直线l的方程．
解 设直线l的横截距为a，由题意可得纵截距为6－a，
所以直线l的方程为＋＝1，
因为点(1,2)在直线l上，所以＋＝1，
解得a1＝2，a2＝3.
当a＝2时，直线的方程为2x＋y－4＝0，
直线经过第一、二、四象限；
当a＝3时，直线的方程为x＋y－3＝0，
直线经过第一、二、四象限．
综上所述，所求直线方程为2x＋y－4＝0或x＋y－3＝0.
1．当直线没有斜率(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式＝求它的方程，此时直线的方程分别是x＝x1和y＝y1，而它们都适合(x2－x1)·(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)，即两点式的整式形式，因此过任意两点的直线的方程都可以写成(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)的形式．
2．直线的截距式是两点式的一个特殊情形，用它来画直线以及判断直线经过的象限或求直线与坐标轴围成的三角形的面积比较方便．注意直线过原点或与坐标轴平行时，没有截距式方程，但直线过原点时两截距存在且同时等于零．
一、选择题
1．一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程( )
A．可以写成两点式或截距式
B．可以写成两点式或斜截式或点斜式
C．可以写成点斜式或截距式
D．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式
答案 B
解析 由于直线不与坐标轴平行或重合，所以直线的斜率存在，且直线上任意两点的横坐标及纵坐标都不相同，所以直线能写成两点式或斜截式或点斜式．由于直线在坐标轴上的截距有可能为0，所以直线不一定能写成截距式．故选B.
2．直线－＝1在y轴上的截距是( )
A．|b| B．－b2 C．b2 D．±b
答案 B
解析 令x＝0，得y＝－b2.
3．若直线l的横截距与纵截距都是负数，则( )
A．l的倾斜角为锐角且不过第二象限
B．l的倾斜角为钝角且不过第一象限
C．l的倾斜角为锐角且不过第四象限
D．l的倾斜角为钝角且不过第三象限
答案 B
解析 依题意知，直线l的截距式方程为＋＝1(a>0，b>0)，显然直线l只能过第二、三、四象限，而不会过第一象限，且倾斜角为钝角，故选B.
4．以A(1,3)，B(－5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是( )
A．3x－y－8＝0 B．3x＋y＋4＝0
C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y＋2＝0
答案 B
解析 因为kAB＝＝，AB的中点坐标为(－2,2)，
所以所求直线方程为y－2＝－3(x＋2)，化简为3x＋y＋4＝0.
5．若直线l过点(－1，－1)和(2,5)，且点(1 009，b)在直线l上，则b的值为( )
A．2 019 B．2 018 C．2 017 D．2 016
答案 A
解析 由直线的两点式方程得直线l的方程为＝，
即y＝2x＋1，令x＝1 009，
则有b＝2×1 009＋1，即b＝2 019.
6．(2017·菏泽二中检测)一条光线从点A处射到点B(0,1)后被y轴反射，则反射光线所在直线的方程为( )
A．y＝2x＋1 B．y＝－2x＋1
C．y＝x－ D．y＝－x－
答案 B
解析 由光的反射定律可得，点A关于y轴的对称点M在反射光线所在的直线上．再由点B(0,1)也在反射光线所在的直线上，用两点式可求得反射光线所在的直线方程为＝，即y＝－2x＋1.
7．两条直线l1：－＝1和l2：－＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( )
答案 A
解析 两条直线化为截距式分别为＋＝1，＋＝1.假定l1，判断a，b，确定l2的位置，知A符合．
8．直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是( )
A.
B.∪(1，＋∞)
C.∪
D.∪
答案 D
解析 设直线的斜率为k，如图，过定点A的直线经过点B时，直线l在x轴上的截距为3，此时k＝－1；过定点A的直线经过点C时，直线l在x轴上的截距为－3，此时k＝，满足条件的直线l的斜率的取值范围是(－∞，－1)∪.
二、填空题
9．过点P(1,3)的直线l分别与两坐标轴交于A，B两点，若P为AB的中点，则直线l的截距式方程是_________________________________________________________．
答案 ＋＝1
解析 设A(m,0)，B(0，n)，
由P(1,3)是AB的中点可得m＝2，n＝6，
即A，B的坐标分别为(2,0)，(0,6)，
则l的截距式方程是＋＝1.
10．过点(1,3)且在x轴上的截距为2的直线方程是______________．
答案 3x＋y－6＝0
解析 由题意知直线过点(2,0)，
又直线过点(1,3)，
由两点式可得，
＝，
整理得3x＋y－6＝0.
11．已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是________．
答案 3
解析 直线AB的方程为＋＝1，
设P(x，y)，则x＝3－y，
∴xy＝3y－y2＝(－y2＋4y)＝[－(y－2)2＋4]≤3.
即当P点坐标为时，xy取得最大值3.
三、解答题
12．在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7,3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求：
(1)顶点C的坐标；
(2)直线MN的截距式方程．
解 (1)设C(x0，y0)，
则AC边的中点为M?，
BC边的中点为N，
因为M在y轴上，所以＝0，解得x0＝－5.
又因为N在x轴上，所以＝0，解得y0＝－3.
即C(－5，－3)．
(2)由(1)可得M?，N(1,0)，
所以直线MN的截距式方程为＋＝1.
13．已知△ABC的三个顶点分别为A(0,4)，B(－2,6)，C(－8,0)．
(1)求边AC和AB所在直线的方程；
(2)求AC边上的中线BD所在直线的方程；
(3)求AC边上的中垂线的方程．
解 (1)由截距式，得边AC所在直线的方程为＋＝1，即x－2y＋8＝0.
由两点式，得边AB所在直线的方程为＝，
即x＋y－4＝0.
(2)由题意，得点D的坐标为(－4,2)，
由两点式，
得边BD所在直线的方程为＝，
即2x－y＋10＝0.
(3)由kAC＝，得AC边上的中垂线的斜率为－2.
又AC的中点坐标为(－4,2)，
由点斜式，得AC边上的中垂线方程为
y－2＝－2(x＋4)，即2x＋y＋6＝0.
四、探究与拓展
14．若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，则直线l的方程为________．
答案 x＋y±6＝0或x－y±6＝0
解析 ∵直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，
∴直线l在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0，若l在两坐标轴上的截距相等，且设为a，
则直线方程为＋＝1，即x＋y－a＝0.
∵|a|·|a|＝18，即a2＝36，
∴a＝±6，
∴直线方程为x＋y±6＝0.
若l在两坐标轴上的截距互为相反数，不妨设横截距为a，则纵截距为－a，故直线方程为＋＝1，即x－y－a＝0.
∵|－a|·|a|＝18，即a2＝36，
∴a＝±6，∴直线方程为x－y±6＝0.
综上所述，直线l的方程为x＋y±6＝0或x－y±6＝0.
15．已知直线l：x－y＋3＝0，一束光线从点A(1,2)处射向x轴上一点B，又从B点反射到l上的一点C，最后从C点反射回A点，求直线BC的方程．
解 作点A关于x轴的对称点A2，则A2(1，－2)．
设点A关于l：x－y＋3＝0的对称点为A1(x0，y0)，
则解得
即A1点坐标为(－1,4)．
由已知条件知点A1，A2均在直线BC上，
∴由直线的两点式方程，得＝，
即3x＋y－1＝0.故直线BC的方程为3x＋y－1＝0.
3.2.3 直线的一般式方程
学习目标 1.掌握直线的一般式方程.2.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线.3.会进行直线方程的五种形式之间的转化．
知识点一 直线的一般式方程
思考1 直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式这四种形式都能用Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)来表示吗？
答案 能．
思考2 关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)一定表示直线吗？
答案 一定．
梳理 直线的一般式方程
形式
Ax＋By＋C＝0
条件
A，B不同时为0
知识点二 直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系
形式
方程
局限
点斜式
y－y0＝k(x－x0)
不能表示斜率不存在的直线
斜截式
y＝kx＋b
不能表示斜率不存在的直线
两点式
＝
x1≠x2，y1≠y2
截距式
＋＝1
不能表示与坐标轴平行及过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0
无
1．当A，B同时为零时，方程Ax＋By＋C＝0也可表示为一条直线．( × )
2．任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化．( × )
类型一 直线的一般式方程
例1 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：
(1)斜率是，且经过点A(5,3)；
(2)斜率为4，在y轴上的截距为－2；
(3)经过点A(－1,5)，B(2，－1)两点；
(4)在x轴，y轴上的截距分别为－3，－1；
(5)经过点B(4,2)，且平行于x轴．
解 (1)由点斜式，得直线方程为y－3＝(x－5)，
即x－y－5＋3＝0.
(2)由斜截式，得直线方程为y＝4x－2，
即4x－y－2＝0.
(3)由两点式，得直线方程为＝，
即2x＋y－3＝0.
(4)由截距式，得直线方程为＋＝1，
即x＋3y＋3＝0.
(5)y－2＝0.
反思与感悟 (1)当A≠0时，方程可化为x＋y＋＝0，只需求，的值；若B≠0，则方程化为x＋y＋＝0，只需确定，的值，因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程．
(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式．
跟踪训练1 已知直线l经过点A(2,1)，B(3,3)，求直线l的点斜式、斜截式和一般式方程，并根据方程指出直线在x轴、y轴上的截距．
解 因为kl＝＝2，所以点斜式方程为y－1＝2(x－2)，斜截式方程为y＝2x－3，一般式方程为2x－y－3＝0，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为－3.
类型二 直线的一般式方程的应用
例2 设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0.
(1)若直线l在x轴上的截距为－3，则m＝________；
(2)若直线l的斜率为1，则m＝________.
答案 (1)－ (2)－2
解析 (1)由题意知m2－2m－3≠0，即m≠3且m≠－1，令y＝0，则x＝，
∴＝－3，得m＝－或m＝3(舍去)．
∴m＝－.
(2)由题意知，2m2＋m－1≠0，即m≠且m≠－1.
由直线l化为斜截式方程
得y＝x＋，
则＝1，
得m＝－2或m＝－1(舍去)．
∴m＝－2.
反思与感悟 (1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不同时为0.
(2)令x＝0可得在y轴上的截距．令y＝0可得在x轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式．
(3)解分式方程要注意验根．
跟踪训练2 若方程(a2＋5a＋6)x＋(a2＋2a)y＋1＝0表示一条直线，则实数a满足_____．
答案 a≠－2
解析 由得a＝－2，
∵方程(a2＋5a＋6)x＋(a2＋2a)y＋1＝0表示一条直线，
∴a≠－2.
例3 (1)已知直线l1：x＋my－2m－2＝0，直线l2：mx＋y－1－m＝0，则当l1⊥l2时，m＝________；当l1∥l2时，m＝________.
答案 0 1
解析 若l1⊥l2，则1×m＋m×1＝0，
得m＝0；
若l1∥l2，则m2－1＝0，
且(－1－m)×1－m(－2m－2)≠0，
解得m＝1.
(2)已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程：
①过点(－1,3)，且与l平行；②过点(－1,3)，且与l垂直．
解 方法一 ①l的方程可化为y＝－x＋3，
∴l的斜率为－.
∵l′与l平行，∴l′的斜率为－.
又∵l′过点(－1,3)，由点斜式可得方程为
y－3＝－(x＋1)，
即3x＋4y－9＝0.
②∵l′与l垂直，∴l′的斜率为，
又l′过点(－1,3)，
由点斜式可得方程为
y－3＝(x＋1)，即4x－3y＋13＝0.
方法二 ①由l′与l平行，可设l′的方程为3x＋4y＋m＝0(m≠－12)．将(－1,3)代入上式得m＝－9.
∴所求直线的方程为3x＋4y－9＝0.
②由l′与l垂直，可设l′的方程为4x－3y＋n＝0.
将(－1,3)代入上式得n＝13.
∴所求直线的方程为4x－3y＋13＝0.
反思与感悟 (1)对于由直线的位置关系求参数的问题，有下列结论：设直线l1与l2的方程分别为A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)，
则l1∥l2?
l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.
(2)一般地，与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)，垂直的直线可设为Bx－Ay＋n＝0.
跟踪训练3 (1)如果直线l1：x＋2ay－1＝0与直线l2：(3a－1)x－ay－1＝0平行，则a等于( )
A．0 B.
C．0或1 D．0或
答案 D
(2)已知点A(2,2)和直线l：3x＋4y－20＝0.
求：①过点A和直线l平行的直线方程；
②过点A和直线l垂直的直线方程．
解 ①将与直线l平行的直线方程设为3x＋4y＋C1＝0，
又过点A(2,2)，所以3×2＋4×2＋C1＝0，所以C1＝－14.
所以所求直线方程为3x＋4y－14＝0.
②将与直线l垂直的直线方程设为4x－3y＋C2＝0，
又过点A(2,2)，所以4×2－3×2＋C2＝0，所以C2＝－2，
所以所求直线方程为4x－3y－2＝0.
1．在直角坐标系中，直线x＋y－3＝0的倾斜角是( )
A．30° B．60° C．150° D．120°
答案 C
解析 直线斜率k＝－，所以倾斜角为150°，故选C.
2．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为( )
A．A≠0 B．B≠0
C．A·B≠0 D．A2＋B2≠0
答案 D
解析 方程Ax＋By＋C＝0表示直线的条件为A，B不能同时为0，即A2＋B2≠0.
3．过点A(2,3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为( )
A．x－2y＋4＝0 B．2x＋y－7＝0
C．x－2y＋3＝0 D．x－2y＋5＝0
答案 A
解析 过点A(2,3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线的斜率为，由点斜式求得直线的方程为y－3＝(x－2)，化简可得x－2y＋4＝0，故选A.
4．已知两直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，
(1)若l1∥l2，则m＝________；
(2)若l1⊥l2，则m＝________.
答案 (1)－1 (2)
解析 (1)由题意知得m＝－1.
(2)由题意知1×(m－2)＋m×3＝0，得m＝.
5．设直线l的方程为2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)，根据下列条件分别确定k的值：
(1)直线l的斜率为－1；
(2)直线l在x轴，y轴上的截距之和等于0.
解 (1)因为直线l的斜率存在，
所以直线l的方程可化为y＝－x＋2，
由题意得－＝－1，
解得k＝5.
(2)直线l的方程可化为＋＝1，
由题意得k－3＋2＝0，
解得k＝1.
1．根据两直线的一般式方程判定两直线平行的方法
(1)判定斜率是否存在，若存在，化成斜截式后，
则k1＝k2且b1≠b2；若都不存在，则还要判定不重合．
(2)可直接采用如下方法：
一般地，设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.l1∥l2?A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0.
这种判定方法避开了斜率存在和不存在两种情况的讨论，可以减小因考虑不周而造成失误的可能性．
2．根据两直线的一般式方程判定两直线垂直的方法
(1)若一个斜率为零，另一个不存在，则垂直；若两个都存在斜率，化成斜截式后，则k1k2＝－1.
(2)一般地，设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.
这种判定方法可避免讨论，减小失误.
一、选择题
1．直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角为45°，则m的值为( )
A．－2 B．2
C．－3 D．3
答案 D
解析 由已知得m2－4≠0，且＝1，
解得m＝3或m＝2(舍去)．
2．已知ab<0，bc<0，则直线ax＋by＝c通过( )
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
答案 C
解析 由ax＋by＝c，得y＝－x＋，
∵ab<0，bc<0，
∴直线的斜率k＝－>0，
直线在y轴上的截距<0.
由此可知直线通过第一、三、四象限．
3．已知直线ax＋by－1＝0在y轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线x－y－＝0的倾斜角的2倍，则a，b的值分别为( )
A．－，－1 B.，－1
C．－，1 D.，1
答案 A
解析 原方程化为＋＝1，
∴＝－1，∴b＝－1.
又∵ax＋by－1＝0的斜率k＝－＝a，
且x－y－＝0的倾斜角为60°，
∴k＝tan 120°＝－，∴a＝－，故选A.
4．两条直线mx＋y－n＝0和x＋my＋1＝0互相平行的条件是( )
A．m＝1 B．m＝±1
C. D.或
答案 D
解析 令m×m＝1×1，得m＝±1.
当m＝1时，要使x＋y－n＝0与x＋y＋1＝0平行，
需n≠－1.
当m＝－1时，要使－x＋y－n＝0与x－y＋1＝0平行，需n≠1.
5．直线y＝mx－3m＋2(m∈R)必过定点( )
A．(3,2) B．(－3,2)
C．(－3，－2) D．(3，－2)
答案 A
解析 由y＝mx－3m＋2，得y－2＝m(x－3)，所以直线必过点(3,2)．
6．已知直线Ax＋By＋C＝0的斜率为5，且A－2B＋3C＝0，则该直线方程为( )
A．15x－3y－7＝0 B．15x＋3y－7＝0
C．3x－15y－7＝0 D．3x＋15y－7＝0
答案 A
解析 ∵A－2B＋3C＝0，
即A－B＋C＝0，
∴直线Ax＋By＋C＝0过点，
则直线方程为y＋＝5，
即15x－3y－7＝0.
7．若直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则直线l的斜率为( )
A．1 B．－1 C．－2或1 D．－1或2
答案 D
解析 当直线ax＋y－2－a＝0过原点时，可得a＝－2.
当直线ax＋y－2－a＝0不过原点时，
由题意知，
当a＝0时，直线l与x轴无交点，当a≠0时，直线l在x轴上的截距为，
与在y轴上的截距2＋a相等，可得＝2＋a，
解得a＝1或a＝－2.
综上知，a＝－2或1.
所以直线l的斜率为－1或2.
8．在同一直角坐标系中表示直线ax－y＝0与x－y＋a＝0(a≠0)正确的是( )
答案 C
解析 若a>0，直线y＝x＋a与y轴的交点在y轴正半轴上，直线x－y＋a＝0过第一、二、三象限，而直线ax－y＝0过定点(0,0)，倾斜角为锐角，此时各选项都不正确；若a<0，则直线y＝x＋a与y轴的交点在y轴负半轴上，直线过第一、三、四象限，而直线y＝ax过定点(0,0)，且倾斜角为钝角，故C正确．
二、填空题
9．已知直线(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0在x轴上的截距为3，则该直线在y轴上的截距为________．
答案 －
解析 把(3,0)代入已知方程，得(a＋2)×3－2a＝0，
∴a＝－6，
∴直线方程为－4x＋45y＋12＝0，
令x＝0，得y＝－.
10．垂直于直线3x－4y－7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线l的方程为______________．
答案 4x＋3y－12＝0或4x＋3y＋12＝0
解析 由题意可设与直线3x－4y－7＝0垂直的直线的方程为4x＋3y＋c＝0，
令y＝0，得x＝－，
令x＝0，得y＝－，
则S＝·＝6，
得c2＝122，c＝±12，
∴直线l的方程为4x＋3y－12＝0或4x＋3y＋12＝0.
11．已知两条直线a1x＋b1y＋4＝0和a2x＋b2y＋4＝0都过点A(2,3)，则过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程为________________．
答案 2x＋3y＋4＝0
解析 由条件知
易知两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)都在直线2x＋3y＋4＝0上，
即2x＋3y＋4＝0为所求．
三、解答题
12．求m，n的值，使直线l1：y＝(m－1)x－n＋7满足：
(1)平行于x轴；
(2)平行于直线l2：7x－y＋15＝0；
(3)垂直于直线l2：7x－y＋15＝0.
解 (1)当m＝1且n≠7时，l1平行于x轴．
(2)7x－y＋15＝0化为斜截式为y＝7x＋15，
当l1∥l2时，应有m－1＝7且－n＋7≠15，
所以m＝8且n≠－8.
即当m＝8且n≠－8时，l1∥l2.
(3)当(m－1)·7＝－1，即m＝，n∈R时，l1⊥l2.
13．如图，在平行四边形ABCD中，边AB所在的直线方程为2x－y－2＝0，点C(2,0)．
(1)求直线CD的方程；
(2)求AB边上的高CE所在的直线方程．
解 (1)因为四边形ABCD为平行四边形，所以AB∥CD，
设直线CD的方程为2x－y＋m＝0，
将点C(2,0)代入上式得m＝－4，
所以直线CD的方程为2x－y－4＝0.
(2)设直线CE的方程为x＋2y＋n＝0，
将点C(2,0)代入上式得n＝－2.
所以直线CE的方程为x＋2y－2＝0.
四、探究与拓展
14．已知直线l1：(a2－1)x＋ay－1＝0，直线l2：(a－1)x＋(a2＋a)y＋2＝0.若l1∥l2，则a＝________.
答案 0或1或－2
解析 当a＝0时，l1：x＝－1，l2：x＝2，此时l1∥l2，
∴a＝0满足题意；
当a2＋a＝0，
即a＝0(舍去)或a＝－1时，
l1：y＝－1，l2：x＝1，此时l1⊥l2，
∴a＝－1不满足题意；
当a≠0且a≠－1时，kl1＝，kl2＝，
∵l1∥l2，∴＝，
即1－a＝(1－a)(1＋a)2，
解得a＝1或a＝－2或a＝0(舍)．
当a＝1时，l1：y＝1，l2：y＝－1，l1，l2不重合；
当a＝－2时，l1：3x－2y－1＝0，l2：－3x＋2y＋2＝0，
l1，l2不重合．
∴a＝1或a＝－2满足题意．
综上所述，a＝0或a＝1或a＝－2.
15．已知Rt△ABC的顶点A(－3,0)，直角顶点B(－1，－2)，顶点C在x轴上．
(1)求点C的坐标；
(2)求斜边上的中线的方程．
解 (1)∵Rt△ABC的直角顶点B(－1，－2)，
∴AB⊥BC，故kAB·kBC＝－1.
又∵A(－3,0)，∴kAB＝＝－，∴kBC＝，
∴直线BC的方程为y＋2＝(x＋1)，即x－y－3＝0.
∵点C在x轴上，
∴由y＝0，得x＝3，即C(3,0)．
(2)由(1)得C(3,0)，∴AC的中点为(0,0)，
∴斜边上的中线为直线OB(O为坐标原点)，直线OB的斜率k＝2，
∴直线OB的方程为y＝2x.
