第五节用单摆测定重力加速度
1．(3分)单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型，其理想化条件是( )
A．摆线质量不计
B．摆线长度不伸缩
C．摆球的直径比摆线长度短得多
D．只要是单摆的运动就是一种简谐运动
【解析】 单摆由摆线和摆球组成，摆线只计长度不计质量，摆球只计质量不计大小，且摆线不伸缩，A、B、C正确．但把单摆作为简谐运动来处理是有条件的，只有在摆角很小(θ<10°)的情况下才能视单摆运动为简谐运动．
【答案】 ABC
2．(3分)在探究单摆振动周期的实验中，操作上错误或不合理的有( )
A．取单摆的最大偏角大于5°
B．摆球摆动到最高点开始计时
C．防止摆球在水平面内做圆周运动或椭圆运动
D．测出的摆线长就是摆长
E．在平衡位置启动秒表，并开始计数，当摆球第30次经过平衡位置时制动秒表，若读数为t，则T＝
【解析】 回答此题应知道单摆做简谐运动的条件及全振动的含义．
A．单摆应保证偏角小于5°，做简谐运动．
B．应在通过最低点时开始计时，误差较小．
C．摆长应为摆线长加摆球半径．
D．如此计数，则T＝，应在摆球经过平衡位置时开始计时，在摆球下一次以相同方向通过平衡位置时，计数为1.
【答案】 ABDE
3．(4分)两个质量相等的弹性小球分别挂在l1＝1.00 m，l2＝0.25 m的细绳上，两球重心等高，如图1－5－1所示．现将B球在竖直面内拉开一个较小的角度放开后，从B球开始运动计算，经过4 s两球相碰的次数为( )
图1－5－1
A．3次 B．4次
C．5次 D．6次
【解析】 先计算两球运动的周期，
T1＝2π ＝2 s，T2＝2π ＝1 s.
从B开始运动经，即0.25 s第一次相碰，并经，即1 s第二次相碰；再经，即0.5 s第三次相碰，可推证到第5次相碰共用时3.25 s，到第六次相碰共用时4.25 s，故C项正确．
【答案】 C
课 标
导 思
1．知道秒表，游标卡尺的使用方法及读数．
2．了解用单摆测定重力加速度的实验目的，理解实验原理．
3．掌握用单摆测定重力加速度的方法.
学生P11
一、实验目标
1．实验目的
学会用单摆测定当地的重力加速度的方法．
2．能力目标
掌握对测量出的摆长和周期进行数据处理的两种方法，并会进行误差分析．
二、实验原理
测出单摆的摆长l和周期T，代入g＝可以求出单摆所在地的重力加速度．
三、实验器材
小钢球、细绳、铁架台(带铁夹)、毫米刻度尺、游标卡尺、秒表等．
四、实验步骤
1．做单摆
(1)让线的一端穿过小球的小孔，然后打一个比小孔大一些的结．
(2)把线的上端用铁夹固定在铁架台上并把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自由下垂，在单摆平衡位置处作上标记．
2．测摆长
用毫米刻度尺量出悬线长l′，精确到毫米；用游标卡尺测量出摆球的直径D，精确到毫米；则l＝l′＋，即单摆的摆长．
3．测周期
将单摆从平衡位置拉开一个角度，且满足摆角小于5°，然后由静止释放摆球，当单摆摆动稳定后，过平衡位置时用秒表开始计时，测量30次～50次全振动的时间．计算出平均摆动一次的时间，即单摆的振动周期T.
4．算重力加速度
(1)应用公式g＝计算重力加速度的值．
(2)改变摆长，重复实验三次，计算重力加速度的平均值．
5．分析和比较
将测得的重力加速度的值和当地的重力加速度比较，分析产生误差的原因．
学生P11
一、实验的数据处理及误差分析
1．平均值法
每改变一次摆长，测量并记录一组数据，计算出一个g值，然后取平均值作为g的测量值．
2．图象法
即用横轴表示摆长l，用纵轴表示T2，将实验所得数据在坐标平面上标出，应该得到一条倾斜直线，直线的斜率k＝.这是在众多的实验中经常采用的科学处理数据的重要方法．
(1)改变摆长测得数据填入下表
l/m
T/s
T2/s2
(2)根据上表数据在图1－5－2中拟合图线
图1－5－2
(3)求出图象的斜率k，即可求得g：g＝4π2/k＝4π2·Δl/ΔT2.
3．误差分析
产生原因
减小方法
系统误差
单摆模型本身是否符合要求
选择符合条件的球、线，保证小球在竖直平面内摆动
偶然误差
时间的测量不准
从摆球经过平衡位置时开始计时，不能漏计或多计全振动次数
【特别提醒】 由于Δl与小球半径r是否计入摆长无关，所以实验时，如果摆球的重心并不在球心或没有合适的工具测量r时，可以不测摆长，通过测摆长长度变化量来计算g值，这就可以免去对摆球重心位置的测定不准导致的误差.
二、实验中的注意事项
1．测周期的方法
(1)要从摆球过平衡位置时开始计时．
(2)要测多次全振动的时间来计算周期．
2．构成单摆的条件
细线的质量要小，弹性要小，球要选用体积小、密度大的小球，摆角不能超过5°.
3．要使摆球在同一竖直面内摆动，不能形成圆锥摆，方法是将摆球拉到一定位置后由静止释放．
4．摆长是悬点到球心的距离，等于摆线长加上小球半径．为使摆长测量准确，减小误差，可以用刻度尺进行如图1－5－3所示的测量，l＝求得摆长．摆线上端要固定好，以免摆动过程中摆长发生变化．
图1－5－3
5．单摆悬线的上端不能随意地卷在铁架台的杆上，应夹紧在铁夹中且单摆的摆向与铁夹缝垂直，以免摆动时发生摆长改变及摆线下滑现象．
一、利用单摆测定重力加速度的实验问题分析
在做“用单摆测定重力加速度”的实验时，用摆长l和周期T计算重力加速度的公式是g＝____________.若已知摆球直径为2.00 cm，让刻度尺的零点对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如图1－5－4(甲)所示，则单摆摆长是________m．若测定了40次全振动的时间如图1－5－4(乙)中秒表所示，则秒表读数是________s，单摆摆动周期是________．
图1－5－4
为了提高测量精度，需多次改变l值，并测得相应的T值．现将测得的六组数据标示在以l为横坐标、以T2为纵坐标的坐标系上，即图1－5－5中用“·”表示的点，则
图1－5－5
(1)单摆做简谐运动应满足的条件是________．
(2)试根据图中给出的数据点作出T2和l的关系图线，根据图线可求出g＝________m/s2.(结果取两位有效数字)
【导析】 根据“用单摆测定重力加速度”的实验原理、操作过程、数据处理方法等进行分析、求解．
【解析】 由T＝2π 可知g＝，
由图可知：摆长l＝(88.50－1.00) cm＝87.50 cm＝0.875 m，
秒表的读数t＝60 s＋15.2 s＝75.2 s；
所以T＝＝1.88 s.
(1)单摆做简谐运动的条件是θ≤5°.
(2)把在一条直线上的点连在一起，误差较大的点，均匀分布在直线的两侧，则直线斜率k＝.
由g＝＝，
可得g＝9.6 m/s2.
【答案】 0.875 75.2 1.88 s
(1)摆角≤5° (2)图略 9.6
(1)在读数时，要注意有效数字问题，毫米刻度尺的有效数字在0.1 mm位，需估读，而秒表为0.1 s，不估读；(2)在作图象时，由于有测量误差，会造成并非所有的点都在一条直线上，作图时应让误差较大的点均匀分布在直线两侧，提高实验的准确性.
1．用单摆测定重力加速度，根据的原理是( )
A．由g＝看出，T一定时，g与l成正比
B．由g＝看出，l一定时，g与T2成反比
C．由于单摆的振动周期T和摆长l可用实验测定，利用g＝可算出当地的重力加速度
D．同一地区单摆的周期不变，不同地区的重力加速度与周期的平方成反比
【解析】 同一地区的重力加速度g为定值．
【答案】 C
二、创新实验设计
利用在高楼顶下垂的单摆、实验室用的刻度尺和秒表，如何测定当地的重力加速度？请你设计一种行之有效的方法，写出简要的实验步骤、实验原理及计算g值的公式．(注意：单摆的摆长无法直接测出)
【导析】 利用摆长变化引起周期变化列式求解．
【解析】 实验原理是利用单摆的周期公式T＝2π .由于单摆的摆长无法直接测出，可以设计两组单摆，用刻度尺测出摆长的变化量，分别测出两组单摆的振动周期，利用公式列方程求解．
(1)先让下垂的单摆做简谐运动，测得周期T0.
(2)适当缩短摆长，用刻度尺测出缩短量Δl1.
(3)再测出缩短摆长后简谐运动的周期T1.
(4)重复(2)(3)步骤，测出缩短量Δl2、Δl3及它们所对应的周期T2、T3.
(5)利用公式g＝计算得g1、g2、g3，再求g的平均值．
【答案】 见解析
根据所学的知识及题目中所给的实验器材对实验进行创新、探究，是今后高考出题的热点，在平常的学习过程中要加强这种能力的培养.
2．有一单摆在地面上一定时间内振动了N次，将它移到某高山上，在相同时间内振动了(N－1)次，由此可粗略地推算出此山的高度约为地球半径的多少倍？
【解析】 设时间为t，在地面上单摆的周期为T＝，在高山上，单摆的周期为T′＝.设地面处的重力加速度为g，高山上的重力加速度为g′，由单摆的周期公式可推得＝()2.设高山的高度为h，由万有引力定律得g＝G，g′＝G，所以＝.山高为h＝R，即山高为地球半径的倍．
【答案】
1．游标卡尺的主尺分度值为1 mm，游标上有20个小的等分刻度，用它测量一摆球的直径，如图1－5－6所示，该摆球的直径为________mm.
图1－5－6
【解析】 由图可知，游标尺上的零刻线在主尺上的23.00 mm与24.00 mm之间，因此其整数部分应读为23.00 mm.由题给条件知，此游标卡尺为20分度游标卡尺，因此游标卡尺的每一小格的数值与主尺分度值之差为1 mm÷20＝0.05 mm，从图中可知游标尺上的第17条刻线恰好与主尺上的40 mm刻线对齐，所以其小数部分应读为0.05×17＝0.85 mm，故该摆球的直径为23.00 mm＋0.85 mm＝23.85 mm.
【答案】 23.85 mm
2．如图1－5－7所示为一单摆振动50次所用的时间，则其读数为________．
图1－5－7
【解析】 根据秒表的读数方法，此题秒表读数为t＝t1＋t2＝1 min＋10.8 s＝1 min10.8 s或70.8 s.
【答案】 70.8 s
3．在“用单摆测定重力加速度”的实验中，供选用的器材有：
A．带夹子的铁架台 B．带小孔的实心木球
C．带小孔的实心钢球 D．秒表
E．长约1 m的细线 F．长约10 cm的细线
G．毫米刻度的米尺 H．游标卡尺
I．螺旋测微器 J．天平
为使实验误差小，应选用________．
【解析】 根据单摆的理想化条件和实验操作过程可知，应选用A、C、D、E、G、H.
【答案】 ACDEGH
4．有五组同学用单摆测定重力加速度，各组的实验器材、数据如下表所示。若各组同学实验操作水平一样，那么第________组同学测定的结果最准确。若该组同学根据自已测得的实验数据作出单摆的振动图象，如图1－5－8所示，那么该同学测出的重力加速度大小是________m/s2.
图1－5－8
组制
摆球材料
最大偏角
摆长
测全振动次数
1
木
10°
0.40 m
10
2
铝
10°
0.50 m
20
3
铜
12°
0.60 m
30
4
铁
11°
0.80 m
40
5
铅
4°
0.80 m
50
【解析】 第5组同学的单摆摆长适当，偏角小于10°，振动次数较多，误差最小．T＝1.80 s，代入公式g＝，得g＝9.74 m/s2.
【答案】 第5组 9.74 m/s2
5．在用单摆测重力加速度实验中，某同学画的l－T2图象如图1－5－9，没过原点的原因是________．
图1－5－9
【解析】 此题考查了数学中一次函数的截距问题．由＝知l－T2应该过原点，而现在图线上有了负截距，说明l测小了．
【答案】 没有将摆球半径计入摆长
自我小测
1利用单摆测重力加速度时，若测得g值偏大，则可能是因为( )
A．单摆的摆锤质量偏大
B．测量摆长时，只考虑了悬线长，忽略了小球的半径
C．测量周期时，把n次全振动误认为是(n＋1)次全振动
D．测量周期时，把n次全振动误认为是(n－1)次全振动
2在“用单摆测定重力加速度”的实验中，同学们采用了以下几种测量摆长的不同方法，其中不妥或错误的方法是( )
A．装好单摆，用力拉紧摆线，用米尺测出摆线长度，然后加上摆球的半径
B．让单摆自然下垂，用米尺测出摆线长度，然后加上摆球的半径
C．将单摆取下并放在桌面上，用米尺测出摆线长度，然后加上摆球的半径
D．让单摆自然下垂，用米尺直接测出摆线悬点到摆球球心的距离
3用单摆测定重力加速度的实验中，有如下器材供选用．请把应选用的器材填在横线上______．(填字母)
A．1 m长的粗绳
B．1 m长的细绳
C．半径为1 cm的小木球
D．半径为1 cm的小铅球
E．时钟
F．秒表
G．最小刻度为mm的米尺
H．最小刻度为cm的米尺
I．铁架台
J．附砝码的天平
4利用单摆测定重力加速度的合理实验步骤顺序是：____________.
A．求出一次全振动的平均时间
B．测量摆长L
C．把单摆固定在铁夹上，使摆球自由下垂
D．反复做三次，算出周期的平均值
E．让单摆偏离平衡位置一个小角度，使其由静止开始摆动
F．用秒表测量单摆完成30～50次全振动的时间
G．据测得的周期平均值和摆长数值代入周期公式中，计算出重力加速度的值
5某同学要利用单摆测定重力加速度，但因无游标卡尺而没有办法测定摆球直径，他将摆球用不可伸长的细线悬挂起来后，改变摆线的长度测了两次周期，从而算出了重力加速度．则计算重力加速度的公式是( )
A. B.
C. D.
6一位同学用单摆做测量重力加速度的实验，他将摆挂起后，进行了如下步骤：
A．测摆长L：用米尺量出摆线长度；
B．测周期T：将摆球拉起，然后放开，在摆球通过最低点时，按下秒表开始计时，同时将此次通过最低点作为第一次，接着一直数到第60次通过最低点时，按秒表停止计时，读出这段时间，算出单摆周期T＝；
C．将所测得的L和T值代入单摆的周期公式T＝2π中，算出g，将它作为实验结果写入报告中去．
请指出上述步骤中遗漏或错误的地方，加以改正．
7在利用单摆测定重力加速度的实验中，由单摆做简谐运动的周期公式得到g＝·L.只要测出多组单摆的摆长L和运动周期T，作出T2－L图象，就可以求出当地的重力加速度．理论上T2－L图象是一条过坐标原点的直线，某同学根据实验数据作出图象如图1－5－5所示．
图1－5－5
(1)造成图象不过坐标点的原因是______．
(2)由图象求出的重力加速度g＝______m/s2.(取π2＝9.87)
8从一座高大建筑物顶端下垂一条轻质长绳至地面，长绳上端固定，测量工具仅限用秒表、米尺，其他实验器材根据需要自选，请回答下面两个问题：
(1)如果已知当地的重力加速度g，请设计测量该建筑物高度的方案；
(2)如果不知当地的重力加速度g，请设计测量该建筑物高度的方案．
9有五组同学用单摆测重力加速度，各组的实验器材和数据如下表所示，若各组同学实验操作水平相同，那么第____组同学测定的结果最准确，若该组同学根据自己测得的实验数据作出单摆的振动图象如图1－5－6所示，那么该同学测出的重力加速度大小是______m/s2.
组制
摆球材料
最大偏角
摆长
测全振动次数
1
木
5°
0.40 m
10
2
铝
5°
0.50 m
20
3
铜
8°
0.60 m
30
4
铁
7°
0.08 m
40
5
铝
4°
0.80 m
50
图1－5－6
10下面是用单摆测定重力加速度实验中获得的有关数据：
摆长L/m
0.5
0.6
0.8
1.1
周期T2/s2
2.2
2.5
3.2
4.5
(1)利用上述数据在坐标图(图1－5－7)中描出L－T2图线．
图1－5－7
(2)利用图线，取T2＝0.1×4π2 s2＝3.95 s2，求出重力加速度．
11有一天体，半径为地球半径的，平均密度与地球相同，在地球上走时准确的摆钟移到该天体的表面，秒针走一圈的实际时间为多少？
12某人要测山高，用一单摆在山脚下测量时，在一定时间内振动了N次，将此单摆移至山顶时，在相同时间内振动了(N－1)次．则此山高度约为地球半径的多少倍？
参考答案
1解析：由单摆的周期可知：T＝2π，即周期与摆锤质量无关，只与摆长和当地的重力加速度有关，即A错．测量摆长时，忽略小球的半径，则测得g值会偏小，B错．若把n次全振动误认为是(n＋1)次全振动，则周期会变小，即重力加速度g会变大．
答案：C
2解析：A中由于线一般都有一定弹性，若拉紧则测得的摆长偏大，应在自然下垂情况下测摆长，所以B正确；C中取下单摆，则无法找到悬挂点，将给测量引入较大的误差；D中用米尺去测悬点到球心的距离会造成误差，球的直径应用游标卡尺单独测量．所以正确的做法为B，不妥或错误的为A、C、D.
答案：ACD
3解析：测摆长时是从悬点到球心的距离，若用粗绳，粗绳误差较大，故选B.铅球密度大，摆动中阻力的影响相对小些，摆长的测定也相对准确，故选D.计时时，使用秒表方便，故选F；测长度时，应准确到mm，故选G.本实验中不需测质量，但必须将小球悬挂，故选I.
答案：BDFGI
4解析：据单摆做简谐运动的周期公式T＝2π可知，要测出重力加速度g，需测出单摆的摆长L及周期T，然后由g＝4π2求出所要的结果．所以首先应做出单摆(C)，然后测出摆长L(B)，再测量周期T(E、F、A、D)．为了减小误差，应测30次或50次全振动的时间，并要多次重复然后求平均值，最后将L及T代入公式g＝4π2，求重力加速度g(G)．
答案：CBEFADG
5解析：设摆球重心到球与摆线连接点距离为d，两次测得摆线长分别为l1和l2，对应周期为T1和T2.
则有g＝，g＝，两式联立可得g＝，B正确．
答案：B
6解析：单摆的摆长定义是悬点到摆球重心的距离，摆线长并不是摆长，摆长等于摆线长加上摆球的半径，摆球直径可用卡尺来测量．
摆球在某次通过最低点时，按下秒表开始计算时，同时将此次作为第一次通过最低点，到60次停表时，实际是29个半周期，周期T应为.
答案：见解析
7解析：(1)由单摆做简谐运动的周期公式T＝2π得T2＝·L，故T2∝L，在直角坐标系中T2L图线必为过原点的直线，但从图所给的情况看，在T＝0时，L＝－1 cm，有一横轴截距，这说明该图线的方程应写为T2＝(L＋L0)，由此可知，L只是摆线长度，而非摆长，因此实验结果不过原点的原因必是漏加了小球半径．
(2)由T2＝L可知，图线的斜率k＝，由图象知：图线的斜率k＝＝4 s2/m，故g＝＝ m/s2＝9.87 m/s2.
答案：(1)测单摆摆长时漏掉了摆球的半径
(2)9.87
8解析：(1)选一个金属重锤固定在长绳的下端，构成一个单摆．给摆球一个初速度使其做简谐运动，用秒表测得n次全振动的时间t，则其周期是T＝，代入单摆周期公式T＝2π即可求出h＝＝.
(2)选一个金属重锤固定在长绳的下端，构成一个单摆．给摆球一个初速度使其做简谐运动．用秒表测n次全振动时间t1，则其周期是T1＝，代入单摆周期公式T1＝2π；
长绳末端截去一小段Δl，与金属重锤构成一个单摆，给摆球一个初速度使其做简谐运动，用秒表测n2次全振动的时间t2，则其周期是T2＝，代入单摆周期公式T2＝2π，综合可求得
h1＝＝.
答案：见解析
9解析：由表可读出，第五组同学所用摆长为L＝0.80 m，由题图所示图象可读出，该单摆的周期
T＝1.80 s，代入公式g＝·L得：
g＝ m/s2＝9.74 m/s2
答案：5 9.74
10解析：(1)如下图所示．
(2)由图读出当T2＝3.95 s2时，L＝0.96 m，则重力加速度g＝＝ m/s2＝9.6 m/s2.
答案：(1)如上图所示 (2)9.6 m/s2
11解析：由万有引力公式可知g＝GπρR，所以某天体表面的重力加速度g与地球表面重力加速度g0的关系为g＝g0，由单摆周期公式T＝2π可知，周期关系为T＝T0，所以在该天体上秒针走一圈时间t为在地球上走一圈时间t0＝60 s的倍，所以t＝60 s＝84.8 s.
答案：84.8 s
12解析：设地球半径为R，山脚和山顶的重力加速度分别为g1和g2，由万有引力定律可得g1＝，g2＝，所以g1∶g2＝(R＋h)2∶R2①
由单摆的周期公式可知T1＝2π
T2＝2π
所以∶＝＝N∶(N－1)②
由①②两式联立得N∶(N－1)＝(R＋h)∶R，所以山高h＝R.
答案：
课件41张PPT。
课堂疑难导析课前新知导学
毫米刻度尺 游标卡尺 秒表 5° 平均值
