人教版五年级下第8单元　数学广角——找次品授课教案

五年级数学·下 新课标[人]
第8单元　数学广角——找次品


本单元以“找次品”这一探索性操作活动为载体,让学生通过观察、猜测、试验等方式探索解决问题的策略。同时,进一步理解随机事件,感受解决问题策略的多样性和优化思想,培养观察、分析、逻辑推理的能力,并学习如何用直观的方式清晰、简洁、有条理地表示逻辑推理过程。
对解决问题的策略的研究学生已经不是第一次接触,此前学习过的“沏茶”“田忌赛马”“打电话”等都属于这一范畴,在这几节课的学习中,对简单的优化思想方法、通过画图的方式发现事物隐含的规律等都有所渗透,学生已经具有一定的逻辑推理能力和综合运用所学知识解决问题的能力。另外,本节课中会涉及的“可能”“一定”“可能性的大小”等知识点学生在此之前都已学过。
本节课学生的探究活动中要用到天平,在以前学习等式的性质等知识时,学生对天平的结构、用法以及平衡与不平衡所反映的信息都已经有了很好的掌握。
小组合作交流、自主探究的学习方式已被广大学生所接受,成为学生比较喜爱的主要学习方式,在小组学习中学生能够较好地分工、合作、交流,较好地完成探究任务。


让学生初步认识“找次品”这类问题的基本解决手段和方法。能够借助纸笔对“找次品”问题进行分析,归纳出解决这类问题的最优策略,经历由多样到优化的思维过程。

学习如何用直观的方式清晰、简洁、有条理地表示逻辑推理过程。

以“找次品”为载体,让学生通过观察、猜测、试验、推理等活动,体会解决问题策略的多样性及运用优化的方法解决问题的有效性。

感受到数学在日常生活中的广泛应用,尝试用数学的方法来解决实际生活中的简单问题,初步培养学生的应用意识和解决实际问题的能力。培养学生团队协作的精神及动手操作能力。

【重点】　让学生初步认识“找次品”这类问题的基本解决方法。体会解决问题策略的多样性及运用优化的方法解决问题的有效性。
【难点】　用图形和符号等表示“找次品”这类问题的思路和基本解决方法。

1.重视小组合作与交流。
本单元内容的探究性比较强,可以采取小组讨论探究的方式教学。教学时,可先给学生充足的探究时间和空间,让他们去比较、观察、讨论,找到解决问题的多种策略。在探索中教师应提醒学生把所有的可能性都考虑进去。小组讨论后,教师可要求学生分组汇报结果,并逐一展示,让学生感受到同一问题有多种解决方案,为后面寻求最优的解决策略打下研究、分析的基础。
2.让学生充分经历“比较——猜想——验证”的过程,寻求找次品的方法。
“找次品”的最优策略有两个要点:一是把待测物品分成3份,二是尽量平均分。这是本单元教学的重点以及难点。如何遵循学生的认知特点,引导学生突破这一难点呢?教学中可以按照教材的编排,通过有层次的、丰富的探究活动,让学生在自主探索中体会,逐步地进行归纳。
3.有意识地进行数学思维过程表达的教学。
逻辑推理是贯穿本节课始终的重要思想方法。在“找次品”的过程中,为使别人明白自己是怎么解决问题的,学生需要清晰、有条理地表示出逻辑推理的过程。而这点也正是本单元的重点和难点。虽然口头和文字表达可以说明思维过程,但更要有意识地引导学生尝试用画直观图、流程图并配有文字说明的方式表示逻辑推理的过程,使学生逐步学会用数学化的方式表达思维过程。
4.引导学生用直观方式清晰地表达出推理过程。
用天平找次品,并不是一定要通过天平称,而是利用天平平衡的原理通过逻辑推理确定出次品。因此,在用天平直观说明找次品的基本推理过程后,要引导学生用直观、简明的方式,清晰地表示出推理过程,进一步理清思路,为后面数量更多的找次品问题做好认知和方法上的准备。
在进行说理时,教师要引导学生尽量用规范的语言“假如平衡……假如不平衡……”来表述,并理解这是两种情况。推理时,教师也要引导学生用格式大致统一的直观图或流程图辅以文字说明来记录和推理。这一点对于学生后面的学习尤为重要。当然,教材上的直观图只是一个范例,学生也可以有自己的不同表示方法,只要合理,教师都应给予肯定。




找次品





“找次品”问题是一类经典的数学问题,可以细分为许多类型,有的类型解决起来相当复杂。教材选择了比较简单的一类作为例题,即:有n个从外表看完全相同的零件,其中一个是次品,次品比合格品重(或轻)一些。假如用没有砝码的天平称,最少称几次就能保证找出这个次品。
因此教材从例题到习题,不断引导学生学习用符号、文字直观并简洁地表示思维过程,使学生在潜移默化中学会用数学语言表达,有意识地培养学生思维的条理性、逻辑性和准确性。

1.通过比较、猜测、验证等活动,探索解决问题的策略,渗透优化思想,感受解决问题策略的多样性,培养观察、分析、推理能力。
2.学习用图形、符号等直观方式清晰、简明地表示数学思维的过程,培养逻辑思维的能力。
3.通过解决实际生活中的简单问题,初步培养学生的应用意识和解决实际问题的能力。

【重点】　借助实物操作、画图等活动理解并解决简单的“找次品”问题,在此基础上归纳出解决这类问题的最优分组策略,经历由多样化到优化的思维过程。
【难点】　寻找被测物品数量与保证找到次品至少需要称的次数之间的关系。

【教师准备】　方片纸。
【学生准备】　方片纸。


方法一
师:(出示图片或影音资料)1986年1月28日,在美国佛罗里达的卡那维拉尔角,上午11时38分,挑战者号航天飞机点火升空,可只飞了73秒,“挑战者”就发生爆炸,机上七名男女宇航员全部遇难,全世界为之震惊。事后调查得知失事原因是燃料箱上一个圆形封环由于在低温下变形,发生燃气泄漏,引爆外部燃料导致的。大家听后有什么感想?
预设 生1:我们要学习宇航员为科学献身的精神。
生2:小小的误差就会酿成大祸,说明做事情要一丝不苟,我们的数学学习更马虎不得!
师:同学们的认识很好。做事和学习都要讲究科学性,这次航天飞机发射前如果能检测出次品零件就不至于出事了。今天我们就来学习“找次品”。(出示课题“找次品”)
[设计意图]　创设学习情境,让学生在观看影片的过程中,亲身经历“挑战者”号从发射到爆炸的全过程,从机毁人亡的事件中感受到次品的危害,激发学生学习“找次品”方法的兴趣。
方法二
师:重量达不到合格品的标准,这样的商品叫次品,这节课我们就作为小小质检员,一起想办法找出这些次品。
(板书课题:找次品)
[设计意图]　直接引入课题,让孩子快速明确目标。留更多的时间让孩子探究。

一、教学例1,学会利用天平平衡原理找次品。
1.引出找次品的主要工具天平。
师:有3瓶钙片,其中1瓶少了3片。你能设法把它找出来吗?
预设 生1:可以用手掂一掂。
生2:可以用秤称一称。
生3:可以用天平。
师:你认为哪种好?为什么?
预设 生:我认为天平好,因为一片钙片很轻,用天平称量更准确。
师:这节课我们就来讨论如何利用天平来称的方法来找次品。
[设计意图]　“找次品”的问题学生之前很少接触,没有相关的学习与生活经验。在教学时,将课本上,找钙片次品,转变为用方片纸代替,让所有孩子动手操作。
2.3个中找次品的方法探究。
师:那怎样找出三个中的次品呢?现在请你先自己想一想,然后和同桌说一说自己的想法。(学生自由讨论,每组用标号的方片纸1 2 3演示)
师:好,谁有自己的想法了,到前面演示给大家看,注意:边演示边说说你的想法。
(学生汇报方案并上台边讲边演示)
预设 生:将1和2放在天平两侧,如果天平平衡了,那么次品就是3,如果天平没有平衡,那么轻的那端就是次品。
师据生回答板书:

[设计意图]　用方片纸直观演示,说明基本推断过程并规范语言:如果天平平衡……如果天平不平衡……为后面探索“找次品”问题的策略提供依据。
3.巩固练习。
有5袋糖,其中4袋质量相同,有一袋质量不足,至少称几次就保证一定能找出次品?
【参考答案】　2次。
二、教学例2,学会运用优化策略解决问题。
1.理解题意,动手探究。
师:8个零件里有1个是次品(次品重一些)。假如用天平称,至少称几次就保证一定能找出次品?(出示PPT)
师:“至少称几次就保证……”是什么意思?
预设 生:是指肯定能找出次品的最少次数吧。
师:你们打算怎样表示找次品的过程?
小组之间请用圆片纸摆一摆,想一想,相互探讨并将探究过程记录在表格中。
每次每边放的个数 分成的份数 至少要称的次数






　　出示圆片纸:

(每组用标号圆片演示,小组之间讨论)
[设计意图]　利用标号的圆片纸,将抽象问题具体化。让学生之间自由探究,不限制学生的思维,既达到小组合作目的,也锻炼了孩子们的思维能力。
2.汇报探究结果。
师:分别请称4次、3次、2次的小组代表介绍本组的方法。
(学生汇报方案并上台边讲边演示)
师据生回答板书:

师:每次只称1个的小组为什么需要的次数比较多?
预设 生:每次称的件数太少。
师:每次每边称4个的小组为什么反而不如每次每边称3个的小组完成得快?
预设 生:每次每边称3个,称一次就可以将次品确定在更小的范围内。
[设计意图]　有了前面讲解的基础,学生已经知道找次品的基本推理思路,这里教材在让学生理解了“至少称几次能保证找出次品”的含义后,直接提出“你们打算怎样表示找次品的过程”让学生自己探索。
3.记录表格整理。
每次每边放的个数 分成的份数 至少要称的次数
1 4(2,2,2,2) 4
2 4(2,2,2,2) 3
4 2(4,4) 3
3 3(3,3,2) 2

　　4.概括最优化策略。
师:如果8个零件中有1个次品(次品重一些),至少称几次能保证找出次品?怎么称?
预设 生:分成(3,3,2)三份,每边3个,如果天平平衡,次品在剩下的2个零件中;然后再每边称1个,次品就是天平下沉一端所放的那个零件。如果天平不平衡,次品在天平下沉一端所放的3个零件中。然后再每边称1个,如果天平平衡,次品就是剩下的那1个零件;如果天平不平衡,次品就是天平下沉一端所放的那个零件。
师:如果9个零件中有1个次品(次品重一些),至少称几次能保证找到次品?是怎么称的?
预设 生:平均分成三份,每边3个,如果天平平衡,次品在剩下的3个零件中;如果天平不平衡,次品在天平下沉一端所放的3个零件中。然后再每边称1个,如果天平平衡,次品就是剩下的那1个零件;如果天平不平衡,次品就是天平下沉一端所放的那个零件。
师:你发现了什么?
预设 生1:将所有零件分成三部分,保证找到次品需要的次数最少。
生2:分成三份,都相等或接近相等,称的次数最少。
师:对,换句话说,尽可能地将待测物品平均分成3份,称的次数最少。注意体会“尽可能平均分”的意思。
师:用你发现的方法找出10个、11个零件中的1个次品,次数也是最少的吗?
预设 生:是最少的。
5.巩固练习。
有19瓶同样的水,我往其中1瓶中加了一些盐。同样体积的水,盐水稍重一些。如果用天平称,至少称几次能保证找出加盐的那瓶水?
【参考答案】　3次。
[设计意图]　通过一定的练习,进一步加深学生对知识与方法的应用,培养学生的应用意识,发展学生的解决问题的能力。

1.完成教材第113页练习二十七第1题。学生独立完成,完成后组织学生集体订正。
学生通过这道题,回顾例1所学内容,教师再次强调格式。
2.完成教材第112页“做一做”。学生独立完成,完成后组织学生集体订正。
通过这一题,让学生更深刻地明白:在找次品时,把所有物体分成3份,每份尽量平均时,保证找出次品的次数最少。
【参考答案】　1.次品是5,至少要称2次。　2.至少称4次。

师:这节课你收获了什么?
预设 生:把总个数平均分或者尽量平均分成3份来称找次品,这是最优的方法,所用的次数是最少的。
师:同学们这节课上得不错,其实在日常生活中,我们经常会遇到这样的问题,希望同学们多观察、多思考,从而发现更多知识。

作业1
教材第113页练习二十七第2,4题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)填一填。
(1)有5包糖果,用天平找出质量不足的一包,保证能找出质量不足的一包至少需要称(　　)次。
(2)有15盒饼干,其中有1盒少了几块,用天平称,至少称(　　)次能保证找出这盒饼干。
(3)有8瓶水,其中7瓶的质量相同,另外1瓶是糖水,比其他水略重一些,至少称(　　)次能保证找出这瓶糖水。
2.(难点题)我是聪明的小法官。(对的打“√”,错的打“?”)
(1)用天平找次品时,所称物品的数目与称的次数成倍数关系。 (　　)
(2)找次品(只含有一个次品)的最优策略是将待测物品尽量均分成3份。 (　　)
3.(重点题)有3瓶口香糖,其中1瓶少4粒,请你设计一个方案,用天平把它称出来。
4.(易错题)有5袋食盐,其中4袋每袋重500克,另外1袋不是500克,且比500克重一些。你能用天平找出重的那袋食盐吗?
【提升培优】
5.(变式题)有12袋方便面,其中11袋的质量相同,另外1袋缺5克,用天平称,至少称几次能保证找出这袋缺5克的方便面?
【思维创新】
6.(重点题)有27个碟子,其中一个是次品,次品比正品轻一些。现在有一个天平,至少称多少次能保证把次品找出?
【参考答案】
作业1:2.(1)
(2)2次　(3)能　(4)有可能一次称出来,但不能保证称一次就可以称出来。如果天平两端各放4筐,这时天平恰好平衡,那么剩下的那筐就是小松鼠吃过的,这样只称一次就找出了小松鼠吃过的那筐松果;如果不平衡,那么就需要再至少2次才能保证称出来。　4.把15盒平均分成3份,3次可以保证找出较轻的那盒饼干。
作业2:1.(1)2　(2)3　(3)2　2.(1)?　(2)√　3.先拿2瓶放在天平的左、右两边,如果平衡,那么剩下的那瓶是少的;如果不平衡,那么轻的那瓶是少的。　4.先拿4袋,放在天平的左、右两边各2袋,如果平衡,那么剩下的一袋就是要找的;如果不平衡,那么重的那边有要找的,把重的这边的2袋放在天平上再称一次,就能找到重的那袋。　5.3次　6.3次

找次品 3个中找次品: 归纳出表格: 每次每边放的个数分成的份数至少要称的次数14(2,2,2,2)424(2,2,2,2)342(4,4)333(3,3,2)2




(1)导入激发学生学习热情。
首先,我以课题提问导入,抓住学生好奇心理(什么是次品?怎样找次品?等等一些问题),课一开始,发挥学生对新课学习的积极性和主动性,形成主体意识。而后又加以课件来解决他们心中的某些疑问,这样能激发学生学习的热情。
(2)过程注重循序渐进。
然后,我让学生先从3瓶钙片中找少了3片的一瓶钙片,在学生有初步体验的基础上,再过渡到从5个、9个、12个中找次品。这样首先是一次验证,其次加深了学生的体验。为了解决概括需要例子的充分性和课堂时间的有限性的矛盾,本节课我还提供部分典型的数据,既节省了时间,又很好地提供了归纳优化的数据。其次,充分的动手操作和幻灯片直观演示是学生分析找次品次数的基础。本节课是属于思维训练课,所以难度较大,比较抽象,学生学起来会有困难,特别是对学习能力中下的学生。这节课我给每个学生提供了学具,让学生借学具模拟称一称,并小组交流方法,同学间相互帮助,让学生都能理解了找次品的基本方法和基本原理,为接下来符号化分析过程打下了基础。

1.本节是思维训练课,但最终是不是所有的同学的思维都得到了不同的发展呢?现在反思一下,确实课堂上还有一部分同学一直很“安静”,那就是他们的思维根本就没有调动起来。
2.所用的图示的办法应该多做讲解,要让每一位学生能熟练地运用它。
3.没有采用形式多样的教学手段,不能充分调动所有学生的学习积极性。我认为上好这节课应该从以上几点进行调整。

关注学生的生活经验,重视小组合作与交流。在教学时,教师给学生足够的独立思考的时间,让他们充分地操作、实验、讨论、研究,初步找到解决问题的多种策略。在活动中出现了一些共性的问题,这时教师建议学生小组合作学习集中解决。活动完成后,教师要求学生分组汇报结果,并在屏幕上一一展示,让学生感受到同一问题却有多种解决方案,同时也为后面寻求最优的解决策略打下了研究、分析的基础。学生通过小组活动探究找到解决问题的方法,在活动过程中逐步养成合作、交流的习惯。

【做一做·112页】
至少称4次能保证找出这瓶盐水。
【练习二十七·113页】
1.5　至少要称2次。
2.(1)
(2)2次　(3)能　(4)有可能一次称出来,但不能保证称一次就可以称出来。如果天平两端各放4筐,这时天平恰好平衡,那么剩下的那筐就是小松鼠吃过的,这样只称一次就找出了小松鼠吃过的那筐松果;如果不平衡,那么就需要再至少2次才能保证称出来。　3.提示:爸爸和小明的年龄差是不变的,现在和3年后两人的年龄差一样,可以用方程来解,比较简单。解:设小明今年x岁,则爸爸为(x+24)岁。列方程为x+24+x=44,解得x=10,所以今年小明10岁,爸爸34岁。　4.把15盒平均分成3份,3次可以保证找出较轻的那盒饼干。

5.
6.第一次天平两边各放一袋白糖,若天平平衡,则剩下的那袋是次品,再称一次就能判断次品是轻还是重了;若天平不平衡,则这两袋中一定有一袋是次品,可取下轻(或重)的那袋,把剩下的那袋放上天平,若天平平衡,则轻(或重)的是次品,若天平不平衡,则重(或轻)的是次品。
【你知道吗?·114页】
(1)要保证6次能测出次品,待测物品可能是244~729个。　(2)从表中可以发现:只要待测的物品数量介于3n-1+1~3n之间,则最多只需要测n次就能保证找出次品,在计算过程中应知道3n中的n是几就是几个3相乘,如:36=3×3×3×3×3×3。


　有10瓶同样的消炎药片,其中1瓶被吃了3片。用天平称,至少称几次就一定能找出吃了3片的那瓶药?
[名师点拨]　我们可以把过程表示为:10→(3,3,4)→天平两边各放3瓶
[解答]　至少称3次就一定能找出吃了3片的那瓶药。
【知识拓展】　人们在试验中总结出:用天平找次品时,所辨别物品的数目与称量的次数之间有以下关系(只含一个次品,已知次品比正品重或轻):
要辨别的物品数目 保证能找出次品需要 至少称的次数
2~3 1
4~9 2
10~27 3
28~81 4
82~243 5
… …


巧辨金球(找次品)
老虎大王送8颗金球给狮子大王作为缔结盟约的信物。传唤了半天也不见野猪将军送过来,便派猴丞相去催催。
到了库房,看到野猪将军急得满头大汗,原来,不小心把一颗铜球掺杂到8颗金球中去了。这可怎么办呢?老虎大王正催着呢,再慢点可是会要掉脑袋的。
猴丞相从库房找到一架天平,折腾了3次就找出了铜球。赶紧和山羊工匠一起进献了金球。
退朝后,野猪将军找到猴丞相,满怀感激地说:“谢谢你了,丞相。你能告诉我,你怎么这么快就找到了铜球?”
猴丞相笑着说:“先将9颗平均分成3份,每份都是3颗。第一次称量,将其中的2份放在两边,如果两边一样重,说明假的在第3份中,但是我们不知道真的和假的孰轻孰重,因此我们需要称量第二次,将假的那份与真的那份进行比较,就能知道假的比较轻了。”
“可哪有这么巧的事情,如果第一次称量下来两边就不一样重呢?”野猪将军问。
“如果一边较重,我们迅速称第二次,将第三份放到重的那边,如果变一样了,说明假的重;如果还是那边重,说明假的轻。”猴丞相说得很详细,“这样我们将假的那份中的3颗接着也平均分成3份,每份1颗……”
“哦,我知道了!”野猪将军接着说:“如果一样重,说明剩下的那颗就是假的,如果有轻重,可以根据第二次称量的结果知道真假的轻重,从而找到假的金球。”
猴丞相说:“对的。要从多个物品中找一个与众不同的,要把物品平均分成3份,如果不能平均分成3份,就尽量平均分成3份,也就是最多的那份与最少的那份的个数只差1个。用这样的方法就能把与众不同的物品找出来了。”
第7,8单元阶段测评 (时间:60分钟　满分:100分)

一、填空(42分)
1.学校气象小组绘制一幅统计图,统计上周每天平均气温的高低及其变化情况,应该选用(　　)统计图。
2.要统计一名运动员一周的成绩用(　　)折线统计图,要统计全国一年内固定电话和移动电话用户增长情况用(　　)折线统计图。(填“单式”或“复式”)
3.如图是某厂2009年至2014年产值情况统计图。

(1)这个厂六年的平均产值是(　　)万元。
(2)2011年比2009年的产值下降了约(　　)%。(百分号前保留一位小数)
(3)从总的情况分析,这个厂的产值呈(　　)趋势。
4.如图是某地今年1~5月份降水量统计图。

(1)降水量最多与最少的月份相差(　　)毫米。
(2)这五个月的平均降水量是(　　)毫米。
(3)3月份降水量比2月份的增加了(　　)%。
5.下图是两个工厂产值的变化情况,由这幅图提供的信息可知2010~2011年(　　)厂的产值没变化;2014年乙厂产值达(　　)万元,甲厂产值达(　　)万元。

6.从9件物品中找出其中1件次品,把9件物品分成(　　)份称较为合适。
7.有13瓶水,其中12瓶质量相同,另外有一瓶是糖水,比其他水略重一些,至少称(　　)次能保证找出这瓶糖水。
二、解决问题(58分)
1.小红到离家6千米的一个风景区游玩。

请根据上图中的折线图回答:(24分)
(1)小红在风景区玩了多长时间?
(2)如果一直走不休息,她几时几分可到达风景区?
(3)小红骑车回家时每小时行多少千米?
2.兴隆商场甲、乙两种品牌彩电2013年各月销售量统计如下。(26分)

(1)请你根据表中的数据,画出折线统计图。(8分)
兴隆商场甲、乙两种品牌彩电2013年各月销售量统计图

(2)看图回答问题。(18分)
①甲品牌几月份的销售量最高?几月份的销售量最低?乙品牌呢?
②甲品牌9月份销售量是乙品牌9月份的几分之几?
③如果你是商场经理,从上面的统计图中能得到哪些信息?对你有什么帮助?(写出一条即可)
3.已知一堆物品中有一个次品(比正品轻),如果至少称3次就能保证找出这个次品,那么这堆物品至少有多少个?最多有多少个?(8分)
★附加题
　下图表示的是甲、乙两位同学从A地出发,骑自行车在同一条路上行驶到B地的距离与时间的关系,根据图形回答下列问题。

(1)甲、乙两位同学谁先到达B地?
(2)哪位同学中途休息了?休息了多长时间?
(3)乙同学的速度是多少?
【参考答案】
一、1.折线　2.单式　复式　3.(1)8500　(2)14.3　(3)上升　4.(1)45　(2)45　(3)12.5　5.甲　600　400　6.3　7.3
二、1.(1)因为9:00到10:00之间平均分成了2个时间段,每段30分钟,所以小红在风景区玩了30分钟。　(2)因为8:00到9:00之间平均分成了3个时间段,每段60÷3=20(分钟),所以小红中间休息了20分钟。如果一直走不休息,她8:40就可以到达。　(3)9:00到10:00之间平均分成了2个时间段,每段30分钟,即小时。6÷=12　答:小红骑车回家时每小时行12千米。　2.(1)如下图所示。

(2)①1月份,12月份　12月份,2月份　②35÷56==　③乙品牌彩电销量逐步上升,今后多进乙品牌彩电。(合理即可)　3.最少:3×3+1=10(个)　最多:3×3×3=27(个)
附加题　(1)乙同学先到达B地。　(2)甲同学中途休息了,休息了0.5小时。　(3)18÷2=9(千米/时)