§4.2 直线、圆的位置关系
4.2.1 直线与圆的位置关系
学习目标 1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离.2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系.3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题．
知识点 直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
2个
1个
0个
判断方法
几何法：设圆心到直线的距离为d＝
dd＝r
d>r
代数法：由
消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
1．若直线与圆有公共点，则直线与圆相交．( × )
2．如果直线与圆组成的方程组有解，则直线和圆相交或相切．( √ )
3．若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解．( √ )
类型一 直线与圆的位置关系的判断
例1 求实数m的取值范围，使直线x－my＋3＝0与圆x2＋y2－6x＋5＝0分别满足：①相交；②相切；③相离．
解 圆的方程化为标准形式为(x－3)2＋y2＝4，
故圆心(3,0)到直线x－my＋3＝0的距离为d＝，圆的半径为r＝2.
①若相交，则d＜r，即＜2，
所以m＜－2或m＞2；
②若相切，则d＝r，即＝2，所以m＝±2；
③若相离，则d＞r，即＞2，所以－2＜m＜2.
反思与感悟 直线与圆的位置关系的判断方法
(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．
(2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．
(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系．但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．
跟踪训练1 对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是( )
A．相离 B．相切
C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心
答案 C
解析 直线y＝kx＋1恒过定点(0,1)，由定点(0,1)在圆x2＋y2＝2内，则直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2一定相交．又直线y＝kx＋1不过圆心(0,0)，则位置关系是相交但直线不过圆心，故选C.
类型二 切线问题
例2 过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线方程．
解 因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，
所以点A在圆外．
①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，
则切线方程为y＋3＝k(x－4)，即kx－y－4k－3＝0.
设圆心为C，
因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1，
所以＝1，即|k＋4|＝，
所以k2＋8k＋16＝k2＋1，解得k＝－.
所以切线方程为－x－y＋－3＝0，
即15x＋8y－36＝0.
②若直线斜率不存在，
圆心C(3,1)到直线x＝4的距离为1，
这时直线x＝4与圆相切，所以另一条切线方程为x＝4.
综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.
引申探究
若例2的条件不变，求其切线长．
解 因为圆心C的坐标为(3,1)，
设切点为B，则△ABC为直角三角形，|AC|＝＝，
又|BC|＝r＝1，
则|AB|＝＝＝4，
所以切线长为4.
反思与感悟 求过某一点的圆的切线方程，首先判定点与圆的位置关系，以确定切线的数目．
(1)求过圆上一点P(x0，y0)的圆的切线方程：如果斜率存在且不为0，先求切点与圆心连线的斜率k，则由垂直关系，切线斜率为－，由点斜式方程可求得切线方程．如果k＝0或斜率不存在，则由图形可直接得切线方程为y＝y0或x＝x0.
(2)求圆外一点P(x0，y0)的圆的切线时，常用几何方法求解：
设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，进而切线方程即可求出．但要注意，若求出的k值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可由数形结合求出．
跟踪训练2 若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为________．
答案 x＋2y－5＝0
解析 点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，可得此圆的方程为x2＋y2＝5，所以该圆在点P处的切线方程为1×x＋2×y＝5，即x＋2y－5＝0.
例3 过点A(4,1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2，1)，则圆C的方程为________________．
答案 (x－3)2＋y2＝2
解析 由已知kAB＝0，
所以AB的中垂线方程为x＝3.①
过B点且垂直于直线x－y－1＝0的直线方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0，②
联立①②，解得所以圆心坐标为(3,0)，
半径r＝＝，
所以圆C的方程为(x－3)2＋y2＝2.
反思与感悟 圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题.
跟踪训练3 已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为( )
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2
B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2
D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
答案 B
解析 设圆心为C(a，－a)，
则＝，解得a＝1，
所以r＝＝，
圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.故选B.
类型三 弦长问题
例4 (1)过圆x2＋y2＝8内的点P(－1,2)作直线l交圆于A，B两点．若直线l的倾斜角为135°，则弦AB的长为________．
答案
解析 由题意知直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，
即x＋y－1＝0，
圆心O(0,0)到直线l的距离为d＝＝，
则有|AB|＝2＝2 ＝.
(2)圆心为C(2，－1)，截直线y＝x－1的弦长为2的圆的方程为___________．
答案 (x－2)2＋(y＋1)2＝4
解析 设圆的半径为r，由条件，得
圆心到直线y＝x－1的距离为d＝＝.
又直线y＝x－1被圆截得的弦长为2，
即半弦长为，∴r2＝2＋2＝4，得r＝2，
∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4.
(3)如果一条直线经过点M?且被圆x2＋y2＝25所截得的弦长为8，求这条直线的方程．
解 圆x2＋y2＝25的半径长r为5，直线被圆所截得的弦长l＝8，所以弦心距d＝＝＝3.
因为圆心O(0,0)到直线x＝－3的距离恰为3，所以直线x＝－3是符合题意的一条直线．设直线y＋＝k(x＋3)也符合题意，即圆心到直线kx－y＋＝0的距离等于3，于是＝3，解得k＝－.
故直线的方程为3x＋4y＋15＝0.
综上可知，满足题意的直线有两条，对应的方程分别为x＝－3和3x＋4y＋15＝0.
反思与感悟 求直线与圆相交时的弦长有三种方法
(1)交点法：将直线方程与圆的方程联立，求出交点A，B的坐标，根据两点间的距离公式 |AB|＝求解．
(2)弦长公式：如图所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝|x1－x2|＝|y1－y2|(直线l的斜率k存在)．
(3)几何法：如图，直线与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有2＋d2＝r2，即|AB|＝2.
通常采用几何法较为简便．
跟踪训练4 已知直线l：kx－y＋k＋2＝0与圆C：x2＋y2＝8.
(1)证明：直线l与圆相交；
(2)当直线l被圆截得的弦长最短时，求直线l的方程，并求出弦长．
(1)证明 ∵l：kx－y＋k＋2＝0，
直线l可化为y－2＝k(x＋1)，
∴直线l经过定点(－1,2)，
∵(－1)2＋22<8，
∴(－1,2)在圆C内，
∴直线l与圆相交．
(2)解 由(1)知，直线l过定点P(－1,2)，
又圆C：x2＋y2＝8的圆心为原点O，
则与OP垂直的直线截得的弦长最短．
∵kOP＝－2，
∴kl＝，
∴直线l：y－2＝(x＋1)，
即x－2y＋5＝0.圆心到直线l的距离d＝＝，
设直线l与圆交于A，B两点，
|AB|＝2＝2＝2.
∴直线l的方程为x－2y＋5＝0，弦长为2.
1．若直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是( )
A．－2或12 B．2或－12
C．－2或－12 D．2或12
答案 D
解析 圆的方程为x2＋y2－2x－2y＋1＝0，
可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，
由圆心(1,1)到直线3x＋4y－b＝0的距离为＝1，
得b＝2或12，故选D.
2．过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为________．
答案 2x－y＝0
解析 设所求直线方程为y＝kx，即kx－y＝0.由于直线kx－y＝0被圆截得的弦长等于2，圆的半径是1，因此圆心到直线的距离等于＝0，即圆心(1,2)位于直线kx－y＝0上．于是有k－2＝0，即k＝2，因此所求直线方程是2x－y＝0.
3．过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．
答案 2
解析 设点A(3,1)，易知圆心C(2,2)，半径r＝2.
当弦过点A(3,1)且与CA垂直时为最短弦，|CA|＝＝.
∴半弦长＝＝＝.∴最短弦的长为2.
4．已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为________．
答案 (x＋1)2＋y2＝2
解析 令y＝0，得x＝－1，所以直线x－y＋1＝0与x轴的交点为(－1,0)，即为圆心．因为直线x＋y＋3＝0与圆C相切，所以圆心C到直线x＋y＋3＝0的距离等于半径，即r＝＝，所以圆C的方程为(x＋1)2＋y2＝2.
5．直线y＝kx＋3与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于M，N两点，且|MN|≥2，则k的取值范围是________．
答案 (－∞，0]
解析 因为|MN|≥2，所以圆心(1,2)到直线y＝kx＋3的距离不大于＝1，即≤1，解得k≤0.
1．判断直线与圆位置关系的途径主要有两个：一是圆心到直线的距离与圆的半径进行大小比较；二是直线与圆的方程组成的方程组解的个数．两者相比较，前者较形象、直观，便于运算．
2．与圆有关的弦长、切线问题常利用几何法求解，但注意验证所求直线的斜率不存在的情形，避免漏解．
一、选择题
1．若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝R2外，则直线x0x＋y0y＝R2与圆的位置关系是( )
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
答案 B
解析 因为点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝R2外，所以x＋y＞R2，圆心到直线x0x＋y0y＝R2的距离为＜＝R，所以直线与圆相交，故选B.
2．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是( )
A．[－3，－1] B．[－1,3]
C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
答案 C
解析 圆(x－a)2＋y2＝2的圆心C(a,0)到直线x－y＋1＝0的距离为d，则d≤r＝?≤?|a＋1|≤2?－3≤a≤1.
3．如果圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与x轴相切于原点，则( )
A．E≠0，D＝F＝0 B．D≠0，E≠0，F＝0
C．D≠0，E＝F＝0 D．F≠0，D＝E＝0
答案 A
解析 由题意得，圆心坐标为，
在y轴上，F＝0，且半径为＝，
化简可得E≠0，D＝F＝0.
4．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为( )
A．0或4 B．0或3
C．－2或6 D．－1或
答案 A
解析 由圆的方程，可知圆心坐标为(a,0)，半径r＝2.又直线被圆截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离d＝＝.又d＝，所以|a－2|＝2，解得a＝4或a＝0.故选A.
5．直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a＜3)相交于A，B两点，若弦AB的中点为C(－2,3)，则直线l的方程为( )
A．x－y＋5＝0 B．x＋y－1＝0
C．x－y－5＝0 D．x＋y－3＝0
答案 A
解析 由圆的一般方程，可得圆心为M(－1,2)．由圆的性质易知，M(－1,2)与C(－2,3)的连线与弦AB垂直，故有kAB×kMC＝－1，即得kAB＝1.故直线AB的方程为y－3＝x＋2，整理得x－y＋5＝0.
6．与圆C：x2＋y2－4x＋2＝0相切，且在x，y轴上的截距相等的直线共有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
答案 C
解析 圆C的方程可化为(x－2)2＋y2＝2.可分两种情况讨论：
(1)直线在x，y轴上的截距均为0，易知直线斜率必存在，设直线方程为y＝kx，则＝，解得k＝±1；
(2)直线在x，y轴上的截距均不为0，则可设直线方程为＋＝1(a≠0)，即x＋y－a＝0(a≠0)，则＝，解得a＝4(a＝0舍去)．因此满足条件的直线共有3条．
7．圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线l：x＋y＋1＝0的距离为的点有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
答案 C
解析 圆的一般方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8.圆心坐标为(－1，－2)，圆的半径为2，圆心到直线l的距离为＝＝.因此和直线l平行的圆的直径的两端点及与直线l同侧且与直线l平行的圆的切线的切点到直线l的距离都为.
二、填空题
8．已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________.
答案 4±
解析 圆心C(1，a)到直线ax＋y－2＝0的距离为.因为△ABC为等边三角形，所以|AB|＝|BC|＝2，所以2＋12＝22，
解得a＝4±.
9．在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为________．
答案 10
解析 圆的方程化为标准形式为(x－1)2＋(y－3)2＝10，由圆的性质可知最长弦|AC|＝2，最短弦BD恰以E(0,1)为中点，且与AC垂直，设点F为其圆心，坐标为(1,3)．
故|EF|＝，∴|BD|＝2＝2，
∴S四边形ABCD＝|AC|·|BD|＝10.
10．一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为________．
答案 －或－
解析 由已知得点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性知，反射光线一定过点(2，－3)．设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切，
则有d＝＝1，解得k＝－或k＝－.
11．由直线y＝x＋1上的一点向圆x2－6x＋y2＋8＝0引切线，则切线长的最小值为________．
答案
解析 切线长的最小值在直线y＝x＋1上的点与圆心的距离最小时取得，圆心(3,0)到直线的距离为d＝＝2，圆的半径为1，故切线长的最小值为＝＝.
三、解答题
12．已知圆C和y轴相切，圆心C在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为2，求圆C的方程．
解 设圆心坐标为(3m，m)，
∵圆C和y轴相切，∴圆C的半径为3|m|.
∵圆心到直线y＝x的距离为＝|m|，
由半径、弦心距、半弦长的关系，得9m2＝7＋2m2，
∴m＝±1.∴所求圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
四、探究与拓展
13．过点A(11,2)作圆x2＋y2＋2x－4y－164＝0的弦，其中弦长为整数的有________条．
答案 32
解析 由题意可知过点A(11,2)的最短的弦长为10，最长的弦长为26，所以弦长为整数的有2＋2×(26－10－1)＝32(条)．
14．已知圆C过点M(0，－2)，N(3,1)，且圆心C在直线x＋2y＋1＝0上，则圆C的方程为________．
答案 x2＋y2－6x＋4y＋4＝0
解析 设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则解得D＝－6，E＝4，F＝4，
∴圆C的方程为x2＋y2－6x＋4y＋4＝0.
4.2.2 圆与圆的位置关系
学习目标 1.理解圆与圆的位置关系的种类.2.掌握圆与圆的位置关系的代数判断方法与几何判断方法，能够利用上述方法判断两圆的位置关系.3.体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越性．
知识点 两圆位置关系的判断
思考 圆与圆的位置关系有几种？如何利用几何方法判断圆与圆的位置关系？
答案 圆与圆的位置关系有五种，分别为：外离、外切、相交、内切、内含．
几何方法判断圆与圆的位置关系
设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为r1，r2(r1≠r2)，则
(1)当d＞r1＋r2时，圆C1与圆C2外离；
(2)当d＝r1＋r2 时，圆C1与圆C2外切；
(3)当|r1－r2|＜d＜r1＋r2 时，圆C1与圆C2相交；
(4)当d＝|r1－r2|时，圆C1与圆C2内切；
(5)当d＜|r1－r2|时，圆C1与圆C2内含．
梳理 (1)用几何法判断圆与圆的位置关系
已知两圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r，
C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝r，
则圆心距d＝|C1C2|＝.
两圆C1，C2有以下位置关系：
位置关系
外离
内含
相交
内切
外切
圆心距与半径的关系
d＞r1＋r2
d＜|r1－r2|
|r1－r2|＜d＜r1＋r2
d＝|r1－r2|
d＝r1＋r2
图示
(2)用代数法判断圆与圆的位置关系
已知两圆：C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，
C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，
将方程联立
消去y(或x)得到关于x(或y)的一元二次方程，
则①判别式Δ＞0时，C1与C2相交；
②判别式Δ＝0时，C1与C2外切或内切；
③判别式Δ＜0时，C1与C2外离或内含．
1．如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( × )
2．如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( × )
3．从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．( × )
4．过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.( √ )
类型一 两圆的位置关系
例1 已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )
A．内切 B．相交
C．外切 D．外离
答案 B
解析 由得两交点坐标分别为(0,0)，(－a，a)．
∵圆M截直线所得线段的长度为2，
∴＝2，
又a＞0，∴a＝2.
∴圆M的方程为x2＋y2－4y＝0，
即x2＋(y－2)2＝4，圆心为M(0,2)，半径为r1＝2.
又圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为N(1,1)，半径为r2＝1，
∴|MN|＝＝.
∵r1－r2＝1，r1＋r2＝3,1＜|MN|＜3，∴两圆相交．
反思与感悟 判断圆与圆的位置关系的一般步骤
(1)将两圆的方程化为标准方程(若圆方程已是标准形式，此步骤不需要)．
(2)分别求出两圆的圆心坐标和半径长r1，r2.
(3)求两圆的圆心距d.
(4)比较d与|r1－r2|，r1＋r2的大小关系．
(5)根据大小关系确定位置关系．
跟踪训练1 已知圆C1：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0和圆C2：4x2＋4y2－16x＋8y＋19＝0，则这两个圆的公切线的条数为( )
A．1或3 B．4 C．0 D．2
答案 D
解析 由圆C1：(x－1)2＋(y＋2)2＝1，圆C2：(x－2)2＋(y＋1)2＝，得C1(1，－2)，C2(2，－1)，
∴|C1C2|＝＝.
又r1＝1，r2＝，
则r1－r2＜|C1C2|＜r1＋r2，
∴圆C1与圆C2相交．
故这两个圆的公切线有2条．
例2 当a为何值时，两圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和C2：x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0：
(1)外切；(2)相交；(3)外离．
解 将两圆方程写成标准方程，则
C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋(y－a)2＝4.
∴两圆的圆心和半径分别为C1(a，－2)，r1＝3，
C2(－1，a)，r2＝2.
设两圆的圆心距为d，则d2＝(a＋1)2＋(－2－a)2＝2a2＋6a＋5.
(1)当d＝5，即2a2＋6a＋5＝25时，两圆外切，
此时a＝－5或a＝2.
(2)当1＜d＜5，即1＜2a2＋6a＋5＜25时，两圆相交，此时－5＜a＜－2或－1＜a＜2.
(3)当d＞5，即2a2＋6a＋5＞25时，两圆外离，
此时a＞2或a＜－5.
反思与感悟 (1)利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤
①将圆的方程化成标准形式，写出圆心和半径．
②计算两圆圆心的距离d.
③通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．
(2)应用几何法判断两圆的位置关系或求参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系．
跟踪训练2 若圆C1：x2＋y2＝16与圆C2：(x－a)2＋y2＝1相切，则a的值为( )
A．±3 B．±5
C．3或5 D．±3或±5
答案 D
解析 圆C1与圆C2的圆心距为d＝＝|a|.
当两圆外切时，有|a|＝4＋1＝5，∴a＝±5；
当两圆内切时，有|a|＝4－1＝3，∴a＝±3.
类型二 两圆的公共弦问题
例3 已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.
(1)判断两圆的位置关系；
(2)求公共弦所在的直线方程；
(3)求公共弦的长度．
解 (1)将两圆方程配方化为标准方程，则
C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，
C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10，
∴圆C1的圆心坐标为(1，－5)，半径为r1＝5，
圆C2的圆心坐标为(－1，－1)，半径为r2＝.
又∵|C1C2|＝2，r1＋r2＝5＋，|r1－r2|＝|5－|，
∴|r1－r2|<|C1C2|∴两圆相交．
(2)将两圆方程相减，
得公共弦所在的直线方程为x－2y＋4＝0.
(3)方法一 由(2)知圆C1的圆心(1，－5)到直线x－2y＋4＝0的距离为d＝＝3，
∴公共弦长为l＝2＝2＝2.
方法二 设两圆相交于点A，B，则A，B两点满足方程组
解得或
∴|AB|＝＝2.
即公共弦长为2.
反思与感悟 (1)当两圆相交时，公共弦所在的直线方程的求法
若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.
(2)公共弦长的求法
①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．
②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．
跟踪训练3 圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在的直线被圆C3：(x－1)2＋(y－1)2＝所截得的弦长为________．
答案
解析 由题意将两圆的方程相减，
可得圆C1和圆C2公共弦所在的直线l的方程为x＋y－1＝0.
又圆C3的圆心坐标为(1,1)，
其到直线l的距离为d＝＝，
由条件知，r2－d2＝－＝，
所以弦长为2×＝.
类型三 圆系方程及应用
例4 求圆心在直线x－y－4＝0上，且过两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程．
解 方法一 设经过两圆交点的圆系方程为x2＋y2－4x－6＋λ(x2＋y2－4y－6)＝0(λ≠－1)，
即x2＋y2－x－y－6＝0，
所以圆心坐标为.
又圆心在直线x－y－4＝0上，
所以－－4＝0，即λ＝－.
所以所求圆的方程为x2＋y2－6x＋2y－6＝0.
方法二 由
得两圆公共弦所在直线的方程为y＝x.
由解得
所以两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点坐标分别为A(－1，－1)，B(3,3)，
线段AB的垂直平分线所在的直线方程为y－1＝－(x－1)．
由得
即所求圆的圆心坐标为(3，－1)，
半径为＝4.
所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16.
反思与感悟 当经过两圆的交点时，圆的方程可设为(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1)＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0，然后用待定系数法求出λ即可．
跟踪训练4 求过直线x＋y＋4＝0与圆x2＋y2＋4x－2y－4＝0的交点且与直线y＝x相切的圆的方程．
解 设所求圆的方程为x2＋y2＋4x－2y－4＋λ(x＋y＋4)＝0.
联立得x2＋(1＋λ)x＋2(λ－1)＝0.
因为所求圆与直线y＝x相切，所以Δ＝0，即(1＋λ)2－8(λ－1)＝0，解得λ＝3，
故所求圆的方程为x2＋y2＋7x＋y＋8＝0.
1．两圆x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置关系是( )
A．内切 B．相交 C．外切 D．外离
答案 B
解析 圆x2＋y2－1＝0的圆心为C1(0,0)，半径为r1＝1，圆x2＋y2－4x＋2y－4＝0的圆心为C2(2，－1)，半径为r2＝3，两圆的圆心距为d＝|C1C2|＝＝，又r2－r1＝2，r1＋r2＝4，所以r2－r12．圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋(y－3)2＝1的内公切线有且仅有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
答案 B
解析 因为两圆的圆心距为3，半径之和为2，故两圆外离，所以内公切线的条数为2.
3．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是( )
A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0
C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0
答案 C
解析 AB的垂直平分线过两圆的圆心，把圆心(2，－3)代入，即可排除A，B，D.
4．已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆C的方程是________________________________________________________________________．
答案 (x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36
解析 设圆C的半径为r，
圆心距为d＝＝5，
当圆C与圆O外切时，r＋1＝5，r＝4，
当圆C与圆O内切时，r－1＝5，r＝6，
∴圆的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝16
或(x－4)2＋(y＋3)2＝36.
5．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦长为2，则a＝________.
答案 1
解析 将两圆的方程相减，得相交弦所在的直线方程为y＝，圆心(0,0)到直线的距离为d＝＝＝1，所以a＝1.
1．判断两圆的位置关系的方法
(1)由两圆的方程组成的方程组有几个实数解确定，这种方法计算量比较大，一般不用．
(2)依据圆心距与两圆半径的和或两半径的差的绝对值的大小关系．
2．当两圆相交时，把两圆的方程作差消去x2和y2就得到两圆的公共弦所在的直线方程．
3．求弦长时，常利用圆心到弦所在的直线的距离求弦心距，再结合勾股定理求弦长．
一、选择题
1．圆(x－3)2＋(y＋2)2＝1与圆x2＋y2－14x－2y＋14＝0的位置关系是( )
A．外切 B．内切 C．相交 D．外离
答案 B
解析 圆x2＋y2－14x－2y＋14＝0变形为(x－7)2＋(y－1)2＝36，圆心坐标为(7,1)，半径为r1＝6，圆(x－3)2＋(y＋2)2＝1的圆心坐标为(3，－2)，半径为r2＝1，所以圆心距d＝＝5＝6－1＝r1－r2，所以两圆内切．
2．若圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9与圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4外切，则m的值为( )
A．2 B．－5
C．2或－5 D．不确定
答案 C
解析 两圆的圆心坐标分别为(－2，m)，(m，－1)，
两圆的半径分别为3,2，
由题意得＝3＋2，
解得m＝2或－5.
3．设r＞0，圆(x－1)2＋(y＋3)2＝r2与圆x2＋y2＝16的位置关系不可能是( )
A．内切 B．相交
C．内切或内含 D．外切或外离
答案 D
解析 两圆的圆心距为d＝＝，
两圆的半径之和为r＋4，
因为＜r＋4，
所以两圆不可能外切或外离，故选D.
4．若圆x2＋y2－2x＋F＝0和圆x2＋y2＋2x＋Ey－4＝0的公共弦所在的直线方程是x－y＋1＝0，则( )
A．E＝－4，F＝8 B．E＝4，F＝－8
C．E＝－4，F＝－8 D．E＝4，F＝8
答案 C
解析
①－②可得4x＋Ey－F－4＝0，
即x＋y－＝0，
由两圆的公共弦所在的直线方程为x－y＋1＝0，
得解得
5．若圆x2＋y2＝r2与圆x2＋y2＋2x－4y＋4＝0有公共点，则r满足的条件是( )
A．r＜＋1 B．r＞＋1
C．|r－|≤1 D．|r－|＜1
答案 C
解析 由x2＋y2＋2x－4y＋4＝0，得(x＋1)2＋(y－2)2＝1，
两圆圆心之间的距离为＝.
∵两圆有公共点，
∴|r－1|≤≤r＋1，
∴－1≤r≤＋1，
即－1≤r－≤1，∴|r－|≤1.
6．半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程是( )
A．(x－4)2＋(y－6)2＝6
B．(x＋4)2＋(y－6)2＝6或(x－4)2＋(y－6)2＝6
C．(x－4)2＋(y－6)2＝36
D．(x＋4)2＋(y－6)2＝36或(x－4)2＋(y－6)2＝36
答案 D
解析 由题意可设圆的方程为(x－a)2＋(y－6)2＝36，由题意，得＝5，所以a2＝16，所以a＝±4.
7．设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|等于( )
A．4 B．4
C．8 D．8
答案 C
解析 ∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)，
∴两圆圆心均在第一象限且每个圆心的横、纵坐标相等．
设两圆的圆心坐标分别为(a，a)，(b，b)，
则有(4－a)2＋(1－a)2＝a2，(4－b)2＋(1－b)2＝b2，
即a，b为方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2的两个根，
整理得x2－10x＋17＝0，
∴a＋b＝10，ab＝17.
∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32，
∴|C1C2|＝＝＝8.
二、填空题
8．若圆x2＋y2－2ax＋a2＝2和x2＋y2－2by＋b2＝1外离，则a，b满足的条件是_____．
答案 a2＋b2＞3＋2
解析 由题意可得两圆的圆心坐标和半径长分别为(a,0)，和(0，b)，1.
因为两圆外离，
所以＞＋1，即a2＋b2＞3＋2.
9．两圆相交于两点A(1,3)和B(m，－1)，两圆圆心都在直线x－y＋c＝0上，则m＋c的值为________．
答案 3
解析 由题意知直线AB与直线x－y＋c＝0垂直，
∴kAB×1＝－1，即＝－1，得m＝5，
∴AB的中点坐标为(3,1)．又AB的中点在直线x－y＋c＝0上，
∴3－1＋c＝0，∴c＝－2，∴m＋c＝5－2＝3.
10．圆C1：x2＋y2－2x－8＝0与圆C2：x2＋y2＋2x－4y－4＝0的公共弦长为________．
答案 2
解析 由圆C1与圆C2的公共弦所在的直线l的方程为x－y＋1＝0，得点C1(1,0)到直线l的距离为d＝＝，圆C1的半径为r1＝3，所以圆C1与圆C2的公共弦长为2＝2＝2.
11．集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|(x－3)2＋(y－4)2＝r2}，其中r>0 ，若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值是__________．
答案 3或7
解析 ∵A∩B中有且仅有一个元素，
∴圆x2＋y2＝4与圆(x－3)2＋(y－4)2＝r2相切．
当两圆内切时，由＝|2－r|，解得r＝7；
当两圆外切时，由＝2＋r，解得r＝3.
∴r＝3或7.
12．经过直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝2的交点，且过点(1,2)的圆的方程为_______．
答案 x2＋y2－x－y－＝0
解析 由已知可设所求圆的方程为x2＋y2－2＋λ(x＋y＋1)＝0，将(1,2)代入，可得λ＝－，故所求圆的方程为x2＋y2－x－y－＝0.
三、解答题
13．已知圆O1：x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心O2(2,1)．
(1)若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程；
(2)若圆O2与圆O1交于A，B两点，且|AB|＝2，求圆O2的方程．
解 (1)设圆O2半径为r2，
因为两圆外切，所以|O1O2|＝r2＋2.
又|O1O2|＝＝2，
所以r2＝|O1O2|－2＝2(－1)，
故圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝12－8.
(2)设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r，
因为圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，
将两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB所在的直线方程为4x＋4y＋r－8＝0，
作O1H⊥AB，H为垂足，则|AH|＝|AB|＝，
所以|O1H|＝＝＝.
由圆心O1(0，－1)到直线4x＋4y＋r－8＝0的距离为＝，得r＝4或r＝20，
故圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.
四、探究与拓展
14．已知圆C1：x2＋y2＋4x＋1＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0，求以圆C1与圆C2的公共弦为直径的圆的方程．
解 由两圆的方程相减，得公共弦所在直线的方程为x－y＝0.
∵圆C1：(x＋2)2＋y2＝3，圆C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝1，
圆心C1(－2,0)，C2(－1，－1)，
∴两圆连心线所在直线的方程为＝，即x＋y＋2＝0.
由得所求圆的圆心为(－1，－1)．
又圆心C1(－2,0)到公共弦所在直线x－y＝0的距离d＝＝，
∴所求圆的半径r＝＝1，
∴所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝1.
15．求过两圆C1：x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与C2：x2＋y2－6x＝0的交点且过点(2，－2)的圆的方程．
解 设过两圆C1：x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与C2：x2＋y2－6x＝0的交点的圆系方程为x2＋y2－4x＋2y＋1＋λ(x2＋y2－6x)＝0，
即(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2－(4＋6λ)x＋2y＋1＝0.
把(2，－2)代入，得4(1＋λ)＋4(1＋λ)－2(4＋6λ)－4＋1＝0，解得λ＝－.
∴圆的方程为x2＋y2＋2x＋8y＋4＝0.
4.2.3 直线与圆的方程的应用
学习目标 1.了解直线与圆的位置关系的几何性质.2.会建立平面直角坐标系，利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题.3.会用“数形结合”的数学思想解决问题．
知识点 坐标法解决几何问题的步骤
用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示
问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论．
类型一 直线与圆的方程在实际问题中的应用
例1 为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8 km到达公路上的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，求DE的最短距离．
解 以O为坐标原点，OB，OC所在的直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，则圆O的方程为x2＋y2＝1.因为点B(8,0)，C(0,8)，所以直线BC的方程为＋＝1，即x＋y＝8.
当点D选在与直线BC平行的直线(距BC较近的一条)与圆相切所成的切点处时，DE为最短距离．此时DE的最小值为－1＝(4－1)km.
答 DE的最短距离为(4－1)km.
反思与感悟 针对这种类型的题目，即直线与圆的方程在生产、生活实践中的应用问题，关键是用坐标法将实际问题转化为数学问题，最后再还原为实际问题．
跟踪训练1 如图为一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽为________ m.
答案 2
解析 如图，以圆拱桥顶为坐标原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系．设圆心为C，圆的方程设为x2＋(y＋r)2＝r2(r＞0)，水面所在弦的端点为A，B，则A(6，－2)．将A(6，－2)代入圆的方程，得r＝10，
∴圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100.当水面下降1 m后，可设点A′(x0，－3)(x0＞0)，
将A′(x0，－3)代入圆的方程，得x0＝，
∴当水面下降1 m后，水面宽为2x0＝2(m)．
类型二 与圆有关的最值问题
例2 已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3.
(1)求的最大值和最小值；
(2)求y－x的最大值和最小值；
(3)求x2＋y2的最大值和最小值．
解 原方程表示以点(2,0)为圆心，以为半径的圆．
(1)设＝k，即y＝kx，当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，此时＝，解得k＝±，故的最大值为，最小值为－.
(2)设y－x＝b，即y＝x＋b，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时＝，即b＝－2±，故y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.
(3)x2＋y2表示圆上的点与原点间距离的平方，由平面几何知识知，
它在原点与圆心所连直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，
又圆心到原点的距离为2，
故(x2＋y2)max＝(2＋)2＝7＋4，
(x2＋y2)min＝(2－)2＝7－4.
反思与感悟 利用直线与圆的方程解决最值问题的方法
(1)由某些代数式的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合图形的直观性来分析解决问题，常涉及的几何量有斜率、截距、距离等．
(2)转化成函数解析式，利用函数的性质解决．
跟踪训练2 已知圆C：(x＋2)2＋y2＝1，P(x，y)为圆C上任一点．
(1)求的最大值与最小值；
(2)求x－2y的最大值与最小值．
解 (1)显然可以看作是点P(x，y)与点Q(1,2)连线的斜率，令＝k，如图所示，则其最大、最小值分别是过点Q(1,2)的圆C的两条切线的斜率．
对上式整理得kx－y－k＋2＝0，
∴＝1，
∴k＝.
故的最大值是，最小值是.
(2)令u＝x－2y，则u可视为一组平行线，当直线和圆C有公共点时，u的范围即可确定，且最值在直线与圆相切时取得．
依题意，得＝1，解得u＝－2±，
故x－2y的最大值是－2＋，最小值是－2－.
类型三 坐标法证明几何问题
例3 如图所示，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且AB⊥CD，E为垂足．利用坐标法证明E是CD的中点．
证明 如图所示，以O为坐标原点，以直径AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
设⊙O的半径为r，|OE|＝m，
则⊙O的方程为
x2＋y2＝r2，设C(m，b1)，D(m，b2)．
则有m2＋b＝r2，m2＋b＝r2，
即b1，b2是关于b的方程m2＋b2＝r2的根，
解方程得b＝±，
不妨设b1＝－，b2＝，
则CD的中点坐标为，
即(m,0)．故E(m,0)是CD的中点，即E是CD的中点．
反思与感悟 坐标法建立直角坐标系应坚持的原则
(1)若有两条相互垂直的直线，一般以它们分别为x轴和y轴．
(2)充分利用图形的对称性．
(3)让尽可能多的点落在坐标轴上，或关于坐标轴对称．
(4)关键点的坐标易求得．
跟踪训练3 如图所示，在圆O上任取C点为圆心，作圆C与圆O的直径AB相切于点D，圆C与圆O交于点E，F，且EF与CD相交于H，求证：EF平分CD.
证明 以AB所在直线为x轴，
O为坐标原点，建立平面直角坐标系，
如图所示，设|AB|＝2r，D(a,0)，
则|CD|＝，
∴C(a，)，
∴圆O：x2＋y2＝r2，
圆C：(x－a)2＋(y－)2＝r2－a2.
两方程作差，得直线EF的方程为2ax＋2y＝r2＋a2.
令x＝a，得y＝，
∴H，即H为CD的中点，
∴EF平分CD.
1．方程x2＋y2＝1(－1≤x≤0)所表示的图形是( )
A．以原点为圆心，1为半径的上半圆
B．以原点为圆心，1为半径的左半圆
C．以原点为圆心，1为半径的下半圆
D．以原点为圆心，1为半径的右半圆
答案 B
2．一辆卡车宽1.6 m，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6 m)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过( )
A．1.4 m B．3.5 m C．3.6 m D．2.0 m
答案 B
解析 如图，圆的半径|OA|＝3.6 m，卡车宽1.6 m，
所以|AB|＝0.8 m，所以弦心距|OB|＝≈3.5(m)．
3．设村庄外围所在曲线的方程可用(x－2)2＋(y＋3)2＝4表示，村外一小路所在直线的方程可用x－y＋2＝0表示，则从村庄外围到小路的最短距离为________．
答案 －2
解析 由圆心(2，－3)到直线x－y＋2＝0的距离为d＝＝，则从村庄外围到小路的最短距离为－2.
4．某操场400 m跑道的直道长为86.96 m，弯道是两个半圆弧，半径为36 m，以操场中心为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，求弯道所在的圆的方程．
解 易知题干图中上半个弯道所在圆的圆心坐标为C(0,43.48)，其所在圆的半径为36，故上半个弯道所在圆的方程是x2＋(y－43.48)2＝362.同理下半个弯道所在圆的方程是x2＋(y＋43.48)2＝362.
1．直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学研究中有着广泛的应用，要善于利用其解决一些实际问题，关键是把实际问题转化为数学问题；要有用坐标法解决几何问题的意识，用坐标法解决平面几何问题的思维过程：
2．利用直线与圆的方程解决最值问题的关键是由某些代数式的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合图形的几何量值关系分析、解决问题．
一、选择题
1．y＝|x|的图象和圆x2＋y2＝4所围成的图形的面积是( )
A. B.
C. D．π
答案 D
解析 数形结合，所求面积是圆x2＋y2＝4面积的.
2．若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，则x2＋y2的最小值为( )
A．2 B．1
C. D.
答案 B
解析 x2＋y2表示圆上的点(x，y)与(0,0)间距离的平方，由几何意义可知最小值为14－＝1.
3．已知圆x2＋y2＋2x－2y＋2a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦长为4，则实数a的值是( )
A．－1 B．－2
C．－3 D．－4
答案 B
解析 圆x2＋y2＋2x－2y＋2a＝0，即(x＋1)2＋(y－1)2＝2－2a，
故弦心距d＝＝，
再由弦长公式可得2－2a＝2＋4，
∴a＝－2.
4．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为( )
A．6 B．4
C．3 D．2
答案 B
解析 如图，圆心M(3，－1)与定直线x＝－3的最短距离为|MQ|＝3－(－3)＝6.又因为圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.
5．已知点A(－1,1)和圆C：(x－5)2＋(y－7)2＝4，一束光线从点A经x轴反射到圆C上的最短路程是( )
A．6－2 B．8 C．4 D．10
答案 B
解析 点A关于x轴的对称点A′(－1，－1)，A′与圆心(5,7)的距离为＝10.
∴所求最短路程为10－2＝8.
6．已知集合M＝{(x，y)|y＝，y≠0}，n＝{(x，y)|y＝x＋b}，若M∩N≠?，则实数b的取值范围是( )
A．[－3，3] B．[－3,3]
C．(－3,3] D．[－3，3)
答案 C
解析 数形结合法，注意y＝，y≠0等价于x2＋y2＝9(y>0)，
它表示的图形是圆x2＋y2＝9在x轴之上的部分(如图所示)．
结合图形不难求得，
当－3直线y＝x＋b与半圆x2＋y2＝9(y>0)有公共点．
7．已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC的面积的最小值是( )
A．3－ B．3＋
C．3－ D.
答案 A
解析 直线AB的方程为x－y＋2＝0，圆心到直线AB的距离为d＝＝，
所以圆上任意一点到直线AB的最小距离为－1，
所以△ABC面积的最小值为
S△ABC＝×|AB|×
＝×2×＝3－.
二、填空题
8．已知实数x，y满足x2＋y2＝1，则的取值范围为________．
答案
解析 令k＝，
即kx－y＋k－2＝0，
则圆心(0,0)到直线kx－y＋k－2＝0的距离小于或等于半径，
即≤1，即k≥.
9．已知圆C：(x－1)2＋y2＝1，点A(－2,0)及点B(3，a)，从点A观察点B，要使视线不被圆C挡住，则a的取值范围为__________________．
答案 ∪
解析 由题意知，AB所在直线与圆C相切或外离时，视线不被挡住，
直线AB的方程为y＝(x＋2)，即ax－5y＋2a＝0，
所以d＝≥1，即a≥或a≤－.
10．已知圆O：x2＋y2＝5和点A(1,2)，则过点A与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为________．
答案
解析 ∵点A(1,2)在圆x2＋y2＝5上，∴过点A与圆O相切的切线方程为x＋2y＝5，易知切线在坐标轴上的截距分别为5，，∴切线与坐标轴围成的三角形的面积为.
11．过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为__________________．
答案 x＋y－2＝0
解析 由题意知，点P(1,1)在圆x2＋y2＝4内，
则过点P截得的弦最短的直线将圆面分成的两部分面积之差最大，
则所求直线与圆心O和P(1,1)的连线垂直，
∴该直线斜率为－1，
由点斜式方程，得y－1＝－(x－1)，
即x＋y－2＝0.
12．台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区的时间为________h.
答案 1
解析 如图，以A地为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则台风经过以B(40,0)为圆心，30为半径的圆内，即危险区为MN，可求得|MN|＝20，
所以时间为1 h.
三、解答题
13．已知实数x，y满足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6.求：
(1)的最大值与最小值；
(2)的最大值与最小值．
解 (1)设k＝，表示圆上点P(x，y)与原点连线的斜率，直线OP的方程为y＝kx，当直线OP与圆C相切时，斜率取得最值，点C到直线y＝kx的距离d＝＝，得k＝3±2.即k＝3±2时，直线OP与圆C相切，所以max＝3＋2，min＝3－2.
(2)代数式表示圆C上点到定点(2,0)的距离，圆心(3,3)与定点(2,0)的距离为＝，
又圆C的半径是，所以()max＝＋，()min＝－.
四、探究与拓展
14．如图所示，已知直线l的解析式是y＝x－4，并且与x轴，y轴分别交于A，B两点，一个半径为的圆C，圆心C从点开始以每秒个单位的速度沿着y轴向下运动，当圆C与直线l相切时，该圆运动的时间为( )
A．6 s B．6 s或16 s C．16 s D．8 s或16 s
答案 B
解析 当圆与直线l相切时，
圆心坐标为(0，m)，
则圆心到直线l的距离为 ＝，
解得m＝－或m＝－，
∴该圆运动的时间为＝6(s)或＝16(s)．
15．如图，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25 km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发，径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿，速度为28 km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)
解 如图，以O为坐标原点，东西方向为x轴建立平面直角坐标系，
则A(40,0)，B(0,30)，
圆O方程为x2＋y2＝252.
直线AB方程为＋＝1，
即3x＋4y－120＝0.设O到AB距离为d，
则d＝＝24<25，
所以外籍轮船能被海监船监测到．
设监测时间为t，
则t＝＝0.5(h)．
答 外籍轮船能被海监船监测到，持续时间为0.5 h.
