2018-2019学年苏教版必修一　指数函数、对数函数和幂函数 单元测试

阶段质量检测(三)　指数函数、对数函数和幂函数
[考试时间：120分钟　试卷总分：160分]
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填在题中的横线上．)
1．函数y＝lg(x2＋1)的值域是__________．
2．(江西高考改编)函数y＝ ln(1－x)的定义域为________．
3．函数f(x)＝lg(－14．设a>1，函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为，则a＝________.
5．若幂函数y＝(m2－3m＋3)·xm2－m－1的图象不过原点，则实数m的值是__________．
6．某商人购货，进价已按原价a扣去25%.他希望对货物定一新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的利润，则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系式为________________．
7．已知x0是函数y＝log3(log2x)的零点，则x0＝________.
8．函数y＝()x2－3x＋2的增区间是________．
9．已知函数f(x)的图象是不间断的，有如下的x，f(x)对应值：
x
1
2
3
4
5
6
7
f(x)
136.136
15.552
－3.92
10.88
－52.488
－232.064
11.238
由表可知函数f(x)存在实数解的区间有________个．
10．已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于________．
11．关于x的方程()|x|＝a＋1有解，则a的取值范围是________．
12．麋鹿是国家一级保护动物，位于江苏省中部黄海之滨的江苏大丰麋鹿国家级自然保护区成立于1986年，第一年(即1986年)只有麋鹿100头，由于科学的人工培育，这种当初快要灭绝的动物数量y(只)与时间x(年)的关系可近似地由关系式y＝alog2(x＋1)给出，则到2016年时，预测麋鹿的数量约为________．
13．已知函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a，则a的值为________．
14．已知函数f(x)＝是R上的减函数，那么a的取值范围是________．
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)计算下列各题：
(1)0.008 1＋(4)2＋()－16－0.75；
(2)lg25＋lg 2lg 50＋2log25.
16．(本小题满分14分)设函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab的两个零点分别是－3和2.
(1)求f(x)；
(2)当函数f(x)的定义域是[0,1]时，求函数f(x)的值域．
17.(本小题满分14分)某市自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4 t时，每吨为1.80元，当用水超过4 t时，超过部分每吨为3.00元．某月甲，乙两用户共交水费y元，已知甲，乙两用户该月用水量分别为5x,3x.
(1)求y关于x的函数；
(2)若甲，乙两用户该月共交水费26.4元，分别求出甲，乙两用户该月的用水量和水费．
18．(本小题满分16分)设函数是定义在R上的增函数，且f(x)≠0，对任意x1，x2∈R，都有f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)．
(1)求证：f(x)>0；
(2)求证：f(x1－x2)＝；
(3)若f(1)＝2，解不等式f(3x)>4f(x)．
19(本小题满分16分)已知函数f(x)＝ex－e－x(x∈R，e为自然对数的底数)．
(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性；
(2)是否存在实数t，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．
20．(本小题满分16分)设函数f(x)＝
(1)求f(log2 )与f(log)的值；
(2)求满足f(x)＝2的x的值；
(3)求f(x)的最小值．
答 案
1.解析：∵u＝x2＋1≥1，
∴y＝lg(x2＋1)≥lg 1＝0.
∴y∈[0，＋∞)．
答案：[0，＋∞)
2．解析：要使函数有意义，则
解得0≤x<1.故函数的定义域为[0,1)．
答案：[0,1)
3．解析：∵f(－x)＝lg＝－lg＝－f(x)，
又－1∴f(x)＝lg的图象关于(0,0)对称．
答案：(0,0)
4．解析：∵a>1，故函数f(x)＝logax在[a,2a]上为增函数，∴f(2a)－f(a)＝，
即loga(2a)－logaa＝.
∴loga2＝，∴a＝2，
解得a＝4.
答案：4
5．解析：∵函数为幂函数，∴m2－3m＋3＝1，
即m＝1或2.
当m＝1时，m2－m－1＝－1；
m＝2时，m2－m－1＝1.
又∵图象不过原点，∴m2－m－1＝－1
即m＝1.
答案：1
6．解析：设新价为b，依题意，
有b(1－20%)－a(1－25%)＝b(1－20%)·25%，化简得b＝a.
∴y＝b·20%·x＝a·20%·x，
即y＝x(x∈N*)．
答案：y＝x(x∈N*)
7．解析：由log3(log2x)＝0?log2x＝1?x＝2，
∴x0＝2，x0＝2＝.
答案：
8．解析：原函数由y＝()u，
u＝x2－3x＋2复合而得，
∵y＝()u是减函数，u＝x2－3x＋2在(－∞，]上是减函数．
∴由复合函数的单调性得其增区间是(－∞，]．
答案：(－∞，]
9．解析：由表可知：f(2)f(3)<0，
f(3)f(4)<0，f(4)·f(5)<0，f(6)f(7)<0，
所以函数f(x)存在实数解的区间有4个．
答案：4
10．解析：由于f(1)＝lg 1＝0，
则f(a)＋f(1)＝f(a)＝0.
当a＞0时，由f(a)＝lg a＝0得a＝1；
当a≤0时，由f(a)＝a＋3＝0得a＝－3，
所以实数a的值等于－3或1.
答案：－3或1
11.解析：设f(x)＝()|x|，其图象如图所示，∴0∴0答案：(－1,0]
12．解析：由题意，alog22＝100，
∴a＝100，∴y＝f(x)＝100log2(x＋1)，
∵2016年是第31年，
∴f(31)＝100log232＝500.
答案：500
13．解析：∵f(x)在[0,1]上为单调函数，
∴最值在区间的两个端点处取得，
∴f(0)＋f(1)＝a，
即a0＋loga(0＋1)＋a1＋loga(1＋1)＝a，
解得a＝.
答案：
14．解析：要使函数f(x)＝
是R上的减函数，需要满足：

解得a的取值范围是.
答案：
15．解：(1)原式＝(0.3)＋(2)2＋(2)－－24×(－0.75)＝0.3＋2－3＋2－2－2－3
＝0.3＋0.25＝0.55.
(2)原式＝lg25＋lg 2·lg 5＋lg 2＋21·2log25
＝lg 5＋lg 2＋21·2log2＝1＋2.
16．解：(1)∵f(x)的两个零点是－3和2，
∴函数图象过点(－3,0)、(2,0)，
∴有9a－3(b－8)－a－ab＝0，①
4a＋2(b－8)－a－ab＝0.②
①－②得b＝a＋8.③
③代入②得4a＋2a－a－a(a＋8)＝0，
即a2＋3a＝0.
∵a≠0，∴a＝－3，∴b＝a＋8＝5.
∴f(x)＝－3x2－3x＋18.
(2)由(1)得f(x)＝－3x2－3x＋18
＝－3(x＋)2＋＋18，
图象的对称轴方程是x＝－，又0≤x≤1，
∴f(x)min＝f(1)＝12，f(x)max＝f(0)＝18，
∴函数f(x)的值域是[12,18]．
17．解：(1)当甲的用水量不超过4 t，即5x≤4，即0≤x≤时，乙的用水量也不超过4 t，
此时y＝(5x＋3x)×1.80＝14.4x.
当甲的用水量超过4 t，乙的用水量不超过4 t，
即3x≤4且5x＞4，即＜x≤时，
y＝4×1.80＋3x×1.80＋3×(5x－4)
＝20.4x－4.8.
当甲、乙的用水量都超过4 t，
即3x＞4，即x＞时，y＝24x－9.6.
∴y＝
(2)由于y＝f(x)在各段区间上均为单调增函数，
所以当x∈时，y≤f＝11.52＜26.4；
当x∈时，y≤f＝22.4＜26.4；
当x∈时，令24x－9.6＝26.4，
解得x＝1.5，∴5x＝7.5，甲用户用水量为7.5 t，付费s1＝4×1.80＋3.5×3＝17.70(元)；
3x＝4.5，乙用户用水量为4.5 t，
付费s2＝4×1.80＋0.5×3＝8.70(元)．
18．解：(1)证明：令x1＝x2＝，
则f(t)＝f()·f()＝[f()]2.
∵f()≠0，∴f(t)>0，即f(x)>0.
(2)证明：∵f(x1)＝f(x1－x2＋x2)
＝f(x1－x2)·f(x2)．
∵f(x)≠0，∴f(x1－x2)＝.
(3)∵f(1)＝2，∴2f(x)＝f(1)·f(x)＝f(1＋x)，4f(x)＝2·2f(x)＝f(1)·f(x＋1)＝f(x＋2)，
则f(3x)>4f(x)即f(3x)>f(2＋x)．
∵f(x)是定义在R上的增函数．
∴3x>2＋x，∴x>1.
故不等式f(3x)>4f(x)的解集为(1，＋∞)．
19．解：(1)∵f(x)的定义域为R，
且f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
设x1，x2∈R且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝ex1－－(ex2－)
＝ex1－ex2－
＝(ex1－ex2)，
∵x1＜x2，∴ex1＜ex2，∴ex1－ex2＜0，又ex1ex2＞0，
∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
∴f(x)是R上的增函数．
(2)假设存在实数t满足条件．
不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0可化为
f(x－t)≥－f(x2－t2)，即f(x－t)≥f(－x2＋t2)，
又f(x)是R上的增函数，
∴f(x－t)≥f(－x2＋t2)等价于x－t≥－x2＋t2，
即x2＋x－t2－t≥0恒成立，
故有Δ＝1－4(－t2－t)≤0，即(2t＋1)2≤0，∴t＝－.
综上所述，存在t＝－使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x都成立．
20．解：(1)∵log2 ∴f(log2 )＝2－log2＝2log2＝.
∵log＝log()3＝3>1，
∴f(log)＝f(3)＝log3 ·log3 ＝log3 1·log3 3－1＝0×(－1)＝0.
故f(log2 )与f(log)的值分别为，0.
(2)当x≤1时，f(x)＝2－x＝2，解得x＝－1，符合题意，当x>1时，f(x)＝log3 ·log3 ＝2
即(log3x－1)(log3x－2)＝2，
∴logx－3log3x＝0，
∴log3x＝3或log3x＝0.
由log3x＝0得x＝1，不合题意(舍去)．
由log3x＝3，得x＝33＝27>1符合题意．
综上可知，所求x的值为－1或27.
(3)当x≤1时，f(x)＝2－x＝()x≥()1，
即f(x)min＝.
当x>1时，f(x)＝(log3x－1)(log3x－2)．
令log3x＝t，则t>0，
∴y＝(t－1)(t－2)＝(t－)2－，
∴当t＝>0时，ymin＝－<.
∴f(x)的最小值为－.