滚动训练五(§4.1～§4.2)
一、选择题
1．若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上的点到直线4x－3y－2＝0的最近距离为1，则半径r的值为( )
A．4 B．5 C．6 D．9
答案 A
解析 由题意可得，圆心(3，－5)到直线的距离等于r＋1，
即＝r＋1，
求得r＝4.故选A.
2．若方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆取得最大面积，则直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α等于( )
A．45° B．135°
C．60° D．120°
答案 B
解析 将圆x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0化成标准方程，
得2＋(y＋1)2＝1－，
∴r2＝1－，
当圆取得最大面积时，k＝0，半径r＝1，
因此直线y＝(k－1)x＋2，即y＝－x＋2.
得直线的倾斜角α满足tan α＝－1，
∴α＝135°.
3．若直线l：y＝kx＋1(k<0)与圆C：x2＋4x＋y2－2y＋3＝0相切，则直线l与圆D：(x－2)2＋y2＝3的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
答案 A
解析 因为圆C的标准方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝2，所以其圆心坐标为(－2,1)，半径为.因为直线l与圆C相切，所以＝，解得k＝±1，因为k<0，所以k＝－1，所以直线l的方程为x＋y－1＝0.圆心D(2,0)到直线l的距离d＝＝<，所以直线l与圆D相交．
4．若3a2＋3b2－4c2＝0，则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为( )
A. B．1
C. D.
答案 B
解析 ∵3a2＋3b2－4c2＝0，
∴a2＋b2＝c2，
则圆x2＋y2＝1的圆心到直线ax＋by＋c＝0的距离d＝＝；
则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长
l＝2＝1.故选B.
5．过圆x2＋y2－4x＝0外一点(m，n)作圆的两条切线，当这两条切线相互垂直时，m，n满足的关系式是( )
A．(m－2)2＋n2＝4 B．(m＋2)2＋n2＝4
C．(m－2)2＋n2＝8 D．(m＋2)2＋n2＝8
答案 C
解析 圆x2＋y2－4x＝0的圆心坐标为(2,0)，半径r＝2.
由题意，知(m－2)2＋n2＝8.
6．已知直线l：3x＋4y＋m＝0(m>0)被圆C：x2＋y2＋2x－2y－6＝0截得的弦长是圆心C到直线l的距离的2倍，则m等于( )
A．6 B．8
C．11 D．9
答案 D
解析 圆C：x2＋y2＋2x－2y－6＝0可化为
(x＋1)2＋(y－1)2＝8，
圆心坐标为(－1,1)，半径为2，
由题意可知，圆心到直线的距离d＝＝2.
∵m>0，∴m＝9.
7．过点P(－2,4)作圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝25的切线l，直线m：ax－3y＝0与切线l平行，则切线l与直线m间的距离为( )
A. B．2
C．4 D.
答案 C
解析 根据题意，知点P在圆C上，
∴切线l的斜率k＝－＝＝，
∴切线l的方程为y－4＝(x＋2)，
即4x－3y＋20＝0.
又直线m与切线l平行，
∴直线m的方程为4x－3y＝0.
故切线l与直线m间的距离d＝＝4.
8．如图，定圆半径为a，圆心为(b，c)，则直线ax＋by＋c＝0与直线x－y＋1＝0的交点在( )
A．第四象限 B．第三象限
C．第二象限 D．第一象限
答案 B
解析 由解得交点坐标为.
由图可知，－b>a>c>0，
∴－<0，<0，
∴交点在第三象限，故选B.
二、填空题
9．若直线l：ax＋by＝1与圆C：x2＋y2＝1有两个不同的交点，则点P(a，b)与圆C的位置关系是________．
答案 点P在圆外
解析 ∵直线l：ax＋by＝1与圆C：x2＋y2＝1有两个不同的交点，
∴<1，即>1，
∴点P(a，b)在圆外．
10．已知圆x2＋y2－2x＋4y－20＝0上一点P(a，b)，则a2＋b2的最小值是________．
答案 30－10
解析 圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝25，
∴圆心坐标为(1，－2)，半径r＝5，
∴原点到圆心的距离为，
则a2＋b2的最小值为(5－)2＝30－10.
11．已知直线l：y＝x＋2与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|＝________.
答案 4
解析 由题意，得圆心到直线的距离d＝＝3，
∴|AB|＝2＝2.
又易知直线l的倾斜角为30°，
∴|CD|＝＝＝4.
三、解答题
12．已知圆心为N(3,4)的圆被直线x＝1截得的弦长为2.
(1)求圆N的方程；
(2)点B(3，－2)与点C关于直线x＝－1对称，求以C为圆心且与圆N外切的圆的方程．
解 (1)由题意得，圆心N(3,4)到直线x＝1的距离等于3－1＝2.
∵圆N被直线x＝1截得的弦长为2，
∴圆N的半径r＝＝3.
∴圆N的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝9.
(2)∵点B(3，－2)与点C关于直线x＝－1对称，∴点C的坐标为(－5，－2)，
设所求圆的方程为(x＋5)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)，
∵圆C与圆N外切，
∴r＋3＝＝10，得r＝7.
∴圆C的方程为(x＋5)2＋(y＋2)2＝49.
13．已知从圆外一点P(4,6)作圆O：x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B.
(1)求以OP为直径的圆的方程；
(2)求直线AB的方程．
解 (1)∵所求圆的圆心为线段OP的中点(2,3)．
半径为|OP|＝＝，
∴以OP为直径的圆的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝13.
(2)∵PA，PB是圆O：x2＋y2＝1的两条切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴A，B两点都在以OP为直径的圆上．
由
得直线AB的方程为4x＋6y－1＝0.
四、探究与拓展
14．对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：
若直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”；若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”；否则称为“平行相交”．已知直线l1：ax＋3y＋6＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋6＝0，圆C：x2＋y2＋2x＝b2－1(b>0)的位置关系是“平行相交”，则b的取值范围为( )
A. B．(0，)
C. D.∪
答案 D
解析 圆C的标准方程为(x＋1)2＋y2＝b2，
由两直线平行a(a＋1)－6＝0，
解得a＝2或a＝－3，
又当a＝2时，直线l1与l2重合，舍去，
此时两平行直线方程分别为x－y－2＝0和x－y＋3＝0.
由直线x－y－2＝0与圆(x＋1)2＋y2＝b2相切，得b＝＝；
由直线x－y＋3＝0与圆(x＋1)2＋y2＝b2相切，得b＝＝.
当两直线与圆都相离时，b<.
∴当“平行相交”时，b满足
∴b的取值范围是∪.故选D.
15．已知一个动点P在圆x2＋y2＝36上移动，它与定点Q(4,0)所连线段的中点为M.
(1)求点M的轨迹方程；
(2)过定点(0，－3)的直线l与点M的轨迹交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)且满足＋＝，求直线l的方程．
解 (1)设M(x，y)，动点P(x0，y0)，
由中点的坐标公式解得x0＝2x－4，y0＝2y，
由x＋y＝36，得(2x－4)2＋(2y)2＝36，
∴点M的轨迹方程是(x－2)2＋y2＝9.
(2)当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝0，与圆M交于A(0，)，B(0，－)，此时x1＝x2＝0，不合题意．
当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝kx－3，
由
消去y，得(1＋k2)x2－(4＋6k)x＋4＝0，
x1＋x2＝，x1x2＝，
由已知得x＋x＝x1x2，即7k2－24k＋17＝0，
解得k＝1，k＝，经检验满足Δ>0.
综上，直线l的方程为x－y－3＝0或17x－7y－21＝0.
章末检测试卷(四)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．若a∈，则方程x2＋y2－ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示的圆的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．0
答案 A
解析 方程x2＋y2－ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0，即方程2＋(y＋a)2＝1－a－a2，
可以表示以为圆心、为半径的圆．
当a＝－2时，圆心为(－1,2)，1－a－a2＝0，不表示圆；
当a＝0时，圆心为(0,0)、半径为1，表示一个圆；
当a＝1时，圆心为，1－a－a2＜0，不表示圆；
当a＝时，圆心为，1－a－a2＜0，不表示圆．
综上可得所给的方程表示圆的个数为1，故选A.
2．已知圆O以点(2，－3)为圆心，半径等于5，则点M(5，－7)与圆O的位置关系是( )
A．在圆内 B．在圆上
C．在圆外 D．无法判断
答案 B
解析 点M(5，－7)到圆心(2，－3)的距离d＝＝5，故点M在圆O上．
3．已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l为过点P(3,0)的直线，则( )
A．l与C相交 B．l与C相切
C．l与C相离 D．以上三个选项均有可能
答案 A
解析 ∵32＋02－4×3<0，∴点P在圆内．故选A.
4．平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是( )
A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0
B．2x＋y＋＝0或2x＋y－＝0
C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0
D．2x－y＋＝0或2x－y－＝0
答案 A
解析 设所求直线方程为2x＋y＋c＝0，依题意有＝，解得c＝±5，所以所求直线方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0，故选A.
5．已知圆C：x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，点P在圆C上，点Q(－2,2)在圆C外，则|PQ|的最大值为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
答案 C
解析 由题意可知，圆C的圆心坐标为(1，－2)，半径r＝2，
则|CQ|＝＝5.
根据几何意义得|PQ|的最大值为|CQ|＋r＝5＋2＝7.
6．直线l：ax＋by＝0和圆C：x2＋y2＋ax＋by＝0在同一坐标系的图形只能是( )
答案 D
解析 圆C：x2＋y2＋ax＋by＝0的圆心坐标为，半径为.
圆心到直线的距离为d＝＝，
∴直线与圆相切，故选D.
7．已知圆C的圆心是直线x＋y＋1＝0与直线x－y－1＝0的交点，直线3x＋4y－11＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝6，则圆C的方程为( )
A．x2＋(y＋1)2＝18 B．x2＋(y＋1)2＝3
C．(x＋1)2＋y2＝18 D．(x＋1)2＋y2＝3
答案 A
解析 易求得直线x＋y＋1＝0与直线x－y－1＝0的交点坐标为(0，－1)，所以圆C的圆心为(0，－1)．设圆C的半径为r，由题意可得2＋32＝r2，
解得r2＝18，所以圆C的标准方程为x2＋(y＋1)2＝18.
8．圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0关于直线x－y＝1对称的圆的方程为x2＋y2＝1，则实数a的值为( )
A．0 B．1 C．±2 D．2
答案 D
解析 圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0，即2＋(y＋1)2＝，表示以A为圆心，以为半径的圆．
关于直线x－y－1＝0对称的圆x2＋y2＝1的圆心坐标为(0,0)，
故有×1＝－1，解得a＝2，故选D.
9．两圆相交于两点A(1,3)和B(m，n)，且两圆圆心都在直线x－y－2＝0上，则m＋n的值是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 D
解析 两圆相交于两点A(1,3)和B(m，n)，且两圆圆心都在直线x－y－2＝0上，可得kAB＝－1，即－1＝.①
AB的中点在直线上，可得－－2＝0，②
由①②可得m＝5，n＝－1，∴m＋n＝4，故选D.
10．若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2(r＞0)上有且只有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，则半径r的取值范围是( )
A．(4,6) B．[4,6)
C．(4,6] D．[4,6]
答案 A
解析 圆心到直线4x－3y－2＝0的距离为＝5，若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且只有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，则半径r的取值范围是(4,6)．
11．若⊙O1：x2＋y2＝5与⊙O2：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 D
解析 由题意作出图形，如图所示．由圆的几何性质得，两圆在点A处的切线互相垂直，且过对方圆心，则在Rt△O2AO1中，|O1O2|＝＝5，斜边上的高为半弦，由等面积法易得×5＝×，即|AB|＝4.故选D.
12．已知直线x－y－4＝0与圆x2＋(y－2)2＝25交于A，B两点，P为圆上异于A，B的动点，则△ABP的面积的最大值为( )
A．8 B．16 C．32 D．64
答案 C
解析 设与直线x－y－4＝0平行的直线l的方程为x－y＋c＝0.当直线l与圆相切时，由圆心到直线距离等于半径，得c＝12或c＝－8.显然，当c＝12时，直线l与圆的切点到直线x－y－4＝0的距离(两条平行线间的距离)最大且为h＝＝8，可得弦|AB|＝8，所以△ABP的面积的最大值为S＝×8h＝32.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．点P在圆O：x2＋y2＝1上运动，点Q在圆C：(x－3)2＋y2＝1上运动，则|PQ|的最小值为________．
答案 1
解析 如下图，设连心线OC与圆O交于点P′，与圆C交于点Q′，当点P在P′处，点Q在Q′处时|PQ|最小，最小值为|P′Q′|＝|OC|－r1－r2＝1.
14．两圆x2＋y2＋2x－4y＋3＝0与x2＋y2－4x＋2y＋3＝0上的点之间的最短距离是_____．
答案
解析 由x2＋y2＋2x－4y＋3＝0，得(x＋1)2＋(y－2)2＝2，由x2＋y2－4x＋2y＋3＝0，得(x－2)2＋(y＋1)2＝2，两圆圆心距为＝3>2.故两圆外离，则两圆上的点之间的最短距离是3－－＝.
15．已知直线x＋y－2＝0与圆x2＋y2＝r2(r＞0)相交于A，B两点，O为坐标原点，若∠AOB＝120°，则r＝________.
答案 2
解析 ∵直线x＋y－2＝0与圆x2＋y2＝r2(r＞0)相交于A，B两点，O为坐标原点，∠AOB＝120°，∴圆心O(0,0)到直线x＋y－2＝0的距离为d＝r，即d＝＝，解得r＝2.
16．已知A(－2,0)，B(2,0)，点P在圆(x－3)2＋(y－4)2＝4上运动，则|PA|2＋|PB|2的最小值是________．
答案 26
解析 设P(x，y)，则|PA|2＋|PB|2＝(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝2(x2＋y2)＋8＝2|OP|2＋8.
∵圆心为C(3,4)，∴|OP|min＝|OC|－r＝5－2＝3，
∴|PA|2＋|PB|2的最小值为2×32＋8＝26.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知圆C的圆心坐标为(2,1)，若圆C与圆O：x2＋y2－3x＝0的公共弦所在直线过点(5，－2)，求圆C的方程．
解 设圆C的半径长为r，则圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r2，即x2＋y2－4x－2y＋5＝r2，圆C与圆O的方程相减得公共弦所在直线的方程为x＋2y－5＋r2＝0，因为该直线过点(5，－2)，所以r2＝4，则圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
18．(12分)已知圆心C的坐标为(1,1)，圆C与x轴和y轴都相切．
(1)求圆C的方程；
(2)求与圆C相切，且在x轴和y轴上的截距相等的直线方程．
解 (1)根据题意知，圆的半径为1，圆心坐标为(1,1)，
故圆C的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1.
(2)设所求直线方程为＋＝1，整理得x＋y－a＝0.因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，故d＝＝1，解得a＝2±，
所以直线方程为x＋y－2±＝0.
19．(12分)设半径为3的圆C被直线l：x＋y－4＝0截得的弦AB的中点为P(3,1)，且弦长|AB|＝2，求圆C的方程．
解 由题意，设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝9，圆心到直线的距离为d＝＝，
则＝.
又因为弦AB所在直线的斜率为－1，所以＝1.
联立解得或
故所求圆的标准方程为(x－4)2＋(y－2)2＝9或(x－2)2＋y2＝9.
20．(12分)已知以点C(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为原点．
(1)求证：△OAB的面积为定值；
(2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N，若|OM|＝|ON|，求圆C的方程．
(1)证明 ∵圆C过原点O，且|OC|2＝t2＋.
∴圆C的方程是(x－t)2＋2＝t2＋，
令x＝0，得y1＝0，y2＝；
令y＝0，得x1＝0，x2＝2t，
∴S△OAB＝|OA|·|OB|＝×||×|2t|＝4，
即△OAB的面积为定值．
(2)解 ∵|OM|＝|ON|，|CM|＝|CN|，
∴OC垂直平分线段MN.
∵kMN＝－2，∴kOC＝.
∴＝t，解得t＝2或t＝－2.
当t＝2时，圆心C的坐标为(2,1)，|OC|＝，
此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝<，
圆C与直线y＝－2x＋4相交于两点．
当t＝－2时，圆心C的坐标为(－2，－1)，|OC|＝，
此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝ >.
圆C与直线y＝－2x＋4不相交，
∴t＝－2不符合题意，舍去．
∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
21．(12分)已知方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0.
(1)若此方程表示圆，求m的取值范围；
(2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m的值；
(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程．
解 (1)由方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0，得(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，
∵方程表示圆，
∴5－m＞0，即m＜5.
∴m的取值范围为(－∞，5)．
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＝4－2y1，x2＝4－2y2，
得x1x2＝16－8(y1＋y2)＋4y1y2.
∵OM⊥ON，
∴x1x2＋y1y2＝0，
∴16－8(y1＋y2)＋5y1y2＝0.(*)
由得5y2－16y＋m＋8＝0，
∴y1＋y2＝，y1y2＝，代入(*)式得m＝.
(3)以MN为直径的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0，
即x2＋y2－(x1＋x2)x－(y1＋y2)y＝0，
∵x1＋x2＝8－2(y1＋y2)＝，y1＋y2＝，
∴所求圆的方程为x2＋y2－x－y＝0.
22．(12分)已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x＋3y－29＝0相切．
(1)求圆的方程；
(2)若直线ax－y＋5＝0(a≠0)与圆相交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P(－2,4)的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
解 (1)设圆心坐标为M(m,0)(m∈Z)，
由于圆与直线4x＋3y－29＝0相切，且圆的半径为5，
所以＝5，即|4m－29|＝25，
即4m－29＝25或4m－29＝－25，
解得m＝或m＝1.
因为m为整数，故m＝1，
故所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝25.
(2)假设符合条件的实数a存在，
因为a≠0，则直线l的斜率为－，
所以l的方程为y＝－(x＋2)＋4，
即x＋ay＋2－4a＝0.
由于l垂直平分弦AB，故圆心M(1,0)必在l上，
所以1＋0＋2－4a＝0，解得a＝.
经检验当a＝时，直线ax－y＋5＝0与圆有两个交点，
故存在实数a＝，使得过点P(－2,4)的直线l垂直平分弦AB.
