§3.3 直线的交点坐标与距离公式
3.3.1 两条直线的交点坐标
3.3.2 两点间的距离
学习目标 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系.3.掌握两点间距离公式并会应用．
知识点一 两条直线的交点
思考 由两直线的方程组成的方程组解的情况与两条直线的位置关系有何对应关系？
答案 (1)若方程组无解，则l1∥l2；
(2)若方程组有且只有一个解，则l1与l2相交；
(3)若方程组有无数解，则l1与l2重合．
梳理 (1)两直线的交点
几何元素及关系
代数表示
点A
A(a，b)
直线l1，l2
l1：A1x＋B1y＋C1＝0
l2：A2x＋B2y＋C2＝0
点A在直线l1上
A1a＋B1b＋C1＝0
直线l1与l2的交点是A
(2)两直线的位置关系
方程组的解
一组
无数组
无解
直线l1与l2的公共点的个数
一个
无数个
零个
直线l1与l2的位置关系
相交
重合
平行
知识点二 两点间的距离
(1)公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝.
(2)文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根．
特别提醒：(1)此公式与两点的先后顺序无关．
(2)当直线P1P2平行于x轴时，|P1P2|＝|x2－x1|.
当直线P1P2平行于y轴时，|P1P2|＝|y2－y1|.
当点P1，P2中有一个是原点时，|P1P2|＝.
1．若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解．( √ )
2．点P1(0，a)，点P2(b，0)之间的距离为a－b.( × )
3．无论m为何值，x－y＋1＝0与x－2my＋3＝0必相交．( × )
类型一 两直线的交点问题
例1 (1)若方程组有且只有一组解，则k的取值范围是________．
答案 {k|k≠2}
解析 当直线kx－6y＝0与y＝x＋平行时，k＝2，
此时方程组无解，又两直线不重合，
故当方程组有且只有一组解时，k≠2.
(2)若两直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，则k＝________.
答案 ±6
解析 在2x＋3y－k＝0中，令x＝0，得y＝，
将代入x－ky＋12＝0中，
解得k＝±6.
反思与感悟 两条直线相交的判定方法
方法一
联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交
方法二
两直线斜率都存在且斜率不相等
方法三
两直线的斜率一个存在，另一个不存在
跟踪训练1 已知直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象限，则a的取值范围是________．
答案
解析 由得
由得∴－
例2 求过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程．
解 方法一 解方程组
得
所以两直线的交点坐标为.
又所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，
所以所求直线的斜率为－3.
故所求直线方程为y＋＝－3，
即15x＋5y＋16＝0.
方法二 设所求直线方程为(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0，
即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0.(*)
由于所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，
所以
得λ＝.
代入(*)式，得x＋y＋＝0，
即15x＋5y＋16＝0.
引申探究
本例中若将“平行”改为“垂直”，又如何求解．
解 设所求直线方程为(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0，
即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0，
由所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直，
得3(2＋λ)＋(λ－3)×1＝0，得λ＝－，
所以所求直线方程为5x－15y－18＝0.
反思与感悟 求过两条直线交点的直线方程，一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．也可用过两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括l2的方程)，再根据其他条件求出待定系数，写出直线方程．
跟踪训练2 直线l经过原点，且经过另两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，则直线l的方程为( )
A．2x＋y＝0 B．2x－y＝0
C．x＋2y＝0 D．x－2y＝0
答案 B
解析 设所求直线方程为2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0，
即(2＋λ)x＋(3－λ)y＋8－λ＝0，
因为l过原点，所以λ＝8.
则所求直线l的方程为2x－y＝0.
类型二 两点间的距离公式及其应用
例3 如图，已知△ABC的三顶点A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，
(1)判断△ABC的形状；
(2)求△ABC的面积．
解 (1)方法一 ∵|AB|＝＝＝2，
|AC|＝＝＝2，
又|BC|＝＝＝2，
∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，
∴△ABC是等腰直角三角形．
方法二 ∵kAC＝＝，
kAB＝＝－，
∴kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.
又|AC|＝＝＝2，
|AB|＝＝＝2，
∴|AC|＝|AB|，∴△ABC是等腰直角三角形．
(2)S△ABC＝|AC|·|AB|＝()2＝26，
∴△ABC的面积为26.
反思与感悟 (1)判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向．
(2)在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理．
跟踪训练3 已知点A(－1,2)，B(2，)，在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值．
解 设P(x,0)，|PA|＝，
|PB|＝，
∵|PA|＝|PB|，
∴＝，
解得x＝1，∴P(1,0)，
∴|PA|＝＝2.
1．已知直线l1：3x＋4y－5＝0与l2：3x＋5y－6＝0相交，则它们的交点是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 由得
故交点坐标为.
2．以点A(－3,0)，B(3，－2)，C(－1,2)为顶点的三角形是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．以上都不是
答案 C
解析 |AB|＝＝＝＝2，
|BC|＝＝＝＝4，
|AC|＝＝＝2，
∵|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，
∴△ABC为直角三角形．故选C.
3．已知△ABC的顶点坐标为A(－1,5)，B(－2，－1)，C(2,3)，则BC边上的中线长为_____．
答案
解析 BC的中点坐标为(0,1)，
则BC的中线长为＝.
4．斜率为－2，且过两条直线3x－y＋4＝0和x＋y－4＝0交点的直线方程为___________．
答案 2x＋y－4＝0
解析 设所求直线方程为3x－y＋4＋λ(x＋y－4)＝0，
即(3＋λ)x＋(λ－1)y＋4－4λ＝0，
∴k＝＝－2，解得λ＝5.
∴所求直线方程为2x＋y－4＝0.
5．点A在第四象限，若点A到x轴的距离为3，到原点的距离为5，求点A的坐标．
解 由题意得点A的纵坐标为－3，设A(x，－3)，
则＝5，解得x＝±4.
又点A在第四象限，∴x＝4，∴A(4，－3)．
1．方程组有唯一解的等价条件是A1B2－A2B1≠0，亦即两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0，直线A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)是过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线(不含l2)．
2．两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝与两点的先后顺序无关，其反映了把几何问题代数化的思想．
一、选择题
1．直线x＝1和直线y＝2的交点坐标是( )
A．(2,2) B．(1,1)
C．(1,2) D．(2,1)
答案 C
解析 由得交点坐标为(1,2)，故选C.
2．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y＝1和x＋ky＝0相交于一点，则k的值为( )
A．－ B.
C．2 D．－2
答案 A
解析 由方程组
得直线2x＋3y＋8＝0与x－y－1＝0的交点坐标为(－1，－2)，
代入直线x＋ky＝0，得k＝－.
3．已知直角坐标平面上连接点(－2,5)和点M的线段的中点是(1,0)，那么点M到原点的距离为( )
A．41 B.
C. D．39
答案 B
解析 设M(x，y)，由题意得解得
∴M(4，－5)．
则点M到原点的距离为＝.
4．过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与y＝x＋m平行，则|AB|的值为( )
A．6 B．2 C. D．不能确定
答案 C
解析 由kAB＝1，得＝1，
∴b－a＝1.∴|AB|＝＝＝.
5．过两直线3x＋y－1＝0与x＋2y－7＝0的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程是( )
A．x－3y＋7＝0 B．x－3y＋13＝0
C．x－3y＋6＝0 D．x－3y＋5＝0
答案 B
解析 直线3x＋y－1＝0与x＋2y－7＝0的交点为(－1,4)．又所求直线与3x＋y－1＝0垂直，得所求直线的斜率为，由点斜式，得y－4＝(x＋1)，即x－3y＋13＝0，故选B.
6．已知直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直，垂足坐标为(1，p)，则m－n＋p为( )
A．24 B．－20
C．0 D．20
答案 D
解析 由两直线互相垂直，得－×＝－1，
解得m＝10，
又垂足坐标为(1，p)，代入直线10x＋4y－2＝0，得p＝－2.
将(1，－2)代入直线2x－5y＋n＝0，得n＝－12，
所以m－n＋p＝20，故选D.
7．到A(1,3)，B(－5,1)的距离相等的动点P满足的方程是( )
A．3x－y－8＝0 B．3x＋y＋4＝0
C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y＋2＝0
答案 B
解析 设P(x，y)，
则＝，即3x＋y＋4＝0.
8．直线x＋y－1＝0上与点P(－2,3)的距离等于的点的坐标是( )
A．(－4,5) B．(－3,4)
C．(－3,4)或(－1,2) D．(－4,5)或(0,1)
答案 C
解析 设所求点的坐标为(x0，y0)，有
x0＋y0－1＝0，且＝，
两式联立解得或故选C.
二、填空题
9．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|＝________.
答案 2
解析 设A(a,0)，B(0，b)，
由中点坐标公式，得
解得
∴|AB|＝＝2.
10．若集合{(x，y)|x＋y－2＝0且x－2y＋4＝0}?{(x，y)|y＝3x＋b}，则b＝________.
答案 2
解析 解方程组得
代入直线y＝3x＋b，得b＝2.
11．等腰△ABC的顶点是A(3,0)，底边长|BC|＝4，BC边的中点是D(5,4)，则此三角形的腰长为________．
答案 2
解析 |BD|＝|BC|＝2，
|AD|＝＝2.在Rt△ADB中，
由勾股定理得腰长|AB|＝＝2.
12．若直线l：y＝kx－与直线l1：2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是________．
答案 (30°，90°)
解析 直线l1：2x＋3y－6＝0过A(3,0)，B(0,2)，而l过定点C(0，－)，
由图象可知
∴l倾斜角α的取值范围是(30°，90°)．
三、解答题
13．(1)已知点A(1，－1)，B(2,2)，点P在直线y＝x上，求|PA|2＋|PB|2取得最小值时点P的坐标．
(2)求过两直线l1：x＝－2与l2：2x＋y＝－3的交点P，且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程．
解 (1)设P(t，t)，则|PA|2＋|PB|2＝(t－1)2＋(t＋1)2＋(t－2)2＋(t－2)2＝4t2－8t＋10＝4(t－1)2＋6，
∴当t＝1时，|PA|2＋|PB|2取得最小值，此时P(1,1)，
∴|PA|2＋|PB|2取得最小值时点P的坐标为(1,1)．
(2)由方程组解得
即点P的坐标为(－2,1)．
根据题意知，当截距为0时，
所求直线的方程为y＝－x，即x＋2y＝0.
当截距不为0时，设所求直线l的方程为＋＝1，
根据题意可得解得
所以所求直线的方程为＋＝1，即x＋y＋1＝0.
综上所述，直线l的方程为x＋2y＝0或x＋y＋1＝0.
四、探究与拓展
14．已知x，y∈R，S＝＋，则S的最小值是( )
A．0 B．2 C．4 D.
答案 B
解析 S＝＋可以看作是点(x，y)到点(－1,0)与点(1,0)的距离之和，数形结合易知最小值为2.
15．已知△ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在的直线方程为x－2y－5＝0，求：
(1)顶点C的坐标；
(2)直线BC的方程．
解 (1)由题意知BH与AC垂直，
所以kBH·kAC＝kAC＝－1，所以kAC＝－2，
所以直线AC的方程为y－1＝－2(x－5)，
即2x＋y－11＝0.
解方程组得
所以点C的坐标为(4,3)．
(2)设B(x0，y0)，得M?，
所以x0＋5－－5＝0，
即2x0－y0－1＝0，与x0－2y0－5＝0联立，
得点B的坐标为(－1，－3)．
所以直线BC的方程为＝，即6x－5y－9＝0.
3.3.3 点到直线的距离
3.3.4 两条平行直线间的距离
学习目标 1.了解点到直线距离公式的推导方法.2.掌握点到直线的距离公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题.3.初步掌握用解析法研究几何问题．
知识点一 点到直线的距离
思考 点到直线的距离公式对于A＝0或B＝0时的直线是否仍然适用？
答案 仍然适用，①当A＝0，B≠0时，直线l的方程为By＋C＝0，
即y＝－，d＝＝，适合公式．
②当B＝0，A≠0时，直线l的方程为Ax＋C＝0，x＝－，d＝＝，适合公式．
梳理 点到直线的距离
(1)定义：点到直线的垂线段的长度．
(2)图示：
(3)公式：d＝.
知识点二 两条平行直线间的距离
思考 直线l1：x＋y－1＝0上有A(1,0)，B(0,1)，C(－1,2)三点，直线l2：x＋y＋1＝0与直线l1平行，那么点A，B，C到直线l2的距离分别为多少？有什么规律吗？
答案 点A，B，C到直线l2的距离分别为，，.规律是当两直线平行时，一条直线上任一点到另一条直线的距离都相等．
梳理 两条平行直线间的距离
(1)定义：夹在两平行线间的公垂线段的长．
(2)图示：
(3)求法：转化为点到直线的距离．
(4)公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝.
1．点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.( × )
2．直线外一点与直线上一点的距离的最小值是点到直线的距离．( √ )
3．两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离．( √ )
类型一 点到直线的距离
例1 (1)求点P(2，－3)到下列直线的距离．
①y＝x＋；②3y＝4；③x＝3.
解 ①y＝x＋可化为4x－3y＋1＝0，
则点P(2，－3)到该直线的距离为＝.
②3y＝4可化为3y－4＝0，
则点P(2，－3)到该直线的距离为＝.
③x＝3可化为x－3＝0，
则点P(2，－3)到该直线的距离为＝1.
(2)求过点M(－1,2)，且与点A(2,3)，B(－4,5)距离相等的直线l的方程．
解 方法一 当过点M(－1,2)的直线l的斜率不存在时，
直线l的方程为x＝－1，
恰好与A(2,3)，B(－4,5)两点距离相等，
故x＝－1满足题意；
当过点M(－1,2)的直线l的斜率存在时，
设l的方程为y－2＝k(x＋1)，
即kx－y＋k＋2＝0.
由点A(2,3)与B(－4,5)到直线l的距离相等，得
＝，解得k＝－，
此时l的方程为y－2＝－(x＋1)，
即x＋3y－5＝0.
综上所述，直线l的方程为x＝－1或x＋3y－5＝0.
方法二 由题意得l∥AB或l过AB的中点，
当l∥AB时，设直线AB的斜率为kAB，
直线l的斜率为kl，则kAB＝kl＝＝－，
此时直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，
即x＋3y－5＝0.
当l过AB的中点(－1,4)时，直线l的方程为x＝－1.
综上所述，直线l的方程为x＝－1或x＋3y－5＝0.
反思与感悟 (1)应用点到直线的距离公式时应注意的三个问题
①直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式．
②点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．
③直线方程Ax＋By＋C＝0，当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．
(2)用待定系数法求直线方程时，首先考虑斜率不存在是否满足题意．
跟踪训练1 (1)若点(4，a)到直线4x－3y＝0的距离不大于3，则a的取值范围是_______．
答案
解析 由题意知0≤≤3，
解得≤a≤，故a的取值范围为.
(2)已知直线l过点P(3,4)且与点A(－2,2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为________________________．
答案 2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0
解析 过点P(3,4)且斜率不存在时的直线方程为x＝3，与A，B两点的距离不相等，
故可设所求直线方程为y－4＝k(x－3)，
即kx－y＋4－3k＝0，
由已知得＝，
∴k＝2或k＝－，
∴所求直线l的方程为2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0.
类型二 两平行线间的距离
例2 (1)两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为____________．
答案
解析 由题意，得＝，∴m＝2，
将直线3x＋y－3＝0化为6x＋2y－6＝0，
由两平行线间的距离公式，得＝＝.
(2)已知直线l与两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程为________________．
答案 2x－y＋1＝0
解析 设直线l的方程为2x－y＋C＝0，
由题意，得＝，解得C＝1，
∴直线l的方程为2x－y＋1＝0.
反思与感悟 求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，且C1≠C2时，d＝ .但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等．
跟踪训练2 (1)求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线方程；
解 设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0，
由两平行直线间的距离公式，得2＝，
解得C＝32或C＝－20，
故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0.
(2)两平行直线l1，l2分别过P1(1,0)，P2(0,5)两点，若l1与l2的距离为5，求两直线方程．
解 由题意知，两直线的斜率都存在，
设l1：y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0，
l2：y＝kx＋5，即kx－y＋5＝0.
因为l1与l2的距离为5，
所以＝5，解得k＝0或.
所以l1和l2的方程分别为y＝0和y＝5或5x－12y－5＝0和5x－12y＋60＝0.
类型三 利用距离公式求最值
例3 已知实数x，y满足6x＋8y－1＝0，则的最小值为________．
答案
解析 ∵＝，
∴上式可看成是一个动点M(x，y)到定点N(0,1)的距离，
即为点N到直线l：6x＋8y－1＝0上任意一点M(x，y)的距离，
∴|MN|的最小值应为点N到直线l的距离，
即|MN|min＝d＝＝.
反思与感悟 解决此类题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决．
跟踪训练3 (1)动点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O为原点，求|OP|最小时P点的坐标；
解 直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离，此时OP垂直于已知直线，则kOP＝1，
∴OP所在直线方程为y＝x.
由解得
∴P点坐标为(2,2)．
(2)求过点P(1,2)且与原点距离最大的直线方程．
解 由题意知过点P且与OP垂直的直线到原点O的距离最大，
∵kOP＝2，
∴所求直线方程为y－2＝－(x－1)，
即x＋2y－5＝0.
例4 两条互相平行的直线分别过点A(6,2)，B(－3，－1)，并且各自绕着点A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.
(1)求d的取值范围；
(2)求d取最大值时，两条直线的方程．
解 (1)设经过A点和B点的直线分别为l1，l2，
显然当时，l1和l2的距离最大，
且最大值为|AB|＝＝3，
∴d的取值范围为(0,3]．
(2)由(1)知dmax＝3，此时k＝－3，
两直线的方程分别为3x＋y－20＝0或3x＋y＋10＝0.
反思与感悟 两平行线间的距离可转化为两点间的距离，通过两点间的距离利用数形结合思想得到两平行线间距离的最值．
跟踪训练4 已知P，Q分别是直线3x＋4y－5＝0与6x＋8y＋5＝0上的动点，则|PQ|的最小值为( )
A．3 B. C. D.
答案 D
解析 两平行线间的距离就是|PQ|的最小值，3x＋4y－5＝0可化为6x＋8y－10＝0，则|PQ|＝＝.
1．已知点(a,1)到直线x－y＋1＝0的距离为1，则a的值为( )
A．1 B．－1 C. D．±
答案 D
解析 由题意知＝1，
即|a|＝，∴a＝±.
2．直线x－2y－1＝0与直线x－2y－C＝0的距离为2，则C的值为( )
A．9 B．11或－9
C．－11 D．9或－11
答案 B
解析 两平行线间的距离为d＝＝2，
解得C＝－9或11.
3．已知点M(1,2)，点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，则|MP|的最小值是( )
A. B.
C. D．3
答案 B
解析 点M到直线2x＋y－1＝0的距离，即为|MP|的最小值，
所以|MP|的最小值为＝.
4．两平行直线3x＋4y＋5＝0与6x＋ay＋30＝0间的距离为d，则a＋d＝________.
答案 10
解析 由两直线平行知，a＝8,6x＋8y＋30＝0可化为3x＋4y＋15＝0，∴d＝＝2，
∴a＋d＝10.
5．直线3x－4y－27＝0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是________________．
答案 (5，－3)
解析 由题意知过点P作直线3x－4y－27＝0的垂线，
设垂足为M，则|MP|最小，
直线MP的方程为y－1＝－(x－2)，
解方程组得
∴所求点的坐标为(5，－3)．
1．点到直线的距离即是点与直线上的点连线的距离的最小值，利用点到直线的距离公式，解题时要注意把直线方程化为一般式．当直线与坐标轴垂直时可直接求之．
2．利用点到直线的距离公式可求直线的方程，有时需结合图形，数形结合，使问题更清晰．
3．已知两平行直线，其距离可利用公式d＝求解，也可在已知直线上取一点，转化为点到直线的距离．
一、选择题
1．点(1，－1)到直线y＝1的距离是( )
A. B. C．3 D．2
答案 D
解析 d＝＝2，故选D.
2．已知点A(1,3)，B(3,1)，C(－1,0)，则△ABC的面积等于( )
A．3 B．4
C．5 D．6
答案 C
解析 设AB边上的高为h，
则S△ABC＝|AB|·h，
|AB|＝＝2，
AB边上的高h就是点C到直线AB的距离，
AB边所在的直线方程为＝，即x＋y－4＝0.
点C到直线x＋y－4＝0的距离为＝，
因此，S△ABC＝×2×＝5.
3．已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值等于( )
A. B．－
C．－或－ D．－或
答案 C
解析 由点到直线的距离公式可得＝，
化简得|3a＋3|＝|6a＋4|，
解得实数a＝－或－.故选C.
4．到直线2x＋y＋1＝0的距离等于的直线方程为( )
A．2x＋y＝0
B．2x＋y－2＝0
C．2x＋y＝0或2x＋y－2＝0
D．2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0
答案 D
解析 根据题意可设所求直线方程为2x＋y＋C＝0，
因为两直线间的距离等于，
所以d＝＝，
解得C＝0或C＝2，
故所求直线方程为2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0.
5．若P点在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为，则点P的坐标为( )
A．(1,2) B．(2,1)
C．(1,2)或(2，－1) D．(2,1)或(－1,2)
答案 C
解析 设点P的坐标为(x,5－3x)，
则由点到直线的距离公式，得＝，
即|4x－6|＝2，
∴4x－6＝±2，
∴x＝1或x＝2，∴点P的坐标为(1,2)或(2，－1)．
6．过两直线x－y＋1＝0和x＋y－1＝0的交点，并与原点的距离等于1的直线共有( )
A．0条 B．1条
C．2条 D．3条
答案 B
解析 联立
得
∴两直线交点坐标为(0,1)，
∵交点到原点的距离为1可知，只有1条直线符合条件．
7．若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值是( )
A．3 B．2
C．3 D．4
答案 A
解析 由题意知，M点的轨迹为平行于直线l1，l2且到l1，l2距离相等的直线l，其方程为x＋y－6＝0，
∴M到原点的距离的最小值为d＝＝3.
8．已知定点P(－2,0)和直线l：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ(λ∈R)，则点P到直线l的距离的最大值为( )
A．2 B. C. D．2
答案 B
解析 将(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ变形，
得(x＋y－2)＋λ(3x＋2y－5)＝0，
所以l是经过两直线x＋y－2＝0和3x＋2y－5＝0的交点的直线系．
设两直线的交点为Q，由得交点Q(1,1)，
所以直线l恒过定点Q(1,1)，
所以点P到直线l的距离d≤|PQ|＝，
即点P到直线l的距离的最大值为.
二、填空题
9．设点P在直线x＋3y＝0上，且点P到原点的距离与点P到直线x＋3y－2＝0的距离相等，则点P的坐标是________．
答案 或
解析 设P(－3a，a)，
由题意得＝，
即10a2＝，解得a＝±，
∴P或.
10．点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，则x2＋y2的最小值是________．
答案 8
解析 由x2＋y2的实际意义可知，它代表直线x＋y－4＝0上的点到原点的距离的平方，它的最小值即为原点到该直线的距离的平方，
所以(x2＋y2)min＝2＝8.
11．经过点P(－3,4)，且与原点的距离等于3的直线l的方程为________________．
答案 x＝－3或7x＋24y－75＝0
解析 (1)当直线l的斜率不存在时，原点到直线l：x＝－3的距离等于3，满足题意；
(2)当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y－4＝k(x＋3)，
即kx－y＋3k＋4＝0.
原点到直线l的距离d＝＝3，
解得k＝－.
直线l的方程为7x＋24y－75＝0.
综上可知，直线l的方程为x＝－3或7x＋24y－75＝0.
三、解答题
12．已知三角形的三个顶点分别是A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，求角A的平分线的方程．
解 设P(x，y)为角A的平分线上任一点，
则点P到直线AB与到直线AC的距离相等，因为直线AB，AC的方程分别是4x－3y－13＝0和3x＋4y－16＝0，
所以由点到直线的距离公式，
有＝，
即|4x－3y－13|＝|3x＋4y－16|，
即4x－3y－13＝±(3x＋4y－16)，
整理得x－7y＋3＝0或7x＋y－29＝0.
易知x－7y＋3＝0是角A的外角平分线的方程，
7x＋y－29＝0是角A的平分线的方程．
四、探究与拓展
13．已知入射光线在直线l1：2x－y＝3上，经过x轴反射到直线l2上，再经过y轴反射到直线l3上．若点P是直线l1上某一点，则点P到直线l3的距离为( )
A．6 B．3
C. D.
答案 C
解析 如图所示，结合图形可知，直线l1∥l3，则直线l1上一点P到直线l3的距离即为l1与l3之间的距离．
由题意知l1与l2关于x轴对称，故l2的方程为y＝－2x＋3，l2与l3关于y轴对称，故l3的方程为y＝2x＋3.
由两平行线间的距离公式，得l1与l3间的距离d＝＝，
即点P到直线l3的距离为.
14．已知正方形ABCD一边CD所在直线的方程为x＋3y－13＝0，对角线AC，BD的交点为P(1,5)，求正方形ABCD其他三边所在直线的方程．
解 设点P(1,5)到lCD的距离为d，则d＝ .
因为lAB∥lCD，
所以可设lAB：x＋3y＋m＝0.
点P(1,5)到lAB的距离亦为d，
则＝，
又因为m≠－13，所以m＝－19，即lAB：x＋3y－19＝0.
因为lAD⊥lCD，所以可设lAD：3x－y＋n＝0，
则点P(1,5)到lAD的距离等于点P(1,5)到lBC的距离，且都等于d＝，
＝，n＝5或n＝－1，
则lAD：3x－y＋5＝0，lBC：3x－y－1＝0.
所以，正方形ABCD其他三边所在直线方程为x＋3y－19＝0,3x－y＋5＝0,3x－y－1＝0.
