新人教A版必修二第四章圆与方程 章末复习导学案

章末复习
学习目标　1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.培养综合运用知识解决问题的能力，能灵活、熟练运用待定系数法求解圆的方程，能解决直线与圆的综合问题，并学会运用数形结合的数学思想．
1．圆的方程
(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．
2．点和圆的位置关系
设点P(x0，y0)及圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(1)(x0－a)2＋(y0－b)2>r2?点P在圆外．
(2)(x0－a)2＋(y0－b)2(3)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?点P在圆上．
3．直线与圆的位置关系
设直线l与圆C的圆心之间的距离为d，圆的半径为r，则d>r?相离；d＝r?相切；d4．圆与圆的位置关系
设C1与C2的圆心距为d，半径分别为r1与r2，则
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图示
d与r1，r2的关系
d>r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|d＝|r1－r2|
d<|r1－r2|
5．求圆的方程时常用的四个几何性质
6．与圆有关的最值问题的常见类型
(1)形如μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．
(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点距离的平方的最值问题．
7．计算直线被圆截得的弦长的常用方法
(1)几何方法
运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．
(2)代数方法
运用根与系数的关系及弦长公式
|AB|＝|xA－xB|＝.
注：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法．
类型一　求圆的方程
例1　一个圆和已知圆x2＋y2－2x＝0外切，并与直线l：x＋y＝0相切于M(3，－)点，求该圆的方程．
解　∵圆C与圆x2＋y2－2x＝0外切，
故两个圆心之间的距离等于半径的和，
又∵圆C与直线l：x＋y＝0相切于M(3，－)点，
可得圆心与点M(3，－)的连线与直线x＋y＝0垂直，其斜率为.
设圆C的圆心坐标为(a，b)，
则
解得a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－4，r＝6，
∴圆C的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36.
反思与感悟　求圆的方程主要是根据圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法求解，采用待定系数法求圆的方程的一般步骤：
第一步：选择圆的方程的某一形式．
第二步：由题意得a，b，r(或D，E，F)的方程(组)．
第三步：解出a，b，r(或D，E，F)．
第四步：代入圆的方程．
注：解题时充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量，例如：圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点连线垂直于弦；当两圆相交时，连心线垂直平分两圆的公共弦；当两圆相切时，连心线过切点等．
跟踪训练1　(1)如图所示，圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2，则圆C的标准方程为________．
答案　(x－1)2＋(y－)2＝2
解析　取AB的中点D，连接CD，AC，则CD⊥AB.
由题意知，|AD|＝|CD|＝1，故|AC|＝＝，即圆C的半径为.又因为圆C与x轴相切于点T(1,0)，所以圆心C(1，)，故圆的标准方程为(x－1)2＋(y－)2＝2.
(2)求半径为，圆心在直线y＝2x上，被直线x－y＝0截得的弦长为4的圆的方程．
解　设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则圆心坐标为(a，b)，半径r＝，
圆心(a，b)到直线x－y＝0的距离d＝，
由半弦长，弦心距，半径组成的直角三角形得，d2＋2＝r2，
即＋8＝10，
∴(a－b)2＝4，
又∵b＝2a，
∴a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4，
故所求圆的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10.
类型二　直线与圆的位置关系
例2　已知点M(3,1)，直线ax－y＋4＝0及圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1)求过M点的圆的切线方程；
(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值；
(3)若直线ax－y＋4＝0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2，求a的值．
解　(1)圆心C(1,2)，半径为r＝2.
①当直线的斜率不存在时，方程为x＝3.
由圆心C(1,2)到直线x＝3的距离为d＝3－1＝2＝r知，此时直线与圆相切．
②当直线的斜率存在时，设直线方程为y－1＝k(x－3)，
即kx－y＋1－3k＝0.
由题意知，＝2，解得k＝.
∴方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0.
故过M点的圆的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0.
(2)由题意有＝2，解得a＝0或a＝.
(3)∵圆心到直线ax－y＋4＝0的距离为，
∴2＋2＝4，解得a＝－.
反思与感悟　当直线与圆相交时，常涉及到弦长问题，弦长的计算有以下两种思路
(1)代数方法：将直线和圆的方程联立得方程组，消元后得到一个一元二次方程，在判别式Δ>0的前提下，可利用根与系数的关系求弦长．
(2)几何方法：若弦心距为d，圆半径为r，则弦长为l＝2.
解决直线与圆相交问题时，常利用几何方法，即构造直角三角形，利用勾股定理，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，圆心和切点的连线垂直于切线．
跟踪训练2　已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.
(1)若直线l过点P，且被圆C截得的线段长为4，求l的方程；
(2)求过点P的圆C的弦的中点的轨迹方程．
解　(1)如图所示，|AB|＝4，设D是线段AB的中点，则CD⊥AB，
∴|AD|＝2，|AC|＝4.
在Rt△ACD中，可得|CD|＝2.
设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.
由点C到直线AB的距离为＝2，得k＝，
此时直线l的方程为3x－4y＋20＝0.
又∵当直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x＝0，
∴所求直线l的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0.
(2)设过点P的圆C的弦的中点为E(x，y)，
则CE⊥PE，所以kCE·kPE＝－1，
即·＝－1，
化简得所求轨迹方程为x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.
类型三　圆与圆的位置关系
例3　已知一个圆的圆心坐标为A(2,1)，且与圆x2＋y2－3x＝0相交于P1，P2两点，若点A到直线P1P2的距离为，求这个圆的方程．
解　设圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r2，
即x2＋y2－4x－2y＋5－r2＝0，
所以直线P1P2的方程为x＋2y－5＋r2＝0.
由已知得＝，解得r2＝6.
故所求圆的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝6.
反思与感悟　(1)当两圆相交时，公共弦所在的直线方程的求法
若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.
(2)公共弦长的求法
①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．
②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．
跟踪训练3　已知两圆(x＋1)2＋(y－1)2＝r2和(x－2)2＋(y＋2)2＝R2相交于P，Q两点，若点P的坐标为(1,2)，则点Q的坐标为________．
答案　(－2，－1)
解析　两圆的圆心坐标分别为O1(－1,1)和O2(2，－2)，
由平面几何知，直线O1O2垂直平分线段PQ，
则kPQ·kO1O2＝kPQ·＝－1，∴kPQ＝1.
∴直线PQ的方程为y－2＝x－1，即y＝x＋1.
由点P(1,2)在圆(x＋1)2＋(y－1)2＝r2上，
可得r＝，
联立解得或
∴Q(－2，－1)．
类型四　圆中的最值问题
例4　圆x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2－1＝0与x2＋y2＋2bx＋2by＋2b2－2＝0的公共弦长的最大值为(　　)
A．2 B．2
C. D．1
答案　B
解析　由题意得，两圆的标准方程分别为(x＋a)2＋(y＋a)2＝1和(x＋b)2＋(y＋b)2＝2，
两圆的圆心坐标分别为(－a，－a)，(－b，－b)，
半径分别为1，，
则当公共弦为圆(x＋a)2＋(y＋a)2＝1的直径时，公共弦长最大，最大值为2.
反思与感悟　与圆有关的最值问题包括
(1)求圆O上一点到圆外一点P的最大距离、最小距离：dmax＝|OP|＋r，dmin＝||OP|－r|.
(2)求圆上的点到某条直线的最大、最小距离：设圆心到直线的距离为m，则dmax＝m＋r，dmin＝|m－r|.
(3)已知点的运动轨迹是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，求①；②；③x2＋y2等式子的最值，一般是运用几何法求解．
跟踪训练4　已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB的面积的最小值为________．
答案　2
解析　圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的圆心为C(1,1)，半径为1，
由题意知，当圆心C到点P的距离最小，
即为圆心到直线的距离最小时，四边形的面积最小，
由圆心到直线的距离d＝＝3，
∴|PA|＝|PB|＝＝2，
∴S四边形PACB＝2×|PA|r＝2.
1．以点(－3,4)为圆心，且与x轴相切的圆的方程是(　　)
A．(x－3)2＋(y＋4)2＝16 B．(x＋3)2＋(y－4)2＝16
C．(x－3)2＋(y＋4)2＝9 D．(x＋3)2＋(y－4)2＝9
答案　B
2．若过点P(－，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角α的取值范围是(　　)
A．0°＜α≤30° B．0°＜α≤60°
C．0°≤α≤30° D．0°≤α≤60°
答案　D
解析　设l：y＋1＝k(x＋)，即kx－y＋k－1＝0，
圆心(0,0)到直线l的距离为d＝≤1，
解得0≤k≤，
即0≤tan α≤，∴0°≤α≤60°.
3．两圆x2＋y2－6x＋16y－48＝0与x2＋y2＋4x－8y－44＝0的公切线的条数为(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
答案　C
解析　两圆的标准方程分别为(x－3)2＋(y＋8)2＝121；
(x＋2)2＋(y－4)2＝64，则两圆的圆心与半径分别为
C1(3，－8)，r1＝11；C2(－2,4)，r2＝8.
圆心距为|C1C2|＝＝13.
∵r1－r2＜|C1C2|＜r1＋r2，
∴两圆相交，则公切线共2条．
4．若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为_____．
答案　x2＋(y－1)2＝1
解析　由圆C的圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，得圆C的圆心为(0,1)．又因为圆C的半径为1，所以圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1.
5．已知直线x－my＋3＝0和圆x2＋y2－6x＋5＝0.
(1)当直线与圆相切时，求实数m的值；
(2)当直线与圆相交，且所得弦长为时，求实数m的值．
解　(1)因为圆x2＋y2－6x＋5＝0可化为(x－3)2＋y2＝4，所以圆心坐标为(3,0)．
因为直线x－my＋3＝0与圆相切，
所以＝2，
解得m＝±2.
(2)圆心(3,0)到直线x－my＋3＝0的距离为d＝ .
由2＝，
得2＋2m2＝20m2－160，即m2＝9.
故m＝±3.
圆是非常特殊的几何图形，它既是中心对称图形又是轴对称图形，它的许多几何性质在解决圆的问题时往往起到事半功倍的作用，所以在实际解题中常用几何法，充分结合圆的平面几何性质．那么，经常使用的几何性质有
(1)圆的切线的性质：圆心到切线的距离等于半径；切点与圆心的连线垂直于切线；切线在切点处的垂线一定经过圆心；圆心、圆外一点及该点所引切线的切点构成直角三角形的三个顶点等等．
(2)直线与圆相交的弦的有关性质：相交弦的中点与圆心的连线垂直于弦所在直线；弦的垂直平分线(中垂线)一定经过圆心；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形的三边，满足勾股定理．
(3)与直径有关的几何性质：直径是圆的最长的弦；圆的对称轴一定经过圆心；直径所对的圆周角是直角．
一、选择题
1．已知圆C与直线x－y＝0和x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为(　　)
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
答案　B
2．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是(　　)
A．(－13,13) B．[－13,13]
C．(－∞，－13)∪(13，＋∞) D．(－∞，－13]∪[13，＋∞)
答案　A
解析　由题设得，若圆上有四个点到直线的距离为1，则需圆心(0,0)到直线的距离d满足0≤d<1.
∵d＝＝，∴0≤|c|<13，即c∈(－13,13)．
3．已知圆O1的方程为x2＋y2＝4，圆O2的方程为(x－a)2＋y2＝1，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a的所有取值构成的集合是(　　)
A．{1，－1} B．{3，－3}
C．{1，－1,3，－3} D．{5，－5,3，－3}
答案　C
解析　∵两个圆有且只有一个公共点，∴两个圆内切或外切，
当两圆内切时，|a|＝1，当两圆外切时，|a|＝3，
∴实数a的取值集合是{1，－1,3，－3}，故选C.
4．已知直线l：ax－y＋b＝0，圆M：x2＋y2－2ax＋2by＝0，则l与M在同一坐标系中的图形可能是(　　)
答案　B
5．已知圆心为(2,0)的圆C与直线y＝x相切，则切点到原点的距离为(　　)
A．1 B. C．2 D.
答案　B
解析　如图，设圆心为C，切点为A，
圆的半径为r＝＝，|OC|＝2，
∴切点到原点的距离为＝.故选B.
6．直线x＋y－2＝0截圆x2＋y2＝4所得的劣弧所对的圆心角为(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
答案　C
解析　设直线与圆相交于A，B两点，过O作OC⊥AB，垂足为点C，
由圆的方程x2＋y2＝4，得圆心O的坐标为(0,0)，半径为r＝2.
∵圆心到直线x＋y－2＝0的距离为d＝|OC|＝＝，
∴直线被圆截得的弦长为|AB|＝2＝2，
∴△AOB为等边三角形，即∠AOB＝60°，
∴直线被圆截得的劣弧所对的圆心角为60°，故选C.
7．已知直线l：kx＋y－2＝0(k∈R)是圆C：x2＋y2－6x＋2y＋9＝0的对称轴，过点A(0，k)作圆C的一条切线，切点为B，则线段AB的长为(　　)
A．2 B．2 C．3 D．2
答案　D
解析　由圆C：x2＋y2－6x＋2y＋9＝0，得(x－3)2＋(y＋1)2＝1，
表示以C(3，－1)为圆心，1为半径的圆．
由题意可得直线l：kx＋y－2＝0经过圆C的圆心(3，－1)，
故有3k－1－2＝0，得k＝1，则点A(0,1)，
即|AC|＝＝，
则|AB|＝＝ ＝2，故选D.
二、填空题
8．直线x＋y＋a＝0(a>0)与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，且S△OAB＝，则a＝______.
答案　或
解析　∵圆心到直线x＋y＋a＝0的距离d＝，
|AB|＝2×，
∴S△OAB＝×2××＝，
解得a2＝6或a2＝2.又a>0，
∴a＝或.
9．若两圆x2＋(y＋1)2＝1和(x＋1)2＋y2＝r2相交，则正数r的取值范围是________．
答案　(－1，＋1)
解析　∵两圆x2＋(y＋1)2＝1和(x＋1)2＋y2＝r2相交，
圆x2＋(y＋1)2＝1的半径和圆心分别是1，(0，－1)，
圆(x＋1)2＋y2＝r2的半径和圆心分别是r，(－1,0)，
∴两个圆的圆心的距离大于两个圆的半径之差的绝对值，小于两个圆的半径之和，
即|r－1|＜＜r＋1，
∴r－1＜＜r＋1，∴r∈(－1，＋1)，
即正数r的取值范围是(－1，＋1)．
10．已知在平面直角坐标系xOy中，过点(1,0)的直线l与直线x－y＋1＝0垂直，且l与圆C：x2＋y2＝－2y＋3交于A，B两点，则△OAB的面积为________．
答案　1
解析　∵直线l的方程为y＝－(x－1)，即x＋y－1＝0.
又由圆C：x2＋y2＝－2y＋3，得x2＋(y＋1)2＝4，
圆心C(0，－1)到l的距离为d＝＝，
∴|AB|＝2＝2＝2，
又原点O到l的距离为＝，∴S△OAB＝××2＝1.
11．设圆C同时满足三个条件：①过原点；②圆心在直线y＝x上；③截y轴所得的弦长为4，则圆C的方程是__________________________．
答案　(x＋2)2＋(y＋2)2＝8或(x－2)2＋(y－2)2＝8
解析　由题意可设圆心C(a，a)，如图，
得22＋22＝2a2，解得a＝±2，r2＝8.
所以圆C的方程是(x＋2)2＋(y＋2)2＝8或(x－2)2＋(y－2)2＝8.
三、解答题
12．如图，已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切．过点B(－2,0)的动直线l与圆A交于M，N两点．
(1)求圆A的方程；
(2)当|MN|＝2时，求直线l的方程．
解　(1)由题意知，A(－1,2)到直线x＋2y＋7＝0的距离为圆A的半径R，
∴R＝＝2，
∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.
(2)设MN的中点为Q，连接QA，
则由垂径定理可知∠MQA＝90°，
且|MQ|＝，在Rt△AMQ中，
由勾股定理知，|AQ|＝＝1，
①当动直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－2，显然符合题意，
②当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.
∴＝1，得k＝，
∴直线l：3x－4y＋6＝0.
综上，直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.
13．已知圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0与圆C2：x2＋y2－2x＋10y－24＝0相交于A，B两点．
(1)求公共弦AB所在的直线方程；
(2)求圆心在直线y＝－x上，且经过A，B两点的圆的方程；
(3)求经过A，B两点且面积最小的圆的方程．
解　(1)由得x－2y＋4＝0.
∴圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0与圆C2：x2＋y2－2x＋10y－24＝0的公共弦AB所在的直线方程为x－2y＋4＝0.
(2)由(1)得x＝2y－4，代入x2＋y2＋2x＋2y－8＝0中，得y2－2y＝0，
∴或
即A(－4,0)，B(0,2)．
又圆心在直线y＝－x上，设圆心为M(x，－x)，
则|MA|＝|MB|，
即(x＋4)2＋(－x)2＝x2＋(－x－2)2，解得x＝－3.
∴圆心M(－3,3)，半径|MA|＝.
∴圆心在直线y＝－x上，且经过A，B两点的圆的方程为(x＋3)2＋(y－3)2＝10.
(3)由A(－4,0)，B(0,2)，
得AB的中点坐标为(－2,1)，
|AB|＝＝.
∴经过A，B两点且面积最小的圆的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝5.
四、探究与拓展
14．当曲线y＝1＋与直线kx－y－2k＋4＝0有两个相异的交点时，实数k的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　y＝1＋可化为x2＋(y－1)2＝4(y≥1)．
直线kx－y－2k＋4＝0过定点A(2,4)且斜率为k，
故设直线与半圆的切线为AD，半圆的左端点为B(－2,1)，
当直线的斜率k大于直线AD的斜率且小于或等于直线AB的斜率时，直线与半圆有两个相异的交点．
当直线与半圆相切时，有＝2，
解得k＝，即kAD＝.
又∵直线AB的斜率kAB＝＝，
∴直线的斜率k的取值范围为.
15．已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4，直线l：(m＋2)x＋(2m＋1)y＝7m＋8.
(1)求证：直线l与圆C恒相交；
(2)当m＝1时，过圆C上点(0,3)作圆的切线l1交直线l于点P，Q为圆C上的动点，求|PQ|的取值范围．
(1)证明　直线l的方程可化为m(x＋2y－7)＋2x＋y－8＝0，故l恒过点A(3,2)．
∵(3－2)2＋(2－3)2＝2<4，
即点A在圆C内，
∴直线l与圆C恒相交．
(2)解　由题意知直线l1的方程为x＝0.
又当m＝1时，l：x＋y＝5，
∴联立得交点P(0,5)，
∴|PC|＝2，
∴|PQ|的取值范围为[2－2,2＋2]．