§4.1 圆的方程
4.1.1 圆的标准方程
学习目标 1.掌握圆的定义及标准方程.2.能根据圆心、半径写出圆的标准方程，会用待定系数法求圆的标准方程．
知识点一 圆的标准方程
思考1 确定一个圆的基本要素是什么？
答案 圆心和半径．
思考2 在平面直角坐标系中，如图所示，以(1,2)为圆心，以2为半径的圆能否用方程(x－1)2＋(y－2)2＝4来表示？
答案 能．
梳理 (1)把方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2称为圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的方程，把它叫做圆的标准方程．
(2)以原点为圆心，r为半径的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.
知识点二 点与圆的位置关系
思考 点A(1,1)，B(4,0)，C(，)同圆x2＋y2＝4的位置关系如图所示，则|OA|，|OB|，|OC|同圆的半径r＝2是什么关系？
答案 |OA|<2，|OB|>2，|OC|＝2.
梳理 点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法
位置关系
利用距离判断
利用方程判断
点M在圆上
|CM|＝r
(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
点M在圆外
|CM|>r
(x0－a)2＋(y0－b)2>r2
点M在圆内
|CM|(x0－a)2＋(y0－b)21．方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆．( × )
2．确定一个圆的几何要素是圆心和半径．( √ )
3．圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝4的圆心坐标是(1,2)，半径是4.( × )
类型一 求圆的标准方程
例1 (1)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的标准方程为________．
答案 (x－2)2＋y2＝9
解析 设圆心C的坐标为(a,0)(a＞0)，
由题意知＝，解得a＝2，
则圆C的半径为r＝|CM|＝＝3.
∴圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝9.
(2)与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为________．
答案 (x＋5)2＋(y＋3)2＝25
解析 ∵圆心坐标为(－5，－3)，又与y轴相切，∴该圆的半径为5，
∴该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25.
反思与感悟 (1)确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方程时，要首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程．
(2)确定圆心和半径时，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等．
跟踪训练1 以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是( )
A．(x＋1)2＋(y＋2)2＝10
B．(x－1)2＋(y－2)2＝100
C．(x＋1)2＋(y＋2)2＝25
D．(x－1)2＋(y－2)2＝25
答案 D
解析 ∵AB为直径，
∴AB的中点(1,2)为圆心，
|AB|＝＝5为半径，
∴该圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.
例2 求经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的标准方程．
解 方法一 (待定系数法)
设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则有
解得
∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
方法二 (直接法)
由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为x＋y－1＝0.
∵弦的垂直平分线过圆心，
∴由
得
即圆心坐标为(4，－3)，
半径为r＝＝5.
∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
反思与感悟 待定系数法求圆的标准方程的一般步骤
跟踪训练2 已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，求该三角形的外接圆的标准方程．
解 方法一 设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
因为A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)都在圆上，
所以它们的坐标都满足圆的标准方程，
于是有解得
故所求圆的标准方程是(x＋3)2＋(y－1)2＝25.
方法二 因为A(0,5)，B(1，－2)，
所以线段AB的中点坐标为，直线AB的斜率为kAB＝＝－7，
因此线段AB的垂直平分线的方程是y－＝，即x－7y＋10＝0.
同理可得线段BC的垂直平分线的方程是2x＋y＋5＝0.
由得圆心坐标为(－3,1)．
又圆的半径长r＝＝5，
故所求圆的标准方程是(x＋3)2＋(y－1)2＝25.
类型二 点与圆的位置关系
例3 (1)点P(m2,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是( )
A．点P在圆内
B．点P在圆外
C．点P在圆上
D．不确定
答案 B
解析 由(m2)2＋52＝m4＋25>24，
得点P在圆外．
(2)已知点M(5＋1，)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围为_________．
答案 [0,1)
解析 由题意知
即解得0≤a<1.
反思与感悟 (1)判断点与圆的位置关系的方法
①只需计算该点与圆的圆心之间的距离，与半径作比较即可．
②把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断．
(2)灵活运用
若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围．
跟踪训练3 已知点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的外部，则a的取值范围为______．
答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析 由题意知，(1－a)2＋(1＋a)2>4，2a2－2>0，
即a<－1或a>1.
1．若某圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋5)2＝3，则此圆的圆心和半径长分别为( )
A．(－1,5)， B．(1，－5)，
C．(－1,5)，3 D．(1，－5)，3
答案 B
2．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的标准方程是( )
A．x2＋(y－2)2＝1
B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1
D．x2＋(y－3)2＝1
答案 A
解析 方法一 (直接法)
设圆的圆心为C(0，b)，则＝1，
∴b＝2，
∴圆的标准方程是x2＋(y－2)2＝1.
方法二 (数形结合法)
作图(如图)，根据点(1,2)到圆心的距离为1易知，圆心为(0,2)，
故圆的标准方程是x2＋(y－2)2＝1.
3．若点A(a＋1,3)在圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝m外，则实数m的取值范围是( )
A．(0，＋∞)
B．(－∞，5)
C．(0,5)
D．[0,5]
答案 C
解析 由题意知(a＋1－a)2＋(3－1)2>m，即m<5.
又m>0，∴04．经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径为2的圆的标准方程是________．
答案 (x＋2)2＋y2＝4
5．求过点A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程．
解 设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
根据已知条件可得
解此方程组得
所以所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
1．确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a，b，r的方程组求a，b，r或直接求出圆心(a，b)和半径r.另外依据题意适时运用圆的几何性质解题可以化繁为简，提高解题效率．
2．讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑，其中利用几何特征较为直观、快捷．
一、选择题
1．圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心与半径分别为( )
A．(－1,2)，2 B．(1，－2)，2
C．(－1,2)，4 D．(1，－2)，4
答案 A
2．方程(x－1)＝0所表示的曲线是( )
A．一个圆 B．两个点
C．一个点和一个圆 D．一条直线和一个圆
答案 D
解析 (x－1)＝0可化为，
x－1＝0或x2＋y2＝3，
∴方程(x－1)＝0表示一条直线和一个圆．
3．已知一圆的圆心为点A(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则圆的标准方程为( )
A．(x＋2)2＋(y－3)2＝13
B．(x－2)2＋(y＋3)2＝13
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52
D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52
答案 B
解析 如图，结合圆的性质可知，原点在圆上，
圆的半径为r＝＝.
故所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.
4．过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程是( )
A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4
B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4
C．(x－1)2＋(y－1)2＝4
D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
答案 C
解析 根据圆在直线x＋y－2＝0上可排除B，D，再把点B的坐标代入A，C选项中，可得C正确．
5．若点(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的内部，则实数a的取值范围是( )
A．|a|＜1 B．a＜
C．|a|＜ D．|a|＜
答案 D
解析 依题意有(5a)2＋144a2＜1，
所以169a2＜1，
所以a2＜，即|a|＜，故选D.
6．若直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 D
解析 (－a，－b)为圆的圆心，由直线经过第一、二、四象限，得到a<0，b>0，即－a>0，－b<0.再由各象限内点的坐标的性质，得圆心位于第四象限．
7．已知直线(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0恒过定点P，则与圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为( )
A．(x－2)2＋(y＋3)2＝36
B．(x－2)2＋(y＋3)2＝25
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝18
D．(x－2)2＋(y＋3)2＝9
答案 B
解析 由(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0，
得(2x＋3y－1)λ＋(3x－2y＋5)＝0，
则解得即P(－1,1)．
∵圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16的圆心坐标是(2，－3)，
∴|PC|＝＝5，
∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25，故选B.
8．若圆心在x轴上，半径为的圆C位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆C的标准方程为( )
A．(x－)2＋y2＝5
B．(x＋)2＋y2＝5
C．(x－5)2＋y2＝5
D．(x＋5)2＋y2＝5
答案 D
解析 设圆心坐标为(a,0)，
由题意知＝，∴|a|＝5.
∵圆C位于y轴左侧，∴a＝－5，
∴圆C的标准方程为(x＋5)2＋y2＝5.
二、填空题
9．若实数x，y满足x2＋y2＝1，则的最小值是______．
答案
解析 的几何意义是两点(x，y)与(1,2)连线的斜率，而点(x，y)在圆x2＋y2＝1上，
过点P(1,2)作圆的切线，
由图知PA的斜率不存在，PB的斜率存在，则PB的斜率即为所求．
∴设PB的方程为y－2＝k(x－1)，得kx－y－k＋2＝0.
又∵PB和圆相切，
∴＝1，得k＝.
∴的最小值是.
10．已知圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的标准方程为________________．
答案 x2＋(y＋1)2＝1
解析 由已知圆(x－1)2＋y2＝1，得圆心C1的坐标为(1,0)，半径长r1＝1.
设圆心C1(1,0)关于直线y＝－x对称的点的坐标为(a，b)，即圆心C的坐标为(a，b)，
则
解得
所以圆C的标准方程为x2＋(y＋1)2＝1.
11．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是____________．
答案 (x－2)2＋(y－1)2＝1
解析 ∵圆心在第一象限，而且与x轴相切，
∴可设圆心坐标为(a,1)，a>0，
则圆心到直线4x－3y＝0的距离为1，
即＝1，得a＝2或a＝－(舍去)，
∴该圆的标准方程是(x－2)2＋(y－1)2＝1.
三、解答题
12．已知三点A(3,2)，B(5，－3)，C(－1,3)，以点P(2，－1)为圆心作一个圆，使A，B，C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，求这个圆的标准方程．
解 要使A，B，C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，则圆的半径是|PA|，|PB|，|PC|的中间值．
因为|PA|＝，|PB|＝，|PC|＝5，
所以|PA|<|PB|<|PC|，
所以圆的半径r＝|PB|＝.
故所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝13.
四、探究与拓展
13．设P(x，y)是圆C：(x－2)2＋y2＝1上任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为( )
A．6 B．25 C．26 D．36
答案 D
解析 (x－5)2＋(y＋4)2的几何意义是点P(x，y)到点Q(5，－4)的距离的平方．
因为点P在圆(x－2)2＋y2＝1上，且点Q在圆外，
所以其最大值为(|QC|＋1)2＝36.
14．过点A(1,2)和B(1,10)且与直线x－2y－1＝0相切的圆的标准方程为________．
答案 (x－3)2＋(y－6)2＝20或(x＋7)2＋(y－6)2＝80
解析 设圆心坐标为(a，b)，
∵AB的中点坐标为(1,6)，
∴AB的垂直平分线为y＝6.
∵圆心(a，b)在AB的垂直平分线上，
∴b＝6.
由题意得＝，
解得a＝3或－7，
当a＝3时，r＝＝2.
当a＝－7时，r＝＝4.
∴所求圆的标准方程为(x－3)2＋(y－6)2＝20
或(x＋7)2＋(y－6)2＝80.
4.1.2 圆的一般方程
学习目标 1.掌握圆的一般方程及其特点.2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小.3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程．
知识点 圆的一般方程
思考 方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，x2＋y2－2x＋4y＋6＝0分别表示什么图形？
答案 对方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝4，表示以(1，－2)为圆心，2为半径的圆，
对方程x2＋y2－2x＋4y＋6＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝－1，不表示任何图形．
梳理
方程
条件
图形
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
D2＋E2－4F<0
不表示任何图形
D2＋E2－4F＝0
表示一个点
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
D2＋E2－4F>0
表示以为圆心，以为半径的圆
1．圆的一般方程可以化为圆的标准方程．( √ )
2．二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程．( × )
3．若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0.( √ )
类型一 圆的一般方程的理解
例1 若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求实数m的取值范围，并写出圆心坐标和半径．
解 由表示圆的条件，
得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，
解得m<，
即实数m的取值范围为.
圆心坐标为(－m,1)，半径为.
反思与感悟 形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法
(1)由圆的一般方程的定义，令D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆．
(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解．
应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解．
跟踪训练1 (1)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标为________，半径为______．
答案 (－2，－4) 5
解析 由圆的一般方程的形式知，
a＋2＝a2，得a＝2或－1.
当a＝2时，该方程可化为x2＋y2＋x＋2y＋＝0，
∵D2＋E2－4F＝12＋22－4×＜0，
∴a＝2不符合题意．
当a＝－1时，方程可化为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，
即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，
∴圆心坐标为(－2，－4)，半径为5.
(2)若点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为________．
答案 9π
解析 圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0的圆心坐标为，
由圆的性质知，直线x－y＋1＝0经过圆心，
∴－＋1＋1＝0，得k＝4，
∴圆x2＋y2＋4x＋2y－4＝0的半径为＝3，
∴该圆的面积为9π.
类型二 求圆的一般方程
例2 已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)．
(1)求△ABC的外接圆的方程；
(2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上，求a的值．
解 (1)设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
由题意，得
解得
即△ABC的外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.
(2)由(1)知，△ABC的外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0，
∵点M(a,2)在△ABC的外接圆上，
∴a2＋22－8a－2×2＋12＝0，
即a2－8a＋12＝0，解得a＝2或6.
引申探究
若本例中将“点C(3，－1)”改为“圆C过A，B两点且圆C关于直线y＝－x对称”，其他条件不变，如何求圆C的方程？
解 ∵kAB＝＝，AB的中点坐标为，
∵AB的垂直平分线方程为y－＝－3.
联立得
即圆心C的坐标为，r＝ ＝ ，
∴圆C的方程为2＋2＝.
反思与感悟 应用待定系数法求圆的方程时应注意
(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.
(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.
跟踪训练2 已知一圆过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，求圆的方程．
解 方法一 (待定系数法)
设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
将P，Q的坐标分别代入上式，
得
令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0， ③
由已知得|y1－y2|＝4，其中y1，y2是方程③的根，
∴|y1－y2|2＝(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48.④
联立①②④解得
或
故圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.
方法二 (几何法)
由题意得线段PQ的垂直平分线方程为x－y－1＝0，
∴所求圆的圆心C在直线x－y－1＝0上，
设其坐标为(a，a－1)．
又圆C的半径长r＝|CP|＝.(*)
由已知得圆C截y轴所得的线段长为4，而圆心C到y轴的距离为|a|，
∴r2＝a2＋2，
代入(*)式整理得a2－6a＋5＝0，
解得a1＝1，a2＝5，
∴r1＝，r2＝.
故圆的方程为(x－1)2＋y2＝13或(x－5)2＋(y－4)2＝37.
类型三 与圆有关的轨迹方程
例3 已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2，－2)，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上．
(1)求圆C的方程；
(2)线段PQ的端点P的坐标是(5,0)，端点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点M的轨迹方程．
解 (1)设点D为线段AB的中点，直线m为线段AB的垂直平分线，则D.
又kAB＝－3，所以km＝，
所以直线m的方程为x－3y－3＝0.
由得圆心C(－3，－2)，
则半径r＝|CA|＝＝5，
所以圆C的方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.
(2)设点M(x，y)，Q(x0，y0)．
因为点P的坐标为(5,0)，
所以即
又点Q(x0，y0)在圆C：(x＋3)2＋(y＋2)2＝25上运动，
所以(x0＋3)2＋(y0＋2)2＝25，
即(2x－5＋3)2＋(2y＋2)2＝25.
整理得(x－1)2＋(y＋1)2＝.
即所求线段PQ的中点M的轨迹方程为
(x－1)2＋(y＋1)2＝.
反思与感悟 求轨迹方程的三种常用方法
(1)直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简、证明．
(2)定义法：当动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程．
(3)代入法：若动点P(x，y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1，y1)而运动，把x1，y1用x，y表示，再将Q点的坐标代入到已知圆的方程中，得P点的轨迹方程．
特别提醒：在解决此类问题时易出现不符合条件的点仍在所求的轨迹上，即应排除不合适的点．
跟踪训练3 等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边一个端点是B(3,5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么？
解 设另一端点C的坐标为(x，y)．
依题意，得|AC|＝|AB|.
由两点间距离公式，得＝，
整理得(x－4)2＋(y－2)2＝10，
这是以点A(4,2)为圆心，以为半径的圆，
又因为A，B，C为三角形的三个顶点，所以A，B，C三点不共线，即点B，C不能重合，
且B，C不能为圆A的一条直径的两个端点．因为B，C不能重合，所以点C不能为(3,5)．
又因为B，C不能为一条直径的两个端点，
所以≠4，且≠2，即点C不能为(5，－1)．
故端点C的轨迹方程是(x－4)2＋(y－2)2＝10(除去点(3,5)和(5，－1))，它的轨迹是以点A(4,2)为圆心，为半径的圆，但除去(3,5)和(5，－1)两点．
1．圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的面积为( )
A．8π B．4π
C．2π D．π
答案 C
解析 原方程可化为(x－1)2＋(y＋3)2＝2，
∴半径r＝，∴圆的面积为S＝πr2＝2π.
2．若点M(3,0)是圆x2＋y2－8x－4y＋10＝0内一点，则过点M(3,0)的最长的弦所在的直线方程是( )
A．x＋y－3＝0 B．x－y－3＝0
C．2x－y－6＝0 D．2x＋y－6＝0
答案 C
解析 圆x2＋y2－8x－4y＋10＝0的圆心坐标为(4,2)，则过点M(3,0)且过圆心(4,2)的弦最长．由k＝＝2，可知C正确．
3．若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则m的取值范围是( )
A．m≤2 B．m＜
C．m＜2 D．m≤
答案 B
解析 由D2＋E2－4F＞0，得(－1)2＋12－4m＞0，
即m＜.
4．若方程x2＋y2＋2ax－by＋c＝0表示圆心为C(2,2)，半径为2的圆，则a，b，c的值依次为( )
A．－2,4,4 B．－2，－4,4
C．2，－4,4 D．2，－4，－4
答案 A
解析 由方程得圆心坐标为，半径为r＝ .由已知，得－a＝2，＝2，＝2，解得a＝－2，b＝4，c＝4.
5.如图，已知线段AB的中点C的坐标是(4,3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的端点B的轨迹方程．
解 设B点坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)，由于点C的坐标是(4,3)且点C是线段AB的中点，所以4＝，3＝，
于是有x0＝8－x ，y0＝6－y.①
因为点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，
所以点A的坐标满足方程(x＋1)2＋y2＝4，
即(x0＋1)2＋y＝4，②
把①代入②，得(8－x＋1)2＋(6－y)2＝4，
整理，得(x－9)2＋(y－6)2＝4.
所以点B的轨迹方程为(x－9)2＋(y－6)2＝4.
圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0是圆的另一种表示形式，其隐含着D2＋E2－4F>0，同圆的标准方程类似，求圆的一般式方程也需要三个独立的条件．
求轨迹的方法很多，注意合理选取，在求与圆有关的轨迹时，注意充分利用圆的性质．
一、选择题
1．圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圆心到直线x－y＝1的距离为( )
A．2 B.
C．1 D.
答案 D
解析 因为圆心坐标为(1，－2)，所以圆心到直线x－y＝1的距离为d＝＝.
2．方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的图形为( )
A．以(a，b)为圆心的圆
B．以(－a，－b)为圆心的圆
C．点(a，b)
D．点(－a，－b)
答案 D
解析 原方程可化为(x＋a)2＋(y＋b)2＝0，
∴即
∴方程表示点(－a，－b)．
3．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，为半径的圆的方程为( )
A．x2＋y2－2x＋4y＝0
B．x2＋y2＋2x＋4y＝0
C．x2＋y2＋2x－4y＝0
D．x2＋y2－2x－4y＝0
答案 C
解析 直线(a－1)x－y＋a＋1＝0可化为(－x－y＋1)＋a(1＋x)＝0，
由得C(－1,2)．
∴圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，
即x2＋y2＋2x－4y＝0.
4．方程x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的图形是半径为r(r＞0)的圆，则该圆的圆心在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 D
解析 因为方程x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的图形是圆，
又方程可化为2＋(y－a)2＝－a2－3a，
故圆心坐标为，r2＝－a2－3a.
由r2＞0，即－a2－3a＞0，
解得－4＜a＜0，
故该圆的圆心在第四象限．
5．若点(1，－1)在圆x2＋y2－x＋y＋m＝0外，则m的取值范围是( )
A．m＞0 B．m＜
C．0＜m＜ D．0≤m≤
答案 C
解析 x2＋y2－x＋y＋m＝0可化为2＋2＝－m，
则－m＞0，解得m＜.
因为点(1，－1)在圆外，所以1＋1－1－1＋m＞0，
即m＞0，所以0＜m＜.故选C.
6．当点P在圆x2＋y2＝1上变动时，它与定点Q(3,0)的连线PQ的中点的轨迹方程是( )
A．(x＋3)2＋y2＝4
B．(x－3)2＋y2＝1
C．(2x－3)2＋4y2＝1
D．(2x＋3)2＋4y2＝1
答案 C
解析 设P(x1，y1)，PQ的中点M的坐标为(x，y)，
∵Q(3,0)，∴
∴x1＝2x－3，y1＝2y.
又点P在圆x2＋y2＝1上，
∴(2x－3)2＋(2y)2＝1，故选C.
7．已知三点A(1,0)，B(0，)，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
由题意得
解得D＝－2，E＝－，F＝1.
即△ABC外接圆的方程为x2＋y2－2x－y＋1＝0.
∴圆心坐标为，∴圆心到原点的距离为 ＝.
8．已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为( )
A．x2＋y2－2x－3＝0
B．x2＋y2＋4x＝0
C．x2＋y2＋2x－3＝0
D．x2＋y2－4x＝0
答案 D
解析 设圆心C的坐标为(a,0)，a>0，
∴d＝＝2，
∴a＝2，∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4，
即x2＋y2－4x＝0.
二、填空题
9．已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝________.
答案 －2
解析 由题意知，直线l：x－y＋2＝0过圆心，则－1＋＋2＝0，得a＝－2.
10．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆的面积最大时，圆心坐标为_____．
答案 (0，－1)
解析 因为r＝＝，
所以当k＝0时，r最大，此时圆的面积最大，
圆的方程可化为x2＋y2＋2y＝0，
即x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)．
11．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称图形，则a－b的取值范围是________．
答案 (－∞，1)
解析 由题意知，直线y＝2x＋b过圆心，而圆心坐标为(－1,2)，代入直线方程，得b＝4，
所以圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a，
所以a＜5，由此得a－b＜1.
12．已知点A(1，－2)，B(4,0)，P(a,1)，N(a＋1,1)，当四边形PABN的周长最小时，过A，P，N三点的圆的圆心坐标为________________．
答案
解析 因为AB，PN的长为定值，所以只需求|PA|＋|BN|的最小值．
因为|PA|＋|BN|＝＋，其几何意义为动点(a,0)到两定点(1,3)和(3，－1)的距离之和，所以当这三点共线，即a＝时，其和取得最小值．此时，线段PN的中垂线x＝3，与线段PA的中垂线y＋＝－的交点为，即所求圆的圆心坐标为.
三、解答题
13．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为，求圆的一般方程．
解 圆心C的坐标为，
因为圆心在直线x＋y－1＝0上，
所以－－－1＝0，
即D＋E＝－2.①
又r＝＝，
所以D2＋E2＝20.②
由①②可得或
又圆心在第二象限，
所以－<0，即D>0，
所以
所以圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
四、探究与拓展
14．若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为( )
A．(－∞，－2) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)
答案 D
解析 曲线C的方程可化为(x＋a)2＋(y－2a)2＝4，则曲线C表示的是以(－a,2a)为圆心，2为半径的圆．要使圆C上所有的点均在第二象限内，则圆心(－a,2a)必须在第二象限，从而有a>0，并且圆心到两坐标轴的最短距离应该大于圆C的半径．易知圆心到两坐标轴的最短距离为|－a|，则有|－a|>2，故a>2.
15．已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)表示的图形是圆．
(1)求t的取值范围；
(2)求其中面积最大的圆的方程；
(3)若点P(3,4t2)恒在所给圆内，求t的取值范围．
解 (1)已知方程可化为(x－t－3)2＋(y＋1－4t2)2
＝(t＋3)2＋(1－4t2)2－16t4－9，
∴r2＝－7t2＋6t＋1>0，
由二次函数的图象，解得－∴t的取值范围为.
(2)由(1)知r＝＝，
∴当t＝∈时，rmax＝，此时圆的面积最大，
所对应的圆的方程是2＋2＝.
(3)当且仅当32＋(4t2)2－2(t＋3)×3＋2(1－4t2)×(4t2)＋16t4＋9<0时，点P恒在圆内，
∴8t2－6t<0，
∴0∴t的取值范围为.
