人教版五年级下第6单元 分数的加法和减法授课教案
文档属性
| 名称 | 人教版五年级下第6单元 分数的加法和减法授课教案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-05-17 15:28:19 | ||
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文档简介
五年级数学·下 新课标[人]
第6单元 分数的加法和减法
本单元学习的内容有:同分母分数相加、减,异分母分数相加、减,分数加减混合运算以及整数加法的运算定律推广到分数。这些内容是在学生掌握了整数、小数加减法的意义及其计算方法,分数的意义和性质,以及三年级上册学习的简单的同分母分数加、减法的基础上进行教学的。
这些内容是按数学学习的逻辑结构编排的。先学习同分母分数加、减法,理解相同单位的分数相加、减的算理,为异分母分数加、减法的学习和理解算理搭好阶梯,再学习异分母分数加、减法,使学生形成基本的分数加减运算能力;最后学习加减混合运算,并将整数加减法运算定律推广到分数,进一步理解运算定律,培养计算的灵活性。
本单元内容在编排上利用类推来理解分数加、减法的含义,淡化了分数加、减法意义的教学要求。教材指出:“结合上面的问题,再想想整数加、减法的含义,你能说出分数加、减法的含义吗?”引导学生借助整数加、减法的含义理解分数加、减法的含义。
无论是同分母分数加、减法,还是异分母分数加、减法,教材都只安排了一个例题。这样有利于对分数加、减法含义的理解,同时提高计算教学的有效性。
根据分数加、减法的含义和分数的基本性质,概括出具有一般性的计算方法,既是计算教学的一个重要任务,也是数学自身发展的需要。教材引导学生在自主探究中逐步概括出分数加、减法的计算方法。如,第1节例题最后引导学生:“观察两个算式,你能发现什么共同点吗?”让学生在探究、交流中总结出同分母分数加、减法计算的一般方法。在第2节例题最后,让学生通过探究、讨论,概括出异分母分数加、减法计算的一般方法。又如,在第3节例1的教学中,教材提供了两种不同的算法后提问:“说一说你是怎样计算的。你喜欢哪种方法?”让学生在比较中体会算法多样性与合理性,学会合理、灵活地进行计算,培养计算能力。
1.理解分数加、减法的意义。
2.掌握分数加、减法的计算法则,能够比较熟练地计算分数加、减法。
3.会口算简单的分数加、减法。
4.理解整数加法运算定律对于分数加法同样适用,会用这些定律进行一些分数加法的简便计算。
5.掌握分数和小数的互化方法,能正确地进行分数、小数加减混合运算。
6.会解答分数加、减法应用题。
1.通过同分母分数、异分母分数加减法的学习,培养迁移类推能力。
2.通过分数加、减法计算法则的学习,培养抽象、概括、比较的能力。
3.通过分数加法的一些简便运算的学习,培养灵活计算的能力。
4.通过分数、小数加减混合运算的学习,培养思维的灵活性。
5.初步学会运用所学的数学知识和方法解决生活中一些简单的实际问题的能力。
1.能以认真的态度进行分数加、减法计算和分数、小数的加减混合运算,做到认真审题、准确计算、书写整洁、自觉检验。
2.能进一步养成认真审题的良好习惯,自觉选用简便方法进行分数、小数的加减混合运算。
3.课堂上能自觉认真听讲,积极思考,举手发言,敢于提问。
4.自觉养成做作业时专心致志,按时完成的良好习惯,提高课堂练习和课外作业的效率。
5.在老师的指导下,通过摆、拼、画图等实际操作活动理解、掌握有关分数加减法的知识。
1.觉察到分数加、减法计算在数学学习和日常生活中的广泛应用,愿意在教师的指导下学习这些知识。
2.通过学生的自主探索和合作交流,培养合作意识,让学生体验成功。
【重点】 理解分数加、减法的意义,能正确计算比较简单的同分母、异分母分数的加、减法。
【难点】 引导学生体会、理解不同算法的思路。
1.引导学生认识分数加、减法与整数加、减法的内在联系。
分数加、减法的含义与整数加、减法的含义是完全相同的。它们的计算方式从表面上看截然不同,但实质上有一个共同的特点,就是“相同单位的数才能相加、减”。从这个意义上来讲,不论是整数还是分数的加、减法,都要统一成相同的单位后才能进行计算。当分数单位统一后,分数的加、减运算也就归结为整数的加、减运算了。
如,第2节中的例1(1)中出现这样的过程:
+=+==(6+5)个,在这个过程中,先将异分母分数转化为同分母分数,然后用整数加法的方法将分子相加,得出最后的和。
因此,教学中,教师应有意识地引导学生沟通分数加、减法与整数加、减法之间的联系,紧扣学生经验中“相同单位的数才能相加、减”的算理,逐步概括出分数加、减法的计算方法。
2.重视对算理的分析,在理解算理的基础上掌握算法。
抽象概括出分数加、减法的计算方法,是本单元教学的重点。要让学生掌握分数加、减法的计算方法,必须处理好算理与算法的关系。教学时,应通过观察、分析、说理、交流等活动,让学生经历用算理理解并发现算法的过程。使学生明白:计算同分母分数加、减法时,“分母不变”是因为分母相同,也就是分数单位相同,所以只用分子相加、减就可以了;计算异分母分数加、减法时,只要将异分母分数转化为同分母分数,也就是转化为相同的分数单位就可以了。这样,不但使学生明白算理是算法的灵魂,而且避免了机械的、单纯的记忆法则的弊端,达到在概括计算法则的过程中理解算理、掌握算法的目的。
为帮助学生更好地理解分数加、减法的算理,要重视数形结合。教学时,可以结合图示让学生理解分数加、减法的算理,即相同的分数单位相加、减。尤其是异分母分数加、减法为什么要转化成同分母分数,更应该通过数形结合,将分的份数不同(也就是分数单位不同)的图形,转化为份数相同的图形,帮助学生理解算理,掌握算法。
1 同分母分数加、减法
本节先学习同分母分数加、减法,理解相同分数单位的分数相加、减的算理,为异分母分数加、减法的学习、理解算理搭好阶梯;本节课利用类推来理解分数加、减法的含义,淡化了分数加、减法意义的教学要求。教材指出:“结合上面的问题,再想想整数加、减法的含义,你能说出分数加、减法的含义吗?”引导学生借助整数加、减法的含义理解分数加、减法的含义。
根据分数加、减法的含义和分数的基本性质,概括出具有一般性的计算方法,教材引导学生在自主探究中逐步概括出分数加、减法的计算方法。
1.通过教学,使学生初步理解同分母分数相加减的算理,掌握同分母分数加、减法的计算法则。
2.培养学生数形结合的数学思想。提高学生迁移类推的能力和计算能力。
3.培养学生规范书写和仔细计算的良好习惯。
【重点】 理解同分母分数加、减法的算理和计算方法。
【难点】 理解同分母分数加、减法的算理和计算方法。
【教师准备】 PPT课件。
方法一
(PPT课件出示教材第89页主题图)
师:小红正在和爸爸妈妈吃早餐,他们把一张饼平均分成了8块,爸爸说:“我吃了3块饼。”妈妈说:“我吃了1块饼。”请问:整数能表示爸爸和妈妈分别吃了几张饼吗?
预设 生:爸爸吃了张,妈妈吃了张。
师:和是怎么来的?
预设 生1:将一张饼平均分成了8块,爸爸吃了3块饼,所以是张。
生2:将一张饼平均分成了8块,妈妈吃了1块饼,所以是张。
师:我们在三年级已经学习过同分母分数的加、减法,今天这节课我们继续研究这方面的知识。
[设计意图] 选择学生熟悉的日常生活(分吃圆形大饼)为素材,体现计算是因解决问题的需要而产生的,巩固复习了分数的意义。
方法二
(PPT课件出示以下习题)
(1)的分数单位是( ),它有( )个这样的分数单位。
(2)( )个是,里有( )个。
(3)3个是( ),是4个( )。
师:我们在三年级已经学习过同分母分数的加、减法,今天这节课我们继续研究这个知识。
生:(1) 3 (2)5 7 (3)
[设计意图] 复习原来所学的内容,引入新课。让孩子们回忆起第4单元所学内容,为后面学习同分母分数的加法做铺垫。
一、教学例1第(1)问(探究同分母分数加法的计算方法)。
1.提出问题,自主思考算法。
师:(出示例1主题图和问题(1))
师:要求爸爸和妈妈一共吃了多少张饼,怎样列式?为什么?
预设 生:+,表示把两个分数合并起来,所以用加法计算。
师:你能算出结果吗?你们怎样想的?小组之间相互交流讨论。
(学生先独立思考,再在小组里交流自己的想法)
2.教师引导学生探讨同分母分数加法的算理。
预设 生:是1 个,是3 个,合起来也就是。
师:+的和是,为什么分母没变?分子是怎样得到的?
预设 生:因为和的分母相同,也就是它们的分数单位相同,所以可以直接用两个分子相加,分母不变。
(利用多媒体课件演示上面的计算过程)
师:你会写出计算过程吗?
预设 生:+==。
师:观察图可以看出结果是,也就是。
有没有同学将算式改进一下呢?
预设 生:+===。
师:要注意什么呢?
预设 生:计算结果,能约分的要约成最简分数。
板书:+===。
[设计意图] 同分母分数加法,让学生结合直观图示(圆形图)理解同分母分数相加的算理:两个分数单位相同的分数可以直接相加。
3.总结同分母分数加法的算法。
师:哪位同学能说一下分数加法的含义是什么吗?
预设 生:分数加法的含义与整数加法相同,都是表示把两个数合并成一个数的运算。
师:有哪位同学能介绍一下同分母分数加法的计算方法?
预设 生:在计算同分母分数加法时,分母不变,只把分子相加。
师:要注意什么呢?
预设 生:计算结果,能约分的要约成最简分数。
4.巩固练习。
计算:
+ + + 4+
[设计意图] 巩固练习第1题,巩固同分母分数加法的计算方法。再次强调,计算结果需要写成最简形式。
【参考答案】 1 4
二、教学例1第(2)问(探究同分母分数减法的计算方法)。
1.提出问题,自主思考算法。
师:爸爸比妈妈多吃了多少张饼?你会列算式吗?
预设 生:-。
师:为什么这样列?
预设 生:-,表示爸爸吃的块比妈妈吃的块多多少,所以用减法。
师:你能算出结果吗?你们怎样想的?小组之间相互交流讨论。
(学生先独立思考,再在小组里交流自己的想法)
2.教师引导学生探讨同分母分数减法的算法。
预设 生: 是3 个,是1 个,它们之间相差。
师: 和的差是,为什么分母没变?分子是怎样得到的?
预设 生:因为和的分母相同,也就是它们的分数单位相同,所以可以直接用两个分子相减,分母不变。
师:你会写出计算过程吗?
预设 生:-==。
师:有哪里需要改进的吗?
预设 生:可以约分。答案应该写成。
[设计意图] 有了同分母分数加减法的计算经验,教学中可以放手让学生自主探究减法的计算方法。同样,关注学生对算理的理解,特别是从分数的意义角度明确“分数单位相同的分数可以直接相减”。
3.巩固练习。
计算:
- - - 1-
【参考答案】
三、师生共同总结同分母分数加、减法的计算方法。
师:观察两个算式,你能发现什么异同点吗?(出示以下两个算式)
+=== -==
预设 生1:这两个算式一个是加法算式,一个是减法算式。
生2:这两个算式都是分母不变,分子相加减。
生3:这两个算式最后都约分啦。
师:你能用一句简短的话概括同分母分数加、减法的计算法则吗?
预设 生:同分母分数相加、减,分母不变,只把分子相加、减,计算的结果能约分的要约成最简分数。
[设计意图] 让学生自己观察同分母分数加减法的计算过程,通过观察、发现、讨论、交流,归纳、总结出同分母分数加减法的计算法则。注意引导学生用简练准确的语言进行概括。
1.完成教材第90页“做一做”第1题。学生在横线上列式并计算,完成后组织学生集体订正,并说一说你是怎么计算的。
教师要注意学生在处理计算结果时,有没有约分,学生写出来的结果可能并不是最简分数。
2.完成教材第91页“练习二十三”第1题与第2题。
学生独立完成16道计算题,集体订正。提问:第1题与第2题比较,你发现了什么?
引导学生通过巩固同分母分数的加减运算,对运算方法更加熟悉。再次强调计算结果需写成最简形式。
[设计意图] 配合直观图,进一步加深对同分母分数加、减法算理的理解,巩固同分母分数加、减法的计算方法,并提醒学生们注意:计算的结果需化成最简分数。
【参考答案】 1.+== -== 2.第1题: 1 第2题:0 1
师:这节课你们学到了什么知识?有什么收获?(学生反馈)
预设 生:分数加法的意义和整数加法的意义相同,就是把两个数合并成一个数的运算。
分数减法的意义和整数减法的意义相同,就是已知两个数的和与其中的一个加数,求另一个加数的运算。
同分母分数加、减法的计算方法:分母不变,分子相加减。
作业1
教材第91页练习二十三第3,4,5题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)计算。
+= -=
1--= --=
-= ++1=
2.(重点题)在( )里填上合适的数。
( )-= +=( )
+( )=1 -( )=
+=( ) ( )+=
3.(重点题)在○里填上“>”“<”或“=”。
+○+
+○+
-○+
-○1-
4.(变式题)在括号里填上不同的数,使每个分数都是最简分数。
(1)++=
(2)++=
5.(难点题)一项工程,第一个月完成全部工程的,第二个月比第一个月多完成全部工程的。两个月共完成全部工程的几分之几?
【提升培优】
6.(情景题)小丽有一些钱,如果她给小红元,两人的钱数就相等。原来小丽比小红多多少元钱?
7.(探究题)小刚、小红、小明三人做家庭作业。小刚比小红多用小时,小明比小红少用小时,小刚和小明相差多长时间?如果小明比小红多用小时,小刚和小明相差多长时间?
8.(创新题)计算+9+99+999+9999。
【思维创新】
9.(竞赛题)计算下面前四个算式,你从中发现了什么规律?再直接写出第五个算式的结果。
(1)+=
(2)++=
(3)+++=
(4)++++=
(5)+++++=
【参考答案】
作业1:3. 1
4.
5.(1) (2) (3)略
作业2:1. 0 2 2. 3.= < < > 4.(1)1 5 11 (2)1 7 11(或1 5 13) 5.++= 6.+=(元) 7.+=(小时) -=(小时) 8.整数部分相加列式为9+99+999+9999,分数部分相加列式为++++==4,把4分成4个1分别加在整数部分的式子里, 原式变为10+100+1000+10000=11110。 9.(1)1 (2) (3)2 (4) (5)3 规律:和=
同分母分数加、减法 分母不变
落实了教学目标,突破了教学的重难点。通过这节课的教学,学生理解了同分母分数相加减的含义和算理,掌握了同分母分数加、减法的计算法则。在主动获取知识的过程中,学生的独立思维能力、合作交流的意识、自主探究和知识迁移的能力得到了培养。学生能够规范地书写计算过程,能够仔细地进行计算。
复习旧知,为探究新知做好了铺垫。本节课的重难点内容是理解同分母分数加减法的含义、算理和计算方法,而这些内容是建立在对整数加减法的含义、分数单位的理解的基础上的,为了实现这些知识的迁移,教学中先让学生回忆相关旧知识,这样为新知识的理解提供了迁移的条件。在复习旧知时,教师还让学生带着问题观察转盘,这样可以一下子把学生的兴奋点从课间所从事的活动中拉回到教学中,使学生迅速进入角色,为学生主动参与课堂活动做好了准备。
创设情境,为学生提供从事数学活动的机会,激发学习的兴趣。在教学中,教师多处创设情境进行教学:第一处是教师创设生活情境,给学生体验的空间。课改指出“计算教学应注意与学生的现实生活相联系,让学生感受到通过计算可以解决一些实际问题”。教学时教师充分利用教材提供的生活素材,来探究同分母分数加减法的含义、算理和计算方法。这样的教学,就把数学教学中的问题与生活实际结合起来,培养了学生用数学的眼光从生活中捕捉数学问题,主动地运用数学知识分析生活现象,自主地解决生活中的实际问题的能力。
1.在教学同分母分数加法的含义时,只有少数学生能说清含义,为了避免这种情况,教师最好用文字在黑板上表述清楚。
2.在探究同分母分数加法的计算方法时,设计还不够科学,学生在思考“为什么分母没变?分子是怎样得到的?”这一问题时,应该先展示被平均分成8份的圆形图,让学生直观感受在相加时,圆形图的总份数没有变化,也就是分数单位没有变化,只是两次合起来的份数有变化,因而结果是分母没变,分子相加。
3.对“计算结果能约分的要约成最简分数”这点强调不力。应该在观察圆形图时提问,合起来的份数占整个圆的多少?让学生充分感知“一半”,再强调计算的结果能约分的要约成最简分数。这样教学效果会好些。
1.在这节课中,多让孩子说一说算理,自己感悟到分母相同的分数加法的意义与计算方法。
2.数学要与生活联系起来,在课堂上虽然与生活联系起来了,练习上也需要多多与生活接轨。
【做一做·90页】
1.+= -= 2. 1 4
【练习二十三·91页】
1. 1 2.0 1 3. 1
4.
5.(1) (2) (3)略 6. 0 7.(1)++= (2)1-= 8.> < < = = < 9.+= --=(答案不唯一) 11.+==(m)
体育课上,踢足球的人数占全班人数的,踢毽子的人数占全班人数的,跳绳的人数占全班人数的。参加这三项活动的人数一共占全班人数的几分之几?
[名师点拨] 要求参加这三项活动的人数一共占全班人数的几分之几,就是要把,,合起来,用加法计算。
[解法1] ++
=+
=
[解法2] ++
=
=
答:参加这三项活动的人数一共占全班人数的。
分数的应用
最初分数的出现并非由除法而来,分数被看作一个整体的一部分。“分”在汉语中有“分开”“分割”之意,后来运算过程中也出现了分数,它表示两个整数的比。在七、八百年前的欧洲,那时若一个人精通自然数的四则运算,那他就可以称为学者了。至于分数,对当时的人来说简直难于上青天。德国有句谚语形容一个人陷入绝境,就说“掉到分数里去了”。为什么会如此呢?这都是笨拙的记数法导致的。在我国古代的《九章算术》中就有了系统的分数运算方法,这比欧洲早大约1400年。
西汉时期,张苍、耿寿昌等学者整理、删补自秦代以来的数学知识,编成了《九章算术》。在这本数学经典的“方田”章中,提出了完整的分数运算法则。
从后来刘徽所作的《九章算术注》可以知道,在《九章算术》中,讲到约分、合分(分数加法)、减分(分数减法)、乘分(分数乘法)、除分(分数除法)的法则,与我们现在的分数运算法则完全相同。另外,还记载了课分(比较分数大小)、平分(求分数的平均值)等关于分数的知识,是世界上最早的、最系统的叙述分数的著作。
分数运算大约在15世纪才在欧洲流行。欧洲人普遍认为这种算法起源于印度。实际上,印度在七世纪婆罗门笈多的著作中才开始有分数运算法则,这些法则都与《九章算术》中介绍的法则相同。而刘徽的《九章算术注》成书于魏景元四年(263年),所以即使与刘徽的时代相比,我们也要比印度早400年左右。
2 异分母分数加、减法
上节课已经学习同分母分数加、减法,理解相同单位的分数相加、减的算理,为这节课异分母分数加、减法的学习、理解算理搭好阶梯。这节课学习异分母分数加、减法,使学生形成基本的分数加减运算能力。
根据分数加、减法的含义和分数的基本性质引导学生概括出具有一般性的计算方法,让学生通过探究、讨论,概括出异分母分数加、减法计算的一般方法。
1.在巩固异分母分数加减法的计算方法的基础上,进一步探索一些特殊的异分母分数加减法中蕴含的规律。
2.让学生经历异分母分数加减法的计算方法的探究过程,认识将新知转换成旧知是获得知识的重要途径。
3.掌握异分母分数加减法的一般计算和验算方法,会正确地进行计算和验算,并养成验算的良好习惯。
4.使学生经历完整的探索过程,感受猜想、验证、类比等数学思想方法,提高学生数学素养。
5.在学习活动中进一步感受数学学习过程的探索性,使学生得到科学研究方法的启蒙,获得成功的乐趣和体验,增强学习数学的信心。
【重点】 理解异分母分数加、减法的算理,能正确计算异分母分数加法、减法。
【难点】 理解异分母分数加、减法的算理和计算方法。
【教师准备】 PPT课件。
将下列各组分数通分。(PPT课件出示练习题)
和 和 和 和
预设 生1:和
生2:和
生3:和
生4:和
师:通分的依据是什么?
预设 生:分数的基本性质。
[设计意图] 本节课要学习异分母分数的加减法,需要用到通分的知识,复习第四单元所学的通分,以免学生们遗忘,让学生们回忆一下,为后面的学习做好铺垫。
方法一
计算下列各题。(PPT课件出示练习题)
+ - - +
师:请说出这些题目的答案。
预设 生1: +=
生2:-=
生3:-=
生4:+=
师:有没有不同的意见?
预设 生1:计算的结果,能约分的要约成最简分数。
生2:-==
生3:+==
师:说一说同分母分数加、减法计算的法则。
预设 生:同分母分数相加、减,分母不变,只把分子相加、减。计算的结果,能约分的要约成最简分数。
师:之前我们已经学习了同分母分数的加减法,今天我们继续学习分数加减法的相关内容。
[设计意图] 教材特别突出转化思想,即利用通分将异分母转化为同分母来计算。所以在开始上课时先让孩子们复习相关内容,以引出新学内容。
方法二
师:同学们,我们以前已经学习过同分母分数的加、减法,这节课来继续学习相关知识。我们先来复习一下:
什么是通分?请比较下列各组分数的大小。
和 和 和 和 和
【参考答案】 通分定义略 < > > > >
师生共同小结:分数大小的比较有三种:当分母相同,分子不同时,分子大的,分数就大;当分子相同,分母不同时,分母大的,分数反而小;当分子分母都不同时就要先通分,转换成同分母分数,再比较大小。
[设计意图] 复习通分,为接下来的学习作铺垫。
一、教学例1(1),探究异分母分数加法的算理。
1.出示主题图,理解图意和题意。
(PPT课件出示教材第93页例1)
人们在日常生活中产生的垃圾叫做生活垃圾。
师:从这个图上你都了解到了哪些信息?
预设 生1:我知道了危险垃圾占。
生2:我知道了废金属等占。
生3:我知道了食品残渣占。
生4:我知道了纸张占。
师:根据这些信息,你能提出哪些数学问题?(搜集学生的问题,教师根据需要在黑板上板书)
师:废金属等和纸张共占生活垃圾的几分之几?怎样列式?
预设 生:+。
师:这个加法算式和我们以前学习的分数加法有什么不同?
预设 生:以前我们学习的分数加法分母都是相同的,今天学习的加法分母不同。
师:这就是今天我们要学习的异分母分数加、减法。
(板书课题:异分母分数加、减法)
[设计意图] 教材以生活垃圾分类为素材引出两个问题,分别教学异分母分数加、减法,并适时对学生进行环境保护的教育。
2.探究“ +”的算理。
师:你能想办法把它转变成我们学习过的知识进行计算吗?小组内讨论怎样变成学过的知识。
(学生汇报,教师有选择地板书)
预设 生1: + 可以转化为0.3+0.25
生2: + 可以转化为 +
(列出计算过程)
+=+==
师:看来遇到分数的分母不同,不能直接相加,利用通分转化为同分母就能相加了。
(呈现直观图)
师:谁来总结一下应该怎么计算?
预设 生:先通分,把它们转换成同分母分数,再按同分母分数加法的计算方法计算。
[设计意图] “你能用学过的知识解决吗?”实际上是给学生指明探索的方向:转化为学过的知识来解决。学生经过交流发现,分数的分母不同,不能直接相加,利用通分转化为同分母就能相加了。同时呈现了直观图和对应的算式,帮助学生经历从直观到抽象的思维过程,进一步理解异分母分数加法的算理。
3.巩固练习。
计算。
+ +
【参考答案】
二、教学例1(2),探究异分母分数减法的算理。
1.出示问题,理解题意。
师:危险垃圾多还是食品残渣多?它们的差占生活垃圾总量的几分之几?
预设 生:食品残渣多,-。
(师根据学生的回答写出算式:-)
2.探究“-”的算理。
师:所有学生拿出草稿本计算。
学生拿出草稿本,尝试计算-。
(让学生在黑板上展示做题过程)
预设 生:-=-==
师:谁来总结一下异分母分数减法的运算方法呢?
预设 生:通分,把它们转换成同分母分数,再按同分母分数减法的计算方法计算。
师:怎样验算?
预设 生:用差加减数,看看是否等于被减数。
[设计意图] 教学异分母分数的减法,材料借助学习异分母分数加法的经验,突出知识的迁移,让学生自主探究计算方法。
3.巩固练习。
计算。
- -
【参考答案】
三、师生共同总结归纳异分母分数加、减法的算理及注意事项。
师:(引导学生看板书)
+=+==
-=-==
师:观察两个算式,你能发现什么异同点吗?
预设 生1:这两个算式一个是加法算式,一个是减法算式。
生2:这两个算式的分母都不相同,都是利用通分把分母转化为相同的数,分子再相加减。
生3:算式最后的结果都是最简分数。
师:你能用一句话概括异分母分数加、减法的计算法则吗?
预设 生:异分母分数相加、减,先通分,然后按照同分母分数加、减法进行计算。
[设计意图] 通过学生自主观察,认识到异分母分数加减法需要注意的地方,加深认识:分数单位相同才能相加减,异分母分数要转化为同分母分数来计算,转化的方法是通分。使学生在理解算理的基础上掌握计算方法。
1.完成教材第94页“做一做”第1题。巩固异分母分数加法的计算方法,同时培养验算的意识,适当提醒学生需要对结果进行约分。
2.完成教材第94页“做一做”第2题。通过学生自主审题,独立解答,培养孩子审题能力,更加充分体现了数学学习与生活息息相关,并且规范学生答题格式。
【参考答案】 1. 2.-=-=(kg) +=+=(kg)
师:今天学习了什么知识?通过本课的学习,你们有什么收获?
预设 生:异分母分数相加减的方法是:先通分,把异分母分数转换成同分母分数,再按同分母分数加减法的计算方法计算。
作业1
教材第95页练习二十四第1,2,3题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)看图填空。
(1)+=+=
( )+( )=( )+( )=( )
(2)+=+=
( )+( )=( )+( )=( )
2.(重点题)计算。
-= += -=
3.(易错题)2 m长的铁丝,先剪去它的,再剪去它的,一共剪去这根铁丝的( )。
4.(情景题)某实验小学的学生每天参加体育锻炼的时间占在校时间的,参加课外阅读的时间占在校时间的。两项活动的时间一共占在校时间的几分之几?
【提升培优】
5.(变式题)两个同学进行口算比赛。小明算一道题大约需要分钟,小丽算这道题大约需要分钟。小丽比小明多用了多少分钟?
6.(变式题)孙林和王超分别画了一幅画,孙林用了小时,比王超多用了0.2小时,王超用了多长时间?
7.(探究题)计算:1-++++。
【思维创新】
8.(竞赛题)把化成两个形如++的式子。
【参考答案】
作业1:1. 2.+ - + + - + - 3.++== 1-=
作业2:1.(1)+=+= (2)+=+= 2. 3. 4.+= 5.-=(分钟) 6.-0.2=(小时) 7.1-++++=1-++++=1-+-+-+-+-=1-= 8.==++ ==++(答案不唯一)
异分母分数加、减法 分数单位不同无法相加转化为,转化为 -=-==
联系生活实际,利用情境贯穿整堂课。
好的课题导入能引起学生的知识冲突,打破学生的心理平衡,激发学生的学习兴趣、好奇心和求知欲,能引人入胜,辉映全堂。新课导入的艺术之一在于能把生活中的问题作为例题,使学生切实体会到学习数学知识的必要性,从而积极主动地学习。
“异分母分数加减法”这节课的教学重点是:理解、掌握异分母分数加减法的计算方法;教学难点是:理解异分母分数为什么要先通分,化成分母相同的分数。如何在教学中,突出重点,突破难点?是老师直接讲解给学生听,再强化练习;还是引导学生通过动手操作、自主探索,发现、归纳感悟算理?也许第一种方法,学生也可以明白算理,掌握计算方法。但学生对难点的理解不会很深刻、透彻,尤其是一些接受能力较慢的学生更是如此,他们就会死记硬背算法。这样不利于发展学生的思维和情感的培养。
计划教学必须在学生已有知识和生活经验的基础上进行教学。学生在学习新知识之前,或多或少的积累了一定的生活经验或知识经验。如何将学生的这些生活经验和已有知识激活,为学习新知做好铺垫,学习新知之前,有必要复习一下同分母分数加减法。为避免在学习异分母分数加减法之前给学生造成暗示,把异分母进行通分这一感觉,在学习新知之前,没有必要复习通分知识。所以在上课开始,我就出示几道同分母分数加减法算式,让学生口算,并让学生小结其方法,以唤起学生对旧知识的回忆。
【做一做·93页】
【做一做·94页】
1. 2.-=-=(kg) +=+=(kg)
【练习二十四·95页】
1. 2.+ - + + - + - 3.++= 1-= 4.x+= 解:x=- x= x-= 解:x=+ x= x-=1 解:x=1+ x=1 +x= 解:x=- x= 5.-=(√) +=(?) += -=(?) -= +=(√) 6. 7.还剩下这些毛线的几分之几?1--=(答案不唯一) 9.提示:这幅有趣的三角图是根据“杨辉三角”改编过来的,经过计算会发现:每一横行各数的和依次扩大到原来的2倍,即第一横行各数的和是,第二横行的为,第三横行的为1,第四横行的为2……如果第一个圆圈里的数是,这个规律也是如此。
计算:+1.05。
[名师点拨] 在计算时,可以先把分数化为小数再进行计算。
[解答] +1.05
=0.25+1.05
=1.3
【知识拓展】 在计算时,有时会出现分数和小数的混合运算,如果分数能化成有限小数,把分数化成小数计算较简便;如果分数不能化成有限小数,应先把小数化成分数再计算。
计算+++…+。
[名师点拨] 一个分数,如果分子是1,分母是两个相邻的自然数的积,这个分数就能拆分成分子是1、分母是这两个相邻自然数的分数的差。如:=1-,=-,=-……并且计算过程中前后两个不同符号的同分母分数可以消去,所以拆分后的分数求和的计算过程会变得简单。
[解答] +++…+
=+++…+
=1-+-+-+…+-
=1-=
【知识拓展】 一个分母是两个自然数的积的分数,可以化成两个分数的加、减法。如=-,=+=+。
分数运算的发展
《九章算术》中有比较完整的分数计算方法,包括四则运算、通分、约分、化带分数为假分数(我国古代称为通分内子,“内”读为“纳”)等,其步骤与方法大体与现代的相同。
分数加减运算,《九章算术》已明确提出先通分,使两分数的分母相同,然后进行加减。加法的步骤是“母互乘子,并以为实,母相乘为法,实如法而一”。这里的“实”是分子,“法”是分母,“实如法而一”,也就是用“法”去除“实”,进行除法运算。《九章算术》还注意到两点:其一是运算结果如出现“不满法者,以法命之”,就是分子小于分母时便以分数形式保留。其二是“其母同者,直相从之”,就是分母相同的分数进行加减运算时,不必通分,使分子直接相加减即可。
关于分数乘法,《九章算术》中提出的步骤是“母相乘为法,子相乘为实,实如法而一”。
《九章算术》对分数除法虽然没有提出一般法则,但算法也很清楚。
猜谜语
(1)一加一不是二。(打一字)
“一”字、加号“+”、再来一个“一”字,组合在一
起,得到的字不是“二”,而是“王”。谜底是王。
(2)一减一不是零。(打一字)
“一”字、减号“-”、再来一个“一”字,组合在一起,得到的字不是“零”,而是“三”。谜底是三。
(3)八分之七。(打一成语)
“八分之七”用数学符号写出来,把数字7写在分数线上面,8写在分数线下面,谜底是成语“七上八下”。
在上面这些谜语里,用一些很简单的数学知识,对谜语的文字得到新的理解,可以帮助猜出答案。
3 分数加减混合运算
本节学习的内容是在学习了同分母分数加、减法,异分母分数加、减法的基础上,学习分数加减混合运算以及整数加法的运算定律推广到分数。这些内容是在学生掌握了整数、小数加、减法的意义及其计算方法,分数的意义和性质,以及三年级上册学习的简单的同分母分数加、减法的基础上进行教学的,进一步理解运算定律,培养计算的灵活性。
教材引导学生在自主探究中逐步概括出分数加、减混合运算的计算方法。如,在第3节例1的教学中,教材提供了两种不同的算法后提问:“说说你是怎样计算的。你喜欢哪种方法?”让学生在比较中体会算法多样性与合理性,学会合理、灵活地进行计算,培养计算能力。
1.使学生掌握分数加减混合运算的运算顺序和计算方法,以及带有小括号的分数加减混合运算的运算顺序及计算方法。
2.理解整数加法的运算定律对分数加法仍然适用,并灵活运用这些运算律进行一些分数加法的简便运算。
3.经历解决问题的全过程,探索解决问题的途径、策略和方法。体会图示在理解问题、分析解决问题中的作用,学习用几何直观分析解决问题。
4.感受数学知识与日常生活的联系,体会解决问题过程中的快乐。培养学生迁移、类推和归纳、概括的能力。
【重点】
1.掌握分数加减混合运算的运算顺序与方法。
2.分数加减法在生活中的运用。
【难点】
1.整数加法运算定律在分数加法中的运用。
2.用分数加减法解决生活中的问题。
第课时 分数加减混合运算
1.使学生掌握分数加减混合运算的运算顺序和计算方法,以及带有小括号的分数加减混合运算的运算顺序及计算方法。
2.理解整数加法的运算定律对分数加法仍然适用,并灵活运用这些运算律进行一些分数加法的简便运算。
【重点】 掌握分数加减混合运算的运算顺序。
【难点】 整数加法运算定律在分数加法中的运用。
【教师准备】 PPT课件。
方法一
师:同学们,你们喜欢旅游吗?今天,老师带同学们一起去国家级景区云梦森林公园去参观。
师:老师了解到了有关云梦森林公园的一些资料,请看:(PPT课件出示例1表格)
地貌类型 占公园面积的几分之几
乔木林
灌木林
草地
[设计意图] 以问题形式导入新知,激起孩子们的求知欲,引导学习下面的内容。
方法二
师:口算下面各题。
+ + 4+
师:整数加减混合运算的顺序是怎样的?
预设 生:加减混合运算的运算顺序是从左往右依次计算,遇到有括号的,先算括号里面的。
【参考答案】 +=,+=,4+=4。
师:刚刚我们复习了整数的运算,今天我们继续学习分数的运算。看一份资料。(PPT课件出示例1表格)
地貌类型 占公园面积的几分之几
乔木林
灌木林
草地
[设计意图] 复习以前学习的内容,为学习分数加减混合运算做好准备。
一、教学例1(1),学习没有括号的分数加减混合运算的运算顺序。
1.从表格中理解题意,列出算式。
师:从表中你能获得哪些数学信息?
预设 生1:乔木林占公园面积的。
生2:灌木林占公园面积的。
生3:草地占公园面积的。
师:根据这些数学信息,你能提出哪些两步计算的数学问题?
预设 生1:乔木林和灌木林比草地多占公园面积的几分之几?
生2:灌木林和草地比乔木林多占公园面积的几分之几?
……
师:乔木林和灌木林统称为森林,刚才的第一个问题就可以改成什么呢?
预设 生:森林部分比草地部分多占公园面积的几分之几?
师:非常好!有谁能把算式列出来呢?
预设 生:+-
师:这是一个分数的混合运算,该怎样计算呢?今天我们就一起来学习分数的混合运算。
(板书分数加减混合运算)
[设计意图] 以表格的方式呈现其数据,因此让学生明白表格的意思是本例教学的首要环节。让孩子列出算式,尝试计算。
2.明确运算顺序,探究计算方法。
师:在这一道分数加减混合运算题中,你打算先算什么呢?为什么?
预设 生:先算+求出森林部分占公园面积的几分之几,再用+的和减去,就求出森林部分比草地部分多占公园面积的几分之几。
师:谁能总结下,这样没有括号的分数加减混合算式中,我们的计算方法是怎样的?
预设 生:在没有括号的分数加减混合运算中,要按照从左到右的顺序计算。
师:看来分数加减混合运算和整数加减法相同。
[设计意图] 联系题意,由题意出发,让学生理解为什么先算加法,再由此推断出分数加减混合运算与整数加减混合运算方法一样。并归纳出分数加减混合运算的方法。
师:请同学们试着算一算,分小组讨论你的计算方法。(集体交流计算方法,并把不同的计算方法板演出来)
方法一:+- 方法二:+-
=+- =+-
=- =
= =
3.两种计算方法对比。
师:两种方法有什么区别与联系呢?
预设 生1:两种方法都需要通分。
生2:两种方法都是先算加法,再算减法。
生3:方法一是先把前两个数通分,计算出结果后再和第三个数相减,也就是分步通分计算的;而方法二则是一次性把三个数都通分,然后再按照从左往右的顺序计算,
师:说一说你喜欢哪种计算方法,为什么?
预设 生:第二种方法相对要简便一些。
4.总结没有括号的分数加减混合运算方法。
师:谁能总结下没有括号的分数的加减混合运算方法是怎样的?
预设 生:要按照从左到右的顺序依次进行计算,计算时,可以分步通分也可以一次通分进行计算,并可以根据题目的特点和自己的情况灵活选择计算的方法。
师:看来分数加减混合运算和整数加减混合运算一样,要按照从左到右的顺序依次进行计算。
[设计意图] 让学生对比不同的算法,养成处处留意用简明、灵活的方法解决问题的习惯。当然3个分数直接通分有困难时,也可以按从左到右的顺序分步计算。
5.巩固练习。
+- -+
【参考答案】
二、教学例1(2),学习有括号的分数加减混合运算的运算顺序。
1.理解题意,分析解题方法。
师:老师这里还有一些信息,请看:
(出示表格2)
地貌类型 储存为地下水 地表水 其他
森林
裸露地面
师:从表中你能发现哪些数学信息?
预设 生1:降水量都分成了三部分,在森林中,储存为地下水占,地表水占,其他占;在裸露地面中,地表水占,其他占,问题是裸露地面储存的地下水占降水量的几分之几?
生2:三种情况的总和是单位“1”,也就是把降水量看作单位“1”,所以要求储存为地下水占降水量的几分之几,用“1”减去其他两种情况就可以了。
2.独立列式并全班交流。
师:裸露地面储存的地下水占降水量的几分之几?如何列式计算呢?
预设 生1:1--
生2:1-
师:尝试着计算,并板演不同的计算方法。
方法一:1-- 方法二:1-
=-- =1-
=- =1-
= =
师:比较这两种方法有什么不同。
预设 生:方法一是先求储存为地下水和其他一共占降水量的几分之几,再求储存为地下水占降水量的几分之几;方法二是先求地表水和其他一共占降水量的几分之几,再求储存为地下水占降水量的几分之几。
[设计意图] 呈现了两种不同的解题方法,一种是连续减,一种是带括号先加后减。通过对比,让学生体会解决问题的不同策略和方法,同时明确运算顺序:有括号的,要先计算括号里面的。
3.明确运算顺序,小结计算方法。
师:在计算方法上有什么注意的地方呢?
预设 生:加减混合运算中有小括号时,要先算小括号里的。
师:回忆一下例1的两个问题,小组讨论计算分数加减混合运算的一般方法。
(小组讨论,理解分数加减混合运算的运算顺序和整数加减混合运算的运算顺序相同)
预设 生:分数加减混合运算与整数加减混合运算的顺序相同,也是按照从左往右的顺序计算,带有小括号的,先算小括号里面的,再算小括号外面的。
4.巩固练习。
脱式计算:-
【参考答案】
三、教学例2,探究分数加减法的简算。
1.观察算式特点,大胆猜想规律。
师:(PPT课件出示例2)
下面每组算式的左右两边有什么样的关系?
+○+
+○+
师:大胆猜想一下○里应该填什么符号。
预设 生:都填等号。
师:说说你这样填的理由。
预设 生:第一个算式左右两边的数都一样,就是交换了位置,很像整数中的加法交换律;第二个算式只是改变了加的顺序,很像加法结合律。
[设计意图] 创设探究性的问题情境,让学生思考“不计算你就能知道填什么关系符号吗?”当学生判定两组算式相等时,可让学生思考整数加法的交换律、结合律对分数加法是否同样适用。
2.验证猜想。
师:那我们现在就来验证一下我们的猜想是否正确。(学生计算,填写符号)
师:同学们先计算一下每组的两个算式,然后观察这些算式,你发现了什么?
预设 生1:整数加法的运算定律也可以在分数中使用。
生2:整数加法的运算定律在分数中同样适用。
师:仅通过计算这两组题就下结论,有点为时过早。请你再举几个分数加法的例子来验证一下,看看我们得出的结论是否正确。
(学生组内验证,教师巡视指导,然后学生汇报通过验证得到的结论)
3.总结分数加减法的简算规律。
师:通过刚刚同学们的验证,不难发现整数加法的交换律和结合律对分数加法同样适用。利用运算定律可以使一些分数加法计算变得简便。
4.巩固练习。
(1) 在○里填上合适的运算符号,在( )里填上合适的数。
○=+
++=+
+=+
++=+
(2)怎样简便就怎样计算。
++ +++
【参考答案】 (1)+ + + (2)
1.完成教材第98页“做一做”第1题。学生自主完成计算题,完成后组织学生订正,并说一说是怎么计算的。
教师要注意引导学生说明运算顺序,并且强调计算结果需要约分。
2.完成教材第98页“做一做”第2题。学生独立完成,集体订正。
引导学生说清楚是利用什么加法定律简算的,简算的原因是什么,并强调计算的格式。
[设计意图] 通过一定的练习,进一步加深学生对知识与方法的应用,培养学生的计算能力巩固所学知识。
【参考答案】 1. 0 2.1 1 2
师:今天学习了什么知识?通过本课的学习,你们有什么收获?(学生自由发言)
预设 生:分数加减混合运算的顺序与整数加减混合运算的顺序相同。没有括号的,按照从左到右的顺序计算,有括号的,先计算括号里面的,然后计算括号外面的。
分数加法的运算律:整数加法的运算律在分数加法中同样适用。
作业1
教材第100页练习二十五第1,2,5题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)计算。
+-=
1-+=
-=
-=
-+=
+-=
2.(重点题)水果店运进橘子吨,卖了吨,又运进吨,现在水果店有橘子多少吨?
3.(难点题)用简便方法计算下面各题。
+++ ++
+- 1--
-1+ +
4.(易错题)对的打“√”,错的打“?”,并改正。
(1)9-+
=9-1
=8
( ) 改正:
(2)-+
=-
=
( ) 改正:
【提升培优】
5.(情景题)某商店4月份的任务额是10万元。实际上上半月完成了任务额的,下半月完成了任务额的。超额完成任务额的几分之几?
6.(探究题)快速算出下题的结果。
++++=
【思维创新】
7.(探究题)计算+++++。
【参考答案】
作业1:1. 2.1--=(m) 等腰三角形 5.+ +
作业2:1. 2.-+=(吨) 3.2 1 0 1 1 4.(1)? 改正:9-+=8+=8 (2)? 改正:-+=-=-= 5.+-1= 6.++++=1-= 7.+++++=+++++=1-+1-+1-+1-+1-+1-=6-+++++=6-=6-1+=5
分数加减混合运算 一般情况:按运算顺序计算 简便运算:加法结合律和加法交换律
1.情景的创设:计算题的内容枯燥平淡,很难激发学生的学习兴趣。因此根据“让学生在现实情境中体验和理解数学”的理念进行设计,教材以“云梦森林公园地貌情况对比”与“森林和裸露地面降水转化情况对比”为背景,引入不带括号的分数加减混合运算和带括号的分数加减混合运算这两种类型的分数加减混合运算。练习设计中也都充分利用生活素材,大大激发了学生的学习兴趣和参与意识。
2.重视算理探究过程,提倡算法多样化。理解算理、掌握算法是计算教学的关键。教学时,我注意让学生主动探索运算顺序和方法,组织学生进行交流,让学生亲身经历探索过程,获得新的运算方法。在说算理的过程中,图式结合,让学生更清晰思考的过程。说时引导学生把过程说完整,培养学生的数学表达能力。算法的选择上尊重学生的想法,各种算法各有优点,让学生用自己喜欢的方法算。
3.尊重学生,发挥学生的主动性。本课教学中始终以学生为主体,把学生作为学习的主动探索者。放手让学生自主解决“森林部分比草地部分多占公园面积的几分之几?”到后面的练习等,都发挥了学生的主动性。
在动手操作中,时间的把握需要控制好,否则后面的任务很难进行。同时在小组讨论交流的环节中,有的小组讨论的效果并不是很好。
以后在教学中,要多用正面鼓励的方法,对于肯动脑筋、积极思考的学生,要多表扬、鼓励,使这些学生能够成为全班学生学习的榜样,在学习中起到带头作用。还要合理安排好小组的组长,要充分发挥学生的长处。
【做一做·98页】
1. 2 0 1 2.1 1 2
简算:+++++。
[名师点拨] 可以应用加法交换律和加法结合律,先分别求出+和+++的值再计算比较简便。
[解答] +++++
=+
=+1
=1
【知识拓展】 整数加减法的一些运算性质可以应用到分数加减混合运算中。(1)在加减混合运算中,改变各部分的运算顺序,结果不变。(2)一个数加上两个数的差,等于这个数先与括号里的被减数相加,再减去括号里的减数。
埃及分数
3000多年以前,埃及人已发现了分数,但他们是把所有的分数都作为分子是1的分数来计算的,这种分子是1的分数称为单位分数或埃及分数。现在,人们仍对某些埃及分数感兴趣,因为它同数学的某些方面的发展有关系。最简单的问题是:1如何用不同的埃及分数的和来表示?如:1=++。你能不能用4个不同的埃及分数的和来表示1呢?
【参考答案】 1=+++=+++(答案不唯一)
第课时 解决问题
1.经历解决问题的全过程,探索解决问题的途径、策略和方法。体会图示在理解问题、分析解决问题中的作用,学习用几何直观分析解决问题。
2.感受数学知识与日常生活的联系,体会解决问题过程中的快乐。 培养学生迁移、类推和归纳、概括的能力。
【重点】 掌握分数加减运算在生活中的运用。
【难点】 用分数加减法解决问题。
【教师准备】 PPT课件。
方法一
师:同学们,你们喜欢喝牛奶吗?
预设 生:喜欢。
师:牛奶里含有多种有营养的物质,喝牛奶对身体非常有益处,今天我们就来学习下有关牛奶的问题。
[设计意图] 以牛奶的话题引入今天的新课,让学生对今天所学内容充满好奇,并且无形中体现了数学学习是与我们的生活息息相关的。
方法二
师:口算下面各题(PPT课件出示上节课的导入)。
+ + 4+
师:分数加减混合运算的顺序是怎样的?
预设 生:加减混合运算是同一级运算的,运算顺序是从左往右依次计算,遇到有括号的,先算括号里面的。+=,+=,4+=4。
师:大家分数加减法的知识掌握得真棒,今天我们就来运用分数加减法的知识解决我们生活中常见的问题。
[设计意图] 复习以前学习的内容,为用分数解决问题做好准备。
教学例3,灵活运用分数知识解决问题。
1.理解题意,发现问题。
师: (出示例3)请同学们把题目读一读, 同学们从题中知道了哪些信息?
预设 生1:乐乐一共喝了两次牛奶,第一次喝了杯,第二次喝了兑水后的杯。
生2:第二次喝的纯牛奶比第一次少。
生3:第二次喝的纯牛奶可能是杯。
生4:问题是乐乐一共喝了多少杯纯牛奶,多少杯水。
[设计意图] 让学生先用自己的语言说说题目的意思,通过阅读与理解,呈现对已知条件和问题进一步梳理和内化的过程。通过学生的表述,让学生感受解决问题的第一步是深入理解题目的意思,并在理解的基础上规范表达,将生活中的问题初步抽象成数学问题。
师:到底第二次喝了多少纯牛奶呢?下面我们就来研究这个问题。
2.动手操作,合作交流。
师:请大家拿出一张长方形的纸来表示这杯纯牛奶,我们一起来动手画一画,分一分。
(学生组内操作,教师巡视指导。 搜集学生资源,为下一环节的集体研讨做准备)
预设 生1:第一次喝完后,剩杯纯牛奶。喝了杯。
生2:加满水,纯牛奶还是只有原来的杯,水一共加了杯。
生3:又喝了加满水后的,也就是把杯的纯牛奶再平均分成2份,喝的纯牛奶就是其中的1份了。
3.解决问题。
把平均分成2份,就是把“1”平均分成4份,其中的1份就是。第二次喝的纯牛奶是杯,水是杯。
一共喝的纯牛奶:+=(杯)。
4.验证总结。
师:我们利用画图法得出的结论到底对不对呢?可以怎样检验?
预设 生:可以从剩下的半杯兑过水的奶考虑:剩下的杯中有一半的纯牛奶和一半的水,所以剩下的纯牛奶是杯,所以喝了杯纯牛奶是正确的。
师:解决这道题的关键是什么?
预设 生1:第二次喝了多少杯纯牛奶?
生2:每次喝的半杯中都是剩下纯牛奶的一半,第一次喝的是整杯纯牛奶的一半,第二次喝的是剩下半杯纯牛奶的一半。
师:关键步骤利用了什么知识?
预设 生1:分数的意义。
生2:分数加减法。
生3:画图法。
……
[设计意图] 放手让学生经历分析问题的过程,在组内交流中学生能够利用画图、语言表达的方式,明确数量关系。通过全班的交流,使学生感受到画图、文字标注的方式是分析解决问题的好帮手。
5.巩固练习。
一杯纯牛奶,乐乐喝了半杯后,觉得有些凉,就兑满了热水。又喝了半杯,觉得还是有些凉,就又兑满了热水。又喝了半杯,就出去玩了。他一共喝了多少杯纯牛奶?多少杯水?
【参考答案】 喝纯牛奶:++=(杯) 喝水:+=(杯)
1.完成教材第100页练习二十五第3题。学生自主完成,完成后组织学生订正,并说一说你是怎么想的。
教师需注意:引导学生审题,并且强调计算结果需要约分。
2.完成教材第100页练习二十五第4题。小组相互讨论,相互提问,解答。
教师需注意:引导学生学会提出问题,让所有同学参与其中。
[设计意图] 通过一定的练习,进一步加深学生对知识与方法的应用,培养学生的计算能力和巩固所学知识。
【参考答案】 1.第3题:1--= 2.第4题略。
师:今天学习了什么知识?通过本课的学习,你们有什么收获?(学生自由发言)
预设 生:学会了用分数的加减法解决生活中的数学问题。
作业1
教材第101页练习二十五第9题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)一根铁丝,第一次用去米,第二次用去米。两次共用去( )米。第二次比第一次多用去( )米。
2.(重点题)某商店八月份利润是4万元,比七月份多万元,两个月利润共多少万元?正确的算式是( )。
A.4+ B.4-
C.4-+4 D.4++4
3.(难点题)王师傅做一件工作要20天完成,他做了5天,还剩下这件工作的( )。
A.4 B.19
C. D.
【提升培优】
4.(情景题)暑假中五(1)班同学读书情况如下表。
读书本数 读书人数占全班人数的几分之几
一本
两本
三本
四本
(1)读( )本书的人数最多,读( )本书的人数最少。
(2)读一本书和两本书的同学占全班人数的几分之几?
(3)读两本以上(含两本)的同学占全班人数的几分之几?
(4)全班同学都参加了读书活动吗?
5.(探究题)某小学各年级学生人数情况如下:一、二年级有300人,三、四年级有320人,五年级有200人,六年级有180人。
(1)算出一二年级、三四年级、五年级、六年级学生人数各占全校总人数的几分之几,填在表内。
年级 一、二 三、四 五 六
占全校学生总人 数的几分之几
(2)你还能提出什么数学问题?并解答出来。
【思维创新】
6.(探究题)有三根跳绳,第一根比第二根短米,第三根比第二根短米,则第三根和第一根跳绳哪根长?长多少米?
【参考答案】
作业1:9.一个苹果平均切4份,每人得其中的3份。 6÷8==(个) 1÷8=
作业2:1. 2.C 3.D 4.(1)一 四 (2)+= (3)++= (4)+++= <1。答:没有全班都参加。
5.(1)
年级 一、二 三、四 五 六
占全校学生总人 数的几分之几
(2)如:五、六年级学生共占全校学生总人数的几分之几?+= 6.<,-=(米) 答:第一根长,比第三根长米。
解决问题
1.与生活中的内容息息相关,让孩子们能够很快进入解决问题的思维活动中。解决生活中的问题,让学生明白数学学习对生活的影响。
2.尊重学生,发挥学生的主动性。本课教学中始终以学生为主体,把学生作为学习的主动探索者,放手让学生自主解决问题,到后面的练习等,都发挥了学生的主动性。
在动手操作中,实践的把握需要控制好,否则后面的任务很难进行。同时在小组讨论交流的环节中,有的小组讨论的效果并不是很好。
以后在教学中,要多用正面鼓励的方法,对于肯动脑筋,积极思考的学生,要多表扬、鼓励,使这些学生能够成为全班学生学习的榜样,在学习中起到带头作用。还要合理安排好小组的组长,要充分发挥学生的长处。
【练习二十五·100页】
1. 2.1--=(m) 等腰三角形。 3.1--= 5.+ + 6.1 7. 8.提示: 根据计算可以归纳出一个重要的式子:-=(n是自然数且n≠0)。 +++=++-+=1-+-+-+-=1-= 9.6÷8==(个) 1÷8= 10.如图所示。
【?·101页】
提示:本题的难点是知道图形3,6,7的面积大小。在正方形中作适当的辅助线(如图所示),这样可以看到各
部分占正方形的几分之几,图形1占正方形的,图形2占正方形的,图形3,4,5,6,7分别占正方形的,,,,。从而可以解答出其他问题。解:如下表所示:
图形 1 2 3 4 5 6 7
面积占正方形 的几分之几
图形7和4共占:+= 图形3,4,5共占:++=
实验一附小举办美术作品大赛,设一、 二、三等奖若干名,获一、二等奖的人数占获奖总人数的,获二、三等奖的人数占获奖总人数的,获二等奖的人数占获奖总人数的几分之几?
[解答] 三等奖占:1-= 二等奖占:-=
【知识拓展】 整数加减法的一些运算性质可以应用到分数加减混合运算中。
你知道吗?
在我国古代,《九章算术》对分数四则运算法则就有详细论述,里面记录的方法、步骤与我们今天的基本相同。但是古埃及的分数运算是十分烦琐的,这与分数的表示方法有关用特殊符号表示分子为1的分数,分子不为1的表示为几个分子为1的分数之和,如表示成+。受古埃及的影响,欧洲人对分数计算的烦琐望而生畏。7世纪时,欧洲有个数学家解决了一道8个分数相加的计算题,这件事竟被看成是一个出色的成果。在德国常用一条谚语——“掉进分数里”来形容一个人所处的困境。
打电话
“打电话”的编排有下面几个特点。
(1)密切联系实际,精心选择活动素材。
生活实践中的数学无处不在,把实际生活中的“打电话”作为综合与实践活动的素材,具有以下特点。一是现实性,能和学生的生活经验、学习生活紧密关联,便于学生理解并易于开展实践活动;二是开放性,可以从多个角度采用多种方法开展研究,能充分展示学生之间的研究差异;三是实践性,能激发学生的探究欲望,使学生在有目的、有设计、有步骤、有合作的探索过程中积累数学活动经验。
(2)突出实践活动,让学生充分经历问题解决全过程。
“综合与实践”本质上是一种解决问题的活动,它有别于学习具体知识的探索活动,更有别于课堂上教师的直接讲授。它是教师通过问题引领,学生全程参与、实践过程相对完整的学习活动。因此,教师要引导学生对过程、形式、交流等参与实践的态度。
(3)重视反思评价。
“综合与实践”在强调“做”的过程中,还应重视实践活动过程中的思考以及反思评价,以帮助学生“逐步积累运用数学解决问题的经验”,提升实践智慧。教材在呈现教学内容和过程时,不只是关注最优方法的得出,还要引导学生对解决问题全过程进行回顾,梳理提炼解决问题的策略,培养学生联系实际、具体实施及解决实际问题的能力。
1.使学生通过日常生活中的一些简单事例,初步感受运筹思想以及对策论方法在解决实际生活问题中的作用。
2.通过指导学生用画图、列表格等方式发现事物隐含的规律,体会数形结合、推理、优化、模型等数学思想,进一步培养学生的归纳推理和解决简单实际问题的能力,经历有目的、有设计、有步骤、有合作的实践活动。
3.进一步体验数学与生活的密切联系,经历针对具体问题提出设计思路、制订简单方案解决问题的过程,培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【重点】 让学生探讨最优方案,通过画图的方式发现事物隐含的规律。
【难点】 让学生探讨最优方案。
【教师准备】 PPT课件、实物展台。
方法一
师:10个同学见面,每两个人都要握一次手,一共要握几次手?
预设 生1:10次。
生2:20次。
生3:45次……
师:大家的答案都不一样啊,为了验证这题的结果,我们请10位同学来做做实验。
(请10位同学,第1位同学顺次和另外9人握手,第2位同学与剩下8位同学握手……)
师:大家数数,一共握了几次?
预设 生:9+8+7+6+5+4+3+2+1=45
师:其实看起来没有规律的事情,也是有规律可循的,这节课我们就来探索一下生活中隐含规律的问题。
[设计意图] 开课用一件生活中的小事,激起孩子们的兴趣,用小游戏的形式吸引所有同学的注意,这样做让所有同学为接下来要学习的内容感兴趣。
方法二
师:我们的生活离不开电话,你们知道吗?打电话也有很多学问。今天这节课我们就从数学的角度一起来研究打电话的奥秘。
[设计意图] 开课指出这节课学习是与我们生活息息相关的,这节课是为了解决生活中的问题。直接导入新课,留更多的时间探索后面的内容。
(板书课题:打电话)
一、探究打电话方案。
1.提出问题,学生小议。
师:为了庆祝“六一”节,学校组织了一个15人的合唱组,星期五放学后老师收到紧急通知,要求合唱组第二天早上彩排,老师决定打电话通知他们。如果打一个电话需要1分钟,用什么方法可以使所有的人在最短的时间收到通知呢?
[设计意图] 充分利用学生的生活经验,提出各种各样解决方法,从中选择最好的方法。
2.小组活动,探讨方法。
师:请同学们以小组为单位设计一个打电话的方案。充分利用叙述、图式、颜色等方式表达出来,并算一算用几分钟。
(小组活动,教师参加研究,活动后汇报,交流分析)
预设 生1:我们是这样想的,老师先给3个组长打电话用了3分钟,然后由组长分别给4个同学打电话用了4分钟,一共用了7分钟。
生2:我们是这样标上时间的:
生3:第5分钟第1小组的组长给所有的组员打完电话了,但第3小组还有两个同学没接到电话。
生4:有办法,把第3小组的最后1个同学调到第1小组,可以使每个小组同时打完电话。我们组是这样画图的:
3.讲求策略,优化方案。
师:到底分几组,每组多少人才能最省时间呢?请同学们分组讨论,画一画,算一算。(小组活动后汇报)
预设 生1:我们把15个同学平均分成5个小组,每组3人,用了7分钟。
生2:我们组也把15个同学分5个组打电话,每个小组的人数分别是5人、4人、3人、2人、1人,又节省了2分钟。
生3:我们组分成4组来打电话,依次是3人、4人、4人、4人,用了7分钟。
生4:我们也是分4组,但比上一组少用了1分钟即6分钟,我们这样分组:5人、4人、3人、3人。
生5:不用考虑分7组了,因为这样最少要7分钟。
生6:分组太少也不行,这样组长给组员打电话的时间更多。
生7:最省时间的是分成5组,依次是5人、4人、3人、2人、1人。
生8:我发现需要的时间是分组数和最后一组组员数加起来。
师:同学们分析得很好,想了很多办法。我们回顾一下,为什么一次次地节省了时间呢?
预设 生1:因为想办法使更多人同时打电话。
生2:以上的方法组员在接到电话后是闲着的,其实他们也可以帮忙打电话呀。
生3:对,我们小组原来就是这样设计的。第1分钟由老师打给1个同学,有1个同学收到通知;第2分钟由老师和这个同学同时打电话,有2个同学新收到通知;第3分钟由老师和这3个同学同时打电话,有4个同学新收到通知;第4分钟由老师和这7个同学同时打电话,有8个同学新收到通知,这时收到通知的一共15个同学,所以4分钟就通知完15个同学。
[设计意图] 从逐个通知到分组通知,再到相互转告的通知方法,让学生在举例和比较多种方案中亲历优化的过程。在比较、交流中,学生的思维活跃了,方法优化了。
二、选出最优方案。
师:你会选择哪种方案呢?请说说理由。
预设 生1:当然是最后一种,因为这样打电话最省时间了。
生2:安排打电话的先后顺序用去的时间也不少,当你安排好了,可能用分组的方法已经打完电话,还是分组打电话比较快。
生3:我认为选择哪种方法还要看需要通知的人数,人数多就应该分组,人数少就用最后一种方案。
生4:可以这样,分组由老师安排,小组内打电话的先后顺序由我们安排。
师:你们的见解都有道理。在安排好先后顺序的情况下,后一种方案的速度是很快的,当中还隐含着数学规律,你们找找看。(小组讨论后汇报)
预设 生:我发现每一分钟新接到通知的人数分别是1,2,4,8,每一个数都是前一个数的2倍。
师:按照这样的规律,下一分钟新收到通知的人数有多少?
预设 生:16人。
(板书:第4分钟共有1+2+4+8=15人收到通知)
师:还有别的方法算出这个总和吗?大家讨论一下。
预设 生:我发现可以用每一分钟新得到通知的人数乘2减1就是到这分钟的时候收到通知的学生总数了。例如第4分钟接到通知的学生的总数是8×2-1=15人。
(板书:第4分钟共有8×2-1=15人收到通知)
师:同学们真用心思考。按照上面的规律计算,如果时间是5分钟,最多可以通知多少人?
预设 生1:31人,刚才第4分钟有15人收到通知,第5分钟有16人新收到通知,15加16等于31人。
(板书:第5分钟共有15+16=31人收到通知)
生2:我的算法不同,第5分钟有16人新收到通知,第5分钟共有16×2-1=31人收到通知。
(板书:第5分钟共有16×2-1=31人收到通知)
师:如果要通知50人,最少需要多少时间?
预设 生:第5分钟时有31人收到通知,加上老师共有32人再同时打电话,说明第6分钟有32人新收到通知,31加32一共是63人收到通知,所以通知50人需要6分钟。
(板书:第6分钟共有31+32=63人收到通知)
[设计意图] 把主动权交给学生,让学生先独立思考,再展示、交流、汇报作品,教师适当引导,使学生经历最优方案的生成过程,培养学生的逻辑思维能力与语言表达能力。
三、研究最优方案,从中发现规律。
师:列表表示每分钟通知的队员人数和每分钟增加的人数。(师生共同完成)
第n分钟 1 2 3 4 5 6 7 …
第n分钟新接到通知的队员数 1 2 4 8 16 32 64 …
到第n分钟所有接到通知的队员和老师的总数 2 4 8 16 32 64 128 …
到第n分钟所有接到通知的队员的总数 1 3 7 15 31 63 127 …
师生共同总结规律:
(1)每增加1分钟,新接到通知的队员数是前面所有接到通知的队员数和老师数的总和,也就是第n分钟所有接到通知的队员和老师的总数是前(n-1)分钟所有接到通知的队员和老师的总数的2倍。
(2)第n分钟新接到通知的队员数是2n-1人。到第n分钟所有接到通知的队员和老师的总数是2n人。到第n分钟所有接到通知的队员总数是(2n-1)人。
[设计意图] 用表格的形式,让学生通过观察、分析,克服思维的表面性,抓住事物的内在规律和本质特点,建立数学模型。
如果一个合唱团有55人,每分钟通知1人,最少花多长时间就能通知到每个人?
【参考答案】 55人的合唱团最少花6分钟就能通知到每个人。
师:这节课,学习了哪些知识?你有什么收获?
预设 生1:知道了找规律要按照一定的顺序找。
生2: 通知到的队员总数为(2n-1)人,其中n表示时间。
生3:在用最优方案打电话时,事先要设计好打电话的流程,也就是每个队员要清楚他接到电话后,后面要怎样继续通知其他队员。
打电话 第1分钟:1(人) 第2分钟:1+2=3(人) 第3分钟:1+2+4=7(人) 第4分钟:1+2+4+8=15(人) 8×2-1=15(人) 第5分钟:15+16=31(人) 16×2-1=31(人) 第6分钟:31+32=63(人)
爱因斯坦曾说过:“要提出一个问题往往比解决一个问题更为重要。”教学时,教师要引导学生不断思考、发现问题。如,开始时,要引导学生发现问题“该如何设计打电话方案呢?”在讨论“分组通知”时引导学生发现问题,“分组讨论”时,引导学生发现问题“是不是分的组越多用的时间越少”。
本节课内容多是以小组讨论的形式出现,课堂有些嘈杂,孩子多处于兴奋状态,时间也很难控制,孩子们讨论的时间需要提前计划好,否则很难将教学任务完成。
以后在教学中,要多用正面鼓励的方法,对于肯动脑筋、积极思考的学生,要多表扬、鼓励,使这些学生能够成为全班学生学习的榜样,在学习中起到带头作用。还要合理安排好小组的组长,要充分发挥学生的长处。由于个体的差异,并不是所有学生都能达到最优策略的要求。教师要尊重学生的差异,保护他们参与的热情,保证每个人都全程参加。
第6单元阶段测评 (时间:60分钟 满分:100分)
一、填一填(13分)
1.“-”表示( )个减去( )个,差是( )个。
2.“+”不能直接相加,是因为它们的分母不同,也就是( )不同,所以必须先通分,再计算。
3.一本故事书,小明已看了全书的,还剩下全书的( )没有看。
4.分数单位是的所有最简真分数的和是( )。
5.比较大小:
1-○
+○
+○+
6.甲数是,乙数是,甲、乙两数的和是( ),甲、乙两数的差是( )。
7.把7米长的绳子平均分成6份,每份长( )米,5份是这根绳子的( )。
二、我是聪明的小法官(对的打“√”,错的打“?”)(12分)
1.+==。 ( )
2.和的大小相等,但分数单位不同。 ( )
3.异分母分数相加、减,应先把分子化成相同的数再计算。 ( )
4.-=--。 ( )
三、计算(48分)
1.直接写得数。(20分)
+= +=
+= 2+=
-= +=
-= -=
-= +=
2.解方程。(12分)
x+= x-=
x-= x+=
3.计算,能简算的要简算。(16分)
45-
3-1+0.75
5+6+3+
15-3-2
四、解决问题(27分)
1.一个人一天中大约有的时间用于睡眠,的时间用于进餐,的时间用于活动,剩下的时间用于学习或工作。(16分)
(1)每天用于睡眠、活动的时间一共占一天时间的几分之几?(5分)
(2)每天用于学习或工作的时间占一天时间的几分之几?(5分)
(3)你还能提出哪些数学问题?请提出问题并解答。(6分)
2.王叔叔打印一份稿件,第一天打了整份稿件的,第二天打了整份稿件的,剩下的第三天打完。第三天打了整份稿件的几分之几?(5分)
3.方方看一本书,第一天看了全书的,第二天看了全书的,第三天看完这本书。第二天比第三天多看了全书的几分之几?(6分)
★附加题
有甲、乙两壶油,甲壶油重千克,如果倒给乙壶千克,那么两壶油同样重,两壶油共重多少千克?
【参考答案】
一、1.11 5 6 2.分数单位 3. 4.1 5.> < = 6. 7.
二、1.√ 2.√ 3.? 4.?
三、1.1 2 2.x= x= x= x= 3.16 2 16 10
四、1.(1)+= (2)1-= (3)略 2.1-= 3.1--= -=
附加题 把甲壶里的油倒给乙壶千克,这时甲壶里的油减少了千克,乙壶里的油增加了千克,这时两壶油同样重,所以乙壶里的油原重为--=(千克)。两壶油共重+=1(千克)。
第6单元 分数的加法和减法
本单元学习的内容有:同分母分数相加、减,异分母分数相加、减,分数加减混合运算以及整数加法的运算定律推广到分数。这些内容是在学生掌握了整数、小数加减法的意义及其计算方法,分数的意义和性质,以及三年级上册学习的简单的同分母分数加、减法的基础上进行教学的。
这些内容是按数学学习的逻辑结构编排的。先学习同分母分数加、减法,理解相同单位的分数相加、减的算理,为异分母分数加、减法的学习和理解算理搭好阶梯,再学习异分母分数加、减法,使学生形成基本的分数加减运算能力;最后学习加减混合运算,并将整数加减法运算定律推广到分数,进一步理解运算定律,培养计算的灵活性。
本单元内容在编排上利用类推来理解分数加、减法的含义,淡化了分数加、减法意义的教学要求。教材指出:“结合上面的问题,再想想整数加、减法的含义,你能说出分数加、减法的含义吗?”引导学生借助整数加、减法的含义理解分数加、减法的含义。
无论是同分母分数加、减法,还是异分母分数加、减法,教材都只安排了一个例题。这样有利于对分数加、减法含义的理解,同时提高计算教学的有效性。
根据分数加、减法的含义和分数的基本性质,概括出具有一般性的计算方法,既是计算教学的一个重要任务,也是数学自身发展的需要。教材引导学生在自主探究中逐步概括出分数加、减法的计算方法。如,第1节例题最后引导学生:“观察两个算式,你能发现什么共同点吗?”让学生在探究、交流中总结出同分母分数加、减法计算的一般方法。在第2节例题最后,让学生通过探究、讨论,概括出异分母分数加、减法计算的一般方法。又如,在第3节例1的教学中,教材提供了两种不同的算法后提问:“说一说你是怎样计算的。你喜欢哪种方法?”让学生在比较中体会算法多样性与合理性,学会合理、灵活地进行计算,培养计算能力。
1.理解分数加、减法的意义。
2.掌握分数加、减法的计算法则,能够比较熟练地计算分数加、减法。
3.会口算简单的分数加、减法。
4.理解整数加法运算定律对于分数加法同样适用,会用这些定律进行一些分数加法的简便计算。
5.掌握分数和小数的互化方法,能正确地进行分数、小数加减混合运算。
6.会解答分数加、减法应用题。
1.通过同分母分数、异分母分数加减法的学习,培养迁移类推能力。
2.通过分数加、减法计算法则的学习,培养抽象、概括、比较的能力。
3.通过分数加法的一些简便运算的学习,培养灵活计算的能力。
4.通过分数、小数加减混合运算的学习,培养思维的灵活性。
5.初步学会运用所学的数学知识和方法解决生活中一些简单的实际问题的能力。
1.能以认真的态度进行分数加、减法计算和分数、小数的加减混合运算,做到认真审题、准确计算、书写整洁、自觉检验。
2.能进一步养成认真审题的良好习惯,自觉选用简便方法进行分数、小数的加减混合运算。
3.课堂上能自觉认真听讲,积极思考,举手发言,敢于提问。
4.自觉养成做作业时专心致志,按时完成的良好习惯,提高课堂练习和课外作业的效率。
5.在老师的指导下,通过摆、拼、画图等实际操作活动理解、掌握有关分数加减法的知识。
1.觉察到分数加、减法计算在数学学习和日常生活中的广泛应用,愿意在教师的指导下学习这些知识。
2.通过学生的自主探索和合作交流,培养合作意识,让学生体验成功。
【重点】 理解分数加、减法的意义,能正确计算比较简单的同分母、异分母分数的加、减法。
【难点】 引导学生体会、理解不同算法的思路。
1.引导学生认识分数加、减法与整数加、减法的内在联系。
分数加、减法的含义与整数加、减法的含义是完全相同的。它们的计算方式从表面上看截然不同,但实质上有一个共同的特点,就是“相同单位的数才能相加、减”。从这个意义上来讲,不论是整数还是分数的加、减法,都要统一成相同的单位后才能进行计算。当分数单位统一后,分数的加、减运算也就归结为整数的加、减运算了。
如,第2节中的例1(1)中出现这样的过程:
+=+==(6+5)个,在这个过程中,先将异分母分数转化为同分母分数,然后用整数加法的方法将分子相加,得出最后的和。
因此,教学中,教师应有意识地引导学生沟通分数加、减法与整数加、减法之间的联系,紧扣学生经验中“相同单位的数才能相加、减”的算理,逐步概括出分数加、减法的计算方法。
2.重视对算理的分析,在理解算理的基础上掌握算法。
抽象概括出分数加、减法的计算方法,是本单元教学的重点。要让学生掌握分数加、减法的计算方法,必须处理好算理与算法的关系。教学时,应通过观察、分析、说理、交流等活动,让学生经历用算理理解并发现算法的过程。使学生明白:计算同分母分数加、减法时,“分母不变”是因为分母相同,也就是分数单位相同,所以只用分子相加、减就可以了;计算异分母分数加、减法时,只要将异分母分数转化为同分母分数,也就是转化为相同的分数单位就可以了。这样,不但使学生明白算理是算法的灵魂,而且避免了机械的、单纯的记忆法则的弊端,达到在概括计算法则的过程中理解算理、掌握算法的目的。
为帮助学生更好地理解分数加、减法的算理,要重视数形结合。教学时,可以结合图示让学生理解分数加、减法的算理,即相同的分数单位相加、减。尤其是异分母分数加、减法为什么要转化成同分母分数,更应该通过数形结合,将分的份数不同(也就是分数单位不同)的图形,转化为份数相同的图形,帮助学生理解算理,掌握算法。
1 同分母分数加、减法
本节先学习同分母分数加、减法,理解相同分数单位的分数相加、减的算理,为异分母分数加、减法的学习、理解算理搭好阶梯;本节课利用类推来理解分数加、减法的含义,淡化了分数加、减法意义的教学要求。教材指出:“结合上面的问题,再想想整数加、减法的含义,你能说出分数加、减法的含义吗?”引导学生借助整数加、减法的含义理解分数加、减法的含义。
根据分数加、减法的含义和分数的基本性质,概括出具有一般性的计算方法,教材引导学生在自主探究中逐步概括出分数加、减法的计算方法。
1.通过教学,使学生初步理解同分母分数相加减的算理,掌握同分母分数加、减法的计算法则。
2.培养学生数形结合的数学思想。提高学生迁移类推的能力和计算能力。
3.培养学生规范书写和仔细计算的良好习惯。
【重点】 理解同分母分数加、减法的算理和计算方法。
【难点】 理解同分母分数加、减法的算理和计算方法。
【教师准备】 PPT课件。
方法一
(PPT课件出示教材第89页主题图)
师:小红正在和爸爸妈妈吃早餐,他们把一张饼平均分成了8块,爸爸说:“我吃了3块饼。”妈妈说:“我吃了1块饼。”请问:整数能表示爸爸和妈妈分别吃了几张饼吗?
预设 生:爸爸吃了张,妈妈吃了张。
师:和是怎么来的?
预设 生1:将一张饼平均分成了8块,爸爸吃了3块饼,所以是张。
生2:将一张饼平均分成了8块,妈妈吃了1块饼,所以是张。
师:我们在三年级已经学习过同分母分数的加、减法,今天这节课我们继续研究这方面的知识。
[设计意图] 选择学生熟悉的日常生活(分吃圆形大饼)为素材,体现计算是因解决问题的需要而产生的,巩固复习了分数的意义。
方法二
(PPT课件出示以下习题)
(1)的分数单位是( ),它有( )个这样的分数单位。
(2)( )个是,里有( )个。
(3)3个是( ),是4个( )。
师:我们在三年级已经学习过同分母分数的加、减法,今天这节课我们继续研究这个知识。
生:(1) 3 (2)5 7 (3)
[设计意图] 复习原来所学的内容,引入新课。让孩子们回忆起第4单元所学内容,为后面学习同分母分数的加法做铺垫。
一、教学例1第(1)问(探究同分母分数加法的计算方法)。
1.提出问题,自主思考算法。
师:(出示例1主题图和问题(1))
师:要求爸爸和妈妈一共吃了多少张饼,怎样列式?为什么?
预设 生:+,表示把两个分数合并起来,所以用加法计算。
师:你能算出结果吗?你们怎样想的?小组之间相互交流讨论。
(学生先独立思考,再在小组里交流自己的想法)
2.教师引导学生探讨同分母分数加法的算理。
预设 生:是1 个,是3 个,合起来也就是。
师:+的和是,为什么分母没变?分子是怎样得到的?
预设 生:因为和的分母相同,也就是它们的分数单位相同,所以可以直接用两个分子相加,分母不变。
(利用多媒体课件演示上面的计算过程)
师:你会写出计算过程吗?
预设 生:+==。
师:观察图可以看出结果是,也就是。
有没有同学将算式改进一下呢?
预设 生:+===。
师:要注意什么呢?
预设 生:计算结果,能约分的要约成最简分数。
板书:+===。
[设计意图] 同分母分数加法,让学生结合直观图示(圆形图)理解同分母分数相加的算理:两个分数单位相同的分数可以直接相加。
3.总结同分母分数加法的算法。
师:哪位同学能说一下分数加法的含义是什么吗?
预设 生:分数加法的含义与整数加法相同,都是表示把两个数合并成一个数的运算。
师:有哪位同学能介绍一下同分母分数加法的计算方法?
预设 生:在计算同分母分数加法时,分母不变,只把分子相加。
师:要注意什么呢?
预设 生:计算结果,能约分的要约成最简分数。
4.巩固练习。
计算:
+ + + 4+
[设计意图] 巩固练习第1题,巩固同分母分数加法的计算方法。再次强调,计算结果需要写成最简形式。
【参考答案】 1 4
二、教学例1第(2)问(探究同分母分数减法的计算方法)。
1.提出问题,自主思考算法。
师:爸爸比妈妈多吃了多少张饼?你会列算式吗?
预设 生:-。
师:为什么这样列?
预设 生:-,表示爸爸吃的块比妈妈吃的块多多少,所以用减法。
师:你能算出结果吗?你们怎样想的?小组之间相互交流讨论。
(学生先独立思考,再在小组里交流自己的想法)
2.教师引导学生探讨同分母分数减法的算法。
预设 生: 是3 个,是1 个,它们之间相差。
师: 和的差是,为什么分母没变?分子是怎样得到的?
预设 生:因为和的分母相同,也就是它们的分数单位相同,所以可以直接用两个分子相减,分母不变。
师:你会写出计算过程吗?
预设 生:-==。
师:有哪里需要改进的吗?
预设 生:可以约分。答案应该写成。
[设计意图] 有了同分母分数加减法的计算经验,教学中可以放手让学生自主探究减法的计算方法。同样,关注学生对算理的理解,特别是从分数的意义角度明确“分数单位相同的分数可以直接相减”。
3.巩固练习。
计算:
- - - 1-
【参考答案】
三、师生共同总结同分母分数加、减法的计算方法。
师:观察两个算式,你能发现什么异同点吗?(出示以下两个算式)
+=== -==
预设 生1:这两个算式一个是加法算式,一个是减法算式。
生2:这两个算式都是分母不变,分子相加减。
生3:这两个算式最后都约分啦。
师:你能用一句简短的话概括同分母分数加、减法的计算法则吗?
预设 生:同分母分数相加、减,分母不变,只把分子相加、减,计算的结果能约分的要约成最简分数。
[设计意图] 让学生自己观察同分母分数加减法的计算过程,通过观察、发现、讨论、交流,归纳、总结出同分母分数加减法的计算法则。注意引导学生用简练准确的语言进行概括。
1.完成教材第90页“做一做”第1题。学生在横线上列式并计算,完成后组织学生集体订正,并说一说你是怎么计算的。
教师要注意学生在处理计算结果时,有没有约分,学生写出来的结果可能并不是最简分数。
2.完成教材第91页“练习二十三”第1题与第2题。
学生独立完成16道计算题,集体订正。提问:第1题与第2题比较,你发现了什么?
引导学生通过巩固同分母分数的加减运算,对运算方法更加熟悉。再次强调计算结果需写成最简形式。
[设计意图] 配合直观图,进一步加深对同分母分数加、减法算理的理解,巩固同分母分数加、减法的计算方法,并提醒学生们注意:计算的结果需化成最简分数。
【参考答案】 1.+== -== 2.第1题: 1 第2题:0 1
师:这节课你们学到了什么知识?有什么收获?(学生反馈)
预设 生:分数加法的意义和整数加法的意义相同,就是把两个数合并成一个数的运算。
分数减法的意义和整数减法的意义相同,就是已知两个数的和与其中的一个加数,求另一个加数的运算。
同分母分数加、减法的计算方法:分母不变,分子相加减。
作业1
教材第91页练习二十三第3,4,5题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)计算。
+= -=
1--= --=
-= ++1=
2.(重点题)在( )里填上合适的数。
( )-= +=( )
+( )=1 -( )=
+=( ) ( )+=
3.(重点题)在○里填上“>”“<”或“=”。
+○+
+○+
-○+
-○1-
4.(变式题)在括号里填上不同的数,使每个分数都是最简分数。
(1)++=
(2)++=
5.(难点题)一项工程,第一个月完成全部工程的,第二个月比第一个月多完成全部工程的。两个月共完成全部工程的几分之几?
【提升培优】
6.(情景题)小丽有一些钱,如果她给小红元,两人的钱数就相等。原来小丽比小红多多少元钱?
7.(探究题)小刚、小红、小明三人做家庭作业。小刚比小红多用小时,小明比小红少用小时,小刚和小明相差多长时间?如果小明比小红多用小时,小刚和小明相差多长时间?
8.(创新题)计算+9+99+999+9999。
【思维创新】
9.(竞赛题)计算下面前四个算式,你从中发现了什么规律?再直接写出第五个算式的结果。
(1)+=
(2)++=
(3)+++=
(4)++++=
(5)+++++=
【参考答案】
作业1:3. 1
4.
5.(1) (2) (3)略
作业2:1. 0 2 2. 3.= < < > 4.(1)1 5 11 (2)1 7 11(或1 5 13) 5.++= 6.+=(元) 7.+=(小时) -=(小时) 8.整数部分相加列式为9+99+999+9999,分数部分相加列式为++++==4,把4分成4个1分别加在整数部分的式子里, 原式变为10+100+1000+10000=11110。 9.(1)1 (2) (3)2 (4) (5)3 规律:和=
同分母分数加、减法 分母不变
落实了教学目标,突破了教学的重难点。通过这节课的教学,学生理解了同分母分数相加减的含义和算理,掌握了同分母分数加、减法的计算法则。在主动获取知识的过程中,学生的独立思维能力、合作交流的意识、自主探究和知识迁移的能力得到了培养。学生能够规范地书写计算过程,能够仔细地进行计算。
复习旧知,为探究新知做好了铺垫。本节课的重难点内容是理解同分母分数加减法的含义、算理和计算方法,而这些内容是建立在对整数加减法的含义、分数单位的理解的基础上的,为了实现这些知识的迁移,教学中先让学生回忆相关旧知识,这样为新知识的理解提供了迁移的条件。在复习旧知时,教师还让学生带着问题观察转盘,这样可以一下子把学生的兴奋点从课间所从事的活动中拉回到教学中,使学生迅速进入角色,为学生主动参与课堂活动做好了准备。
创设情境,为学生提供从事数学活动的机会,激发学习的兴趣。在教学中,教师多处创设情境进行教学:第一处是教师创设生活情境,给学生体验的空间。课改指出“计算教学应注意与学生的现实生活相联系,让学生感受到通过计算可以解决一些实际问题”。教学时教师充分利用教材提供的生活素材,来探究同分母分数加减法的含义、算理和计算方法。这样的教学,就把数学教学中的问题与生活实际结合起来,培养了学生用数学的眼光从生活中捕捉数学问题,主动地运用数学知识分析生活现象,自主地解决生活中的实际问题的能力。
1.在教学同分母分数加法的含义时,只有少数学生能说清含义,为了避免这种情况,教师最好用文字在黑板上表述清楚。
2.在探究同分母分数加法的计算方法时,设计还不够科学,学生在思考“为什么分母没变?分子是怎样得到的?”这一问题时,应该先展示被平均分成8份的圆形图,让学生直观感受在相加时,圆形图的总份数没有变化,也就是分数单位没有变化,只是两次合起来的份数有变化,因而结果是分母没变,分子相加。
3.对“计算结果能约分的要约成最简分数”这点强调不力。应该在观察圆形图时提问,合起来的份数占整个圆的多少?让学生充分感知“一半”,再强调计算的结果能约分的要约成最简分数。这样教学效果会好些。
1.在这节课中,多让孩子说一说算理,自己感悟到分母相同的分数加法的意义与计算方法。
2.数学要与生活联系起来,在课堂上虽然与生活联系起来了,练习上也需要多多与生活接轨。
【做一做·90页】
1.+= -= 2. 1 4
【练习二十三·91页】
1. 1 2.0 1 3. 1
4.
5.(1) (2) (3)略 6. 0 7.(1)++= (2)1-= 8.> < < = = < 9.+= --=(答案不唯一) 11.+==(m)
体育课上,踢足球的人数占全班人数的,踢毽子的人数占全班人数的,跳绳的人数占全班人数的。参加这三项活动的人数一共占全班人数的几分之几?
[名师点拨] 要求参加这三项活动的人数一共占全班人数的几分之几,就是要把,,合起来,用加法计算。
[解法1] ++
=+
=
[解法2] ++
=
=
答:参加这三项活动的人数一共占全班人数的。
分数的应用
最初分数的出现并非由除法而来,分数被看作一个整体的一部分。“分”在汉语中有“分开”“分割”之意,后来运算过程中也出现了分数,它表示两个整数的比。在七、八百年前的欧洲,那时若一个人精通自然数的四则运算,那他就可以称为学者了。至于分数,对当时的人来说简直难于上青天。德国有句谚语形容一个人陷入绝境,就说“掉到分数里去了”。为什么会如此呢?这都是笨拙的记数法导致的。在我国古代的《九章算术》中就有了系统的分数运算方法,这比欧洲早大约1400年。
西汉时期,张苍、耿寿昌等学者整理、删补自秦代以来的数学知识,编成了《九章算术》。在这本数学经典的“方田”章中,提出了完整的分数运算法则。
从后来刘徽所作的《九章算术注》可以知道,在《九章算术》中,讲到约分、合分(分数加法)、减分(分数减法)、乘分(分数乘法)、除分(分数除法)的法则,与我们现在的分数运算法则完全相同。另外,还记载了课分(比较分数大小)、平分(求分数的平均值)等关于分数的知识,是世界上最早的、最系统的叙述分数的著作。
分数运算大约在15世纪才在欧洲流行。欧洲人普遍认为这种算法起源于印度。实际上,印度在七世纪婆罗门笈多的著作中才开始有分数运算法则,这些法则都与《九章算术》中介绍的法则相同。而刘徽的《九章算术注》成书于魏景元四年(263年),所以即使与刘徽的时代相比,我们也要比印度早400年左右。
2 异分母分数加、减法
上节课已经学习同分母分数加、减法,理解相同单位的分数相加、减的算理,为这节课异分母分数加、减法的学习、理解算理搭好阶梯。这节课学习异分母分数加、减法,使学生形成基本的分数加减运算能力。
根据分数加、减法的含义和分数的基本性质引导学生概括出具有一般性的计算方法,让学生通过探究、讨论,概括出异分母分数加、减法计算的一般方法。
1.在巩固异分母分数加减法的计算方法的基础上,进一步探索一些特殊的异分母分数加减法中蕴含的规律。
2.让学生经历异分母分数加减法的计算方法的探究过程,认识将新知转换成旧知是获得知识的重要途径。
3.掌握异分母分数加减法的一般计算和验算方法,会正确地进行计算和验算,并养成验算的良好习惯。
4.使学生经历完整的探索过程,感受猜想、验证、类比等数学思想方法,提高学生数学素养。
5.在学习活动中进一步感受数学学习过程的探索性,使学生得到科学研究方法的启蒙,获得成功的乐趣和体验,增强学习数学的信心。
【重点】 理解异分母分数加、减法的算理,能正确计算异分母分数加法、减法。
【难点】 理解异分母分数加、减法的算理和计算方法。
【教师准备】 PPT课件。
将下列各组分数通分。(PPT课件出示练习题)
和 和 和 和
预设 生1:和
生2:和
生3:和
生4:和
师:通分的依据是什么?
预设 生:分数的基本性质。
[设计意图] 本节课要学习异分母分数的加减法,需要用到通分的知识,复习第四单元所学的通分,以免学生们遗忘,让学生们回忆一下,为后面的学习做好铺垫。
方法一
计算下列各题。(PPT课件出示练习题)
+ - - +
师:请说出这些题目的答案。
预设 生1: +=
生2:-=
生3:-=
生4:+=
师:有没有不同的意见?
预设 生1:计算的结果,能约分的要约成最简分数。
生2:-==
生3:+==
师:说一说同分母分数加、减法计算的法则。
预设 生:同分母分数相加、减,分母不变,只把分子相加、减。计算的结果,能约分的要约成最简分数。
师:之前我们已经学习了同分母分数的加减法,今天我们继续学习分数加减法的相关内容。
[设计意图] 教材特别突出转化思想,即利用通分将异分母转化为同分母来计算。所以在开始上课时先让孩子们复习相关内容,以引出新学内容。
方法二
师:同学们,我们以前已经学习过同分母分数的加、减法,这节课来继续学习相关知识。我们先来复习一下:
什么是通分?请比较下列各组分数的大小。
和 和 和 和 和
【参考答案】 通分定义略 < > > > >
师生共同小结:分数大小的比较有三种:当分母相同,分子不同时,分子大的,分数就大;当分子相同,分母不同时,分母大的,分数反而小;当分子分母都不同时就要先通分,转换成同分母分数,再比较大小。
[设计意图] 复习通分,为接下来的学习作铺垫。
一、教学例1(1),探究异分母分数加法的算理。
1.出示主题图,理解图意和题意。
(PPT课件出示教材第93页例1)
人们在日常生活中产生的垃圾叫做生活垃圾。
师:从这个图上你都了解到了哪些信息?
预设 生1:我知道了危险垃圾占。
生2:我知道了废金属等占。
生3:我知道了食品残渣占。
生4:我知道了纸张占。
师:根据这些信息,你能提出哪些数学问题?(搜集学生的问题,教师根据需要在黑板上板书)
师:废金属等和纸张共占生活垃圾的几分之几?怎样列式?
预设 生:+。
师:这个加法算式和我们以前学习的分数加法有什么不同?
预设 生:以前我们学习的分数加法分母都是相同的,今天学习的加法分母不同。
师:这就是今天我们要学习的异分母分数加、减法。
(板书课题:异分母分数加、减法)
[设计意图] 教材以生活垃圾分类为素材引出两个问题,分别教学异分母分数加、减法,并适时对学生进行环境保护的教育。
2.探究“ +”的算理。
师:你能想办法把它转变成我们学习过的知识进行计算吗?小组内讨论怎样变成学过的知识。
(学生汇报,教师有选择地板书)
预设 生1: + 可以转化为0.3+0.25
生2: + 可以转化为 +
(列出计算过程)
+=+==
师:看来遇到分数的分母不同,不能直接相加,利用通分转化为同分母就能相加了。
(呈现直观图)
师:谁来总结一下应该怎么计算?
预设 生:先通分,把它们转换成同分母分数,再按同分母分数加法的计算方法计算。
[设计意图] “你能用学过的知识解决吗?”实际上是给学生指明探索的方向:转化为学过的知识来解决。学生经过交流发现,分数的分母不同,不能直接相加,利用通分转化为同分母就能相加了。同时呈现了直观图和对应的算式,帮助学生经历从直观到抽象的思维过程,进一步理解异分母分数加法的算理。
3.巩固练习。
计算。
+ +
【参考答案】
二、教学例1(2),探究异分母分数减法的算理。
1.出示问题,理解题意。
师:危险垃圾多还是食品残渣多?它们的差占生活垃圾总量的几分之几?
预设 生:食品残渣多,-。
(师根据学生的回答写出算式:-)
2.探究“-”的算理。
师:所有学生拿出草稿本计算。
学生拿出草稿本,尝试计算-。
(让学生在黑板上展示做题过程)
预设 生:-=-==
师:谁来总结一下异分母分数减法的运算方法呢?
预设 生:通分,把它们转换成同分母分数,再按同分母分数减法的计算方法计算。
师:怎样验算?
预设 生:用差加减数,看看是否等于被减数。
[设计意图] 教学异分母分数的减法,材料借助学习异分母分数加法的经验,突出知识的迁移,让学生自主探究计算方法。
3.巩固练习。
计算。
- -
【参考答案】
三、师生共同总结归纳异分母分数加、减法的算理及注意事项。
师:(引导学生看板书)
+=+==
-=-==
师:观察两个算式,你能发现什么异同点吗?
预设 生1:这两个算式一个是加法算式,一个是减法算式。
生2:这两个算式的分母都不相同,都是利用通分把分母转化为相同的数,分子再相加减。
生3:算式最后的结果都是最简分数。
师:你能用一句话概括异分母分数加、减法的计算法则吗?
预设 生:异分母分数相加、减,先通分,然后按照同分母分数加、减法进行计算。
[设计意图] 通过学生自主观察,认识到异分母分数加减法需要注意的地方,加深认识:分数单位相同才能相加减,异分母分数要转化为同分母分数来计算,转化的方法是通分。使学生在理解算理的基础上掌握计算方法。
1.完成教材第94页“做一做”第1题。巩固异分母分数加法的计算方法,同时培养验算的意识,适当提醒学生需要对结果进行约分。
2.完成教材第94页“做一做”第2题。通过学生自主审题,独立解答,培养孩子审题能力,更加充分体现了数学学习与生活息息相关,并且规范学生答题格式。
【参考答案】 1. 2.-=-=(kg) +=+=(kg)
师:今天学习了什么知识?通过本课的学习,你们有什么收获?
预设 生:异分母分数相加减的方法是:先通分,把异分母分数转换成同分母分数,再按同分母分数加减法的计算方法计算。
作业1
教材第95页练习二十四第1,2,3题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)看图填空。
(1)+=+=
( )+( )=( )+( )=( )
(2)+=+=
( )+( )=( )+( )=( )
2.(重点题)计算。
-= += -=
3.(易错题)2 m长的铁丝,先剪去它的,再剪去它的,一共剪去这根铁丝的( )。
4.(情景题)某实验小学的学生每天参加体育锻炼的时间占在校时间的,参加课外阅读的时间占在校时间的。两项活动的时间一共占在校时间的几分之几?
【提升培优】
5.(变式题)两个同学进行口算比赛。小明算一道题大约需要分钟,小丽算这道题大约需要分钟。小丽比小明多用了多少分钟?
6.(变式题)孙林和王超分别画了一幅画,孙林用了小时,比王超多用了0.2小时,王超用了多长时间?
7.(探究题)计算:1-++++。
【思维创新】
8.(竞赛题)把化成两个形如++的式子。
【参考答案】
作业1:1. 2.+ - + + - + - 3.++== 1-=
作业2:1.(1)+=+= (2)+=+= 2. 3. 4.+= 5.-=(分钟) 6.-0.2=(小时) 7.1-++++=1-++++=1-+-+-+-+-=1-= 8.==++ ==++(答案不唯一)
异分母分数加、减法 分数单位不同无法相加转化为,转化为 -=-==
联系生活实际,利用情境贯穿整堂课。
好的课题导入能引起学生的知识冲突,打破学生的心理平衡,激发学生的学习兴趣、好奇心和求知欲,能引人入胜,辉映全堂。新课导入的艺术之一在于能把生活中的问题作为例题,使学生切实体会到学习数学知识的必要性,从而积极主动地学习。
“异分母分数加减法”这节课的教学重点是:理解、掌握异分母分数加减法的计算方法;教学难点是:理解异分母分数为什么要先通分,化成分母相同的分数。如何在教学中,突出重点,突破难点?是老师直接讲解给学生听,再强化练习;还是引导学生通过动手操作、自主探索,发现、归纳感悟算理?也许第一种方法,学生也可以明白算理,掌握计算方法。但学生对难点的理解不会很深刻、透彻,尤其是一些接受能力较慢的学生更是如此,他们就会死记硬背算法。这样不利于发展学生的思维和情感的培养。
计划教学必须在学生已有知识和生活经验的基础上进行教学。学生在学习新知识之前,或多或少的积累了一定的生活经验或知识经验。如何将学生的这些生活经验和已有知识激活,为学习新知做好铺垫,学习新知之前,有必要复习一下同分母分数加减法。为避免在学习异分母分数加减法之前给学生造成暗示,把异分母进行通分这一感觉,在学习新知之前,没有必要复习通分知识。所以在上课开始,我就出示几道同分母分数加减法算式,让学生口算,并让学生小结其方法,以唤起学生对旧知识的回忆。
【做一做·93页】
【做一做·94页】
1. 2.-=-=(kg) +=+=(kg)
【练习二十四·95页】
1. 2.+ - + + - + - 3.++= 1-= 4.x+= 解:x=- x= x-= 解:x=+ x= x-=1 解:x=1+ x=1 +x= 解:x=- x= 5.-=(√) +=(?) += -=(?) -= +=(√) 6. 7.还剩下这些毛线的几分之几?1--=(答案不唯一) 9.提示:这幅有趣的三角图是根据“杨辉三角”改编过来的,经过计算会发现:每一横行各数的和依次扩大到原来的2倍,即第一横行各数的和是,第二横行的为,第三横行的为1,第四横行的为2……如果第一个圆圈里的数是,这个规律也是如此。
计算:+1.05。
[名师点拨] 在计算时,可以先把分数化为小数再进行计算。
[解答] +1.05
=0.25+1.05
=1.3
【知识拓展】 在计算时,有时会出现分数和小数的混合运算,如果分数能化成有限小数,把分数化成小数计算较简便;如果分数不能化成有限小数,应先把小数化成分数再计算。
计算+++…+。
[名师点拨] 一个分数,如果分子是1,分母是两个相邻的自然数的积,这个分数就能拆分成分子是1、分母是这两个相邻自然数的分数的差。如:=1-,=-,=-……并且计算过程中前后两个不同符号的同分母分数可以消去,所以拆分后的分数求和的计算过程会变得简单。
[解答] +++…+
=+++…+
=1-+-+-+…+-
=1-=
【知识拓展】 一个分母是两个自然数的积的分数,可以化成两个分数的加、减法。如=-,=+=+。
分数运算的发展
《九章算术》中有比较完整的分数计算方法,包括四则运算、通分、约分、化带分数为假分数(我国古代称为通分内子,“内”读为“纳”)等,其步骤与方法大体与现代的相同。
分数加减运算,《九章算术》已明确提出先通分,使两分数的分母相同,然后进行加减。加法的步骤是“母互乘子,并以为实,母相乘为法,实如法而一”。这里的“实”是分子,“法”是分母,“实如法而一”,也就是用“法”去除“实”,进行除法运算。《九章算术》还注意到两点:其一是运算结果如出现“不满法者,以法命之”,就是分子小于分母时便以分数形式保留。其二是“其母同者,直相从之”,就是分母相同的分数进行加减运算时,不必通分,使分子直接相加减即可。
关于分数乘法,《九章算术》中提出的步骤是“母相乘为法,子相乘为实,实如法而一”。
《九章算术》对分数除法虽然没有提出一般法则,但算法也很清楚。
猜谜语
(1)一加一不是二。(打一字)
“一”字、加号“+”、再来一个“一”字,组合在一
起,得到的字不是“二”,而是“王”。谜底是王。
(2)一减一不是零。(打一字)
“一”字、减号“-”、再来一个“一”字,组合在一起,得到的字不是“零”,而是“三”。谜底是三。
(3)八分之七。(打一成语)
“八分之七”用数学符号写出来,把数字7写在分数线上面,8写在分数线下面,谜底是成语“七上八下”。
在上面这些谜语里,用一些很简单的数学知识,对谜语的文字得到新的理解,可以帮助猜出答案。
3 分数加减混合运算
本节学习的内容是在学习了同分母分数加、减法,异分母分数加、减法的基础上,学习分数加减混合运算以及整数加法的运算定律推广到分数。这些内容是在学生掌握了整数、小数加、减法的意义及其计算方法,分数的意义和性质,以及三年级上册学习的简单的同分母分数加、减法的基础上进行教学的,进一步理解运算定律,培养计算的灵活性。
教材引导学生在自主探究中逐步概括出分数加、减混合运算的计算方法。如,在第3节例1的教学中,教材提供了两种不同的算法后提问:“说说你是怎样计算的。你喜欢哪种方法?”让学生在比较中体会算法多样性与合理性,学会合理、灵活地进行计算,培养计算能力。
1.使学生掌握分数加减混合运算的运算顺序和计算方法,以及带有小括号的分数加减混合运算的运算顺序及计算方法。
2.理解整数加法的运算定律对分数加法仍然适用,并灵活运用这些运算律进行一些分数加法的简便运算。
3.经历解决问题的全过程,探索解决问题的途径、策略和方法。体会图示在理解问题、分析解决问题中的作用,学习用几何直观分析解决问题。
4.感受数学知识与日常生活的联系,体会解决问题过程中的快乐。培养学生迁移、类推和归纳、概括的能力。
【重点】
1.掌握分数加减混合运算的运算顺序与方法。
2.分数加减法在生活中的运用。
【难点】
1.整数加法运算定律在分数加法中的运用。
2.用分数加减法解决生活中的问题。
第课时 分数加减混合运算
1.使学生掌握分数加减混合运算的运算顺序和计算方法,以及带有小括号的分数加减混合运算的运算顺序及计算方法。
2.理解整数加法的运算定律对分数加法仍然适用,并灵活运用这些运算律进行一些分数加法的简便运算。
【重点】 掌握分数加减混合运算的运算顺序。
【难点】 整数加法运算定律在分数加法中的运用。
【教师准备】 PPT课件。
方法一
师:同学们,你们喜欢旅游吗?今天,老师带同学们一起去国家级景区云梦森林公园去参观。
师:老师了解到了有关云梦森林公园的一些资料,请看:(PPT课件出示例1表格)
地貌类型 占公园面积的几分之几
乔木林
灌木林
草地
[设计意图] 以问题形式导入新知,激起孩子们的求知欲,引导学习下面的内容。
方法二
师:口算下面各题。
+ + 4+
师:整数加减混合运算的顺序是怎样的?
预设 生:加减混合运算的运算顺序是从左往右依次计算,遇到有括号的,先算括号里面的。
【参考答案】 +=,+=,4+=4。
师:刚刚我们复习了整数的运算,今天我们继续学习分数的运算。看一份资料。(PPT课件出示例1表格)
地貌类型 占公园面积的几分之几
乔木林
灌木林
草地
[设计意图] 复习以前学习的内容,为学习分数加减混合运算做好准备。
一、教学例1(1),学习没有括号的分数加减混合运算的运算顺序。
1.从表格中理解题意,列出算式。
师:从表中你能获得哪些数学信息?
预设 生1:乔木林占公园面积的。
生2:灌木林占公园面积的。
生3:草地占公园面积的。
师:根据这些数学信息,你能提出哪些两步计算的数学问题?
预设 生1:乔木林和灌木林比草地多占公园面积的几分之几?
生2:灌木林和草地比乔木林多占公园面积的几分之几?
……
师:乔木林和灌木林统称为森林,刚才的第一个问题就可以改成什么呢?
预设 生:森林部分比草地部分多占公园面积的几分之几?
师:非常好!有谁能把算式列出来呢?
预设 生:+-
师:这是一个分数的混合运算,该怎样计算呢?今天我们就一起来学习分数的混合运算。
(板书分数加减混合运算)
[设计意图] 以表格的方式呈现其数据,因此让学生明白表格的意思是本例教学的首要环节。让孩子列出算式,尝试计算。
2.明确运算顺序,探究计算方法。
师:在这一道分数加减混合运算题中,你打算先算什么呢?为什么?
预设 生:先算+求出森林部分占公园面积的几分之几,再用+的和减去,就求出森林部分比草地部分多占公园面积的几分之几。
师:谁能总结下,这样没有括号的分数加减混合算式中,我们的计算方法是怎样的?
预设 生:在没有括号的分数加减混合运算中,要按照从左到右的顺序计算。
师:看来分数加减混合运算和整数加减法相同。
[设计意图] 联系题意,由题意出发,让学生理解为什么先算加法,再由此推断出分数加减混合运算与整数加减混合运算方法一样。并归纳出分数加减混合运算的方法。
师:请同学们试着算一算,分小组讨论你的计算方法。(集体交流计算方法,并把不同的计算方法板演出来)
方法一:+- 方法二:+-
=+- =+-
=- =
= =
3.两种计算方法对比。
师:两种方法有什么区别与联系呢?
预设 生1:两种方法都需要通分。
生2:两种方法都是先算加法,再算减法。
生3:方法一是先把前两个数通分,计算出结果后再和第三个数相减,也就是分步通分计算的;而方法二则是一次性把三个数都通分,然后再按照从左往右的顺序计算,
师:说一说你喜欢哪种计算方法,为什么?
预设 生:第二种方法相对要简便一些。
4.总结没有括号的分数加减混合运算方法。
师:谁能总结下没有括号的分数的加减混合运算方法是怎样的?
预设 生:要按照从左到右的顺序依次进行计算,计算时,可以分步通分也可以一次通分进行计算,并可以根据题目的特点和自己的情况灵活选择计算的方法。
师:看来分数加减混合运算和整数加减混合运算一样,要按照从左到右的顺序依次进行计算。
[设计意图] 让学生对比不同的算法,养成处处留意用简明、灵活的方法解决问题的习惯。当然3个分数直接通分有困难时,也可以按从左到右的顺序分步计算。
5.巩固练习。
+- -+
【参考答案】
二、教学例1(2),学习有括号的分数加减混合运算的运算顺序。
1.理解题意,分析解题方法。
师:老师这里还有一些信息,请看:
(出示表格2)
地貌类型 储存为地下水 地表水 其他
森林
裸露地面
师:从表中你能发现哪些数学信息?
预设 生1:降水量都分成了三部分,在森林中,储存为地下水占,地表水占,其他占;在裸露地面中,地表水占,其他占,问题是裸露地面储存的地下水占降水量的几分之几?
生2:三种情况的总和是单位“1”,也就是把降水量看作单位“1”,所以要求储存为地下水占降水量的几分之几,用“1”减去其他两种情况就可以了。
2.独立列式并全班交流。
师:裸露地面储存的地下水占降水量的几分之几?如何列式计算呢?
预设 生1:1--
生2:1-
师:尝试着计算,并板演不同的计算方法。
方法一:1-- 方法二:1-
=-- =1-
=- =1-
= =
师:比较这两种方法有什么不同。
预设 生:方法一是先求储存为地下水和其他一共占降水量的几分之几,再求储存为地下水占降水量的几分之几;方法二是先求地表水和其他一共占降水量的几分之几,再求储存为地下水占降水量的几分之几。
[设计意图] 呈现了两种不同的解题方法,一种是连续减,一种是带括号先加后减。通过对比,让学生体会解决问题的不同策略和方法,同时明确运算顺序:有括号的,要先计算括号里面的。
3.明确运算顺序,小结计算方法。
师:在计算方法上有什么注意的地方呢?
预设 生:加减混合运算中有小括号时,要先算小括号里的。
师:回忆一下例1的两个问题,小组讨论计算分数加减混合运算的一般方法。
(小组讨论,理解分数加减混合运算的运算顺序和整数加减混合运算的运算顺序相同)
预设 生:分数加减混合运算与整数加减混合运算的顺序相同,也是按照从左往右的顺序计算,带有小括号的,先算小括号里面的,再算小括号外面的。
4.巩固练习。
脱式计算:-
【参考答案】
三、教学例2,探究分数加减法的简算。
1.观察算式特点,大胆猜想规律。
师:(PPT课件出示例2)
下面每组算式的左右两边有什么样的关系?
+○+
+○+
师:大胆猜想一下○里应该填什么符号。
预设 生:都填等号。
师:说说你这样填的理由。
预设 生:第一个算式左右两边的数都一样,就是交换了位置,很像整数中的加法交换律;第二个算式只是改变了加的顺序,很像加法结合律。
[设计意图] 创设探究性的问题情境,让学生思考“不计算你就能知道填什么关系符号吗?”当学生判定两组算式相等时,可让学生思考整数加法的交换律、结合律对分数加法是否同样适用。
2.验证猜想。
师:那我们现在就来验证一下我们的猜想是否正确。(学生计算,填写符号)
师:同学们先计算一下每组的两个算式,然后观察这些算式,你发现了什么?
预设 生1:整数加法的运算定律也可以在分数中使用。
生2:整数加法的运算定律在分数中同样适用。
师:仅通过计算这两组题就下结论,有点为时过早。请你再举几个分数加法的例子来验证一下,看看我们得出的结论是否正确。
(学生组内验证,教师巡视指导,然后学生汇报通过验证得到的结论)
3.总结分数加减法的简算规律。
师:通过刚刚同学们的验证,不难发现整数加法的交换律和结合律对分数加法同样适用。利用运算定律可以使一些分数加法计算变得简便。
4.巩固练习。
(1) 在○里填上合适的运算符号,在( )里填上合适的数。
○=+
++=+
+=+
++=+
(2)怎样简便就怎样计算。
++ +++
【参考答案】 (1)+ + + (2)
1.完成教材第98页“做一做”第1题。学生自主完成计算题,完成后组织学生订正,并说一说是怎么计算的。
教师要注意引导学生说明运算顺序,并且强调计算结果需要约分。
2.完成教材第98页“做一做”第2题。学生独立完成,集体订正。
引导学生说清楚是利用什么加法定律简算的,简算的原因是什么,并强调计算的格式。
[设计意图] 通过一定的练习,进一步加深学生对知识与方法的应用,培养学生的计算能力巩固所学知识。
【参考答案】 1. 0 2.1 1 2
师:今天学习了什么知识?通过本课的学习,你们有什么收获?(学生自由发言)
预设 生:分数加减混合运算的顺序与整数加减混合运算的顺序相同。没有括号的,按照从左到右的顺序计算,有括号的,先计算括号里面的,然后计算括号外面的。
分数加法的运算律:整数加法的运算律在分数加法中同样适用。
作业1
教材第100页练习二十五第1,2,5题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)计算。
+-=
1-+=
-=
-=
-+=
+-=
2.(重点题)水果店运进橘子吨,卖了吨,又运进吨,现在水果店有橘子多少吨?
3.(难点题)用简便方法计算下面各题。
+++ ++
+- 1--
-1+ +
4.(易错题)对的打“√”,错的打“?”,并改正。
(1)9-+
=9-1
=8
( ) 改正:
(2)-+
=-
=
( ) 改正:
【提升培优】
5.(情景题)某商店4月份的任务额是10万元。实际上上半月完成了任务额的,下半月完成了任务额的。超额完成任务额的几分之几?
6.(探究题)快速算出下题的结果。
++++=
【思维创新】
7.(探究题)计算+++++。
【参考答案】
作业1:1. 2.1--=(m) 等腰三角形 5.+ +
作业2:1. 2.-+=(吨) 3.2 1 0 1 1 4.(1)? 改正:9-+=8+=8 (2)? 改正:-+=-=-= 5.+-1= 6.++++=1-= 7.+++++=+++++=1-+1-+1-+1-+1-+1-=6-+++++=6-=6-1+=5
分数加减混合运算 一般情况:按运算顺序计算 简便运算:加法结合律和加法交换律
1.情景的创设:计算题的内容枯燥平淡,很难激发学生的学习兴趣。因此根据“让学生在现实情境中体验和理解数学”的理念进行设计,教材以“云梦森林公园地貌情况对比”与“森林和裸露地面降水转化情况对比”为背景,引入不带括号的分数加减混合运算和带括号的分数加减混合运算这两种类型的分数加减混合运算。练习设计中也都充分利用生活素材,大大激发了学生的学习兴趣和参与意识。
2.重视算理探究过程,提倡算法多样化。理解算理、掌握算法是计算教学的关键。教学时,我注意让学生主动探索运算顺序和方法,组织学生进行交流,让学生亲身经历探索过程,获得新的运算方法。在说算理的过程中,图式结合,让学生更清晰思考的过程。说时引导学生把过程说完整,培养学生的数学表达能力。算法的选择上尊重学生的想法,各种算法各有优点,让学生用自己喜欢的方法算。
3.尊重学生,发挥学生的主动性。本课教学中始终以学生为主体,把学生作为学习的主动探索者。放手让学生自主解决“森林部分比草地部分多占公园面积的几分之几?”到后面的练习等,都发挥了学生的主动性。
在动手操作中,时间的把握需要控制好,否则后面的任务很难进行。同时在小组讨论交流的环节中,有的小组讨论的效果并不是很好。
以后在教学中,要多用正面鼓励的方法,对于肯动脑筋、积极思考的学生,要多表扬、鼓励,使这些学生能够成为全班学生学习的榜样,在学习中起到带头作用。还要合理安排好小组的组长,要充分发挥学生的长处。
【做一做·98页】
1. 2 0 1 2.1 1 2
简算:+++++。
[名师点拨] 可以应用加法交换律和加法结合律,先分别求出+和+++的值再计算比较简便。
[解答] +++++
=+
=+1
=1
【知识拓展】 整数加减法的一些运算性质可以应用到分数加减混合运算中。(1)在加减混合运算中,改变各部分的运算顺序,结果不变。(2)一个数加上两个数的差,等于这个数先与括号里的被减数相加,再减去括号里的减数。
埃及分数
3000多年以前,埃及人已发现了分数,但他们是把所有的分数都作为分子是1的分数来计算的,这种分子是1的分数称为单位分数或埃及分数。现在,人们仍对某些埃及分数感兴趣,因为它同数学的某些方面的发展有关系。最简单的问题是:1如何用不同的埃及分数的和来表示?如:1=++。你能不能用4个不同的埃及分数的和来表示1呢?
【参考答案】 1=+++=+++(答案不唯一)
第课时 解决问题
1.经历解决问题的全过程,探索解决问题的途径、策略和方法。体会图示在理解问题、分析解决问题中的作用,学习用几何直观分析解决问题。
2.感受数学知识与日常生活的联系,体会解决问题过程中的快乐。 培养学生迁移、类推和归纳、概括的能力。
【重点】 掌握分数加减运算在生活中的运用。
【难点】 用分数加减法解决问题。
【教师准备】 PPT课件。
方法一
师:同学们,你们喜欢喝牛奶吗?
预设 生:喜欢。
师:牛奶里含有多种有营养的物质,喝牛奶对身体非常有益处,今天我们就来学习下有关牛奶的问题。
[设计意图] 以牛奶的话题引入今天的新课,让学生对今天所学内容充满好奇,并且无形中体现了数学学习是与我们的生活息息相关的。
方法二
师:口算下面各题(PPT课件出示上节课的导入)。
+ + 4+
师:分数加减混合运算的顺序是怎样的?
预设 生:加减混合运算是同一级运算的,运算顺序是从左往右依次计算,遇到有括号的,先算括号里面的。+=,+=,4+=4。
师:大家分数加减法的知识掌握得真棒,今天我们就来运用分数加减法的知识解决我们生活中常见的问题。
[设计意图] 复习以前学习的内容,为用分数解决问题做好准备。
教学例3,灵活运用分数知识解决问题。
1.理解题意,发现问题。
师: (出示例3)请同学们把题目读一读, 同学们从题中知道了哪些信息?
预设 生1:乐乐一共喝了两次牛奶,第一次喝了杯,第二次喝了兑水后的杯。
生2:第二次喝的纯牛奶比第一次少。
生3:第二次喝的纯牛奶可能是杯。
生4:问题是乐乐一共喝了多少杯纯牛奶,多少杯水。
[设计意图] 让学生先用自己的语言说说题目的意思,通过阅读与理解,呈现对已知条件和问题进一步梳理和内化的过程。通过学生的表述,让学生感受解决问题的第一步是深入理解题目的意思,并在理解的基础上规范表达,将生活中的问题初步抽象成数学问题。
师:到底第二次喝了多少纯牛奶呢?下面我们就来研究这个问题。
2.动手操作,合作交流。
师:请大家拿出一张长方形的纸来表示这杯纯牛奶,我们一起来动手画一画,分一分。
(学生组内操作,教师巡视指导。 搜集学生资源,为下一环节的集体研讨做准备)
预设 生1:第一次喝完后,剩杯纯牛奶。喝了杯。
生2:加满水,纯牛奶还是只有原来的杯,水一共加了杯。
生3:又喝了加满水后的,也就是把杯的纯牛奶再平均分成2份,喝的纯牛奶就是其中的1份了。
3.解决问题。
把平均分成2份,就是把“1”平均分成4份,其中的1份就是。第二次喝的纯牛奶是杯,水是杯。
一共喝的纯牛奶:+=(杯)。
4.验证总结。
师:我们利用画图法得出的结论到底对不对呢?可以怎样检验?
预设 生:可以从剩下的半杯兑过水的奶考虑:剩下的杯中有一半的纯牛奶和一半的水,所以剩下的纯牛奶是杯,所以喝了杯纯牛奶是正确的。
师:解决这道题的关键是什么?
预设 生1:第二次喝了多少杯纯牛奶?
生2:每次喝的半杯中都是剩下纯牛奶的一半,第一次喝的是整杯纯牛奶的一半,第二次喝的是剩下半杯纯牛奶的一半。
师:关键步骤利用了什么知识?
预设 生1:分数的意义。
生2:分数加减法。
生3:画图法。
……
[设计意图] 放手让学生经历分析问题的过程,在组内交流中学生能够利用画图、语言表达的方式,明确数量关系。通过全班的交流,使学生感受到画图、文字标注的方式是分析解决问题的好帮手。
5.巩固练习。
一杯纯牛奶,乐乐喝了半杯后,觉得有些凉,就兑满了热水。又喝了半杯,觉得还是有些凉,就又兑满了热水。又喝了半杯,就出去玩了。他一共喝了多少杯纯牛奶?多少杯水?
【参考答案】 喝纯牛奶:++=(杯) 喝水:+=(杯)
1.完成教材第100页练习二十五第3题。学生自主完成,完成后组织学生订正,并说一说你是怎么想的。
教师需注意:引导学生审题,并且强调计算结果需要约分。
2.完成教材第100页练习二十五第4题。小组相互讨论,相互提问,解答。
教师需注意:引导学生学会提出问题,让所有同学参与其中。
[设计意图] 通过一定的练习,进一步加深学生对知识与方法的应用,培养学生的计算能力和巩固所学知识。
【参考答案】 1.第3题:1--= 2.第4题略。
师:今天学习了什么知识?通过本课的学习,你们有什么收获?(学生自由发言)
预设 生:学会了用分数的加减法解决生活中的数学问题。
作业1
教材第101页练习二十五第9题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)一根铁丝,第一次用去米,第二次用去米。两次共用去( )米。第二次比第一次多用去( )米。
2.(重点题)某商店八月份利润是4万元,比七月份多万元,两个月利润共多少万元?正确的算式是( )。
A.4+ B.4-
C.4-+4 D.4++4
3.(难点题)王师傅做一件工作要20天完成,他做了5天,还剩下这件工作的( )。
A.4 B.19
C. D.
【提升培优】
4.(情景题)暑假中五(1)班同学读书情况如下表。
读书本数 读书人数占全班人数的几分之几
一本
两本
三本
四本
(1)读( )本书的人数最多,读( )本书的人数最少。
(2)读一本书和两本书的同学占全班人数的几分之几?
(3)读两本以上(含两本)的同学占全班人数的几分之几?
(4)全班同学都参加了读书活动吗?
5.(探究题)某小学各年级学生人数情况如下:一、二年级有300人,三、四年级有320人,五年级有200人,六年级有180人。
(1)算出一二年级、三四年级、五年级、六年级学生人数各占全校总人数的几分之几,填在表内。
年级 一、二 三、四 五 六
占全校学生总人 数的几分之几
(2)你还能提出什么数学问题?并解答出来。
【思维创新】
6.(探究题)有三根跳绳,第一根比第二根短米,第三根比第二根短米,则第三根和第一根跳绳哪根长?长多少米?
【参考答案】
作业1:9.一个苹果平均切4份,每人得其中的3份。 6÷8==(个) 1÷8=
作业2:1. 2.C 3.D 4.(1)一 四 (2)+= (3)++= (4)+++= <1。答:没有全班都参加。
5.(1)
年级 一、二 三、四 五 六
占全校学生总人 数的几分之几
(2)如:五、六年级学生共占全校学生总人数的几分之几?+= 6.<,-=(米) 答:第一根长,比第三根长米。
解决问题
1.与生活中的内容息息相关,让孩子们能够很快进入解决问题的思维活动中。解决生活中的问题,让学生明白数学学习对生活的影响。
2.尊重学生,发挥学生的主动性。本课教学中始终以学生为主体,把学生作为学习的主动探索者,放手让学生自主解决问题,到后面的练习等,都发挥了学生的主动性。
在动手操作中,实践的把握需要控制好,否则后面的任务很难进行。同时在小组讨论交流的环节中,有的小组讨论的效果并不是很好。
以后在教学中,要多用正面鼓励的方法,对于肯动脑筋,积极思考的学生,要多表扬、鼓励,使这些学生能够成为全班学生学习的榜样,在学习中起到带头作用。还要合理安排好小组的组长,要充分发挥学生的长处。
【练习二十五·100页】
1. 2.1--=(m) 等腰三角形。 3.1--= 5.+ + 6.1 7. 8.提示: 根据计算可以归纳出一个重要的式子:-=(n是自然数且n≠0)。 +++=++-+=1-+-+-+-=1-= 9.6÷8==(个) 1÷8= 10.如图所示。
【?·101页】
提示:本题的难点是知道图形3,6,7的面积大小。在正方形中作适当的辅助线(如图所示),这样可以看到各
部分占正方形的几分之几,图形1占正方形的,图形2占正方形的,图形3,4,5,6,7分别占正方形的,,,,。从而可以解答出其他问题。解:如下表所示:
图形 1 2 3 4 5 6 7
面积占正方形 的几分之几
图形7和4共占:+= 图形3,4,5共占:++=
实验一附小举办美术作品大赛,设一、 二、三等奖若干名,获一、二等奖的人数占获奖总人数的,获二、三等奖的人数占获奖总人数的,获二等奖的人数占获奖总人数的几分之几?
[解答] 三等奖占:1-= 二等奖占:-=
【知识拓展】 整数加减法的一些运算性质可以应用到分数加减混合运算中。
你知道吗?
在我国古代,《九章算术》对分数四则运算法则就有详细论述,里面记录的方法、步骤与我们今天的基本相同。但是古埃及的分数运算是十分烦琐的,这与分数的表示方法有关用特殊符号表示分子为1的分数,分子不为1的表示为几个分子为1的分数之和,如表示成+。受古埃及的影响,欧洲人对分数计算的烦琐望而生畏。7世纪时,欧洲有个数学家解决了一道8个分数相加的计算题,这件事竟被看成是一个出色的成果。在德国常用一条谚语——“掉进分数里”来形容一个人所处的困境。
打电话
“打电话”的编排有下面几个特点。
(1)密切联系实际,精心选择活动素材。
生活实践中的数学无处不在,把实际生活中的“打电话”作为综合与实践活动的素材,具有以下特点。一是现实性,能和学生的生活经验、学习生活紧密关联,便于学生理解并易于开展实践活动;二是开放性,可以从多个角度采用多种方法开展研究,能充分展示学生之间的研究差异;三是实践性,能激发学生的探究欲望,使学生在有目的、有设计、有步骤、有合作的探索过程中积累数学活动经验。
(2)突出实践活动,让学生充分经历问题解决全过程。
“综合与实践”本质上是一种解决问题的活动,它有别于学习具体知识的探索活动,更有别于课堂上教师的直接讲授。它是教师通过问题引领,学生全程参与、实践过程相对完整的学习活动。因此,教师要引导学生对过程、形式、交流等参与实践的态度。
(3)重视反思评价。
“综合与实践”在强调“做”的过程中,还应重视实践活动过程中的思考以及反思评价,以帮助学生“逐步积累运用数学解决问题的经验”,提升实践智慧。教材在呈现教学内容和过程时,不只是关注最优方法的得出,还要引导学生对解决问题全过程进行回顾,梳理提炼解决问题的策略,培养学生联系实际、具体实施及解决实际问题的能力。
1.使学生通过日常生活中的一些简单事例,初步感受运筹思想以及对策论方法在解决实际生活问题中的作用。
2.通过指导学生用画图、列表格等方式发现事物隐含的规律,体会数形结合、推理、优化、模型等数学思想,进一步培养学生的归纳推理和解决简单实际问题的能力,经历有目的、有设计、有步骤、有合作的实践活动。
3.进一步体验数学与生活的密切联系,经历针对具体问题提出设计思路、制订简单方案解决问题的过程,培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【重点】 让学生探讨最优方案,通过画图的方式发现事物隐含的规律。
【难点】 让学生探讨最优方案。
【教师准备】 PPT课件、实物展台。
方法一
师:10个同学见面,每两个人都要握一次手,一共要握几次手?
预设 生1:10次。
生2:20次。
生3:45次……
师:大家的答案都不一样啊,为了验证这题的结果,我们请10位同学来做做实验。
(请10位同学,第1位同学顺次和另外9人握手,第2位同学与剩下8位同学握手……)
师:大家数数,一共握了几次?
预设 生:9+8+7+6+5+4+3+2+1=45
师:其实看起来没有规律的事情,也是有规律可循的,这节课我们就来探索一下生活中隐含规律的问题。
[设计意图] 开课用一件生活中的小事,激起孩子们的兴趣,用小游戏的形式吸引所有同学的注意,这样做让所有同学为接下来要学习的内容感兴趣。
方法二
师:我们的生活离不开电话,你们知道吗?打电话也有很多学问。今天这节课我们就从数学的角度一起来研究打电话的奥秘。
[设计意图] 开课指出这节课学习是与我们生活息息相关的,这节课是为了解决生活中的问题。直接导入新课,留更多的时间探索后面的内容。
(板书课题:打电话)
一、探究打电话方案。
1.提出问题,学生小议。
师:为了庆祝“六一”节,学校组织了一个15人的合唱组,星期五放学后老师收到紧急通知,要求合唱组第二天早上彩排,老师决定打电话通知他们。如果打一个电话需要1分钟,用什么方法可以使所有的人在最短的时间收到通知呢?
[设计意图] 充分利用学生的生活经验,提出各种各样解决方法,从中选择最好的方法。
2.小组活动,探讨方法。
师:请同学们以小组为单位设计一个打电话的方案。充分利用叙述、图式、颜色等方式表达出来,并算一算用几分钟。
(小组活动,教师参加研究,活动后汇报,交流分析)
预设 生1:我们是这样想的,老师先给3个组长打电话用了3分钟,然后由组长分别给4个同学打电话用了4分钟,一共用了7分钟。
生2:我们是这样标上时间的:
生3:第5分钟第1小组的组长给所有的组员打完电话了,但第3小组还有两个同学没接到电话。
生4:有办法,把第3小组的最后1个同学调到第1小组,可以使每个小组同时打完电话。我们组是这样画图的:
3.讲求策略,优化方案。
师:到底分几组,每组多少人才能最省时间呢?请同学们分组讨论,画一画,算一算。(小组活动后汇报)
预设 生1:我们把15个同学平均分成5个小组,每组3人,用了7分钟。
生2:我们组也把15个同学分5个组打电话,每个小组的人数分别是5人、4人、3人、2人、1人,又节省了2分钟。
生3:我们组分成4组来打电话,依次是3人、4人、4人、4人,用了7分钟。
生4:我们也是分4组,但比上一组少用了1分钟即6分钟,我们这样分组:5人、4人、3人、3人。
生5:不用考虑分7组了,因为这样最少要7分钟。
生6:分组太少也不行,这样组长给组员打电话的时间更多。
生7:最省时间的是分成5组,依次是5人、4人、3人、2人、1人。
生8:我发现需要的时间是分组数和最后一组组员数加起来。
师:同学们分析得很好,想了很多办法。我们回顾一下,为什么一次次地节省了时间呢?
预设 生1:因为想办法使更多人同时打电话。
生2:以上的方法组员在接到电话后是闲着的,其实他们也可以帮忙打电话呀。
生3:对,我们小组原来就是这样设计的。第1分钟由老师打给1个同学,有1个同学收到通知;第2分钟由老师和这个同学同时打电话,有2个同学新收到通知;第3分钟由老师和这3个同学同时打电话,有4个同学新收到通知;第4分钟由老师和这7个同学同时打电话,有8个同学新收到通知,这时收到通知的一共15个同学,所以4分钟就通知完15个同学。
[设计意图] 从逐个通知到分组通知,再到相互转告的通知方法,让学生在举例和比较多种方案中亲历优化的过程。在比较、交流中,学生的思维活跃了,方法优化了。
二、选出最优方案。
师:你会选择哪种方案呢?请说说理由。
预设 生1:当然是最后一种,因为这样打电话最省时间了。
生2:安排打电话的先后顺序用去的时间也不少,当你安排好了,可能用分组的方法已经打完电话,还是分组打电话比较快。
生3:我认为选择哪种方法还要看需要通知的人数,人数多就应该分组,人数少就用最后一种方案。
生4:可以这样,分组由老师安排,小组内打电话的先后顺序由我们安排。
师:你们的见解都有道理。在安排好先后顺序的情况下,后一种方案的速度是很快的,当中还隐含着数学规律,你们找找看。(小组讨论后汇报)
预设 生:我发现每一分钟新接到通知的人数分别是1,2,4,8,每一个数都是前一个数的2倍。
师:按照这样的规律,下一分钟新收到通知的人数有多少?
预设 生:16人。
(板书:第4分钟共有1+2+4+8=15人收到通知)
师:还有别的方法算出这个总和吗?大家讨论一下。
预设 生:我发现可以用每一分钟新得到通知的人数乘2减1就是到这分钟的时候收到通知的学生总数了。例如第4分钟接到通知的学生的总数是8×2-1=15人。
(板书:第4分钟共有8×2-1=15人收到通知)
师:同学们真用心思考。按照上面的规律计算,如果时间是5分钟,最多可以通知多少人?
预设 生1:31人,刚才第4分钟有15人收到通知,第5分钟有16人新收到通知,15加16等于31人。
(板书:第5分钟共有15+16=31人收到通知)
生2:我的算法不同,第5分钟有16人新收到通知,第5分钟共有16×2-1=31人收到通知。
(板书:第5分钟共有16×2-1=31人收到通知)
师:如果要通知50人,最少需要多少时间?
预设 生:第5分钟时有31人收到通知,加上老师共有32人再同时打电话,说明第6分钟有32人新收到通知,31加32一共是63人收到通知,所以通知50人需要6分钟。
(板书:第6分钟共有31+32=63人收到通知)
[设计意图] 把主动权交给学生,让学生先独立思考,再展示、交流、汇报作品,教师适当引导,使学生经历最优方案的生成过程,培养学生的逻辑思维能力与语言表达能力。
三、研究最优方案,从中发现规律。
师:列表表示每分钟通知的队员人数和每分钟增加的人数。(师生共同完成)
第n分钟 1 2 3 4 5 6 7 …
第n分钟新接到通知的队员数 1 2 4 8 16 32 64 …
到第n分钟所有接到通知的队员和老师的总数 2 4 8 16 32 64 128 …
到第n分钟所有接到通知的队员的总数 1 3 7 15 31 63 127 …
师生共同总结规律:
(1)每增加1分钟,新接到通知的队员数是前面所有接到通知的队员数和老师数的总和,也就是第n分钟所有接到通知的队员和老师的总数是前(n-1)分钟所有接到通知的队员和老师的总数的2倍。
(2)第n分钟新接到通知的队员数是2n-1人。到第n分钟所有接到通知的队员和老师的总数是2n人。到第n分钟所有接到通知的队员总数是(2n-1)人。
[设计意图] 用表格的形式,让学生通过观察、分析,克服思维的表面性,抓住事物的内在规律和本质特点,建立数学模型。
如果一个合唱团有55人,每分钟通知1人,最少花多长时间就能通知到每个人?
【参考答案】 55人的合唱团最少花6分钟就能通知到每个人。
师:这节课,学习了哪些知识?你有什么收获?
预设 生1:知道了找规律要按照一定的顺序找。
生2: 通知到的队员总数为(2n-1)人,其中n表示时间。
生3:在用最优方案打电话时,事先要设计好打电话的流程,也就是每个队员要清楚他接到电话后,后面要怎样继续通知其他队员。
打电话 第1分钟:1(人) 第2分钟:1+2=3(人) 第3分钟:1+2+4=7(人) 第4分钟:1+2+4+8=15(人) 8×2-1=15(人) 第5分钟:15+16=31(人) 16×2-1=31(人) 第6分钟:31+32=63(人)
爱因斯坦曾说过:“要提出一个问题往往比解决一个问题更为重要。”教学时,教师要引导学生不断思考、发现问题。如,开始时,要引导学生发现问题“该如何设计打电话方案呢?”在讨论“分组通知”时引导学生发现问题,“分组讨论”时,引导学生发现问题“是不是分的组越多用的时间越少”。
本节课内容多是以小组讨论的形式出现,课堂有些嘈杂,孩子多处于兴奋状态,时间也很难控制,孩子们讨论的时间需要提前计划好,否则很难将教学任务完成。
以后在教学中,要多用正面鼓励的方法,对于肯动脑筋、积极思考的学生,要多表扬、鼓励,使这些学生能够成为全班学生学习的榜样,在学习中起到带头作用。还要合理安排好小组的组长,要充分发挥学生的长处。由于个体的差异,并不是所有学生都能达到最优策略的要求。教师要尊重学生的差异,保护他们参与的热情,保证每个人都全程参加。
第6单元阶段测评 (时间:60分钟 满分:100分)
一、填一填(13分)
1.“-”表示( )个减去( )个,差是( )个。
2.“+”不能直接相加,是因为它们的分母不同,也就是( )不同,所以必须先通分,再计算。
3.一本故事书,小明已看了全书的,还剩下全书的( )没有看。
4.分数单位是的所有最简真分数的和是( )。
5.比较大小:
1-○
+○
+○+
6.甲数是,乙数是,甲、乙两数的和是( ),甲、乙两数的差是( )。
7.把7米长的绳子平均分成6份,每份长( )米,5份是这根绳子的( )。
二、我是聪明的小法官(对的打“√”,错的打“?”)(12分)
1.+==。 ( )
2.和的大小相等,但分数单位不同。 ( )
3.异分母分数相加、减,应先把分子化成相同的数再计算。 ( )
4.-=--。 ( )
三、计算(48分)
1.直接写得数。(20分)
+= +=
+= 2+=
-= +=
-= -=
-= +=
2.解方程。(12分)
x+= x-=
x-= x+=
3.计算,能简算的要简算。(16分)
45-
3-1+0.75
5+6+3+
15-3-2
四、解决问题(27分)
1.一个人一天中大约有的时间用于睡眠,的时间用于进餐,的时间用于活动,剩下的时间用于学习或工作。(16分)
(1)每天用于睡眠、活动的时间一共占一天时间的几分之几?(5分)
(2)每天用于学习或工作的时间占一天时间的几分之几?(5分)
(3)你还能提出哪些数学问题?请提出问题并解答。(6分)
2.王叔叔打印一份稿件,第一天打了整份稿件的,第二天打了整份稿件的,剩下的第三天打完。第三天打了整份稿件的几分之几?(5分)
3.方方看一本书,第一天看了全书的,第二天看了全书的,第三天看完这本书。第二天比第三天多看了全书的几分之几?(6分)
★附加题
有甲、乙两壶油,甲壶油重千克,如果倒给乙壶千克,那么两壶油同样重,两壶油共重多少千克?
【参考答案】
一、1.11 5 6 2.分数单位 3. 4.1 5.> < = 6. 7.
二、1.√ 2.√ 3.? 4.?
三、1.1 2 2.x= x= x= x= 3.16 2 16 10
四、1.(1)+= (2)1-= (3)略 2.1-= 3.1--= -=
附加题 把甲壶里的油倒给乙壶千克,这时甲壶里的油减少了千克,乙壶里的油增加了千克,这时两壶油同样重,所以乙壶里的油原重为--=(千克)。两壶油共重+=1(千克)。