2018-2019学年北师大版选修2-1 空间向量与立体几何 单元测试

2018-2019学年北师大版选修2-1 空间向量与立体几何 单元测试
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
1.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,化简 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
结合图形，根据向量运算的平行四边形法则或三角形法则求解．
【详解】在平行六面体，连接AC，
则.
故选A．
【点睛】本题考查空间向量的线性运算，解题的关键是结合图形并根据向量加法的平行四边形或三角形法则求解，属于基础题．
2.已知向量=(1，2，-1)，=(m，m+1，5)，若，则m= ( )
A. -1 B. 1
C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
由得，于是得到关于m的方程，解方程可得结果．
【详解】∵，
∴，
解得m=1．
故选B．
【点睛】本题考查空间向量数量积的应用，考查转化能力和运算能力，解题的关键是利用求解，属于容易题．
3.已知O,A,B,C为空间不共面的四点,且向量，向量，则不能与构成空间的一个基底的是 ( )
A. B. C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】
判断各选项中的向量与是否共面可得结果．
【详解】∵，，
∴，
∴与向量共面，
∴不能构成空间的一个基底．
故选C．
【点睛】解答本题的关键是正确理解空间基底的定义，考查对概念的理解，解题时注意只有不共面的三个向量才能作为空间的一个基底，这也是判定三个向量能否作为空间基底的方法．
4.已知向量=(2，-3，5)与=(4，x，y)平行，则x，y的值分别为 ( )
A. 6和-10 B. -6和10
C. -6和-10 D. 6和10
【答案】B
【解析】
【分析】
根据向量共线的充要条件得到关于x，y的关系式，解方程可得所求．
【详解】∵=(2，-3，5)与=(4，x，y) 平行，
∴，
解得．
故选B．
【点睛】解答本题的关键是根据向量共线的充要条件得到比例式，然后通过解方程求解，考查基本知识的运用，属于容易题．
5.已知空间四边形ABCD中，，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则=( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
画出图形，然后根据向量加减法的法则进行求解．
【详解】画出图形如图所示，
学 学 学 学 学
∵，
∴，
∵E为AC的中点，
∴，
同理，，
∴，
∴．
故选A．
【点睛】题中求向量的方法是数学中一种重要的方法，求解时通过“算两次”的思路，从不同的角度去分解同一个向量，然后再统一起来，达到求解的目的．另外在进行向量的运算时，要注意图形在解题中的应用，运用数形结合的思路求解．
6.△ABC的三个顶点分别是A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),则AC边上的高BD长为 ( )
A. 5 B. C. 4 D.
【答案】A
【解析】
设＝λ，又＝(0,4，－3)，
则＝(0,4λ，－3λ)，
＝(4，－5,0)，
＝(－4,4λ＋5，－3λ)，
由·＝0.
得λ＝－，∴＝(－4，，)．
∴||＝5.
7.已知四面体A-BCD的所有棱长都是2,点E,F分别是AD,DC的中点,则( )
A. 1 B. -1 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
在四面体中，由题意可得任意两条棱的夹角为60°，又，再根据数量积的定义求解．
【详解】由题意可得，
所以．
故选B．
【点睛】在利用定义求向量的数量积时，要注意两向量夹角的确定，如在本题中的夹角为120°而不是60°，这是在解题中容易出现的错误，考虑问题时一定要抓住夹角的定义．
8.直三棱柱ABC—A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
【答案】C
【解析】
试题分析：延长CA到D，根据异面直线所成角的定义可知∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，而三角形A1DB为等边三角形，可求得此角．
解：延长CA到D，使得AD=AC，则ADA1C1为平行四边形，
∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，
又A1D=A1B=DB=AB，
则三角形A1DB为等边三角形，∴∠DA1B=60°
故选C．
考点：异面直线及其所成的角．
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
9.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,若，则abc= .
【答案】
【解析】
【分析】
结合图形将向量用基底表示，然后根据空间向量基本定理并结合条件比较后得到的值，进而可得所求结果．
【详解】由平行六面体ABCD-A1B1C1D1，得，
又，
所以
解得，
所以．
故答案为．
【点睛】本题考查空间向量基本定理的应用，根据同一向量在同一基底下的分解具有唯一性这一结论，得到相关系数的大小，从而达到求解的目的．
10.若向量，则 ．
【答案】
【解析】
【分析】
根据空间向量数量积的运算律求解即可．
【详解】∵，
∴．
∴．
故答案为．
【点睛】本题考查数量积的运算，解题时根据数量积的运算律求解即可，注意将向量的数量积的运算与多项式的乘法进行类比，属于基础题．
11.已知向量，若，则实数x的值为 ．
【答案】
【解析】
【分析】
根据两向量的数量积为0求解可得所求．
【详解】∵，
∴，
解得．
故答案为．
【点睛】本题考查数量积的运用，考查转化能力和运算能力，解题时注意向量垂直于数量积的关系，属于基础题．
12.已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，则B与D之间的距离为 ．
【答案】
【解析】
【分析】
过B，D分别向AC作垂线，垂足分别为M，N．则可求得AM＝，BM＝，CN＝，DN＝，MN＝1．再求出＝＋＋，平方即得||＝．
【详解】过B，D分别向AC作垂线，垂足分别为M，N．则可求得AM＝，BM＝，CN＝，DN＝，MN＝1．
由于＝＋＋，
∴||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2(·＋·＋·)＝()2＋12＋()2＋2(0＋0＋0)＝，
∴||＝．
故答案为：
【点睛】（1）本题主要考查空间向量的线性运算和向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)空间向量的模.
三、解答题(本大题共3小题,共40分)
13.已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的三等分点,且PN=2NC,AM=2MB,PA=AB=1,建立适当的空间直角坐标系,求的坐标.
【答案】
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，确定单位正交基底，结合向量的运算将用基底表示后可得其坐标．
【详解】由题意得PA垂直于平面ABCD，AD⊥AB，
所以PA ⊥AD，PA ⊥AB，
所以PA，AD，AB两两垂直．
又PA=AB=AD=1，
所以可设，分别以为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系．
因为，
所以．
因此的坐标为．
【点睛】求向量的坐标时，首先要建立空间直角坐标系、确定单位正交基底，然后根据向量的运算将向量用单位正交基底表示，进而可得所求向量的坐标，这是将向量问题数量化的基础．
14.如图所示,在平行四边形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,将△ACD沿对角线AC折起,使AB与CD成60°角,求B,D间的距离.
【答案】2或
【解析】
【分析】
由题意先得到，然后两边平方根据数量积可得，进而可得，即为所求的两点间的距离．
【详解】∵∠ACD=90°，
∴·=0．同理·=0．
∵在三棱锥A-BCD中，AB与CD成60°角，
∴<，>=60°或<，>=120°．
又=++，
∴||2=·=||2+||2+||2+2·+2·+2·=3+2×1×1×cos<，>．
当<，>=60°时，||2=4；
当<，>=120°时，||2=2．
∴||=2或||=，
即B，D间的距离为2或．
【点睛】在空间中，求两点间距离或某一线段的长度时，一般用向量的模来解决，通过向量数量积的运算可得所求结果．在本题中容易出现的错误是误认为的夹角为，而忽视另一种情形，解题时一定要分清两直线的夹角和向量夹角的关系．
15.已知空间中三点，，，设，．
（1）求向量与向量的夹角的余弦值；
（2）若与互相垂直，求实数的值．
【答案】（1）；（2）或
【解析】
∵A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，a＝，b＝，
∴a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)．
(1)∵cosθ＝，∴a和b的夹角为arccos.
(2)∵ka＋b＝k(1，1，0)＋(－1，0，2)＝(k－1，k，2)，
ka－2b＝(k＋2，k，－4)，且(ka＋b)⊥(ka－2b)，
∴(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8
＝2k2＋k－10＝0，解得k＝－或2.